考點01二次函數的圖像和性質

知識框架

'二次函數的概念

二次函數y=o?*0)的圖像和性質

基礎知識點4二次函數y=a(x-工0)的圖像和性質

二次函數y=ar2+bx+c(a/0)的圖像和性質

二次函數的性質總結

.二次函數的定義

二次函數的圖像與性質(頂點、對稱軸、最值、比大小等)

利用二次函數的軸對稱性解題

重難點題型,二次函數的平移

求二次函數的解析式

拋物線與一次函數的圖象問題

利用二次函數圖像確定系數的符號

基礎知識點

知識點2.1二次函數的概念

1)形如y=ax2+fer+c(存0)的函數叫作二次函數。

注：①a、b、c為常數，且aWO,即二次項必須有，一次項和常數項可以沒有

②二次函數為函數的一種，滿足函數的所有性質。即自變量尤有且僅有唯一應變量y與之對應。

1.(2021?安徽九年級月考)以x為自變量的函數:①y=(x+2)(x-2)；②y=(x+2)2；③y=1+2光一3/；

@y=x2-x(x-l).是二次函數的有()

A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】根據二次函數的定義進行判斷.

【詳解】解：①y=(x+2)(x—2)=/一4,符合二次函數的定義，故①是二次函數；

②y=(x+2)2,符合二次函數的定義，故②是二次函數：

③y=l+2x—3d,符合二次函數的定義，故②是二次函數；

④_%=_%,不符合二次函數的定義，故④不是二次函數.

所以，是二次函數的有①②③，故選：C.

【點睛】本題考查了二次二次函數的定義，熟記概念是解題的關鍵.

2.（2021?四川成都市?成都實外九年級期末）下列關于X的函數一定為二次函數的是（）

A.y=2x+lB.y--5x2-3C.y-ax2+bx+cD.y=x'+x+l

【答案】B

【分析】根據二次函數的定義分析判斷即可.

【詳解】解：A、y=2x+l是一次函數，故本選項錯誤：

B、y=-5/—3一定是二次函數，故本選項正確；

C、y=ax2+bx+c,當a=0時，是一次函數，故本選項錯誤；

D、y=V+x+l是三次函數，故本選項錯誤；故選：B.

【點睛】本題考查二次函數的定義：形如y=a/+bx+c（a、b、c是常數，且aRO）的函數是x的二次函

數，牢記此定義是解題的關鍵.

3.（2021?廣東九年級專題練習）若函數了=（1+〃。/八2吁1是關于》的二次函數，則機的值是（）

A.2B.-1或3C.3D.-1+72

【答案】C

【分析】根據二次函數的定義條件列出方程與不等式即可得解.

【詳解】?.?函數），=（1+m）%病-2"1是關于x的二次函數，.?.m2_2m一1=2，且1+加工0,

由—2〃?—1=2得,m=3或，〃=—1，由l+。得,〃/H—1,的值是3,故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數的定義、解一元一次不等式、解一元二次方程等知識，解答本題的關鍵是根

據二次函數的定義列出方程與不等式.

4.（2021?湖南婁底市?九年級期末）當函數y=（a—l）￡"+2x+3是二次函數時，。的取值為（）

A.a=1B.6（=±1C.awlD.a——\

【答案】D

【分析】根據二次函數的定義去列式求解計算即可.

【詳解】?.?函數y=（a—l）x/7+2x+3是二次函數，

2

/.a-1/0,a+1=2,.".a#l,/=],/.a——1,故選D.

【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟記二次函數的定義并靈活列式計算是解題的關鍵.

知識點2-2二次函數產a尤2的圖象和性質

1)y=a?(“wo,〃=(),c=O,即一次項和常數項皆為0)的圖形如下:

②開口：67>0,開口向上；6/<0,開口向下

③頂點：原點(0,0),頂點縱坐標為函數最大值或最小值(由4的正負決定)

④對稱軸：關于y軸對稱，即關于40對稱

⑤開口大?。簗a|越大，開口越小，即上升或下降越快

⑥增減性：a>0時，當xVO時，y隨x的增大而減?。划攛>0時，了隨x的增大而增大。

。<0時，當x<0時，)，隨x的增大而增大；當x>0時，y隨x的減小而減小。

注：①關于y軸對稱的前提條件是：函數定義域關于y軸對稱；

②拋物線圖形的性質都與頂點坐標有關系，頂點坐標需要牢記，其他性質通過畫草圖來分析，理解記憶。

1.(2021?江蘇鹽城市?九年級期末)若二次函數y=的圖象經過點尸(_3,9),則該圖象必經過點()

A.(3,9)B.(-3,-9)C.(-9,3)D.(9,-3)

【答案】A

【分析】先確定出二次函數圖象的對稱軸為y軸，再根據二次函數的對稱性解答.

【詳解】解：?.?二次函數y=ax2的對稱軸為y軸，

,若圖象經過點P(-3,9),則該圖象必經過點(3,9).故選：A.

【點睛】本題考查/二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用「二次函數圖象的對稱性，確定出函數圖象

的對稱軸為y軸是解題的關鍵.

2.(2021?江蘇淮安市?九年級期末)拋物線y=-f的頂點坐標是.

4

【答案】(0,0)

【分析】由拋物線的頂點式：y=52,可得頂點坐標(0,0),從而可得答案.

【詳解】解：拋物線y=的頂點坐標是：(0,0).故答案為：(0,0).

【點睛】本題考查的是拋物線y=公2(a豐0)的性質，掌握拋物線y=ax2(a^0)的頂點坐標是解題的關

鍵.

3.(2021?北京九年級專題練習)下列關于二次函數y=2/的說法正確的是()

A.它的圖象經過點(0,2)B.它的圖象的對稱軸是直線x=2

C.當x<0時，y隨x的增大而減小D.當戶0時，y有最大值為0

【答案】C

【分析】根據二次函數的圖象性質即可判斷.

【詳解】解：A、當x=0時，尸0幽，故此選項錯誤；B、它的圖象的對稱軸是直線x=0,故此選項錯誤；

C、當x<0時，y隨x的增大而減小，當x>0時，y隨x的增大而增大，故此選項正確；

D、當產0時，y有最小值是0,故此選項錯誤；故選：C.

【點睛】此題考查二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵.

4.(2021?古浪縣第四中學九年級月考)拋物線y=2x2,y--2x2,y=/x?的共同性質是()

A.開口向上B.對稱軸是y軸C.都有最高點D.y隨x的增大而增大

【答案】B

【分析】根據二次函數的圖象與性質解題.

【詳解】拋物線y=2x2,y=；x2開口向上，對稱軸是對稱軸是y軸，有最低點，在y軸的右側，y隨x

的增大而增大，y=-2x2,開口向下，對稱軸是對稱軸是y軸，有最高點，在y軸的左側，y隨x的增大而

增大，故拋物線y=2x2,y=-2x2,y=；x2的共同性質是對稱軸是y軸，故選：B.

【點睛】本題考查二次函數圖象的性質，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

5.(2021?浙江九年級期末)已知二次函數y=a(x-m)2(a<0)的圖象經過點A(-1,〃)，5(3,幻，若P<q,

則m的值可能是()

l5

A.-2B.-J2C.0D.-

一2

【答案】D

【分析】二次函數產a(x-m)2(?<0)開口向下，對稱軸為直線產"?，根據拋物線上的點與直線的距

離越小對應的y值就越大即可得到m的取值范圍.

【詳解】解：???)="2.?.拋物線開口向下，對稱軸為直線

當拋物線上的點與直線廣〃?的距離越小，對應的y值就越大，

A(-1,p),B(3,4),且p<4，點到直線k的距離小于A點到直線廣加的距離，

m>3,或/n+l>3-/n,解得m>1,而只有一>1,故選：D.

2

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解決問題的關鍵.

6.(2021?福建龍巖市?九年級期末)已知拋物線曠="2與^=2/的形狀相同，則。=.

【答案】±2

【分析】兩條拋物線的形狀相同，即二次項系數的絕對值相等，據此求解即可.

【詳解】解：..?拋物線y=ax2與y=2x2的形狀相同，.MaH，；.a=±2.故答案為±2.

【點睛】本題考查二次函數的性質，用到的知識點：兩條拋物線的形狀相同，即二次項系數的絕對值相等.

7.(2021?吉林白山市?九年級期末)己知二次函數y=(m-3)x2的圖象開口向下，則m的取值范圍是一

【答案】m<3

【分析】根據圖象的開口方向得到m-3<0,從而確定m的取值范圍.

【詳解】解：二次函數y=(m-3)x2的圖象開口向下，，m-3<0,故答案為：m<3.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次項系數決定了開口方向，大于零開口向上，小于零開口向下.

8.(2021?全國九年級課時練習)在同一直角坐標系中，畫出下列二次函數的圖象：

1，1，c1，c

y=—%-,y=—x+2,y-—x~-2.

222

【答案】見解析

【分析】利用描點法可畫出這三個函數的圖象.

【詳解】解：列表：

X202

v=—X2202

2

y=#+2424

2

V=^-X-20_20

)2

描點：見表中的數據作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出各點;

連線：用平滑的線連接，如圖所示：

【點睛】本題主要考查二次函數圖象的畫法，掌握基本的描點法作函數圖象是解題的關鍵.

9.（2020?河北張家口市?九年級期中）已知函數）=（k-2）XMTR+5是關于x的二次函數，求：

（1）滿足條件的火的值；（2）當k為何值時，拋物線有最高點？求出這個最高點，這時，x為何值時，y隨

x的增大而增大？（3）當《為何值時，函數有最小值？最小值是多少？這時，當x為何值時，y與x的增大

而減??？

【答案】（1）尢=1，與=3；（2）k=l,最高點為（0,0）,當x<0時，y隨x的增大而增大；（3）k=3,

最小值為0,當x<0時，y隨x的增大而減小.

【分析】（1）由于函數是二次函數，所以x的次數為2,且系數不為0,即可求得滿足條件的k的值；

（2）拋物線有最高點，所以開口向下，系數小于0,再根據（1）中k的值即可確定滿足條件的值，再根據

:次函數性質即可知函數的單調區間：（3）函數有最小值，則開口向上，然后根據二次函數性質可求得最

小值，即可知函數單調區間.

【詳解】解：（1）?.?函數y=U-2）%'4%+5是關于x的二次函數,

滿足廿-4左+5=2,且卜2和，.?.解得:匕=1,火2=3；

（2）；拋物線有最高點，，圖象開口向下，即％-2<0,結合（1）所得，；M=1,

???最高點為（0,0）,當x<0時;y隨x的增大而增大.

（3）???函數有最小值，.?.圖象開口向上，即k-2>0,

二%=3,...最小值為0,當x<0時，y隨x的增大而減小.

【點睛】本題考查了二次函數的定義、待定系數法求解析式、解一元二次方程以及二次函數圖像的性質;

解決本題的關犍在于知道二次函數的表達形式，用待定系數法求解析式，熟練掌握二次函數圖像的性質.

知識點2-3二次函數y=a（尤-蜘+左（存0）的性質

1）二次函數T五+bx+c（存0）過配方，可得y=a（x—0）2+左（分0）的形式

②開口：a>0,開口向上；（7<0,開口向下

③頂點：（力，k）,頂點縱坐標產上為函數最值（最大值或最小值）

④對稱軸：關于戶/?對稱

⑤開口大?。簗。|越大，開口越小

⑥增減性：。>0時，當x</z時，y隨x的增大而減?。划敃r，y隨x的增大而增大。

〃<0時，，當時、y隨x的增大而增大；當時，y隨x的減小而減小。

⑦關系：當刀=0,"0時，y=a{x—h）2+k（存0）即為丫=卬？（a/0）形式

即：通過平移），=O?Q和）可得到y=q（x—〃）2+左（在0）（形狀不變，開口不變）

在圖形平移過程中，可以通過特殊點（如頂點）分析平移過程：向左或右平移同，向上或下平移同。其中，

“左加右減，上加下減”。

1.（2021?江蘇九年級一模）二次函數y=（x+l）2-2的圖像的頂點坐標是（）

A.（1,-2）B.（1,2）C.（―1,—2）D.（—1,2）

【答案】C

【分析】根據二次函數的性質，由頂點式直接得出頂點坐標即可.

【詳解】解：???拋物線產（x+l）2-2,.?.拋物線），=（x+l）2-2的頂點坐標為：（-1,-2）,故選:C.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，二次函數的頂點式為y=a（x-左）2+〃，則拋物線的對稱

軸為宜線x=Z,頂點坐標為（攵，h）.

2.（2021?浙江紹興市?中考真題）關于二次函數y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列說法正確的是（）

A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6

【答案】D

【分析】根據二次函數y=2（x-4y+6的解析式，得到。的值為2,圖象開口向上，函數有最小值，根據

定點坐標（4,6）,即可得出函數的最小值.

【詳解】解：???在二次函數y=2（x-4）2+6中，“=2>0,頂點坐標為（4,6）,

.??函數有最小值為6.故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數的最值問題，關鍵是根據二次函數的解析式確定a的符號和根據頂點坐

標求出最值.

3.（2021?四川成都市?九年級二模）下列關于二次函數y=4（x—3）2-5的說法，正

確的是（）

A.對稱軸是直線x=-3B.當x=3時有最小值-5

C.頂點坐標是（3,5）D.當x>3時，y隨x的增大而減少

【答案】B

【分析】根據二次函數的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：由二次函數y=4（x-3）2-5可知對稱軸是直線x=3,故選項A錯誤，不符合題意；

由二次函數y=4（x—3）2—5可知開口向上，當％=3時有最小值-5,故選項B正確，符合題意；

由二次函數y=4（x—3『—5可知頂點坐標為（3,-5）,故選項C借誤，不符合題意；

由二次函數y=4（x—3）2—5可知頂點坐標為（3,-5）,對稱軸是直線x=3,當x<3時，y隨x的增大而

減小，故選項。錯誤，不符合題意；故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，主要利用了開口方向，頂點坐標，對稱軸以及二次函數的增減性.

4.（2021?河南駐馬店市?九年級一模）設A（2,y）,8（3,%），C（T,%）是拋物線y=3（x-l『+&圖象上

的三點，則%，y2,%的大小關系為（）

A.%>>2>XB.y3>y,>y2c.y2>yt>y3D.%>%>%

【答案】A

【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據二次函數的性質比較即可.

【詳解】解：???拋物線y=3（x-l『+Z的開口向上，對稱軸是直線產1,.?.當x>l時，y隨x的增大而增大，

.??C（T,%）關于直線41的對稱點是（6,%），：2<3<6,...%>%>%?故選A.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質.熟記二次函數的性質是解題的關鍵.

5.（2021?天津九年級二模）二次函數y=—（x—l）2+5,當加WxW〃且〃切<（）時，y的最小值為5m,最

大值為5n,貝心篦+幾的值為（）

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】D

【分析】由機WxW"口.m"<0可得“<0V〃，根據題意畫出函數圖像，根據圖像分情況討論；當機<〃<1

時，y隨x的增大而增大，可得當x=m時y有最小值，當％=〃時y有最大值，代入并驗證；當

時分兩種情況：當x=m時y有最小值，當X=1時y有最大值，或當X=1時y有最大值，當X=及時y有

最小值，得出符合情況的值即可得出答案.

【詳解】解：如圖，二次函數y=-（x-l>+5的大致圖像如下：

目.〃加<0時，:.m<0<n,

①當"2<力<1時，y隨x的增大而增大，

.?.當x〃時)?有最小值，即：-(m-1)2+5=5m,解得：帆=-4或，%=1(舍去)；

當％=”時y有最大值，即：—(〃—iy+5=5〃，解得：〃或〃=1(均不符合題意，舍去)；

②當〃時，當尤=加時y有最小值，即：—(?n—1)2+5-5m,解得：機=-4或加=1(舍去)；

當x=l時y有最大值，即：-(1-1)2+5=5/1,解得：〃=1,

或：當尤=1時y有最大值，即：-(1-1)2+5=5?,解得：〃=1,

當％=〃時y有最小值，BP：—(〃—1『+5=5相，將〃=1代入解得：團=5,

，...此種情形不合題意；二加=Y，n=lm+n--4+l--3；故答案選：D.

【點睛】本題考查二次函數的圖像及其性質，熟練掌握二次函數的增減性，先判斷在取值范圍內的最大值

及最小值在何處取得，再代入求解；熟練掌握分析函數最值的方法是本題解題關鍵.

6.(2020?浙江九年級期中)已知拋物線y=a(x—21+1經過點A(m，x),3(加+2,%)，若點4在拋物線

對稱軸的左側，且1<X<%，則m的取值范圍是()

A.0<加<1B.0<m<2C.\<m<2D.m<2

【答案】C

【分析】根據題目中的拋物線，可以得到該拋物線的對稱軸，然后根據題意，可知點A和點B在對稱軸兩

側，從而可以得到”的取值范圍，本題得以解決.

【詳解】解：：y=a(x—2y+l,必>X>1，，拋物線開口向下，有最小值1，對稱軸為直線產2,

.?.在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大,

VA（m,yt）,B（〃?+2,%），，點A在點8左側，

加+（+2）

?.?點A在對稱軸左側，且；?點8在對稱軸右側，.*---------------^>2,A2w+2>4,

2

TA在對稱軸左側，.?.,〃<2,<加<2.故選C.

【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二

次函數的性質解答.

7.（2020?浙江九年級期中）已知點4（1,%）,3（3,%）在二次函數y=a（x—w）2+A（a<0）的圖象上，當

%.見時，則，”的取值范圍是（）

A.in,.1B.2C.m.AD.m..2

【答案】B

【分析】根據函數表達式可得開口方向和對稱軸，再根據y2y2,可得關于〃?的不等式，解之即可.

【詳解】解：:y=。（％-m）2+攵（?！?）,???圖像開口向下，對稱軸為直線％=加，

:X?M，二A比B更接近對稱軸，，|1一機|V|3-時，

**?fn2—2m+1<zn2—6m+9，**-w<2,故選B.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的增減性和對稱軸公式，需熟記.

知識點2?4二次函數丁=爾+云+°（"0）（〃邦）的性質

1））=加+加:+。（存0）利用配方法，化簡得：y=a（x+—）24-^aC,

2a4a

故以頂點式的形式來看：h=-—,k=^-^-

2a4a

①形狀：拋物線形狀

②開口方向：a>0,開口向上；a<0,開口向下

③頂點：（-2,±上心］,頂點縱坐標產竺叱為最值（最大值或最小值）

12a4al4a

④對稱軸：關于x=-2對稱

⑤開口大?。簗。|越大，開口越小

⑥增減性：。>0時，當XV-2時，），隨X的增大而減??；當x>-2時，），隨X的增大而增大。

2a2a

。<0時，，當xV—B't,y隨尢的增大而增大；當-■■時，y隨R的減小而減小。

2a2a

注：建議學會配方法，若實在無法掌握，則需記住?般式的頂點坐標，在解題過程中直接使用結論即可。

1.（2020?江蘇蘇州星海實驗中學初三零模）對于二次函數〃=那-魏，下列說法正確的是（）

A.當x>0,y隨x的增大而增大B.當x=2時，y有最大值一3

C.圖像的頂點坐標為（-2,-7）D.圖像與x軸有兩個交點

【答案】B

1,1,

【解析】二次函數丁=——/+*―4=——（x—2）2—3,

44

所以二次函數的開口向下，當x<2,y隨x的增大而增大，選項A錯誤；

當x=2時，取得最大值，最大值為一3,選項B正確；頂點坐標為（2,-3）,選項C錯誤；

頂點坐標為（2,-3）,拋物線開口向下可得拋物線與x軸沒有交點，選項D錯誤，故答案選B.

考點：二次函數的性質.

2.（2021?廣東陽江市?九年級二模）將拋物線y=3/向右平移4個單位長度后，再向上平移5個單位長度，

所得到的拋物線的頂點坐標為（）

A.（4,-5）B.（4,5）C.（y5）D.（-4,-5）

【答案】B

【分析】先求出原拋物線頂點坐標，再根據平移得出新拋物線頂點坐標即可.

【詳解】解：拋物線y=3丁的頂點坐標為（0,0）,將拋物線y=3/向右平移4個單位長度后，再向上平移

5個單位長度，頂點也如此平移，其頂點坐標為（4,5）,故選：B.

【點睛】本題考查了拋物線的平移，解題關鍵是熟練運用拋物線平移規律，確定頂點坐標.

3.（2021?贛州市贛縣區教育教學研究室九年級一模）己知一個二次函數圖象經過5（2,%），

4（3,%），4（4,”）四點，若%<%<”，則％,%，為，”的最值情況是（）

A.>3最小，弘最大B.%最小，>4最大C.M最小，%最大D.無法確定

【答案】A

【分析】根據題意判定拋物線開口方向向上，對稱軸在2.5和3之間，再根據距離拋物線對稱軸的距離大小

判斷即可；

【詳解】???二次函數圖象經過［（1,%）,6（2,%），6（3,%），6（4,%）四點，且為<%<”，

，拋物線開口方向向上，對稱軸在2.5和3之間，

6（1，兇）離對稱軸的距離最大，6（3,%）離對稱軸的距離最小，.?.月最小，必最大；故選A.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象性質，準確分析判斷是解題的關鍵.

4.（2021?湖南中考真題）已知y是x的二次函數，下表給出了y與x的幾對對應值：

X-2-101234

y11a323611

由此判斷，表中。=.

【答案】6

【分析】根據表格得出二次函數的對稱軸為直線％=1,由此即可得.

【詳解】解：由表格可知，x=0和x=2時的函數值相等，則二次函數的對?稱軸為直線x=°土2=1，

2

因此，x=—1和x=3的函數值相等，即a=6,故答案為：6.

【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵.

5.（2021?浙江杭州市?九年級期末）若二次函數），=V+2x+Z的圖象經過點（l,yj,（-2,%），則X與力的

大小關系為（）

A.弘>必B.，|=必C.>|<必D.不能確定

【答案】A

【分析】分別把戶1和戶-2代入解析式，計算出對應的函數值，然后比較大小.

【詳解】解：當x=l時，yi=x2+2x+k=k+3；

當戶-2時，）2=/+2%+依k,k+3>k,/.yi>yi.故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式.

6.（2021?湖北襄陽市?中考真題）一次函數丁=改+。的圖象如圖所示，則二次函數^=口？+版的圖象可

能是（）

【答案】D

【分析】根據一次函數圖像經過的象限以及與坐標軸的交點可知：a<0,心0,由此可知二次函數開口方

向，坐標軸情況，依此判斷即可.

【詳解】解：觀察一次函數圖像可知。<0,尻X）,.??二次函數開口向下，

b

對稱軸x=--->0,故選：D.

2a

【點睛】本題主要考查?次函數的圖像以及二次函數的圖像，根據?次函數圖像經過的象限以及與坐標軸

的交點情況判斷〃、。的正負是解題的關鍵.

7.（2021?黑龍江佳木斯市?九年級二模）二次函數丁=奴2+必+。3羊（））的圖象如圖所示，對稱軸為％=一1,

【答案】D

【分析】根據二次函數的圖象與性質得到。、氏c的符號，再逐一進行判斷.

【詳解】解：由圖知，二次函數的圖象開口向上，即a>0，與y軸交于正半軸，即c>0.

對稱軸尤=一~—=-1：.h=2ah同號，即人>0.,.a6c>0,故A正確；

2a

由圖知，當x=-l時，y<0,:.a-b+c<0,故B正確；

由圖知，二次函數圖象與軸有兩個不同的交點，即〃一4衣>0,故C正確；

無法判斷a—c<0,故D錯誤，故選：D.

【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

8.（2021?西安市?陜西師大附中九年級其他模擬）已知拋物線y=2依+1（。<0）,當一時,

y的最大值為2,則當-1WXW2時，y的最小值為（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D

【分析】根據拋物線的解析式可得其對稱軸為直線x=l,從而當x=l時，），有最大值2,此時可求得a的值，

再根據拋物線的增減的性質求得y在所給范圍內的最小值.

—2a

【詳解】=-----=1,即拋物線的對稱軸為直線X=l

2a

.?.當41時，y有最大值，且1在一1WXW2范圍內

...a-2a+l=2解得：a=-\BPy=—x1+2x+\

當一1?x<1時，函數值y隨x的增大而增大,此時函數在x=-l處取得最小值，且最小值為y=-l-2+l=-2

當l<x42時,函數值y隨x的增大而減小，此時函數在x=2處取得最小值,且最小值為y=T—2x2+l=l

..當-1WXW2時，y的最小值為-2故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數的增減性質、求函數解析式，關鍵是確定拋物線的對稱軸，根據對稱軸的位

置便可確定函數的增減的范圍，解答函數在某個自變量的范圍的最值問題時，最好借助圖象，利用數形結

合的思想能幫助解決問題.

9.（2021?山東威海市?九年級期中）已知關于x的一元二次方程x2—2x+）t+l=0的兩個實數根是玉,x2,

那么一X]—W-的最大值是-

【答案】-2

【分析】根據根與系數的關系求出王和玉+Z的值，代入一百一Z—（玉工2『，然后根據二次函數的性質

求解即可.

【詳解】解：；一元二次方程2%+攵+1=0的兩個實數根是芭/2，

112

芭?x2-k+1,玉+々=2，一百一X2-（玉々7=-2-/+>

...當:-1時，一百一為2—（玉龍2）2取得最大值-2.故答案為：-2.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，以及二次函數的性質，熟練掌握各知識點是解答本題

的關鍵.

10.（2021?浙江金華市?九年級一模）如圖，二次函數y=4℃的圖象與X軸交于O,A兩點.

（1）求點A的坐標和此二次函數的對稱軸.

（2）若尸，。在拋物線上且P（，幾%）,Q（〃,y°）.當=5時，力>“.求用的取值范圍.

【答案】（1）A（4,0）,1=2；（2）m>一一.

2

【分析】（1）先計算二次函數的對稱軸，再利用拋物線的對稱性解題即可；

1

（2）把P（m,yp）,Q（n,"）分別代入二次函數y=av?-4or中，由力>“得到a席一4am>an-Aan.

再結合圖象知。<0,整理得（〃—m）（4—相―〃）<0,結合已知條件〃一機=5,代入解題即可.

h—4/7

【詳解】解：（1）二次函數圖象的對稱軸為：x=——=——-=2

2a2a

二次函數y=62—46的圖象與x軸交于。，A兩點,由對稱性可知4（4,0）；

（2）把P（巾,力）,Q（凡）分別代入二次函數y=加一4or中得，

12

yP=anr-4am,yQ=an-4an-/yP>yQairr-4am>an-4an

整理得，a（m2-4m）>a（n2-4n）由拋物線開口向下得a<0

m2-4m<rr-4nm2-4m-n2+4n<0,（加+〃）（加一〃）+4（〃-加）<0-m）（4-m-n）<0

vn-m=5.\4—m—n<0\-n=5+m.*.4—m—5—m<01―?m>一■-.

2

【點睛】本題考查二次函數的圖像與性質、一元一次不等式的解法、整體思想等知識，是重要考點，難度

一般，掌握相關知識是解題關鍵.

知識點2-5二次函數性質總結

二次函數的圖像及性質

一般式頂點式交點式

22

函數表達式y=ax++cy=a(x—h)+ky=a(x-x{)(x-x2)

開口方向：當。＞0時，開口向」一，當。＜0時，開口向下.

開口

開口大?。簳r越大，開口越??；1越小，開口越大。

b

對稱軸x=---x=h廠.+.

2a2

(b4ac-b2}f-y,+x傘

頂點坐標(/?,k)2

[2a4a)2'4

\/

當a＞0時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側，y隨x的增大而j亶

大，函數有最小值絲匕乏；

增減性4a

及最值

當。＜0時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大,在對稱軸的右側，y隨x的增大而減

小，函數有最大值處世.

4a

補充：表格中：交點式中出現的XI,X2是指二次函數與x軸的交點的橫坐標.

對稱性點性質：若4（和其）與8（心力）是拋物線上的點，且關于對稱軸廣〃對稱，則

反之，若與3（々,力）是拋物線上的點，且滿足y=%，則拋物線的對稱軸為產土產。

1.（2021?陜西中考真題）下表中列出的是一個二次函數的自變量x與函數），的幾組對應值：

X-2013

y6-4-6-4

下列各選項中，正確的是

A.這個函數的圖象開口向下B.這個函數的圖象與x軸無交點

C.這個函數的最小值小于-6D.當x＞l時，y的值隨x值的增大而增大

【答案】C

【分析】利用表中的數據，求二次函數的解析式，再配成頂點式，根據二次函數的性質逐一分析即可判斷.

【詳解】解：設二次函數的解析式為丁=奴2+"+以

4。一2。+c=6a=1

3?25

依題意得：c=-4,解得：<b=-3,.?.二次函數的解析式為y=f—3x—4=x——-----

24

a+b+c=-6c=-4

???〃=1>0,???這個函數的圖象開口向上，故A選項不符合題意；

A=Z?2-4ac=（-3）2-4xlx（-4）=25>0.

???這個函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，故8選項不符合題意：

325

???。=1>0，.?.當x=一時，這個函數有最小值——<-6,故C選項符合題意：

24

325

?.?這個函數的圖象的頂點坐標為（一，一一），

24

3

.?.當x>5時，y的值隨x值的增大而增大，故。選項不符合題意；故選：C.

【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數的性質，利用二次函數的性質解答

是解題關鍵.

19

2.（2020?南京玄武外國語學校初三期末）對于拋物線），=-2（1+1）-+3,下列結論：①拋物線的開口向

下；②對稱軸是過（1,0）且平行于y軸的直線；③頂點坐標為（一1,3）；④XW-2時，y隨X的增大而增大，

其中正確結論的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據二次函數圖象的性質逐個判定即可.

【解析】①-L<0則拋物線的開口向下，正確；②拋物線的對稱軸為x=—l,所以對稱軸是過（一1,0）且

2

平行于y軸的直線，錯誤；③因頂點在對稱軸上，即頂點的橫坐標為-1，代入函數解析式得縱坐標為3,

即頂點坐標為（—1,3）,正確：④當尤<一1時，y隨x的增大而增大，因此xW—2時，y隨x的增大而增大，

正確；綜上，正確的有3個；故答案為：C.

【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，熟記二次函數圖象的性質是解題關鍵.

3.（2020?江蘇揚州初三期末）拋物線y=/+2x+3與），軸的交點為（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（0,3）D.（3,0）

【答案】C

【分析】令x=0,則y=3,拋物線與y軸的交點為（0,3）.

【解析】解：令x=0,則y=3,.?.拋物線與y軸的交點為（0,3）,故選：C.

4.（2020?河南省初三月考）已知某二次函數的圖象與X軸相交于A，8兩點.若該二次函數圖象的對稱軸

是直線x=3,且點4的坐標是（8,0）,則A8的長為（）

A.5B.8C.10D.11

【答案】C

【分析】根據拋物線關于對稱軸軸對稱可知A，B兩點關于對稱軸直線x=3對稱，據此可求出AB的氏.

【解析】?.?二次函數的圖象與X軸相交于A，B兩點，對稱軸是直線龍=3,

A，5兩點關于對稱軸直線x=3對稱，

???4的坐標是（8,0）,...3的坐標是（一2,0）,.?.48=8-（—2）=1（）.故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數圖像與x軸交點的坐標問題，注意拋物線的對稱性是解題的關鍵.

5.（2020?河北省初三期末）小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函數y=/-4x+5的值的情況，他們

作了如下分工：小明負責找函數值為1時的x值，小亮負責找函數值為0時的x值，小梅負責找最小值，小

花負責找最大值.幾分鐘后，各自通報探究的結論，其中錯誤的是（）

A.小明認為只有當x=2時，函數值為1；B.小亮認為找不到實數x,使函數值為0；

C.小花發現當x取大于2的實數時，函數值>隨x的增大而增大，因此認為沒有最大值；

D.小梅發現函數值y隨x的變化而變化，因此認為沒有最小值

【答案】D

【分析】根據二次函數的最值及圖象上點的坐標特點回答即可.

【解析】因為該拋物線的頂點是（2,1）,所以正確；根據二次函數的頂點坐標，知它的最小值是1,所以正

確；根據圖象，知對稱軸的右側，即％>2時，y隨x的增大而增大，所以正確；

因為二次項系數1>0,有最小值，所以錯誤；故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與最值問題，準確分析是解題的關鍵.

6.（2020?江蘇省中考真題）下列關于二次函數y=—（x—加了+加2+1（〃?為常數）的結論，①該函數的

圖象與函數y=的圖象形狀相同；②該函數的圖象一定經過點（0,1）；③當x>0時，y隨x的增大而減

??；④該函數的圖象的頂點在函數y=f+l的圖像上，其中所有正確的結論序號是.

【答案】①②④

【分析】①兩個二次函數可以通過平移得到，由此即可得兩個函數的圖象形狀相同；②求出當x=0時，y

的值即可得；③根據二次函數的增減性即可得；④先求出二次函數y=-(x-/n)2+機2+1的頂點坐標，再

代入函數y=/+l進行驗證即可得.

【解析】?.?當相＞0時，將二次函數y=-f的圖象先向右平移m個單位長度，再向上平移機2+1個單位

長度即可得到二次函數y=—(x—加了+加2+1的圖象；當相＜0時，將二次函數＞=一一的圖象先向左平

移一加個單位長度，再向上平移機2+1個單位長度即可得到二次函數y=_(x-m)2+加2+1的圖象

...該函數的圖象與函數y=的圖象形狀相同，結論①正確

對于y=-(x-加y+機2+1當x=0時，y--(0-m)2+m2+1=1

即該函數的圖象定經過點(0,1),結論②正確

由二次函數的性質可知，當時，y隨x的增大而增大；當X〉機時，y隨x的增大而減小

則結論③錯誤

y=-(x-/w)2+m2+1的頂點坐標為(a,，”？+1)對于二次函數y=