專題06分式方程及其應(yīng)用（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1分式方程的定義】 1【考點2分式方程的解】 2【考點3解分式方程】 2【考點4換元法解分式方程】 3【考點5分式方程的增根】 3【考點6分式方程的無解】 4【考點7不等式與分式方程的綜合】 4【考點8分式方程中的新定義問題】 5【考點9由實際問題抽象出分式方程】 5【考點10分式方程的應(yīng)用】 6【要點1分式方程的定義】分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。【考點1分式方程的定義】【例1】（2022·貴州貴陽·二模）下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是（

）A．x2?3=x5 B．12x?【變式1-1】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)二模）下列方程中，不是分式方程的是（

）A．x+1x=3C．xx?4=5x【變式1-2】（2022·河南省淮濱縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）在下列方程組中，（）是分式方程．A．x2x?1＝1 C．1x+2=3【考點2分式方程的解】【例2】（2022·浙江·寧波市鄞州實驗中學(xué)模擬預(yù)測）在正實數(shù)范圍內(nèi)，只存在一個數(shù)是關(guān)于x的方程x2+kx+3x?1【變式2-1】（2022·黑龍江·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程m+32x?1=1的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是（A．m≥?4 B．m≥?4且m≠?3 C．m>?4 D．m>?4且m≠?3【變式2-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若關(guān)于x的分式方程1x?2+2【變式2-3】（2022·四川達州·中考真題）若分式方程2x?ax?1?4=?2x+a【要點2分式方程的解法】①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1或其它解法）；③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。【考點3解分式方程】【例3】（2022·遼寧營口·中考真題）分式方程3x=2A．x=2 B．x=?6 C．x=6 D．x=?2【變式3-1】（2022·湖南永州·中考真題）解分式方程2x【變式3-2】（2022·浙江臺州·中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是____．先化簡，再求值：3?xx?4+1解：原式==3?x+x?4=?1【變式3-3】（2022·山東威海·中考真題）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是_____．【考點4換元法解分式方程】【例4】（2022·浙江衢州·二模）用換元法解分式方程x2+1x?x3xA．3y2+3y?1=0C．3y2?y+1=0【變式4-1】（2022·貴州·仁懷市教育研究室二模）用換元法解方程x2?2x+6x+【變式4-2】（2022·上海·華東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)一模）用換元法解方程：x2﹣x﹣12x【變式4-3】（2022·上海·華東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)三模）用換元法解方程組：1x+y【考點5分式方程的增根】【例5】（2022·廣西賀州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程m+4x?3=3xx?3+2A．2 B．3 C．4 D．5【變式5-1】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)二模）關(guān)于x的方程：ax+1x?1－2(1)當(dāng)a＝3時，求這個方程的解；(2)若這個方程有增根，求a的值．【變式5-2】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學(xué)一模）關(guān)于x的分式方程mx?2+12?x=1A．﹣1 B．1 C．2 D．5【變式5-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）增根是在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中產(chǎn)生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是該分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根問題的解題步驟通常為：①去分母，化分式方程為整式方程；②將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數(shù)的值．閱讀以上材料后，完成下列探究：探究1：m為何值時，方程3xx?3探究2：m為何值時，方程3xx?3+5=m探究3：任意寫出三個m的值，使對應(yīng)的方程3xx?3探究4：你發(fā)現(xiàn)滿足“探究3”條件的m1【考點6分式方程的無解】【例6】（2022·浙江溫州·模擬預(yù)測）設(shè)a，b為實數(shù)，關(guān)于x的方程xx?1+x?1x=a+bxx2?x【變式6-1】（2022·四川遂寧·中考真題）若關(guān)于x的方程2x=m2x+1無解，則A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【變式6-2】（2022·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程m+x2?x?3＝0有解，則實數(shù)A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【變式6-3】（2022·安徽·宣州市雁翅鄉(xiāng)初級中學(xué)二模）對于非零實數(shù)a、b，規(guī)定a?b=ba．若x?3?3?2x=0，則x的值為_______________；若關(guān)于x【考點7不等式與分式方程的綜合】【例7】（2022·重慶·中考真題）關(guān)于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組y+9≤2(y+2)2y?a3A．13 B．15 C．18 D．20【變式7-1】（2022·重慶·中考真題）關(guān)于x的分式方程ax?3x?2+1=3x?12?x的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組3y?22A．?5 B．?4 C．?3 D．?2【變式7-2】（2022·重慶八中模擬預(yù)測）從?7，?5，?1，0，1，3這六個數(shù)中，隨機抽一個數(shù)，記為m，若數(shù)m使關(guān)于x的不等式組x?m2>0x?4<3(x?2)的解集為x>1，且關(guān)于x的分式方程1?x2?x+A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式7-3】（2022·重慶市第三十七中學(xué)校二模）若數(shù)a既使得關(guān)于x的不等式組x?a2+1≤x+a3x?2a>6無解，又使得關(guān)于y的分式方程5A．?4 B．?3 C．?2 D．?5【考點8分式方程中的新定義問題】【例8】（2022·湖南懷化·中考真題）定義a?b=2a+1b，則方程3?x=4?2的解為（A．x=15 B．x=25 C．【變式8-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）對于實數(shù)a、b，定義一種新運算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：1?3=1A．x=5 B．x=6 C．x=7 D．x=8【變式8-2】（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團）模擬預(yù)測）對于實數(shù)x和y，定義一種新運算“*”：x?y=1x2+y，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：【變式8-3】（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數(shù)a，b，a?b=1a+1b【考點9由實際問題抽象出分式方程】【例9】（2022·遼寧阜新·中考真題）我市某區(qū)為30萬人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項工作，實際每天接種人數(shù)是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成了這項工作．設(shè)原計劃每天接種x萬人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A．30x?30C．301.2x?30【變式9-1】（2022·遼寧鞍山·中考真題）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車間同時加工，已知乙車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天．設(shè)甲車間每天加工x件產(chǎn)品，根據(jù)題意可列方程為_________．【變式9-2】（2022·山東青島·中考真題）為落實青島市中小學(xué)生“十個一”行動計劃，學(xué)校舉辦以“強體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報名參加3000米比賽項目，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，比賽時小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，少用3分鐘跑完全程．設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為__________．【變式9-3】（2022·山東濰坊·中考真題）觀察我國原油進口月度走勢圖，2022年4月原油進口量比2021年4月增加267萬噸，當(dāng)月增速為6.6%（計算方法：2674036×100%≈6.6%）．2022年3月當(dāng)月增速為?14.0A．x?42714271×100%C．x?4271x×100%【考點10分式方程的應(yīng)用】【例10】（2022·浙江衢州·中考真題）金師傅近期準備換車，看中了價格相同的兩款國產(chǎn)車．(1)用含a的代數(shù)式表示新能源車的每千米行駛費用．(2)若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元．①分別求出這兩款車的每千米行駛費用．②若燃油車和新能源車每年的其它費用分別為4800元和7500元．問：每年行駛里程為多少千米時，買新能源車的年費用更低？（年費用=年行駛費用+年其它費用）【變式10-2】（2022·重慶·中考真題）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；(2)若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．【變式10-3】（2022·湖南益陽·中考真題）在某市組織的農(nóng)機推廣活動中，甲、乙兩人分別操控A、B兩種型號的收割機參加水稻收割比賽．已知乙每小時收割的畝數(shù)比甲少40%，兩人各收割6畝水稻，乙則比甲多用0.4小時完成任務(wù)；甲、乙在收割過程中對應(yīng)收稻谷有一定的遺落或破損，損失率分別為3%，2%．(1)甲、乙兩人操控A、B型號收割機每小時各能收割多少畝水稻？(2)某水稻種植大戶有與比賽中規(guī)格相同的100畝待收水稻，邀請甲、乙兩人操控原收割機一同前去完成收割任務(wù)，要求平均損失率不超過2.4%，則最多安排甲收割多少小時？專題06分式方程及其應(yīng)用（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1分式方程的定義】 1【考點2分式方程的解】 3【考點3解分式方程】 5【考點4換元法解分式方程】 7【考點5分式方程的增根】 10【考點6分式方程的無解】 12【考點7不等式與分式方程的綜合】 15【考點8分式方程中的新定義問題】 19【考點9由實際問題抽象出分式方程】 21【考點10分式方程的應(yīng)用】 23【要點1分式方程的定義】分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。【考點1分式方程的定義】【例1】（2022·貴州貴陽·二模）下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是（

）A．x2?3=x5 B．12x?【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進行判斷．【詳解】解：A．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；B．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；C．方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，π是常數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；D．方程分母中含未知數(shù)x，故是分式方程，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．【變式1-1】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)二模）下列方程中，不是分式方程的是（

）A．x+1x=3C．xx?4=5x【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的定義逐項判斷分母中是否含有未知數(shù)即可.【詳解】A、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項不符合題意；B、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項不符合題意；C、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項不符合題意；D、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，故本選項符合題意.故選：D.【點睛】本題考查分式方程的定義，熟練掌握定義是關(guān)鍵.【變式1-2】（2022·河南省淮濱縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】等號兩邊至少有一個分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．故選：B．【點睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）在下列方程組中，（）是分式方程．A．x2x?1＝1 C．1x+2=3【答案】A【分析】根據(jù)分式方程定義進行解答即可．【詳解】A、是分式方程，故此選項符合題意；B、不是分式方程，是整式方程，故此選項不符合題意；C、不是分式方程，故此選項不符合題意；D、不是分式方程，是整式方程，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】此題主要考查了分式方程，關(guān)鍵是掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．【考點2分式方程的解】【例2】（2022·浙江·寧波市鄞州實驗中學(xué)模擬預(yù)測）在正實數(shù)范圍內(nèi)，只存在一個數(shù)是關(guān)于x的方程x2+kx+3x?1【答案】k=?338或k＝-4或【分析】分四種情況討論：原方程去分母化為2x2?3x?(k+3)=0①．（1）當(dāng)Δ=0時，?32?4×2×?k+3=8k+33=0，得到k=?338，方程有兩個相同的正實根，原方程只存在一個正實數(shù)解；（2）原方程的增根x=1是方程2【詳解】解：原方程可化為2x（1）當(dāng)Δ=?32x1（2）當(dāng)x=1是方程①的根時，2×12?3×1?(k+3)=0此時方程①為，2x2?3x+1=0故原方程也只有一根x=1（3）當(dāng)方程①有異號實根時，x1x2=?k?32<0（4）當(dāng)方程①有一個根為0時，k=?3，另一個根為x=3綜上所述，滿足條件的k的取值范圍是：k=?338或k=?4或【點睛】本題主要考查了分式方程的解與字母系數(shù)的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的方法，增根的定義和特點，根據(jù)根的情況確定字母系數(shù)的取值，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，分類討論．【變式2-1】（2022·黑龍江·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程m+32x?1=1的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是（A．m≥?4 B．m≥?4且m≠?3 C．m>?4 D．m>?4且m≠?3【答案】B【分析】根據(jù)題意先求出分式方程的解，然后根據(jù)方程的解為非負數(shù)可進行求解．【詳解】解：由關(guān)于x的分式方程m+32x?1=1可得：x=m+4∵方程的解為非負數(shù)，∴m+42≥0，且解得：m≥?4且m≠?3，故選B．【點睛】本題主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若關(guān)于x的分式方程1x?2+2【答案】m>0且m≠1【分析】先解分式方程得到解為x=m+1，根據(jù)解大于1得到關(guān)于m的不等式再求出m的取值范圍，然后再驗算分母不為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以x+2x?2得到：x+2+2(x?2)=x+2m整理得到：x=m+1，∵分式方程的解大于1，∴m+1>1，解得：m>0，又分式方程的分母不為0，∴m+1≠2且m+1≠?2，解得：m≠1且m≠?3，∴m的取值范圍是m>0且m≠1．故答案為：m>0且m≠1．【點睛】本題考查分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，要注意分式方程的分母不為0這個隱藏條件．【變式2-3】（2022·四川達州·中考真題）若分式方程2x?ax?1?4=?2x+a【答案】±1【分析】直接移項后通分合并同類項，化簡、用a來表示x，再根據(jù)解為整數(shù)來確定a的值．【詳解】解：2x?ax?12x?a(2x?a)(x+1)?(a?2x)(x?1)整理得：x=若分式方程2x?ax?1∵a為整數(shù)，當(dāng)a=±1時，解得：x=±2，經(jīng)檢驗：x?1≠0,x+1≠0成立；當(dāng)a=±2時，解得：x=±1，經(jīng)檢驗：分母為0沒有意義，故舍去；綜上:a=±1，故答案是：±1．【點睛】本題考查了分式方程，解題的關(guān)鍵是：化簡分式方程，最終用a來表示x，再根據(jù)解為整數(shù)來確定a的值，易錯點，容易忽略對根的檢驗．【要點2分式方程的解法】①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號兩邊同乘以最簡公分母）；②解整式方程（去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1或其它解法）；③檢驗：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。【考點3解分式方程】【例3】（2022·遼寧營口·中考真題）分式方程3x=2A．x=2 B．x=?6 C．x=6 D．x=?2【答案】C【分析】先去分母，去括號，移項，合并同類項得出答案，最后檢驗即可．【詳解】解：3x去分母，得3(x?2)=2x，去括號，得3x?6=2x，移項，得3x?2x=6，所以x=6．經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解．故選：C．【點睛】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·湖南永州·中考真題）解分式方程2x【答案】x【分析】根據(jù)解分式方程的方法中確定公分母的方法求解即可．【詳解】解：分式方程2x?1x+1=0∴最簡公分母為：x(x+1)，故答案為：x(x+1)．【點睛】題目主要考查解分式方程中確定公分母的方法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·浙江臺州·中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是____．先化簡，再求值：3?xx?4+1解：原式==3?x+x?4=?1【答案】5【分析】根據(jù)題意得到方程3?xx?4【詳解】解：依題意得：3?xx?4+1=?1，即去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括號得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，經(jīng)檢驗，x=5是方程的解，故答案為：5．【點睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．【變式3-3】（2022·山東威海·中考真題）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是_____．【答案】1【分析】根據(jù)程序分析即可求解．【詳解】解：∵輸出y的值是2，∴上一步計算為2=1x解得x=1（經(jīng)檢驗，x=1是原方程的解），或x=當(dāng)x=1>0符合程序判斷條件，x=3故答案為：1【點睛】本題考查了解分式方程，理解題意是解題的關(guān)鍵．【考點4換元法解分式方程】【例4】（2022·浙江衢州·二模）用換元法解分式方程x2+1x?x3xA．3y2+3y?1=0C．3y2?y+1=0【答案】A【分析】由x2+1x【詳解】解：設(shè)x2∴分式方程x2+1x化為整式方程：3y故選：A．【點睛】本題考查了換元法解分式方程，掌握換元法及正確把分式方程化成整式方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·貴州·仁懷市教育研究室二模）用換元法解方程x2?2x+6x+【答案】

x?3x（答案不唯一）

【分析】利用完全平方公式將x2?2x+6x+9x【詳解】解：∵x2∴x2∴x?3令t=x?3x，可得令t=3x?x，可得?t故答案為：x?3x，t2?2t=0或【點睛】本題考查換元法解方程，利用完全平方公式將原式變形為x?3【變式4-2】（2022·上海·華東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)一模）用換元法解方程：x2﹣x﹣12x【答案】x【分析】方程的兩個部分是倒數(shù)關(guān)系，所以可設(shè)x2?x=y，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程，先求y，再求【詳解】設(shè)x2則原方程變形為y?12即y2解得y1當(dāng)y=-2時，x2因為△=1?8=?9<0當(dāng)y=6時，x2解方程得：x1檢驗：把x1所以原方程的根是：x1【點睛】換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．【變式4-3】（2022·上海·華東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)三模）用換元法解方程組：1x+y【答案】x=?【分析】設(shè)1x+y=a，1x?y=b，得出2x?y=2b，進而將原方程組化為關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組求出a，b，可得1x+y【詳解】解：設(shè)1x+y=a，則原方程組可化為：a+2b=1①－②得：3b=?3解得：b=?1把b=?14代入②得：∴1x+y=3∴x+y=4③＋④，得2x＝?8解得x＝?4把x＝?43代入①，得y＝故原方程組的解為x=?4【點睛】此題考查了換元法解分式方程以及解二元一次方程組，將方程進行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．【考點5分式方程的增根】【例5】（2022·廣西賀州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程m+4x?3=3xx?3+2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后將x=3代入求解即可.【詳解】解：∵分式方程m+4x?3∴x=3，去分母，得m+4=3x+2x?3將x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故選：D．【點睛】本題考查了分式方程的無解問題，掌握分式方程中增根的定義及增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)二模）關(guān)于x的方程：ax+1x?1－2(1)當(dāng)a＝3時，求這個方程的解；(2)若這個方程有增根，求a的值．【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3.【分析】（1）將a=3代入,求解3x+1x?1－2（2）先求出增根是x＝1，將分式化簡為ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.【詳解】解：(1)當(dāng)a＝3時，原方程為3x+1x?1－2方程兩邊同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，解這個整式方程得x＝－2，檢驗：將x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，∴x＝－2是原分式方程的解．(2)方程兩邊同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，若原方程有增根，則x－1＝0，解得x＝1，將x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.【點睛】本題考查解分式方程,屬于簡單題,對分式方程的結(jié)果進行驗根是解題關(guān)鍵.【變式5-2】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學(xué)一模）關(guān)于x的分式方程mx?2+12?x=1A．﹣1 B．1 C．2 D．5【答案】A【分析】先去分母，用含有m的式子表示x，因為方程有增根，所以x-2=0，從而解出m的值，代入(﹣1)【詳解】解：方程兩邊都乘x-2，得m-1=x-2．解這個方程，得x=m+1．∵方程有增根，∴x-2=0．即m+1-2=0解這個方程，得m=1．那么(﹣1)故選：A．【點睛】此題考查了方式方程增根問題，解題的關(guān)鍵是知道分式方程的增根就是使得原分式方程的分母為零的那個根．【變式5-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）增根是在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中產(chǎn)生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是該分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根問題的解題步驟通常為：①去分母，化分式方程為整式方程；②將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數(shù)的值．閱讀以上材料后，完成下列探究：探究1：m為何值時，方程3xx?3探究2：m為何值時，方程3xx?3+5=m探究3：任意寫出三個m的值，使對應(yīng)的方程3xx?3探究4：你發(fā)現(xiàn)滿足“探究3”條件的m1【答案】探究1：-9；探究2：23；探究3：m1=15?8a,【分析】解分式方程，根據(jù)方程有增根求得m的值即可，根據(jù)規(guī)律即可得出結(jié)論．第三問設(shè)方程的三根為a,b,c且a+b=c，再求得對應(yīng)的m．即可得出它們之間的關(guān)系．【詳解】解：探究1：方程兩邊都乘(x?3)，得∵原方程有增根，∴最簡公分母(x?3)=0，解得x=3，當(dāng)x=3時，m=?9，故m的值是?9．探究2：方程兩邊都乘(x?3)，得∵原方程的根為x=?1，∴m=23，探究3：由（1）（2）得x=15?m方程的三個對應(yīng)根為a,b,c且a+b=c，∴m1m2m探究4：∵a+b=c，∴15?整理得m3故答案為m3【點睛】本題考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟練掌握解分式方程，準確判定方程的增根是解題的關(guān)鍵．【考點6分式方程的無解】【例6】（2022·浙江溫州·模擬預(yù)測）設(shè)a，b為實數(shù)，關(guān)于x的方程xx?1+x?1x=a+bxx2?x【答案】5【分析】先將分式方程通分去分母化成整式方程，再根據(jù)方程無實數(shù)解得出關(guān)于含a、b的整式的取值范圍，再據(jù)此作答即可求解．【詳解】將xx?1+x?1∵原分式方程無實數(shù)根，∴Δ=(?2?b)2∴4b+8a＜∴4b+8a?5＜∴8a+4b+8a+4b?5【點睛】本題考查了將分式方程化為一元二次方程以及根據(jù)一元二次方程根的情況得到方程判別式的符號以此來求解代數(shù)式值的知識，注重整體代入是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·四川遂寧·中考真題）若關(guān)于x的方程2x=m2x+1無解，則A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】先將分時方程化為整式方程，再根據(jù)方程無解的情況分類討論，當(dāng)m?4=0時，當(dāng)m?4≠0時，x=0或2x+1=0，進行計算即可．【詳解】方程兩邊同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=mx，整理得(m?4)x=2，∵原方程無解，∴當(dāng)m?4=0時，m=4；當(dāng)m?4≠0時，x=0或2x+1=0，此時，x=2解得x=0或x=?1當(dāng)x=0時，x=2當(dāng)x=?12時，x=2綜上，m的值為0或4；故選：D．【點睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡公分母為0和化成的整式方程無解，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程m+x2?x?3＝0有解，則實數(shù)A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【分析】解分式方程得：m+x=6?3x即4x=m?6，由題意可知x≠2，即可得到6?m≠8.【詳解】解：m+x方程兩邊同時乘以2?x得：m+x?6+3x=0，∴4x=m?6，∵分式方程有解，∴2?x≠0，∴x≠2，∴6?m≠8，∴m≠?2，故選B.【點睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的關(guān)鍵.【變式6-3】（2022·安徽·宣州市雁翅鄉(xiāng)初級中學(xué)二模）對于非零實數(shù)a、b，規(guī)定a?b=ba．若x?3?3?2x=0，則x的值為_______________；若關(guān)于x【答案】

32；

5【分析】解方程3?2xx?3=0即可；根據(jù)分式方程【詳解】∵a?b=ba，∴3?2xx?3去分母，得3-2x=0，移項、合并同類項，得2x=3，系數(shù)化為1，得x=32經(jīng)檢驗，x=32∵a?b=ba，方程∴3?2xx?3去分母，得3-2x+mx-2=3-x，∵方程無解，∴x=3，解得m=53去分母，得3-2x+mx-2=3-x，合并同類項，得(m-1)x=2，∵方程無解，∴m-1=0，故m=1．故答案為：32，5【點睛】本題考查了新定義，分式方程的解法，分式方程無解的計算，熟練掌握分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵．【考點7不等式與分式方程的綜合】【例7】（2022·重慶·中考真題）關(guān)于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組y+9≤2(y+2)2y?a3A．13 B．15 C．18 D．20【答案】A【分析】先通過分式方程求出a的一個取值范圍，再通過不等式組的解集求出a的另一個取值范圍，兩個范圍結(jié)合起來就得到a的有限個整數(shù)解．【詳解】由分式方程的解為整數(shù)可得：3x?a?x?1=x?3解得：x=a?2又題意得：a?2>0且a?2≠3∴a>2且a≠5，由y+9≤2y+2得：由2y?a3>1∵解集為y≥5∴3+a解得：a<7綜上可知a的整數(shù)解有：3，4，6它們的和為：13故選：A．【點睛】本題考查含參數(shù)的分式方程和含參數(shù)的不等數(shù)組，掌握由解集倒推參數(shù)范圍是本題關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·重慶·中考真題）關(guān)于x的分式方程ax?3x?2+1=3x?12?x的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組3y?22A．?5 B．?4 C．?3 D．?2【答案】B【分析】先將分式方程化為整式方程，得到它的解為x=6a+4,由它的解為正數(shù)，同時結(jié)合該分式方程有解即分母不為0，得到a+4>0且a+4≠3，再由該一元一次不等式組有解，又可以得到a?2<0，綜合以上結(jié)論即可求出【詳解】解：ax?3x?2兩邊同時乘以（x?2)，ax?3+x?2=1?3x,a+4x=6由于該分式方程的解為正數(shù)，∴x=6a+4，其中∴a>?4，且a≠?1；∵關(guān)于y的元一次不等式組3y?22由①得：y≤0;由②得：y>a?2;∴a?2<0，∴a<2綜上可得：?4<a<2,且a≠?1;∴滿足條件的所有整數(shù)a為：?3，?2,0,1；∴它們的和為?4；故選B．【點睛】本題涉及到含字母參數(shù)的分式方程和含字母參數(shù)的一元一次不等式組等內(nèi)容，考查了解分式方程和解一元一次不等式組等相關(guān)知識，要求學(xué)生能根據(jù)題干中的條件得到字母參數(shù)a的限制不等式，求出a的取值范圍進而求解，本題對學(xué)生的分析能力有一定要求，屬于較難的計算問題．【變式7-2】（2022·重慶八中模擬預(yù)測）從?7，?5，?1，0，1，3這六個數(shù)中，隨機抽一個數(shù)，記為m，若數(shù)m使關(guān)于x的不等式組x?m2>0x?4<3(x?2)的解集為x>1，且關(guān)于x的分式方程1?x2?x+A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)不等式組的解集為x>1，求得m≤1，根據(jù)分式方程有非負整數(shù)解，求得m取值范圍，即可求解．【詳解】解：解不等式組x?m2>0∵不等式組的解集為x>1，∴m≤1，由1?x2?x+m解得x=由題意可得，x≥0，且x≠2可得：m≥?5，且m≠?1此時m的取值為?5，0，1又∵x為整數(shù)，∴m的取值為?5，1，個數(shù)為2故選：B【點睛】此題考查了分式方程的解、解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·重慶市第三十七中學(xué)校二模）若數(shù)a既使得關(guān)于x的不等式組x?a2+1≤x+a3x?2a>6無解，又使得關(guān)于y的分式方程5A．?4 B．?3 C．?2 D．?5【答案】C【分析】先根據(jù)關(guān)于x的不等式組無解求出數(shù)a的范圍，再根據(jù)關(guān)于y的分式方程的解不小于1求出數(shù)a的范圍，然后再取數(shù)a的范圍的公共部分，從而即可求解．【詳解】解：解不等式x?a2+1≤x+a解不等式x?2a>6，得x>2a+6，∵于x的不等式組x?a2∴5a?6≤2a+6，∴a≤4；又解分式方程5y?2?a?y2?y=1∵關(guān)于y的分式方程5y?2∴a+72≥1∴a≥?5且a≠?3；綜上可知：?5≤a<?3,?3<a≤4，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為：?5?4?2?1+0+1+2+3+4=?2，故選：C．【點睛】此題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握已知一元一次不等式組的解集求參數(shù)的范圍、已知分式方程的解的范圍求參數(shù)的取值范圍的解題方法是解答此題的關(guān)鍵．【考點8分式方程中的新定義問題】【例8】（2022·湖南懷化·中考真題）定義a?b=2a+1b，則方程3?x=4?2的解為（A．x=15 B．x=25 C．【答案】B【分析】根據(jù)新定義,變形方程求解即可【詳解】∵a?b=2a+1∴3?x=4?2變形為2×3+1解得x=2經(jīng)檢驗x=2故選B【點睛】本題考查了新定義問題，根據(jù)新定義把方程轉(zhuǎn)化一般的分式方程，并求解是解題的關(guān)鍵【變式8-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）對于實數(shù)a、b，定義一種新運算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：1?3=1A．x=5 B．x=6 C．x=7 D．x=8【答案】A【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，求出解即可．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：1x?4去分母得：1=2-x+4，解得：x=5，經(jīng)檢驗x=5是分式方程的解，故選：A【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團）模擬預(yù)測）對于實數(shù)x和y，定義一種新運算“*”：x?y=1x2+y，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：【答案】x【分析】根據(jù)新定義列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵x?y=1∴12兩邊同時乘以x+4x?4x?4=x+4+x即x2解得x1經(jīng)檢驗x1故答案為：x1【點睛】本題考查了新定義運算，解分式方程，，直接開平方法解一元二次方程，根據(jù)新定義列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數(shù)a，b，a?b=1a+1b【答案】?12【分析】根據(jù)新定義可得(x+1)?x=2x+1x2【詳解】解：∵a?b=1∴(x+1)?x=1又∵(x+1)?x=2x+1∴2x+1x∴x2∴x2∴x2∵(x+1)?x=2x+1x即∴2x+1=0，解得x=?1經(jīng)檢驗x=?12是方程故答案為：?1【點睛】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．【考點9由實際問題抽象出分式方程】【例9】（2022·遼寧阜新·中考真題）我市某區(qū)為30萬人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項工作，實際每天接種人數(shù)是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成了這項工作．設(shè)原計劃每天接種x萬人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A．30x?30C．301.2x?30【答案】A【分析】由實際接種人數(shù)與原計劃接種人數(shù)間的關(guān)系，可得出實際每天接種1.2x萬人，再結(jié)合結(jié)果提前20天完成了這項工作，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵實際每天接種人數(shù)是原計劃的1.2倍，且原計劃每天接種x萬人，∴實際每天接種1.2x萬人，又∵結(jié)果提前20天完成了這項工作，∴30故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·遼寧鞍山·中考真題）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車間同時加工，已知乙車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天．設(shè)甲車間每天加工x件產(chǎn)品，根據(jù)題意可列方程為_________．【答案】4000【分析】根據(jù)題意可得出乙車間每天加工1.5x件產(chǎn)品，再根據(jù)甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵甲車間每天加工x件產(chǎn)品，乙車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，∴乙車間每天加工1.5x件產(chǎn)品，又∵甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天，∴4000x故答案為：4000x【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·山東青島·中考真題）為落實青島市中小學(xué)生“十個一”行動計劃，學(xué)校舉辦以“強體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報名參加3000米比賽項目，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，比賽時小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，少用3分鐘跑完全程．設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為__________．【答案】3000【分析】根據(jù)比賽時小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，可得比賽時小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據(jù)比賽時所用時間比訓(xùn)練前少用3分鐘列出方程．【詳解】解：∵比賽時小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，∴比賽時小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據(jù)題意可得3000x故答案為：3000x【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·山東濰坊·中考真題）觀察我國原油進口月度走勢圖，2022年4月原油進口量比2021年4月增加267萬噸，當(dāng)月增速為6.6%（計算方法：2674036×100%≈6.6%）．2022年3月當(dāng)月增速為?14.0A．x?42714271×100%C．x?4271x×100%【答案】D【分析】根據(jù)題意列式即可．【詳解】解：設(shè)2021年3月原油進口量為x萬噸，則2022年3月原油進口量比2021年3月增加(4271-x)萬噸，依題意得：4271?xx故選：D．【點睛】本題考查了列分式方程，關(guān)鍵是找出題目蘊含的數(shù)量關(guān)系．【考點10分式方程的應(yīng)用】【例10】（2022·浙江衢州·中考真題）金師傅近期準備換車，看中了價格相同的兩款國產(chǎn)車．(1)用含a的代數(shù)式表示新能源車的每千米行駛費用．(2)若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元．①分別求出這兩款車的每千米行駛費用．②若燃油車和新能源車每年的其它費用分別為4800元和7500元．問：每年行駛里程為多少千米時，買新能源車的年費用更低？（年費用=年行駛費用+年其它費用）【答案】(1)36a(2)①燃油車的每千米行駛費用為0.6元，新能源車的每千米行駛費用為0.06元；②每年行駛里程超過5000千米時，買新能源車的年費用更低【分析】（1）利用電池電量乘以電價，再除以續(xù)航里程即可得；（2）①根據(jù)燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元建立方程，解方程可得a的值，由此即可得；②設(shè)每年行駛里程為x千米時，買新能源車的年費用更低，根據(jù)這兩款車的年費用建立不等式，解不等式即可得．【詳解】（1）解：新能源車的每千米行駛費用為60×0.6a答：新能源車的每千米行駛費用為36a（2）解：①由題意得：40×9a解得a=600，經(jīng)檢驗，a=600是所列分式方程的解，則40×9a=40×9答：燃油車的每千米行駛費用為0.6元，新能源車的每千米行駛費用為0.06元；②設(shè)每年行駛里程為x千米時，買新能源車的年費用更低，由題意得：0.6x+4800>0.06x+7500，解得x>5000，答：每年行駛里程超過5000千米時，買新能源車的年費用更低．【點睛】本題考查了列代數(shù)式、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，正確建立方程和不等式是解題關(guān)鍵．【變式10-1】（2022·山東東營·中考真題）為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售.經(jīng)了解，甲水果的進價比乙水果的進價低20%，水果店用1000元購進甲種水果比用1200元購進乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價分別為6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？(2)若水果店購進這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店應(yīng)如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)甲種水果的進價是4元/千克，乙種水果的進價是5元/千克；(2)水果店購進甲種水果100千克，乙種水果50千克時獲得最大利潤，最大利潤是350元．【分析】（1）設(shè)乙種水果的進價是x元/千克，根據(jù)“甲水果的進價比乙水果的進價低20%，水果店用1000元購進甲種水