連續時間離散時間

微FS傅里葉變換FT傅里葉級數FS傅里葉X

k30t小1=￡”產限()

X(t)=X(j3)』3td3即]=1/x//

”=<N>2n

連續時間，在時間上是離散時間，在時間上是離散時間，t

時間上是

非周期的周期的非周身

KJ

+8

1V1r1-jk(2it/N)n

F;wraX(/)=￡x網e-加

X(Jco)=|x(t)e~dtk=NL刎e

J-COn=<N>n=-8

頻率上是連續頻率，在頻率上是離散頻率，在頻率上是

連續頻率，t

的非周期的周期的

周期

FSFS

/

若:打用一與，y[n]?bfc)

FTFT

X(t)-X(/3),yOV03)疝尸y(0)

蟀3。=2折周期為N,基本頻率3O=27/N(頻率周期

4x(t)+By(t)Ax\n\^By[n]

FS

Aa+Bb

kkFT?lx[n]+By[n]^Aak+Bbk工1X(/3)+B?(J")

14X03)+

r]FS-jA30no*…oRe

x(t-t0)^eW°Y(73)

。%x[n-nQ\^eak

｝。飛)馬僅j))

-3°))

FT

J(/t)w27TX(-3)

FTFSx[-nRx(e%)

x[-n\^a_k

飛)【用=值%"霍得

rfrll_[*|n/m]若n是m整數倍

x(m)mj-(o若n不是m的整數倍

)FSFT1(ja>\

jk(aa0)tx(的一面Xa

ef

一元%(周期為mN)

FSy

x(t)y(t)一>。3)*aax[n]y[n]N[X(J3)*i

llbk-lx[n]y[n]^工ik-i

1=<N>

周期卷積：

FT

FSx(t)*y(t)tx(/?)y。?)flFSx[n]*y網—X(/3)y(e

〉*x[r]y[n-r]^Nab

lT^Takbkkk

r=<N>

2ndx(t)FTr1r.產/jkgn/N)、FT

二"日也<>

j3X(j3)x[n]-x[n-1]^[1-e)akx[n]-x[n--e

FT(lX(j3)FTdx(削

ORd3

皿d3

n

2、因

\x(t)dt

ak=-8

J—coVx[k](僅當4=。才為有限值且為周期的)------匕嬴

芻%=°才為FT1￡?11_屋"(/叼M

一儲(Js)+7rx(0)6(3)PTI

?->-----X(e/a>)+nX

的)1_ew

FTFSPT

X⑷―X’(-j3)/四一xy

a-k.=a*k

+8

E“2非周期信號帕斯瓦爾定壬

k=-oo非周期信號帕斯瓦爾定理：:E用"]|2=￡瓦|2

+8

「82ir+8n=<N>k=<N>

1總平均功率|X(t)|dt=—||X(/3)”￡1刖

LllJ

J-a>-8一個周期信號的總平均功率等于它的全部諧波分量的平均功率之和n=-827r

,波分量的平

常用傅里葉變換對

連續時間離散時間

信號傅里葉變換信號傅里葉變換

+8+8

V1水30t2a/(2n/N)n27r￡*3-穹

Zake2TT￡cikS{a)-ka)Q)

k=-8k=-8k=<N>k=-8'7

+00

jk3°l27r6(3-ka)0)j30n27r￡S(a)-%-2n7)

ee

1=-co

+8

COS30t7r[S(3—COQ)+S(6>+3。)]COS%7lJt{,(3—WQ-2TF/)+6(3+&>Q_

I=-s

+00

sina)tsin/TI

Qy[5(?-w0)-5(w+?0)]—》：{S(3-<0Q-2nl)-6(3+WQ-2加)}

I=—8

+8

127rb(3)127r￡5(3-2加)

I——co

tj2n6Q))

周期方波式t)=x(t+T)周期方皮x[n]=x[n+T]

42sin

fl，Vffl.\n\<Nx27rs-哈

￡k6(s-k%)

x(t)=Tx[n]=N

k=-oo

0.T1<\t\<-0,Njltlj

非周期方波：非周期方波：

sin卜生+今

2s\na)T1

[1.WlI,|n|</V1

x(t)=0,Tj<|t|0)x[n]=0,N<\t\

rsin(初2)

單位沖激串：

+8+co+8

+OO2n/2TTK\

S[n-kN]

建MT2鞏H

E6(”")k=-8

n=-co

sinWt\0)\<WsinWnX?=故建/繆

AUw)-(o,\a)\>W0<lV<7r

ntun

6(。1即］1

1]+8

----r~+7r2譏3-2汗k)

u(t)而+喇3）W[H]

1-ek=-8

2a

e°",Q>0

2.2

Q+3

11

eflfu(t),/?e{a}>0a7lu[n],|a|<1

Q+1-ae~^

11

te"〃(￡),RC{Q}>0(n+l)aniz[n],|a|<1

(a+Ja)2(1-aef

嚴-1_1(n+r-1)!1

------^-7-au[n],|a|<1

(n_l)!。u(t),Re{a}>0(a+j3)"n!(r-1)!1J(1-3町

rSaB

門函數：Gr（t）

三角形函數：A（。T峭

2r

7F

Saat)或⑷

c23c

雙邊拉普拉斯變換與Z變換性質

拉普拉斯變換Z變換

逆變年）=卷『二'"ds而】=焉JX⑵z"&z

換

r+8

X(s)=Jx^e^dt+OO

變換—8X⑵在2x[ri\zn

n=-co

性質信號變換收斂域ROC信號變換收斂域ROC

x(t)X(s)R中］x⑵R

X](t)X](s)%“1網々⑵

々(t)*2(s)R?々m*2⑵R;

至少用C\R至少R】n/?

線性QX](t)4-bx2(t)0Al(s)4-bX2(s)2ax1[n]+bxj^n]QX](Z)4-bX2⑵2

R（除了可能增加或

時移J9)RRn-nJzn°X{z')

去除原點或8點）

儀刎X（e%，）R

S域R的平移，即若

平移咱

670）在/?域中，z；x網ZgR

（Z域e%(t)X(s-So)

尺度則S就位于收斂域R的比例伸縮，即在

變換中alx[n]X（Q-、）|。|兄=在/?中Z的這

些｛同哥點的集合

時域x(at)R/a,即若s/唯RH-川5）R[

-----------

l?l\a

尺度中，則s就位于收x[r]n=rk

X(m]=rX(Z>*

變換斂域中0,n*rk

共桅X，0)RX'(z?)R

至少用至少】

卷積X1(s)X2(s)C\R2七四*々網X](Z*2(Z)An/?2

時域dx(t)

sX(s)至少Rx[n]-x\n-1](l-zpx⑵至少用nUz|>0}

微分dt

S域dX(s)dX⑵

-tx(t)Rnx[n]ZR

微分ds~dz

n

時域f*(T)dTX(s)至少1

￡一戶⑵至少用n{0>1}

“-oo/?1n{Re(s}>0}

積分sk=-8

若1<0,式￡)=0且在1=0不包括任何沖激或高級奇異函數，僅有初值定理：若n<°時刖]=0,則:

初值

則：x[0]=limX(z)

及終Z-?QO

x(0+)=limsX(s)

值定S-*co

理limx(t)=limsX(s)

t-?ooS-?0

基本函數的（雙邊）拉普拉斯變換和（雙邊）z變換

拉普拉斯變換z變換

信號變換收斂域信號變換收斂域

6。）1個部sS[n]1全部z

11

u(t)Re[s}>0w[?]|Z|>1

?1-z-1

11

-u(-t)Re{s}<0-iz[-n-1]|Z|<1

s1-z-1

tnT11

Re{s}>0a7,u[n]|z|>|a|

(n-l)N)nd-1

S1-az

11

Re{s]<0-anu[-n-1]|z|<|a|

■(n-l)!U(-t)n1-1

S1-az

—1

1az

eafu(t)Re[s}>-anau[n]|z|>|a|

s+a

az~1

1

-e"%(-￡)/?e{s}<-a-naru[-n-1]|z|<|a|

S+Q(I-*

tnT1

Re[s}>-a

(S+a)"

產-11

_(n-l)!e，<(-0Re{s}<-a

(S+a)"

全部z,除去0（若

5(t-T)^-sT6[n-m]，n

e全部sZ-m>0）,或8（若

m<0）

1-[cos6)]z1

s0

[cosa)ot]u(t)Re{s}>0[cosco0n]u[n]|z|>1

2,212

s+%1-(2cos6)0]z4-z-

1

心[sinwjz-

[sino)0t]u(t)Re{s}>0[sina)on]u[n]|Z|>1

2,212

s+%1-[2cos6>0]z+z

1-[rcosa)]z1

S+Q0

[e%osa)t]u(t)

QRe[s}>-a卜”cosa)on]i/[n]|z|>r

(s+a)2+122

說1-[2rcos6>0]z4-rz~

[rsina)]z1

%0

[e-atsina)t]u(t)[rnsinco7i]u[n]

oRe[s}>-a0\A>r

(s+a)2+%122

1-[2rcosa)0]z+rz

,、d"6(t)

"和=出sn全部s

1

u.?(t)=u(t)*-*u(t)Re[s}>0

n

S

拉普拉斯變換與Z變換的收斂域、因果性、穩定性

收斂域ROC：對于S來說，使得的傅里葉變換收斂；或者x（t）的拉普拉斯變換收斂！

因果性：如果一個系統在任何時刻的輸出只取決于現在的輸入及過去的輸入，該系統稱因果系統。

穩定性：若輸入是有界的，則系統的輸出也必須是有界的（輸出不能發散）。

性質拉普拉斯變換z變換

性質1X（S）的收斂域是在S平面內由平行于軸的帶狀區域組成。X（z）的收斂域是在z平面內以原點為中心的圓環。

對有理拉普拉斯變換來說，收斂域不包括任何極點。（因為在

性質2收斂域內不包含任何極點。（因為在極點處，X（z）為無限大）

極點處，X（s）為無限大，顯然不收斂）

如果x（t）是有限持續期，并且是絕對可積的，那么收斂域就

是整個S平面。（x（t）有限可積，又因為為一固定常數，則如果劉川是有限長序列，那么收斂域就是整個z平面可能除去

性質3

z=°和/或z=8。

“（《院戊必定可積）

如果x?）是右邊信號，并且Re{s}=°噠條線位于收斂域內，

如果xWI是一個右邊序列，并且⑶=的圓位于收斂域內，

那么Re{s}的全部$值都一定在收斂域內。（x（t）為右邊信

性質4那么⑶的全部有限,值都一定在這個收斂域內。（科可是

號則收斂域必定包含直線Re{s}=。。的右半平面，或者用定義

右邊序列，則收斂域必定包含⑶=%的圓外區域）

式求證）

如果x?）是左邊信號，并且Re{s}=。必條線位于收斂域內，如果"Ml是一個左邊序列，并