第二章一元一次不等式(組)檢測試題

一、選擇題(每小庭3分，共36分)

1.x與y的差的5倍與2的和是一個非負數,可表示為()

(A)5(x-y)+2>0(B)5(x-^)+2>0(C)x-5y+2>0(D)5x-2y+2<0

2.下列說法中正確的是()

(A)x=3是2x>3的一個解.(B)x=3是2x>3的解集.

(C)x=3是2x>3的唯一解.(D)%=3不是2x>3的解.

3.不等式2(x-2”x-2的非負整數解的個數是()

(A)1(B)2(C)3(D)4

4.已知正比例函數y=(2〃?-l)x的圖象上兩點x2),B(X2,必)，當用<々時，有

必>必，那么m的取值范圍是()

(A)m<—(B)m>—(C)m<2(D)m>0

22

2x-6<0,(1)

5.不等式組(的解集是()

x+5>-3.(2)

(A)2Vx<3(B)-8<x<-3(C)-8<x<3(D)x<-8或x>3

6.若a+Z?vO,且》〉0,則口,。,一。,一匕的大小關系是()

(A)a<h<-a<-h(B)-h<a<-a<b

(C)a<-b<-a<b(D)a<-b<b<-a

7.已知關于1的一次函數y=〃a+2加一7在—14x45上的函數值總是正的，則加的取

值范圍是()

(A)m>7(B)m>\(C)l<m<7(D)以上答案都不對

3x-j-v—,+]

8.如果方程組《)一'的解為x、y,且2Vz<4,則x—y的取值范圍是()

x+3y-3.

(A)0<x—y<1(B)0<x—y<—(C)—1<x—y<1(D)-3<x-y<-1

9.若方程3M(x+l)+l=m(3-x)—5x的解是負數，則加的取值范圍是()

(A)m>(B)m<——(C)m>—(D)m<—

4444

10.兩個代數式x—1與x—3的值的符號相同，則x的取值范圍是()

(A)x>3(B)x<\(C)1<x<2(D)xvl或無>3

11.若不等式(〃一3卜〉。一3的解集是x<l,則。的取值范圍是()

(A)a>3(B)a>-3(C)〃<3(D)Qv—3

12.若|4-2時=2機一4,那么用的取值范圍是()

(A)不小于2(B)不大于2(C)大于2(D)等于2

二、填空題(每鼠3分，共24分)

13.當X時，代數式一3X+4的值是非正數.

2x—a<L

14.若不等式\的解集為一1<x<1,那么次?的值等于—

x-2b>3.

15.若x同時滿足不等式2x+3〉0與X—2v0,則x的取值范圍是.

5-2x>-1

16.已知x關于的不等式組\一'無解,則a的取值范圍是.

x—a>0.

17.如果關于x的不等式(a-l)x<a+5和2x<4的解集相同，則a的值為.

18.小馬用100元錢去購買筆記本和筆共30件，已知每本筆記本2元，每枝鋼筆5元,那么小

馬最多能買_____枝鋼筆.

19.一個兩位數,十位上的數字比個位數上的數字小2,若這個兩位數處在40至60之間,那么

這個兩位數是.

20.已知四個連續自然數的和不大于34,這樣的自然數組有組.

三、解答題(每題為分，共40分)

21.解不等式工92X-幺』，并把它的解集在數軸上表示出來.

323

22.求不等式組

ll-2(x-3)>3(x-l),(1)

的偶數解.

,1-2x

x-2>-----(2)

3

23.已知關于的方程組

2x+y=-3,(1)

的解均為負數，求加的取值范圍.

x-y=2m.(2)

2y+5?3(y+f),

24.關于y的不等式組y7的整數解是一3,0,1,求參數，的取值范

圍.

25.甲乙兩人先后去同一家商場買了一種每塊0.50元的小手帕.商場規定凡購買不少于10

塊小手帕可優惠20%,結果甲比乙多花了4元錢，又知甲所花的錢不超過8元，在充分享受

優惠的條件下，甲乙兩人各買了多少塊小手帕？

參考答案

一、選擇題（每小題_3分，共36分）

1.解：x與y的差的5倍是5（x—y）,再與2的和是5（尤—y）+2,是一個非負數

為:5（x-y）+2>0.

故選（B）

3

2.解：2x>3,根據不等式基本性質2,兩邊都除以2,得x>士.由此，可知x=3只是2x>3

2

的一個解.

故選（A）

3.解：去括號，得2x-4<x-2.

解得x<2.

所以原不等式的非負數整數解為x=0,1,2,共3個.

故選（C）

4.解:因為點4（犬［,x2）,B（X2,必）在函數）=（2〃?—的圖象上，

所以必=（2m-1）%1,y2=（2??z-l）x2.

所以M-必=（2加一1）（占一為2）-

因為當Xi</時，有Y>內，即當項<*2，,一%>0，

所以2m—1<0.所以〃2<工.

2

故選（A）

5.解：由（1）得x<3.

由（2）得犬>—8.

所以不等式組的解集是一8<X<3

故選（C）

6.解：由a+b<0,且b>0,得a<0且|《>忖.

又根據不等式的性質2,得一a<0,—。<0.—ci>b,ci<—b.

所以a<-/?</?<-a

故選（D）

7.解:根據題意，令x=-1,則y=-7>0,得7”>7;

令x=5,則y=7m-7>0,得m>l.

綜上,得m>7.

故選（A）

8.解：兩個不等式相減后整理，得x—y=g(k—2).

由2<左<4,得0<Z—2<2.

所以0vx-y<1

故選(A)

9.解：方程3m(％+1)+1=m(3-只一5%的解為》=——-—

4m+5

要使解為負數，必須4m+5>0,即機>一9.

4

故選(A)

10.解：因為代數式與x-3的值的符號相同，可得

x—1>0,x—1<0,

,或<

x—3>0.x—3<0.

由第一個不等式組得，3;由第二個不等式組得，x<l.

故選(D)

11.解:因為不等式(。一3'>。一3的解集是x<l,所以a—3<0.所以。<3.

故選(C)

12.解：由|4-2Z7T|=2/n-4,得2〃?一420,所以加22.

故選(A)

二、填空題(每鼠3分，共24分)

4

13.解:根據題意，得一3x+4W0.解得xN?.

1+a

2x—a<\,xv-----1+a

14.解：由<得｛2'所以3+2〃<x<

x-2b>3.

x>3+2b.

1'解得<a—1,

又因為—1<X<1,所以2

b=-2.

3+2b=-l.

所以ab=lx(—2)=—2.

3

15.解：由2x+3>(),得—,由x—2<0,得x<2.

2

所以—3<X<2.

2

<3

16.解:原不等式組可化為1%—'

x>a.

若不等式組有解，則a<xW3./.a<3.

故當a23時，不等式組無解.

所以a的取值范圍是a>3.

17.解：由2x<4得尤<2.

因為不等式(a-l)x<a+5和2x<4的解集相同，

所以不等式(a—l)x<a+5的解集為

a-\

...空2=2.解得。=7

。-1

18.解:設小馬最多能買尢枝鋼筆.

根據題意，得5x+2(30-x)<100o

解得

3

而x是正整數，所以x最大可取13.

19.解:設這個兩位數的個位數字為x,則十位數字為2.根據題意,得

40<(x—2)xl0+x<60.解得竺<x<的.

'1111

又因為x為整數,所以x=6或x=7.所以十位數字為4或5,所以這個兩位數是46或57.

20.解:設這四個連續自然數分別為x,x+l,x+2,x+3.

所以％+(1+1)+0+2)+0+3)434.解得%?7.

故有7組.

三、解答題(每鼠8分，共40分)

21.解:去分母，得2(x—2)—3(3x+5)N6x—2(2-x).

去括號，得2x—4—9x—1526x—4+2x.

移項,合并同類項得-15x215.

系數化為1,得x<—L

在數軸上表示解集略.

22.解：由(1)Wll-2x+6>3x-3,x<4.

7

由(2)得3x—6>1—2x,?,?x>—.

7

???不等式組的解集是,<x<4.

5

???x是偶數，「?尤=2或x=4.

23.解：(1)+(2),得3x=3/n—3,

所以九=/n-l.

將％=加一1代入(2),得y=-m-1.

因為均為負數，

771-1<0,八,

所以4解得一IvmvL

一加一l<0.

故俄的取值范圍是一1V1.

y25—3。其解集為.5-3f<y<3t-l,

24.解：化簡不等式組得《

y<3f-7.5—3t<—7.

利用其特殊解，借助數軸，如圖1,

-4-3-2-102

丫圖1

—4<5—3/K-3,8-

得4解之，y得—</<3.

l<3r-7<2.3

25.解：設甲乙兩人各買了x塊，y塊小手帕.根據x<10,y<10；

xN10,yvl0與1之10,yN10分情況討論.

(1)當LV10,yvl0時,有0.5%-0.5y=4,即

x=8+y,x=9,y=l時，符合題意；

(2)當x21O,y<IO時，有0.5x(l—20%)x-0.5y=4,

即4x—5y=40,解這個不定方程，得

x=10+5f,y=4f(f為正整數).

?.?甲所花的錢不超過8元，

AX<84-[(1-20%)X0.5]=20.

10<10+5?<20,即0W1<2..」=0,1,2.

考慮優惠價，得唯一解x=15,y=4；

(3)當x210,y?10時，有

0.5x(1-20%)x-0.5x(1-20%)^=4,即

x=y+10320.又x<2(),x=2().

這時，y=10.

答：在充分享受優惠的條件下，甲買了9塊或15塊或20塊小手帕時，相應地乙買了1塊或

4塊或10塊小手帕.

第二章一元一次不等式和一元一次不等式組

一、一般地，用符號（或M）"（或2"）連接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.

2、不等式的解不唯一，把所有滿足不等式的解集合在一起，構成不等式的解集.

3、求不等式解集的過程叫解不等式.

4、由幾個一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組

5、不等式組的解集：一元一次不等式組各個不等式的解集的公共部分。

6、等式基本性質1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得的結果仍是等式.

基本性質2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數（除數不為0）,所得的結果仍是等式.

二、不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變.

（注：移項要變號，但不等號不變。）

性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

三、解不等式的步驟：1、去分母；2、去括號；3、移項、合并同類項；4、系數化為

1.四、解不等式

組的步驟:1、解出不等式的解集。2、在同一數軸表示不等式的解集。3、寫出不等式組的

解集。

五、列一元一次不等式組解實際問題的一般步驟：

（1）審題；（2）設未知數，找（不等量）關系式；

（3）設元，（根據不等量）關系式列不等式（組）（4）解不等式組；檢驗并作答。

元一次不等式（組）解應用題精講及分類練習

識別不等式（組）類應用題的幾個標志，供解題時參考.

一.下列情況列一元一次不等式解應用題

1.應用題中只含有一個不等量關系，文中明顯存在著不等關系的字眼，如“至少”、“至多”、

“不超過”等.

例1.為了能有效地使用電力資源，寧波市電業局從I月起進行居民峰谷用電試點，每

天8：00至22：00用電千瓦時0.56元（“峰電”價）,22：00至次日8：00每千瓦時0.28元

（“谷電”價）,而目前不使用“峰谷”電的居民用電每千瓦時0.53元.當“峰電”用量不超過

每月總電量的百分之幾時，使用“峰谷”電合算？

分析：本題的一個不等量關系是由句子"當'峰電’用量不超過每月總電量的百分之

幾時，使用‘峰谷'電合算”得來的，文中帶加點的字“不瞪過”明顯告訴我們該題是一道

需用不等式來解的應用題.

解:設當“峰電”用量占每月總用電量的百分率為x時，使用“峰谷”電合算，月用電量總

量為y.依題意得0.56xy+0.28y（1—x）<0.53y.

解得x<89%

答：當“峰電”用量占每月總用電量的89%時，使用“峰谷”電合算.

2.應用題仍含有一個不等量關系，但這個不等量關系不是用明顯的不等字眼來表達的，

而是用比較隱蔽的不等字眼來表達的，需要根據題意作出判斷.

例2.周未某班組織登山活動，同學們分甲、乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂

進發.設甲、乙兩組行進同一段路程所用的時間之比為2：3.

⑴直接寫出甲、乙兩組行進速度之比；

⑵當甲組到達山頂時，乙組行進到山腰A處，且A處離山頂的路程尚有1.2千米.試問

山腳離山頂的路程有多遠？

⑶在題⑵所述內容（除最后的問句外）的基礎上，設乙組從A處繼續登山，甲組到達山

頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇.請你先根據以上情景提出一

個相應的問題，再給予解答（要求：①問題的提出不得再增添其他條件；②問題的解決必須

利用上述情景提供的所有已知條件）.

解：⑴甲、乙兩組行進速度之比為3：2.

Y3

⑵設山腰離山頂的路程為X千米，依題意得方程為二一=2,

x—1.22

解得x=3.6（千米）.經檢驗x=3.6是所列方程的解，

答：山腳離山頂的路程為3.6千米.

⑶可提問題：“問B處離山頂的路程小于多少千米？”再解答如下：

設B處離山頂的路程為m千米(m>0)

甲、乙兩組速度分別為3k千米/時，2k千米/時(k>0)

依題意得上<L2一",解得mV0.72(千米).

3k2k

答:B處離山頂的路程小于0.72千米.

說明:本題由于所要提出的問題被兩個條件所限制，因此，所提問題應從句子“乙組從A處

繼續登山，甲組到達山頂后體厚序刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇”去突

破，若注意到“甲組到達山頂后你總生刻”中加點的四個字，我們就可以看出題中隱含著這樣

一個不等關系:乙組從A處走到B處所用的時間比甲組從山頂下到B處所用的時間來得少,

即可提出符合題目要求的問題且可解得正確的答案.

二.下列情況列一元一次不等式組解應用題

1.應用題中含有兩個(或兩個以上，下同)不等量的關系.它們是由兩個明顯的不等關系體

現出來，一般是講兩件事或兩種物品的制作、運輸等.

例3.已知服裝廠現有A種布料70米,B種布料52米，現計劃用這兩種面料生產M,N兩種

型號的時裝共80套.已知做一套M型號的時裝需用A種布料0.6米,B種布料0.9米,可獲利

45元;做一套N型號的時裝需用A種布料L1米,B種布料0.4米，可獲利潤50元.若設生產N

型號碼的時裝套數為X,用這批布料生產這兩種型號的時裝所獲的總利潤為y元.

(1)求y(元)與x(套)的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；

(2)服裝廠在生產這批時裝中，當N型號的時裝為多少套時，所獲利潤最大?最大利潤是多

少？

分析:本題存在的兩個不等量關系是:①合計生產M、N型號的服裝所需A種布料不大

于70米;②合計生產M、N型號的服裝所需B種布料不大于52米.

解:(1)y=45(80—x)+50x,即y=5x+3600.

‘0.6(80-幻+1.1x470;

依題意得《

0.9(80-幻+0.4x452.

解之，得40WxW44.

Vx為整數,自變量x的取值范圍是40,41,42,43,44.

⑵略

2.兩個不等關系直接可從題中的字眼找到，這些字眼明顯存在著上下限.

例4.某校為了獎勵在數學競賽中獲勝的學生,買了若干本課外讀物準備送給他們.如

果每人送3本,則還余8本;如果前面每人送5本,則最后一人得到的課外讀物不足3布設該

校買了m本課外讀物,有x名學生獲獎.請回答下列問題：

(1)用含x的代數式表示m;

(2)求出該校的獲獎人數及所買課外讀物的本數.

分析:不等字眼“不足3本”即是說全部課外讀物減去5(x—l)本后所余課外讀物應在

大于等于0而小于3這個范圍內.

解：⑴m=3x+8

3x+8—5(x—1)>0

⑵由題意，得《

3x+8-5(x—1)<3.

二不等式組的解集是:5〈xW工

2

：x為正整數，；.x=6.

把x=6代入m=3x+8,得m=26.答：略

例5.某城市的出租汽車起步價為10元(即行駛距離在5千米以內都需付10元車費),

達到或超過5千米后,每行駛1千米加1.2元(不足1千米也按1千米計).現某人乘車從甲地

到乙地,支付車費17.2元，問從甲地到乙地的路程大約是多少？

分析:本題采用的是“進一法”，對于不等關系的字眼“不足1千米也按1千米計”，

許多同學在解題時都視而不見,最終都列成了方程類的應用題,事實上,顧客所支付的17.2

元車費是以上限11公里來計算的，即顧客乘車的范圍在10公里至11公里之間.理論上收費

是按式子10+1.2(x-5)來進行的,而實際收費是取上限值來進行的.

解:設從甲地到乙地的路程大約是x公里，依題意,得

10+5X1.2<10+1.2(x-5)W17.2

解得10<xWll

答:從甲地到乙地的路程大于10公里，小于或等于11公里.

用一元一次不等式組解決實際問題的步驟:

⑴審題，找出不等關系；

⑵設未知數；

⑶列出不等式；

⑷求出不等式的解集;

⑸找出符合題意的值;

⑹作答。

(分配問題)

1、一堆玩具分給若干個小朋友，若每人分3件，則剩余4件，若前面每人分4

件，則最后一人得到的玩具最多3件，問小朋友的人數至少有多少人？。

設：一共有X個小朋友，則玩具總數=3X+4件。

第二次分的時候，前面X-1個小朋友每人得到4件，則一共有4(X-1)=4X-4件。

余下的不足3件，也就是0<(3X+4)-(4X-4)<3

化簡得0<-X+8<3,8>X>5

因為小朋友的人數為整數，所以X的取值有2個，分別是6人和7人。

當6個小朋友時，玩具總數22件，前5個每人分4件，最后1人得2件；

當7個小朋友時，玩具總數25件，前6個每人分4件，最后1人得1件。

2、解放軍某連隊在一次執行任務時，準備將戰士編成8個組，如果每組人數比

預定人數多1名，那么戰士人數將超過100人，則預定每組分配戰士的人數要超

過多少人？

設：預定每組x人。

由已知得：8x+8>100

解得：x>11.5

根據實際情況，解得預定每組分配戰士的人數至少12人。

3、把若干顆花生分給若干只猴子。如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每

只猴子分5顆，那么最后一只猴子雖分到了花生，但不足5顆。問猴子有多少只，

花生有多少顆？

解：設有x只猴子和y顆花生，則：

y-3x=8,①

5x-y<5.②

由①得：y=8+3x,③

③代入②得5x-(8+3x)V5,

x<6.5

因為y與x都是正整數，所以x可能為6,5,4,3,2,1,相應地求出y的值為26,23,

20,17,14,11.

經檢驗知，只有x=5,y=23和x=6,y=26這兩組解符合題意.

答：有五只猴子，23顆花生，或者有六只猴子，26顆花生.

4、把一些書分給幾個學生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每

個學生分5本，那么最后一人就分不到3本。問這些書有多少本？學生有

多少人？

設有X名學生，那么有(3X+8)本書，于是有

0<(3x+8)-5(x-1)<3

0<-2x+13<3

-13<-2x<-10

5<x<6.5

因為x整數，所以X=6o

即有6名學生，有26本書。

5、某中學為八年級寄宿學生安排宿舍，如果每間4人，那么有20人無法

安排，如果每間8人，那么有一間不空也不滿，求宿舍間數和寄宿學生人

數。

設宿舍有x間

V如果每間數宿舍住4人，則有20人沒有宿舍住

二學生人數為4X+20

?.?如果每間住8人，則有一間宿舍住不滿

.,.0<8x-(4x+20)<8,x為整數

.,.0<4x-20<8

20<4x<28

.,<5<x<7

???x=6即宿舍有6間，學生人數有4x+20=44人

6、將不足40只雞放入若干個籠中，若每個籠里放4只，則有一只雞無籠可放;

若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放,且最后一籠不足3只。問有籠多少個？

有雞多少只？

設有x個籠子

4x+1<40得x<=9

5(x-2)+3>4x+1得x>8

所以x=9

7、用若干輛載重量為8噸的汽車運一批貨物，若每輛汽車只裝4噸，則剩下

20噸貨物；若每輛汽車裝滿8噸，則最后一輛汽車不滿也不空。請問：有多少

輛汽車？

設有X輛汽車

4X+20=8(X-1)

4X+20=8X-8

4X=28

X=7

有7輛汽車

8、一群女生住若干家間宿舍，每間住4人，剩下19人無房住；每間住6人，有

一間宿舍住不滿。

(1)如果有x間宿舍，那么可以列出關于x的不等式組：

(2)可能有多少間宿舍、多少名學生？你得到幾個解？它符合題意嗎？

不空也不滿表示最后一間房有1?5人。

6(x-1)<4x+19<6x

9.5<x<12.5x=10或11或12

10間宿舍，59人

11間宿舍，63人

12間宿舍，67人

3組解

(積分問題)

1、某次數學測驗共20道題(滿分100分)。評分辦法是：答對1道給5分，答

錯1道扣2分，不答不給分。某學生有1道未答。那么他至少答對幾道題才能及

格？

因為總共有20道題，一道未答，則總共答了19道題。

設答對X道，則答錯(19-X)道題。根據題意得：

5X-2(19-X)>=60

7X>=98

X>=14

所以，至少答對14題就及格了。

2、在一次競賽中有25道題，每道題目答對得4分，不答或答錯倒扣2分，如果

要求在本次競賽中的得分不底于60分，至少要答對多少道題目？

解：設至少需要做對x道題(x為自然數)。

4x-2x(25-x)>60

4x-50+2x>60

6x>110

X>19

答：至少需要做對19道題。

3、一次知識競賽共有15道題。競賽規則是：答對1題記8分，答錯1題扣4

分，不答記0分。結果神箭隊有2道題沒答，飛艇隊答了所有的題，兩隊的成績

都超過了90分，兩隊分別至少答對了幾道題？

設神箭隊答對x題。則答錯15-2-x,即(13-x)題

8x-4(13-x)>90

解得x>71/6

所以至少答對12道題

設飛艇隊答對x題。則答錯(15-x)題

8x-4(15-x)>90

解得x>25/2

所以至少答對13道題

4、在比賽中，每名射手打10槍，每命中一次得5分，每脫靶一次扣1分，得到

的分數不少于35分的射手為優勝者，要成為優勝者，至少要中靶多少次？

8次：5x8=40,40-2=38,38>35

追問

不等式的方法.....？

回答

恩。。。因為每名射手打10槍必須打完

5.有紅、白顏色的球若干個，已知白球的個數比紅球少，但白球的兩倍比紅球多，

若把每一個白球都記作數2,每一個紅球都記作數3,則總數為60,求白球和紅

球各幾個？

可令白球的個數X,則紅球的個數(60-2x)/3；

依題意有：x<(60-2x)/3<2x,得：7.5<x<12,,

故：15<2x<24,-24<-2x<-15,得：12<(60-2x)/3<15,

(60-2x)/3=130^,x不是整數；因此(602x)/3=14；得x=9；

所以：白球的個數9,紅球的個數14.

(比較問題)

1、某校校長暑假將帶領該校“三好學生”去三峽旅游，甲旅行社說：如果校長

買全票一張，則其余學生可享受半價優惠；乙旅行社說：包括校長在內全部按全

票的6折優惠。已知兩家旅行社的全票價都是240元，至少要多少名學生選甲旅

行社比較好？

240*0.6=144240*0.5=120

假定有X個學生就有

240+120x>144(x+1)

X=4所以至少4人選甲旅行社比較好

2、李明有存款600元，王剛有存款2000元，從本月開始李明每月存款500元，

王剛每月存款200元，試問到第幾個月，李明的存款能超過王剛的存款。

答：第x個月，李明的存款能超過王剛的存款

600+500x>2000+200x

x>14/3

取x=5

到第5個月，李明的存款能超過王剛的存款

3、暑假期間，兩名家長計劃帶領若干名學生去旅游，他們聯系了報價為每人500

元的兩家旅行社，經協商，甲旅行社的優惠條件是：兩名家長全額收費，學生都

按七折；乙旅行社的優惠條件是：家長，學生都按八折收費。假設這兩位家長至

帶領多少名學生去旅游，他們應該選擇甲旅行社？

設有X名學生去旅游。

則500*2+0.7*500X=0.8*500(X+2)

解得X=4

所以，當學生人數少于4人時，乙旅行社便宜。

當學生人數等于4人時，甲乙旅行社一樣便宜。

當學生人數大于4人時，甲旅行社便宜。

(行程問題)

1、抗洪搶險，向險段運送物資，共有120公里原路程，需要1小時送到，前半

小時已經走了50公里后，后半小時速度多大才能保證及時送到？

解：設后半小時的速度至少為x千米/小時

50+(1-1/2)x>120

50+1/2x>120

1/2x>70

x>140

答：后半小時的速度至少是140千米/小時。

2、爆破施工時，導火索燃燒的速度是0.8cm/s,人跑開的速度是5m/s,為了使點

火的戰士在施工時能跑到100m以外的安全地區，導火索至少需要多長？

假設導火索長為X厘米

人要跑100米，速度為5m/s,那么人就要跑100/2=20秒，

導火索長為xcm,速度為0.8cm/s,那么導火索燃燒的時間就是X/0.8秒

導火索燃燒的時間必須要大于人拋開的時間才會安全，就是：

X/0.8》20

就是X》16

3、王凱家到學校2.1千米，現在需要在18分鐘內走完這段路。已知王凱步行速

度為90米/分，跑步速度為210米/分，問王凱至少需要跑幾分鐘？

設王凱至少需要跑x分鐘

210x+90(18-x)<2100

210x+1620-90x^2100

120x^480

x=4

答：所以至少需要跑4分鐘

4、抗洪搶險，向險段運送物資，共有120公里原路程，需要1小時送到，前半

小時已經走了50公里后，后半小時速度多大才能保證及時送到？

解：設后半小時的速度至少為x千米/小時

50+（1-1/2）x>120

50+1/2x>120

1/2x>70

x>140

答：后半小時的速度至少是140千米/小時。

（車費問題）

1、出租汽車起價是10元（即行駛路程在5km以內需付10元車費），達到或超過5km

后,每增加1km加價1.2元（不足1km部分按1km計）,現在某人乘這種出租汽車

從甲地到乙地支付車費17.2元，從甲地到乙地的路程超過多少km?

解析本題屬于列不等式解應用題.

設甲地到乙地的路程大約是xkm,

據題意，得

16<10+1.2（x-5）<17.2,

解之，得10VXW11

即從甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km.

2、某種出租車的收費標準是：起步價7元（即行駛距離不超過3km都需要7元

車費），超過3km,每增加1km,力口收2.4元（不足1km按1km計）。某人乘這

種出租車從A地到B地共支付車費19元。設此人從A地到B地經過的路程最

多是多少km?

解：設此人從甲地到乙地經過的路程是xkm

19-2.4<7+2.4（x-3）<19

9.6<2,4（x-3）<12

4<x-3<5

7<x<8

答：此人從甲地到乙地經過的路程是7—8km（不含7千米，含8千米）。

（工程問題）

1.一個工程隊規定要在6天內完成300土方的工程，第一天完成了60土方，現

在要比原計劃至少提前兩天完成，則以后平均每天至少要比原計劃多完成多少方

±?

設以后幾天內平均每天至少要完成X土方

(6-1-2)x>300-60

3x>240

x>80

2.用每分鐘抽1.1噸水的A型抽水機來抽池水，半小時可以抽完；如果改用B

型抽水機，估計20分鐘到22分可以抽完。B型抽水機比A型抽水機每分鐘約

多抽多少噸水？

設B型抽水機每分鐘抽x噸水，則：

1.1x30/20=1.65噸

1.1x30/22=1.51^

1.5<x<1.65

0.4<x-1.1<0.55

B型抽水機比A型抽水機每分鐘約多抽0.4?0.55噸水

3.某工人計劃在15天里加工408個零件，最初三天中每天加工24個，問以后每

天至少要加工多少個零件，才能在規定的時間內超額完成任務？

設以后每天至少加工x個零件，才能在規定的時間內超額完成任務，根據題意列方程：

3*24+(15-3)*x>408

12x>336

x>28

答;以后每天至少加工28個零件，才能在規定時間內超額完成任務。

4、某車間有組裝1200臺洗衣機的任務，若最多用8天完成，每天至少要組裝多

少臺？

12004-8=150

(濃度問題)

1、在1千克含有40克食鹽的海水中，在加入食鹽，使他成為濃度不底于20%

的食鹽水，問：至少加入多少食鹽？

解：設再加入x克食鹽

40+x為食鹽質量1000+x為溶液總質量

(40+x)^(1000+x)>20%

解得x>200

答：至少加200克食鹽

2、一種滅蟲藥粉30千克，含藥率是15%,現在要用含藥率比較高的同種藥粉

50千克和它混合，使混合的含藥率大于20%,求所用藥粉的含藥率的范圍。

解：設所用藥粉的含藥率為a,可得：

30x15%+50a>20%(30+50)

4.5+50a>16

50a>11.5

a>0.23

答：所用藥粉含藥率應大于23%.

(增減問題)

1、一根長20cm的彈簧，一端固定，另一端掛物體。在彈簧伸長后的長度不超

過30cm的限度內，每掛1kg質量的物體，彈簧伸長0.5cm.求彈簧所掛物體的最

大質量是多少？

解：

△x'=0.5cm=0.005m

彈簧的彈性系數：K=m'g/Ax'=1xl0/0.005=2000N/m

設最多可掛重物為mkg,則根據胡克定律可得：

mg=kAx,m=kAx/g

又因為，△x<30-20=10cm=0.1m

所以，m<kAx/g=2000x0.1/10=20(Kg)

即m<20kg

答:略。

2、幾個同學合影，每人交0.70元，一張底片0.68元，擴印一張相片0.5元，每

人分一張，將收來的錢盡量用完，這張照片上的同學至少有多少個？

0.68+0.5x<=0.7x

0.68<=0.2x

3.4<=x

所以至少要4個人

3、某人點燃一根長度為25cm的蠟燭，已知蠟燭每小時縮短5cm,幾個小時以后,

蠟燭的長度不足10cm?

答：當y<10時，25-5XV10,

解這個不等式得x>3.

所以3h后蠟燭的長度不足10cm.

(銷售問題)

1、商場購進某種商品m件，每件按進價加價30元售出全部商品的65乳然后

再降價10%,這樣每件仍可獲利18元，又售出全部商品的25%。

(1)試求該商品的進價和第一次的售價；

(2)為了確保這批商品總的利潤率不低于25%,剩余商品的售價應不低于

多少元？

設進價是x元，

(1-10%)*(x+30)=x+18

x=90

設剩余商品售價應不低于y元，

(90+30)*M*65%+(90+18)*M*25%+(1-65%-25%)*M*y>90*M*(1+25%)

y>75

剩余商品的售價應不低于75元

2.水果店進了某中水果It,進價是7元/kg。售價定為10元/kg,銷售一半以后，

為了盡快售完，準備打折出售。如果要使總利潤不低于2000元，那么余下的水果

可以按原定價的幾折出售？

設按原價的x折出售

所以：

1000x1/2x10+1000x1/2x10xx/10>=7x1000+2000

5000+500x>=9000

5x>=40

x>=8

所以至多打8折

3.“中秋節”期間蘋果很熱銷，一商家進了一批蘋果，進價為每千克1.5元，銷

售中有6%的蘋果損耗，商家把售價至少定為每kg多少元，才能避免虧本？

1.6元

1000x1.5=1500

1500+（1-6%）<實際價格

2、某電影院暑假向學生優惠開放，每張票2元。另外，每場次還可以售出每張

5元的普通票300張，如果要保持每場次票房收入不低于2000元，那么平均每

場次至少應出售學生優惠票多少張？

設應售出X張學生優惠票，當收入等于2000元時：

2X+5*300=2000

2X=500

X=250

即每場至少售出250張學生優惠票。

4.某中學需要刻錄一批電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元（包括空白

光盤費）；若學校自刻，出租用刻錄機需120元外，每張光盤還需成本4元（包

括空白光盤費）。問刻錄這批電腦光盤，該校如何選擇，才能使費用較少？

8x>120+4x

x>30

答：如果少于30張，電腦公司刻合適，

如果等于30張，（不考慮飛盤）都可以。

如果大于30張，那還是自刻便宜！而且刻錄張數越多，自刻越便宜！

題外話：

現在的刻錄機很便宜，空白光盤成本才1元左右，還是自己刻錄省錢。

5.某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資

分別為600元和1000元.現要求乙種工種的人數不少于甲種工種人數的2倍，問甲、

乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？

解：設乙工種招聘x人

x>2(150-x)

.,.x>100

W［工資］=600(150-x)+1000x=400x+90000

V400>0,

.,.x=100時，W［工資］最少=400x100+90000=130000(元)

甲乙工人各招聘50人、100人時每月所付的工資最少為130000元

6.學校圖書館準備購買定價分別為8元和14元的雜志和小說共80本，計劃用錢

在750元到850元之間(包括750元和850元)，那么14元一本的小說最少可以

買多少本？

設14元一本的小說可以買x本，則8元一本的小說可以買(80-x)本。根據題意，有：

750<14x+8(80-x)<850(若想列為方程組則可拆為兩個不等式)

750<640+6x<850

110<6x<210

18.33<x<21

取整數，則可得知：14元一本的小說最少可以買19本，最多可以買21本。

(數字問題)1.有一個兩位數，其十位上的數比個位上的數小2,已知這個兩位

數大于20且小于40,求這個兩位數

分析：這題是一個數字應用題，題目中既含有相等關系，又含有不等關系，需運用不等式

的知識來解決。題目中有兩個主要未知數---十位上的數字與個位上的數；一個相等關系：

個位上的數=十位上的數+2,一個不等關系：20〈原兩位數<40。

解法(1):設十位上的數為x,則個位上的數為(x+2),原兩位數為10x+(x+2),

由題意可得：20<10x+(x+2)<40,

解這個不等式得，1<x<3,

：x為正整數，,1<x<3的整數為x=2或x=3,

當x=2時，10x+(x+2)=24,

當x=3時，10x+(x+2)=35,

答：這個兩位數為24或35。

解法（2）:設十位上的數為x,個位上的數為y,則兩位數為10x+y,

由題意可得（這是由一個方程和一個不等式構成的整體，既不是方程組也不是不等式組,

通常叫做“混合組

將⑴代入⑵得，20<11x+2<40,

解不等式得：1<x<3,

：x為正整數，1<x<3的整數為x=2或x=3,

當x=2時，y=4,A10x+y=24,

當x=3時，y=5,.I10x+y=35.

答：這個兩位數為24或35。

解法（3）:可通過“心算”直接求解。方法如下：既然這個兩位數大于20且小于40,所以它

十位上的數只能是2或3。當十位數為2時，個位數為4,當十位數為3時，個位數為5,所以

原兩位數分別為24或35

方案選擇與設計

1.某廠有甲、乙兩種原料配制成某種飲料，已知這兩種原料的維生素C含量及

購買這兩種原料的價格如下表：

八甲種原料乙種原料

維生素C/（單位/千克）600100

原料價格/（元/千克）84

現配制這種飲料10千克，要求至少含有4200單位的維生素C,并要求購買甲、

乙兩種原料的費用不超過72元，

（1）設需用x千克甲種原料，寫出x