年周口市川匯區九年級中考數學一模試題卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．1.﹣2的相反數是（）A.2 B. C. D.﹣22.2021年河南省國民經濟和社會發展統計公報顯示，全省全年地區生產總值約為5.89萬億元，數據“5.89萬億”用科學記數法表示為（）A.5.89×1013 B.5.89×1012 C.5.89×1011 D.5.89×10103.如圖，將六個小正方體按圖示擺放，若移去一個有標號的小正方體，其主視圖和俯視圖都發生改變，這個小正方體的標號是（）A.① B.② C.③ D.④4.下列計算正確的是（）A.B.2a3?3a2＝6a6C.a2+a3＝a5D.335.如圖，一副直角三角板如圖所示擺放，∠A＝30°，∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°．頂點D在AC邊上，且EF∥AB，則∠CDF的度數是（）A10° B.15° C.20° D.25°6.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是（）A.對邊相等B.對角相等C.對角線相等D.對角線互相平分7.關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的值可能是（）A.8 B.9 C.10 D.118.北京舉辦冬奧會期間，小華同學計劃從喜歡的“滑雪、滑冰、冰球”三個項目中選擇兩項收看，于是用紙條分別寫了這三個項目，然后揉成紙團，從中隨機抽取兩個，則這兩個紙團恰好是“滑雪”和“冰球”的概率是（）A. B. C. D.9.如圖，正方形ABCD的頂點B在原點，點D的坐標為（4，4），將AB繞點A逆時針旋轉60°，使點B落在點B′處，DE⊥BB′于點E，則點E的坐標為（）

A. B.C. D.10.如圖，在?ABCD中，點P沿A→B→C方向從點A移動到點C，設點P移動路程為x，線段AP長為y，圖2是點P運動時y隨x變化的關系圖象，則BC的長為（）A.4 B.4.8 C.5 D.10二、填空題（每小題3分，共15分）11.若代數式有意義，則實數x的取值范圍是_____12.某生活區有600戶居民，小華隨機選取部分居民進行節約用水情況調查，把用戶數與當月節水量（噸）的關系制成折線統計圖如圖所示．估計該生活區當月節約用水量為_____噸．13.如圖，已知P是函數y1圖象上的動點，當點P在x軸上方時，作PH⊥x軸于點H，連接PO．小華用幾何畫板軟件對PO，PH的數量關系進行了探討，發現PO﹣PH是個定值，則這個定值為_____．14.如圖，扇形OAB的圓心角∠AOB＝60°，將扇形OAB沿射線AO平移得到扇形O′A′B′，與OB交于點C，若OA＝2，O'O＝2，則陰影部分的面積為_____．15.如圖，已知在△ABC中，，，，點E為AB的中點，D為BC邊上的一動點，把△ACD沿AD折疊，點C落在點F處，當△AEF為直角三角形時，CD的長為__________．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16.（1）計算：；（2）化簡：．17.某校舉行了以“一起向未來”為主題的北京冬奧運動會知識競賽活動（百分制），七年級小華和八年級小明分別對各自年級競賽成績進行了抽樣調查．選擇樣本，收集數據：從兩個年級各自隨機抽取20名學生，成績如下：七年級85，79，89，83，89，98，68，89，79，59，93，87，85，89，97，86，89，90，89，77．分組整理，描述數據：八年級抽樣成績的分組與七年級相同，以下是七年級抽樣統計表和八年級抽樣直方圖．七年級抽樣統計表組別分組人數A50≤x≤591B60≤x≤691C70≤x≤793D80≤x≤89E90≤x≤1004八年級抽樣直方圖

分析數據，推斷結論：兩個年級抽樣分數的平均分、方差、眾數、中位數和優秀率（成績90分及以上為優秀）如表．平均分方差眾數中位數優秀率七年級8580.4a8820%八年級851929391.555%根據以上信息回答問題：（1）請將統計表和直方圖補充完整，并求出數據分析表中a的值；（2）小華和小明都認為八年級的整體成績較好，請你從至少兩個方面說明其合理性．19.如圖，正方形ABCD邊AB在x軸上，點D的坐標為（2，2），點M是AD的中點，反比例函數y的圖象經過點M，交BC于點N．（1）求反比例函數的表達式；（2）若點P是x軸上的一個動點，求PM+PN的最小值．21.如圖，一臺吊機的基座為AB．起吊一物體時，吊臂AC的仰角為α，在豎直方向上，將吊臂末端C提升到點D，使CD＝h，此時吊臂AD的仰角為β．設豎直線CD交地平線于點E，交A點的水平線于點F，AF＝a．

（1）請用含有h，α，β的式子表示a；（2）若α＝43°，β＝60°，h＝4米，求a及吊臂AC需要再延伸長度．（精確到0.1米．參考數據：1.73，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）23.如圖，我市中原路沙潁河大橋采用下承式圓弧拱形結構，夜晚在霓虹燈下，展現出“一輪明月照古城”的美麗景象．設圓弧的端點為A，B，圓弧的圓心為O，橋面看作是直線AB，半徑OC⊥AB于點H．從點A測得點C和圓弧上一點D的張角∠DAC＝α，在直線AB的點E處測得點D的仰角為∠DEB＝2α．連接OB，OE．（1）求證：DE是⊙O切線；（2）若AB＝400，BE＝50，求OE2﹣OB2的值和DE的長．25.在A、B兩地間的一條540km的公路上，甲車從A地勻速開往B地，乙車從B地勻速開往A地，兩車同時出發，分別到達目的地后停止．設甲車距A地的路程為y1（km），乙車距A地的路程為y2（km），兩車行駛的時間為x（h），y1，y2關于x的函數圖象如圖所示．（1）填空：y1＝；y2＝；（2）設甲、乙兩車之間的路程為y（km），求y關于x的函數解析式；（3）兩車之間的路程不大于450km的時間有多長？27.如圖，拋物線y＝x2+bx與直線y＝kx+2相交于點A（﹣2，0）和點B．（1）求b和k的值；（2）求點B的坐標，并結合圖象寫出不等式kx+2＞x2+bx的解集；（3）點M是直線AB上的一個動點，將點M向下平移2個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線有公共點，請直接寫出點M的橫坐標m的取值范圍．29.下面是某數學興趣小組探究問題的片段，請仔細閱讀，并完成任務．題目背景：在中，，，點在上．（1）作圖探討：在外側，以為邊作；小明：如圖1，分別以，為圓心，以，為半徑畫弧交于點，連接，．則即為所求作的三角形．小軍：如圖2，分別過，作，的垂線，兩條垂線相交于點，則即為所求作的三角形．選擇填空：小明得出的依據是，小軍得出的依據是；（填序號）①②③④（2）測量發現：如圖3，在（1）中的條件下，連接．興趣小組用幾何畫板測量發現和的面積相等．為了證明這個發現，嘗試延長線段至點，使，連接．請你完成證明過程．（3）遷移應用：如圖4，已知，，點在上，，，若在射線上存在點，使，請直接寫出相應的的長．2022年河南省周口市川匯區中考數學一模試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．1.﹣2的相反數是（）A.2 B. C. D.﹣2【1題答案】【答案】A【解析】【分析】根據相反數的概念求解即可．【詳解】解：﹣2的相反數是2，故選：A．【點睛】本題考查相反數，只有符號不同的兩個數互為相反數，特別地，0的相反數是0．2.2021年河南省國民經濟和社會發展統計公報顯示，全省全年地區生產總值約為5.89萬億元，數據“5.89萬億”用科學記數法表示為（）A.5.89×1013 B.5.89×1012 C.5.89×1011 D.5.89×1010【2題答案】【答案】B【解析】【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【詳解】解：5.89萬億=58900億=5890000000000=5.89．

故選：B．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．3.如圖，將六個小正方體按圖示擺放，若移去一個有標號的小正方體，其主視圖和俯視圖都發生改變，這個小正方體的標號是（）A.① B.② C.③ D.④【3題答案】【答案】C【解析】【分析】根據三視圖的定義逐一判斷即可．【詳解】解：當移去①時，主視圖改變，俯視圖不變，故A不符合題意；當移去②時，主視圖不變，俯視圖改變，故B不符合題意；當移去③時，主視圖和俯視圖都改變，故C符合題意；當移去④時，主視圖改變，俯視圖不變，故D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了三視圖，會正確判斷相應情況下的三視圖是解題的關鍵．4.下列計算正確的是（）A. B.2a3?3a2＝6a6C.a2+a3＝a5 D.33【4題答案】【答案】A【解析】【分析】根據實數的運算法則、整式的運算法則判斷即可；【詳解】，故A符合題意；2a3?3a2＝6a5≠6a6，故B不符合題意；a2+a3≠a5，故C不符合題意；32≠3，故D不符合題意；故選:A【點睛】本題主要考查實數的運算、整式的運算，掌握相關的運算法則是解題的關鍵．5.如圖，一副直角三角板如圖所示擺放，∠A＝30°，∠E＝45°，∠C＝∠FDE＝90°．頂點D在AC邊上，且EF∥AB，則∠CDF的度數是（）A.10° B.15° C.20° D.25°【5題答案】【答案】B【解析】【分析】延長ED交AB于G，利用平行線的性質求得∠AGD=∠E=45°，不規則利用三角形內角和定理與對頂角性質求出∠EDC=105°，即可由∠CDF=∠EDC-∠FDE求解．【詳解】解：延長ED交AB于G，如圖，∵EFAB，∴∠AGD=∠E=45°，∴∠ADG=180°-∠A-∠AGD=180°-30°-45°=105°，∴∠EDC=∠ADG=105°，∴∠CDF=∠EDC-∠FDE=105°-90°=15°，故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質，三角形內角和定理，對頂角性質，作輔助線，利用平行線的性質求解是解題的關鍵．6.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是（）A.對邊相等 B.對角相等C.對角線相等 D.對角線互相平分【6題答案】【答案】C【解析】【分析】根據矩形和平行四邊形的性質進行解答即可．【詳解】矩形的對角線互相平分且相等，而平行四邊形的對角線互相平分，不一定相等．故選C．【點睛】本題考查矩形的性質，矩形具有平行四邊形的性質，又具有自己的特性，要注意運用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質．如：矩形的對角線相等；四個角都是直角等．7.關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m的值可能是（）A.8 B.9 C.10 D.11【7題答案】【答案】A【解析】【分析】先根據判別式＞0，求出m的范圍，進而即可得到答案．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：m＜9，m的值可能是：8．故選：A.【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式與根的情況的關系，掌握一元二次方程有兩個不等的實數解，則，是解題的關鍵．8.北京舉辦冬奧會期間，小華同學計劃從喜歡的“滑雪、滑冰、冰球”三個項目中選擇兩項收看，于是用紙條分別寫了這三個項目，然后揉成紙團，從中隨機抽取兩個，則這兩個紙團恰好是“滑雪”和“冰球”的概率是（）A. B. C. D.【8題答案】【答案】D【解析】【分析】根據概率公式計算即可求解．【詳解】解：共三個紙團，從中隨機抽取兩個，共有3種情況，抽取“滑雪”和“冰球”1次，P（抽取“滑雪”和“冰球”）=，故選：D．【點睛】本題考查了隨機事件的概率，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．9.如圖，正方形ABCD的頂點B在原點，點D的坐標為（4，4），將AB繞點A逆時針旋轉60°，使點B落在點B′處，DE⊥BB′于點E，則點E的坐標為（）

A. B.C. D.【9題答案】【答案】D【解析】【分析】分別延長AD和BE交于點F，過點E作EG⊥x軸于點G，利用特殊角的三角函數求出BF、EF的長，進而求出BE，再利用特殊角的三角函數求出EG、BG的長即可得解.【詳解】解：分別延長AD和BE交于點F，過點E作EG⊥x軸于點G，∵四邊形ABCD是正方形，點D的坐標為（4，4），∴∠BAD=∠ABC=90o，AB=AD=4，∵AB繞點A逆時針旋轉60°，點B落在點B′處，∴△ABB′是等邊三角形，∴∠ABB′=60o，∠EBC=30o，∴∠F=30o，∴BF=2AB=8，AF=BF·sin60o=，∴DF=AF-AD=-4，∵DE⊥BB′于點E，∴EF=DF·cos30o=，∴BE=BF-EF=2+，∴EG=BE·sin30o=，BG=BE·cos30o=，∴點E的坐標為故選：D【點睛】本題主要考查正方形、等邊三角形、旋轉的性質以及解三角形，根據旋轉的性質判斷△ABB′是等邊三角形以及特殊角的三角函數的應用是解題的關鍵.10.如圖，在?ABCD中，點P沿A→B→C方向從點A移動到點C，設點P移動路程為x，線段AP的長為y，圖2是點P運動時y隨x變化的關系圖象，則BC的長為（）A.4 B.4.8 C.5 D.10【10題答案】【答案】C【解析】【分析】根據平行四邊形的性質，再結合P運動時y隨x變化的關系圖象，通過勾股定理及可求解；【詳解】如下圖，根據圖2可知，當P到達B點時AP=AB=3，當AP⊥BC時，AB+BP=4.8，∴BP=BE=1.8，∴，當到達點C時，AP=AC=4，∴，∴BC=BE+EC=1.8+=5．故選：C．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質、勾股定理，掌握平行四邊形的性質，根據點P運動的規律，結合關系圖解題是關鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11.若代數式有意義，則實數x的取值范圍是_____【11題答案】【答案】x≥1【解析】【分析】根據二次根式有意義的條件可得：x-1≥0，即可求得．【詳解】解：∵代數式有意義∴x-1≥0，∴x≥1．故答案為：x≥1．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．12.某生活區有600戶居民，小華隨機選取部分居民進行節約用水情況調查，把用戶數與當月節水量（噸）的關系制成折線統計圖如圖所示．估計該生活區當月節約用水量為_____噸．【12題答案】【答案】575【解析】【分析】根據折線統計圖求出抽查部分用戶的平均數，即可求解；【詳解】解：由折線統計圖可求該12名抽查用戶節約用水量的平均數為：∴該生活區當月節約用水量為噸故答案為：575【點睛】本題主要考查了平均數的概念、樣本估計總量，掌握平均數的求解方法是解題的關鍵．13.如圖，已知P是函數y1圖象上的動點，當點P在x軸上方時，作PH⊥x軸于點H，連接PO．小華用幾何畫板軟件對PO，PH的數量關系進行了探討，發現PO﹣PH是個定值，則這個定值為_____．

【13題答案】【答案】2【解析】【分析】設p(x，x2-1)，則OH=|x|，PH=|x2-1|，因點P在x軸上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．【詳解】解：設p(x，x2-1)，則OH=|x|，PH=|x2-1|，當點P在x軸上方時，∴x2-1>0,∴PH=|x2-1|=x2-1，在Rt△OHP中，由勾股定理，得OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，∴OP=x2+1，∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，利用坐標求線段長度是解題的關鍵．14.如圖，扇形OAB的圓心角∠AOB＝60°，將扇形OAB沿射線AO平移得到扇形O′A′B′，與OB交于點C，若OA＝2，O'O＝2，則陰影部分的面積為_____．【14題答案】【答案】##【解析】【分析】作CE⊥OA，連接，根據圓的性質即勾股定理求解出CE、OE的值，根據三角函數可得到，從而分解求，即可的陰影部分的面積；【詳解】如圖，作CE⊥OA，連接∵∴設∵∴∴即，解得（舍去）∴∵∴∴∵陰影部分的面積等于∴陰影部分的面積為：故答案為：【點睛】本題主要考查扇形面積的求解、圓的性質、特殊三角函數值、勾股定理，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．15.如圖，已知在△ABC中，，，，點E為AB的中點，D為BC邊上的一動點，把△ACD沿AD折疊，點C落在點F處，當△AEF為直角三角形時，CD的長為__________．【15題答案】【答案】2或【解析】【分析】本題以三角形為基礎，考查內容包含中點的用法，可立刻推邊等；動點圖形翻折問題，可得到角等以及邊等，解答本題需以題目要求直角三角形為前提，采取分類討論方法，通過構造輔助線、假設未知數并結合勾股定理求解．【詳解】（1）當∠AFE=90°時作EM⊥BC垂足為M.，作AN⊥ME于N，如下圖所示：∵∠C=∠EMB=90°∴EM∥AC∴∠C=∠CMN=∠N=90°∴四邊形ACMN是矩形∵AC=CM=2∴四邊形ACMN是正方形在RT△ABC中，∵AC=2,BC=4∴AB=，AE=在RT△AFE中，∵AE=，AF=AC=2∴FE=1設CD=FD=x，在RT△EDM中，∵DE=1+x，EM=1，DM=2-x∴∴CD=（2）當∠AFE=90°時，如下圖所示∵∠AFD=90°∴F,E,D三點共線在RT△AFE中，∵AE=，AF=AC=2∴EF=1又∵DE=1∴EF=ED又∵EA=EB，∠AEF=∠BED所以△AFE△BDE(SAS)∴∠BDE=∠AFE=90°故四邊形AFCD是矩形又∵AF=AC所以四邊形AFCD是正方形∴CD=AC=2【點睛】本題主要考查動點翻折問題，需要著重注意分類討論，思考要全面，求解過程嘗試利用割補法將圖形補成常見模型以便求解．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16.（1）計算：；（2）化簡：．【16題答案】【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據二次根式的性質、負指數冪、乘方先化簡，再加減即可；（2）先把括號內通分，再把除法化為乘法，然后因式分解，進行約分即可．【詳解】解：（1）原式=；（2）原式=【點睛】本題考查了二次根式的性質、負指數冪的運算，分式的化簡，掌握二次根式的性質、負指數冪的法則及分式化簡的方法是解題的關鍵．17.某校舉行了以“一起向未來”為主題的北京冬奧運動會知識競賽活動（百分制），七年級小華和八年級小明分別對各自年級競賽成績進行了抽樣調查．選擇樣本，收集數據：從兩個年級各自隨機抽取20名學生，成績如下：七年級85，79，89，83，89，98，68，89，79，59，93，87，85，89，97，86，89，90，89，77．分組整理，描述數據：八年級抽樣成績的分組與七年級相同，以下是七年級抽樣統計表和八年級抽樣直方圖．七年級抽樣統計表組別分組人數A50≤x≤591B60≤x≤691C70≤x≤793D80≤x≤89E90≤x≤1004八年級抽樣直方圖

分析數據，推斷結論：兩個年級抽樣分數的平均分、方差、眾數、中位數和優秀率（成績90分及以上為優秀）如表．平均分方差眾數中位數優秀率七年級8580.4a8820%八年級851929391.555%根據以上信息回答問題：（1）請將統計表和直方圖補充完整，并求出數據分析表中a的值；（2）小華和小明都認為八年級的整體成績較好，請你從至少兩個方面說明其合理性．【17題答案】【答案】（1）11，圖見解析，a=89（2）八年級中位和眾數都比七年級的高去說明即可．【解析】【分析】（1）根據統計表，用總人數減去A、B、C、E組人數，就可得出七年級D組人數；根據直方圖，用總人數減去A、B、C、E組人數，就可得出八年級D組人數，再由D組人數補全直方圖即可；由眾數概念求出七年級成績的眾數即可求和a值．（2）根據兩個年級的平均成績一樣，比較兩年級成績的中位和眾數，即可得出結論．【小問1詳解】解：七年級D組的人數為：20-1-1-3-4=11（人），因為七年級成績為89的人數最多，有6人，所以眾數為89,故a=89，八年級D組人數為：20-2-1-2-11=4（人），補充直方圖如下：

【小問2詳解】解：兩個年級的平均成績一樣，但八年級中位和眾數都比七年級的高，所以八年級的整體成績較好．【點睛】本題考查統計表，頻數直方圖，平均數，方差，中眾數，眾數等統計知識．掌握從統計表、直方圖獲取信息，中位數，眾數的意義是解題的關鍵．19.如圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點D的坐標為（2，2），點M是AD的中點，反比例函數y的圖象經過點M，交BC于點N．（1）求反比例函數的表達式；（2）若點P是x軸上的一個動點，求PM+PN的最小值．【19題答案】【答案】（1）y=；（2）【解析】【分析】（1）先確定點M的坐標，再把點M點的坐標代入中，求出k得到反比例函數解析式；（2）先畫出圖形，再根據兩點間的距離公式求解即可．【小問1詳解】∵點D坐標為（2，2），∴OA=2，AD=2，

∵M是AD的中點，∴點M的坐標是（2，1），

把點M（2，1）代入，得k=2×1=2，∴反比例函數解析式為y=；【小問2詳解】∵正方形ABCD，點D坐標為（2，2），∴AB=BC=2，∵點N在上，OA=2，∴點N的橫坐標為2+2=4，代入，得y=，∴N(4，)，作點M關于x軸的對稱點M＇（2，-1），連接M＇N，則點P在M＇N與x軸的交點處時，PM＋PN的值最小，如圖，理由如下；∵點M與點M＇（2，-1）關于x軸的對稱，∴PM＝PM＇，根據“兩點之間，線段最短”可知：當點P在M＇N與x軸的交點處時，PM＇＋PN的值最小，從而PM＋PN的值最小，此時，M＇N＝，∴PM＋PN的最小值為．【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式及最短路徑問題，解題的關鍵是正確畫出圖形．21.如圖，一臺吊機的基座為AB．起吊一物體時，吊臂AC的仰角為α，在豎直方向上，將吊臂末端C提升到點D，使CD＝h，此時吊臂AD的仰角為β．設豎直線CD交地平線于點E，交A點的水平線于點F，AF＝a．

（1）請用含有h，α，β的式子表示a；（2）若α＝43°，β＝60°，h＝4米，求a及吊臂AC需要再延伸的長度．（精確到0.1米．參考數據：1.73，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）【21題答案】【答案】（1）a=；（2）a=5米，3.2米【解析】【分析】（1）在Rt△AFD中，tanβ=，所以CF=atanβ-h，在Rt△ACF中，tanα=，所以CF=atanα，則atanβ-h=atanα，即可求解；（2）由（1）知，a=，代入可求出a=5米，再由cosα=，可求出AC長，由cosβ=，可求出AD長，即可由AD-AC求解．【小問1詳解】解：由題意，得AF⊥CE，則∠AFC=90°，在Rt△AFD中，tanβ=，∴CF=atanβ-h，在Rt△ACF中，tanα=，∴CF=atanα，∴atanβ-h=atanα，∴a=；【小問2詳解】解：由（1）知：a=，∵α=43°，β=60°，tan43°≈0.93，h=4，∴a==5（米）∵cosα=，∴AC=（米），∵cosβ=，∴AD=，∴吊臂AC需要再延伸的長度為：AD-AC=10-6.85=3.15≈3.2（米），答：a=5，吊臂AC需要再延伸的長度約為3.2米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的相關知識是解題的關鍵．23.如圖，我市中原路沙潁河大橋采用下承式圓弧拱形結構，夜晚在霓虹燈下，展現出“一輪明月照古城”的美麗景象．設圓弧的端點為A，B，圓弧的圓心為O，橋面看作是直線AB，半徑OC⊥AB于點H．從點A測得點C和圓弧上一點D的張角∠DAC＝α，在直線AB的點E處測得點D的仰角為∠DEB＝2α．連接OB，OE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝400，BE＝50，求OE2﹣OB2的值和DE的長．【23題答案】【答案】（1）證明見解析（2）22500，150.【解析】【分析】（1）連接OD，根據已知條件得到，從而證明，即可得到答案；（2）利用垂徑定理得到，再在Rt△OEH與Rt△OBH中，分別利用勾股定理得到與，最后利用等量代換得到即可得到答案．【小問1詳解】證明：連接DO交AB于點F，如圖，∵，∴，∵∠DEB＝2α，∴，又∵OC⊥AB，∴，∴，∴，∴，∴DE是⊙O的切線．【小問2詳解】解：∵OC⊥AB，∴，∴HE=200+50=250，在Rt△OEH中，，在Rt△OBH中，，∴=；在Rt△ODE中，，∵OD=OB=r∴，∴DE=150．【點睛】本題考查了圓的相關知識，是綜合大題，主要考查了垂徑定理，切線的判定以及勾股定理，熟練掌握定理內容和判定方法是解題的關鍵．25.在A、B兩地間的一條540km的公路上，甲車從A地勻速開往B地，乙車從B地勻速開往A地，兩車同時出發，分別到達目的地后停止．設甲車距A地的路程為y1（km），乙車距A地的路程為y2（km），兩車行駛的時間為x（h），y1，y2關于x的函數圖象如圖所示．（1）填空：y1＝；y2＝；（2）設甲、乙兩車之間的路程為y（km），求y關于x的函數解析式；（3）兩車之間的路程不大于450km的時間有多長？【25題答案】【答案】（1）90x（0≤x≤6），-60x+540（0≤x≤9）（2）y=（3）6.9h【解析】【分析】（1）設y1=k1x，把（6，540）代入求解，設y2=k2x+b，把（0，540）、（9，0）代入求解即可；（2）分三種情況：當兩車相遇前，即0≤x≤3.6時，當兩車相遇后，甲車到達B前，即3.6<x<6時，當兩車相遇后，甲車到達B后，即6<x<9時，分別列出函數解析式即可；（3）用乙車行駛的總時間減去相遇前兩車之間路程大于450km的時間，再減去相遇后兩車之間路程大于450km的時間，即可求解．【小問1詳解】解：設y1=k1x，由圖象可知，函數圖象經過點（6，540），∴6k1=540，解得：k1=90，∴y1=90x（0≤x≤6），設y2=k2x+b，由圖象可知，函數圖象經過點（0，540）、（9，0），∴，解得：，∴y2=-60x+540（0≤x≤9），故答案為：90x（0≤x≤6），-60x+540（0≤x≤9）；【小問2詳解】解：甲車速度為：540÷6=90（km/h），乙車速度為：540÷9=60（km/h），兩車相遇時間為540÷（90+60）=3.6（h），甲車從A地到B地所要的時間為6小時，當兩車相遇前，即0≤x≤3.6時，y關于x的函數解析式為：y=540-(90+60)x=540-150x，當兩車相遇后，甲車到達B前，即3.6<x<6時，y關于x的函數解析式為：y=(90+60)x-540=150x-540，當兩車相遇后，甲車到達B后，即6<x<9時，y=60x，綜上，y關于x的函數解析式為：y=；【小問3詳解】解：9-(540-450)÷（90+60）-（540-450）÷60=69（h），答：兩車之間路程不大于450km的時間有6.9h．【點睛】本題考查一次函數的應用，待定系數法求一次函數解析式，掌握從函數圖象獲取信息和用待定系數法求一次函數解析式是解題的關鍵．27.如圖，拋物線y＝x2+bx與直線y＝kx+2相交于點A（﹣2，0）和點B．（1）求b和k的值；（2）求點B的坐標，并結合圖象寫出不等式kx+2＞x2+bx的解集；（3）點M是直線AB上的一個動點，將點M向下平移2個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線有公共點，請直接寫出點M的橫坐標m的取值范圍．【27題答案】【答案】（1）b=2，k=1（2）（3）或【解析】【分析】(1)用待定系數法即可求解；(2)首先求出點B的坐標，再觀察函數圖象即可求解；(3)畫出圖，根據圖進而求解即可．【