-2024學年高三下學期數學開學考試卷數學試題試卷考試時間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）單項選擇題（每小題5分，共40分）1．某人設計的一個密碼由2個英文字母（不分大小寫）后接2個數字組成，且2個英文字母不相同，2個數字也互不相同，則該密碼可能的個數是（

）A． B．C． D．2．已知等比數列的前項和為，若，，則數列的公比（

）A． B． C． D．3．設集合，，則（

）A． B．C． D．4．已知設，則，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函數，若存在四個互不相等的實數根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．函數的定義域為（

）A． B． C． D．8．某校抽取名學生做體能測認，其中百米測試中，成績全部介于秒與秒之間，將測試結果分成五組：第一組，第二組，，第五組．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績低于即為優秀，如果優秀的人數為人，則的估計值是（）A． B． C． D．二．多項選擇題（每小題5分，共20分，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9．已知，，則（

）A． B．C． D．10．若復數，則下列說法正確的是（

）A．在復平面內對應的點在第四象限 B．的虛部為C． D．的共軛復數11．如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（

）

A．B．點E到直線的距離為C．直線與平面所成的角的正弦值為D．點到平面的距離為12．下列選項中，與的值相等的是（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．設，則.14．已知在R上是奇函數，且滿足，當時，，則.15．從3名男醫生和6名女醫生中選出5人組成一個醫療小組．如果這個小組中男女醫生都不能少于2人則不同的建組方案共有種．16．已知，，則四、解答題（共6小題，共計70分.第17題10分，第1822題，每題12分）17．（1）已知圓經過，兩點，且被直線截得的線段長為．求圓的方程．（2）已知點和圓，過點的動直線與圓交于，兩點，求線段的中點的軌跡方程．18．函數的部分圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）若，且，求.19．已知函數．(1)若，求的值；(2)若對任意，總存在使得成立，求的取值范圍．20．某學校從4名男生和3名女生中任選3人作為志愿者．（1）求所選的3人中至少有2名男生的概率；（2）設隨機變量表示所選3人中女生的人數，求的分布列及數學期望．21．已知函數，．（1）若函數在區間內的單調遞增，求的取值范圍；（2）證明：對任意，22．已知，函數．(1)討論的單調性；(2)設表示不超過x的最大整數，證明：，．參考答案1．C【分析】由分步計數原理，把選擇26個不同英文字母的排列數與選擇2個不同數字的排列數相乘即可.【詳解】因為英文字母有26個，所以2個不同英文字母的排列有種，因為數字有10個，所以2個不同數字的排列有種，由分步計數原理，所以該密碼可能的個數是.故選：C2．C【解析】用和表示出已知條件后可解得．【詳解】由已知，則，解得．故選：C．3．D【分析】根據交集的定義由條件求.【詳解】∵，，∴

，故選：D.4．A【分析】先求得復數實部與虛部的關系，再去求的最小值即可解決.【詳解】由，可得，可令，則（為銳角，且）由，可得則的最小值為3.故選：A5．D【分析】由題可得和各有兩個解，利用數形結合即得.【詳解】令，則，由題意，有兩個不同的解，有兩個不相等的實根，由圖可知，得或，所以和各有兩個解，要使和各有兩個解，必須滿足，由，則，由圖可知，當時，有兩個解(一解為，一解為3)，當時，有三個解(為，3)，當時，有兩個解(為)，所以，存在四個互不相等的實數根，實數的取值范圍是.故選：D．6．A【解析】利用三角函數、指數函數、對數函數的單調性直接求解．【詳解】解：，，，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查三個數的大小的判斷，考查三角函數、指數函數、對數函數的單調性等基礎知識，解答的關鍵時利用函數的性質比較其與中間值的大小，即可判斷．7．C【分析】由題可得，即得.【詳解】由題意得，解得，所以所求函數的定義域為.故選：C.8．B【分析】利用左邊的矩形面積之和為列等式可求得實數的值.【詳解】優秀人數所占的頻率為，測試結果位于的頻率為，測試結果位于的頻率為，所以，，由題意可得，解得.故選：B.9．BC【分析】根據得到，計算，再利用二倍角公式得到和，對比選項得到答案.【詳解】，則，，故，，，，得到，A錯誤；，得到，C正確；，B正確；，D錯誤.故選：BC.10．AD【分析】利用復數的幾何意義判斷A；求出復數的虛部判斷B；求出復數的平方判斷C；求出共軛復數判斷D作答.【詳解】對于A，復數在復平面內對應的點在第四象限，A正確；對于B，的虛部為，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，的共軛復數，D正確.故選：AD11．AC【分析】以點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法逐一判斷分析各個選項即可.【詳解】如圖以點為原點，建立空間直角坐標系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；設平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.

12．ABC【分析】先求出，根據誘導公式及二倍角公式化簡求值判斷A，根據兩角差的正弦公式化簡求值判斷B，根據兩角和的正切公式化簡求值判斷C，根據誘導公式化簡判斷D.【詳解】，A選項：，故A對；B選項：，故B對；C選項：，故C對；D選項：，故D錯.故選：ABC13．2020【詳解】解析：注意到，故，所以.故答案為：2020.14．【分析】結合函數的周期性和奇偶性求得正確答案.【詳解】，所以是周期為的奇函數，所以.故答案為：15．75【分析】分兩種情況：一種是3名男醫生2名女醫生，另一種是2名男醫生3名女醫生，利用分類計數原理求解即可【詳解】解：由題意可知有兩種情況：一種是選3名男醫生2名女醫生，有種，另一種是選2名男醫生3名女醫生，有，所以由分類計數原理可得共有種建組方案，故答案為：7516．或【分析】先求，值，再代入即得結果【詳解】，所以，，解得，，所以，即為或.故答案為：或.17．（1）或．（2）．【分析】（1）設圓方程為，代入，，利用圓被直線截得的線段長為，即可求圓的方程．（2）設點，圓的圓心坐標為，由題意當且可得，即可得到方程，整理可得．【詳解】解：（1）設圓方程為．因為點，在圓上，代入可得，，又由已知，聯立，解得，由韋達定理知，．所以即．即．則，或，．則所求圓方程為：或．（2）設點，若，此時，即，若，則，即，圓，即，所以圓心坐標為．若且，則，即，整理得，即，顯然和也滿足所以點的軌跡方程為．18．（1）（2）【分析】（1）根據五點作圖法和圖象，求正弦型函數的解析式.（2）利用兩角和與差公式求解.【詳解】解：（1）由圖像可知,則，代入點，得，得，由，得，故.（2）由題意知,得，由，則，則，.【點睛】本題考查了由函數的圖象求正弦型函數的解析式，利用兩角和差公式求值及角變換技巧.19．(1)(2)【分析】（1）根據分段函數解析式，結合指數運算，將自變量代入求值即可；（2）將問題化為在上值域是在上值域的子集，討論參數m，結合指對數函數、分式型函數的性質求函數值域，進而確定參數范圍.【詳解】（1）由題設，則，所以.（2）若在上的值域為，在上的值域為，由題意知：，即是的子集，而，且僅當時等號成立，則在上，當時，；當時，；當時，；對于的值域：當時，由指數函數的性質恒成立，不是的子集，不合題意；時，，則，故；時，，只需，即，移項得：，由在上為單調增函數，故；綜上，.20．（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）記“所選3人至少有2名男生”事件為A，利用組合分別求出事件總的個數和事件A所包含的基本事件的個數，利用古典概型的概率公式即可求解；（2）先分別求出X=0,X=1,X=2,X=3的概率，寫出分布列，即可求出數學期望.【詳解】（1）記“所選3人至少有2名男生”事件為A，從4名男生和3名女生中選3人，總選法為：，至少2名男生即2名男生或3名男生：所造3人中至少有2名男生概率為．（2）的所有可能取值為：0，1，2，3…，∴的分布列：0123.21．（1）；（2）證明見解析.【分析】(1)對求導得，對的取值分類討論即可.(2)由(1)可得，即，結合，可得，由不等式的放縮法可得，進而得出結果.【詳解】（1）因為，所以．因為，所以，則．（ⅰ）當時，則，，∴，即此時在上單增．∴符合題意．（ⅱ）當時，此時，在上單減．∴要使在上單增，只需要對恒成立，即只需要恒成立即可，∴，∴．綜上可知，當時，函數在上單調遞增．（2）由（1）知，當時，，即，所以．令，所以，從而，所以，首先，當時，，所以；其次，因為，所以，所以．故可得到對恒成立．【點睛】(1)導函數中常用的轉化方法：利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；(2)函數中與正整數有關的不等式，其實質是利用函數性質證明數列不等式，證明此類問題時常根據已知的函數不等式，用關于正整數n的不等式替代函數不等式中的自變量，通過多次求和達到證明的目的.22．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）對求導，分和，討論導函數的符號，即可得出函數的單調性.（2）當時，由（1）可知，，由此可得，由裂項相消法結合題意放縮可證明，即可證明.【詳解】（1）因為，，所以．當時，恒成立，故在上單調遞減．當時，由，解得，則在上單調遞減，在上單調遞增．（2）證明：當時，由（1）可知，，即，當且僅當時，等號成立，則，則，則．又，所以，故，