中考圓壓軸專題

一、選擇題（本大題共3小題，共9.0分）

1.如圖，在邊長為4的正方形488中，以點B為圓心，AB為

半徑畫弧，交對角線8。于點E,則圖中陰影部分的面積是（

結果保留兀）（）

A.8—7T

B.16-2TT

C.8—27r

D.87T

2.如圖，等腰△ABC中，AB=AC=5cm,BC=8cm.

動點。從點C出發，沿線段CB以2cm/s的速度向

點B運動，同時動點。從點B出發，沿線段BA以

lsn/s的速度向點A運動，當其中一個動點停止運動時另一個動點也隨時停

止.設運動時間為t（s）,以點O為圓心，08長為半徑的。。與8A交于另一點

E,連接ED.當直線OE與。。相切時，/的取值是（）

A.日B.|C.gD.V3

3.如圖，△ABC是。。的內接三角形，乙4=119。，過點C的圓的切線交8。于點

P,貝此P的度數為（）

C.29°D.61°

二、填空題（本大題共3小題，共9.0分）

4.如圖，扇形。AB中，乙40B=90。/為弧AB上的一

點，過點尸作PC1OA,垂足為C,PC與AB交于點D.

若PD=2,CD=1,則該扇形的半徑長為.

5.如圖，AD是AABC的高，AE是AZBC的外接圓0。的直

徑，且4B=4應，AC=5,AD=4,則。0的直徑

AE=.

6.如圖，CD為。。的直徑，弦ABICD,垂足為E,AB=

臥，CE=1,AB=6,則弦AF的長度為

三、計算題(本大題共1小題，共6.0分)

7.如圖，在。。中，AB是直徑，BC是弦，BC=BD,

連接CD交O。于點E,乙BCD=4DBE.

(1)求證：BO是。。的切線.

(2)過點E作48于凡交BC于G,已知DE=

2V10,EG=3,求8G的長.

第2頁，共28頁

四、解答題(本大題共10小題，共80.0分)

8.如圖，00是AABC的外接圓，A8是直徑，。是AC中點，直線0。與。。相交

于E,尸兩點，P是。。外一點，P在直線OD上，連接月4,PC,AF,且滿足

APCA=/.ABC.

(1)求證：P4是。。的切線；

(2)證明：EF2=4OD-OP；

(3)若BC=8,tan^AFP=求。E的長.

備用圖

9.如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為直徑，。是。。上一點，且弧。8=弧8,

CE1DA交DA的延長線于點E.

E

(1)求證：4CAB=4CAE；

(2)求證：CE是。。的切線；

(3)若AE=1,BD=4,求。。的半徑長.

10.如圖，M,N是以AB為直徑的。。上的點，且

AN=BN，弦MN交AB于點C,8M平分

乙ABD,MF1BD于點尸.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若CN=3,BN=4,求CM的長.

第4頁，共28頁

11.如圖，四邊形ABC。內接于O。，ADIIBC,P為8力上一點，/.APB=/.BAD.

(1)證明：AB=CD；

(2)證明：DPBD=AD-BC；

(3)證明：BD2=AB2+AD-BC.

12.如圖，在AABC中.N4BC=N4CB,以AC為直徑的。。

分別交AB、BC于點M、N,點尸在AB的延長線上，且

Z.BCP=-2Z.BAC.

(1)求證：C尸是。。的切線；

(2)若BC=3近，cosZSCP=―,求點8到AC的距離.

6

13.如圖，在AABC中，NC=90。，點。在AC上，以0A為半徑的。。交A8于點

D,80的垂直平分線交BC于點E,交BD于點F,連接。E.

(1)判斷直線。E與0。的位置關系，并說明理由;

(2)若4C=3,BC=4,OA=1,求線段OE的長.

14.如圖，在MIBCD中，連接AC,。。是A4BC的外接圓，。。交A。于點￡

(1)求證CE=CD；

(2)若N4CB=乙DCE.

①求證CD與。。相切;

②若。。的半徑為5,BC長為4而，則4E=

第6頁，共28頁

15.如圖，。。的內接四邊形ABC。兩組對邊的延長線分別交于點E、F.

(1)當NE=4F時，則NADC=°；

(2)當44=55。，NE=30。時，求立尸的度數；

(3)若2E=a,4F="且a40.請你用含有a、/?的代數式表示的大小.

16.如圖，AB=AC,。。為△ABC的外接圓，A尸為。。的直徑，四邊形A8CO是平

行四邊形.

(1)求證：4。是。。的切線;

(2)若NB4C=45。，AF=2,求陰影部分的面積.

17.如圖，點P在y軸上，OP交x軸于A、B兩點,連結8P并延長交。P于C,過

點C的直線y=2x+b交x軸于。，且。P的半徑為V5-AB=4.

(1)直接寫出8、P、C三點坐標；

(2)求證：C3是。P的切線；

(3)過點A作圓P的切線交C。于點M,求"的坐標.

第8頁，共28頁

1.【答案】C

根據S陽=S&ABD-S版的4E計算即可?

【解答】

解：陰=

SShABD-S^BAE=Ix4x4-=8-2n,

故選：C.

2.【答案】A

【解析】解：作AH_LBC于H,如圖，BE=23BD=

8—2tf

AB=AC=5f

.?.BH=CH/BC=4,

當BEIDE,直線OE與O。相切，則NBED=90。,

???Z.EBD=乙4B”，

BED~ABHA,

需=需即4=等，解得"拳

故選：A.

作4H1BC于H,如圖，利用等腰三角形的性質得BH=CH=4,利用切線的判定方

法，當BEIDE,直線OE與。。相切，則NBED=90。，然后利用△B/M,

通過相似比可求出/的值.

本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切

線.也考查了等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質.

3.【答案】A

解：如圖所示：連接OC、CD,

???PC是。。的切線,

APC10C,

???40cp=90°,

??z=119°,

:.乙ODC=180。一乙4=61°,

???

OC=ODf

???^OCD=ZODC=61°,

???Z.DOC=180°-2x61°=58°,

.??乙p=90°-乙DOC=32°；

故選A.

4.【答案】5

連接OP,利用等腰三角形的性質可得出乙。4B=45°,結合尸C104可得出△ACD為

等腰直角三角形，進而可得出4C=1,設該扇形的半徑長為，則。。=丁-1,在白△

POC中，利用勾股定理可得出關于廠的方程，解之即可得出結論.

【解答】

解：連接。P,如圖所示.

----------

???0A=OB,^AOB=90°,

Z.OAB=45°.

?

??PC10Af

???△4CD為等腰直角三角形，

-.AC=CD=1.

設該扇形的半徑長為「，則。。=T一1,

在RMP0C中，4PC。=90。，PC=PD+CD=3,

OP2=OC2+PC2,即丁2=(r—l)2+32,

解得：r=5.

故答案為：5.

5.【答案】5V2

【解答】

解：由圓周角定理可知，zE=Z.C,

???4。是448。的高，AE是△48C的外接圓O。的直徑,

第10頁，共28頁

???Z.ABE=Z.ADC=90°,

???△ABE^^ADCf

AAB：AD=AE：AC,

vAB=4>/2，AC—5,AD—4,

???4V2：4=AE：5,

???AE=5V2,

故答案為5VL

6.【答案】y

連接04、OB,08交AF于G,如圖，利用垂徑定理得到AE=BE=3,設。。的半

徑為r,則。E=r-1,0A=r,根據勾股定理得到3?+(r-1產=*,解得「=5,

再利用垂徑定理得到OB14F,AG=FG,則4G2+062=52,AG2+(5-0G)2=

62,然后解方程組求出AG,從而得到AF的長.

【解答】

解：連接。4OB,0B交AF于G,如圖，

???AB1CD,

-.AE=BE=-AB=3,

2

設。。的半徑為r,則OE=r-l,OA=r,

在RtACME中，32+(r-I)2=r2,解得r=5,

AB=BF>

OB±AF,AG=FG,

在RtAtMG中，AG2+OG2=52,①

在RtAABG中，AG2+^-0Gy=62,(2)

解由①②組成的方程組得到4G=y,

48

???AF=2AG=—.

5

故答案為

7.【答案】（1）證明：如圖1,連接AE,則4A=4C,

D

???乙4EB=90°,

???/.A+/.ABE=90°,

vNC=Z.DBE,

???乙4BE+4DBE=90°,即乙4BD=90°,

???8D是。。的切線

(2)解：如圖2,延長EF交。。于“，

D

"EFLAB,48是直徑,

???BE=BH>

：.4ECB=乙BEH,

■:Z-EBC=乙GBE,

?△GBE,

?B?E?一=BC一,

BGBE

vBC=BD,

???乙D=乙C,

第12頁，共28頁

???Z.C=乙DBE,

???Z.D=Z,DBE,

BE=DE=2V10>

LAFE=乙ABD=90°,

BD//EF,

???乙D=乙CEF,

:.LC=乙CEF,

-CG=GE=3,

:.BC=BG4-CG=BG+3,

.2g_8G+3

,?BG-2^16f

???BG=-8（舍）或BG=5,

即3G的長為5.

【解析】（1）連接AE,由條件可得出乙4EB=90。，證明=得出乙4BE+

乙DBE=90°,即乙48。=90°,結論得證；

（2）延長EF交。。于H,證明△EBC7GBE,得出翌=能求出BE長，求出CG=

BGBE

GE=3,則BC=BG+3,可得出史史=罕，解出BG=5.

BG2V10

本題考查了切線的判定定理、圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質的綜

合應用，正確作出輔助線，用好圓的性質是解題的關鍵.

8.【答案】解：（1）證明：???。是弦AC中點，

:.ODLAC,

???PO是AC的中垂線，

???PA=PC,

???Z-PAC=Z-PCA.

???4B是。。的直徑，

???AACB=90°,

???/.CAB+/.CBA=90°.

又???Z.PCA=Z.ABC,

：.4PCA+Z.CAB=90°,

???ACAB+APAC=90°,即AB1PA,

??.P4是。。的切線；

(2)證明：由(1)知乙。IM=404P=90。，

???Rt△AOD^Rt△POAf

AODO

???一=一,

POAO

OA2=OP-OD.

又04=2EF,

：.-EF2=OP-OD,即EF2=4OP-。。.

4

2

(3)tanzjl"=

在/中，設4C=2a,貝ijDF=3a.

???。是4B中點，OD“BC,

OD=-2BC=4,

???AO=OF=3a-4.

???OD2+AD2=AO2,即42+(2a)2=(3a-4)2,解得a=g,

37

???DE=OE-OD=3a-8=^.

【解析】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質，勾

股定理，判斷出Rt△AODsRt△P04是解本題的關鍵.

(1)先判斷出P4=PC,得出NP4C=NPC4再判斷出乙1CB=90。，得出NC4B+

/.CBA=90°,再判斷出NPC4+/CAB=90。，得出N&4B+/P4C=90。，即可得出結

論；

△AOD-Rt△POA,得出。屁=。。?。。，進而得出］EF2=OP-。。，

即可得出結論；

(3)在RtaADF中，設4D=2a,得出。尸=3a.OD==4,AO=OF=3a-4,

最后用勾股定理得出。。2+4。2=4。2,即可得出結論.

9.【答案］【解答】

證明：(1)連接8。

第14頁，共28頁

???CB=CD>

???Z.CDB=Z.CBD,CD=BC

???四邊形ACB。是圓內接四邊形

：?4CAE=4CBD,5./.CAB=/.CDB,

■1?Z.CAB=/.CAE；

(2)連接OC

???48為直徑，

???Z,ACB=90°=Z,AEC9

又??,Z.CAB=Z.CAE,

???Z.ABC=Z.ACE,

???OB=OC,

???乙BCO=Z-CBO,

???Z.BCO=Z-ACE,

ANEC。=Z-ACE+Z.ACO=乙BCO+乙ACO=乙ACB=90°,

???EC1OC,

???OC是。。的半徑，

???CE是00的切線.

(3)過點C作CF14B于點兄

AE=AF,

在和ACFB中,

NDEC=乙BFC=90°

乙EDC=乙FBC

CD=BC

**?△C￡*￡)=△CFB(^AAS'),

???ED=FB,

設4B=x,則4D=%-2,

在△4BD中，由勾股定理得，%2=(x-2)2+42,

解得，%=5,

??.oo的半徑的長為|.

【解析】

【分析】

本題考查了切線的性質，圓周角定理，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正確的

識別圖形是解題的關鍵.

(1)連接B。，根據圓內接四邊形的性質和等弧所對的圓周角相等，可得NCAB=

“4E；

(2)連接OC,由題意可得4ACB=90。=41EC,即可證/BC。=ZJ1CE=乙48(7,可得

/.ECO=/.ACB=90°,則可證CE是。。的切線；

(3)過點C作C尸_L4B于點F,由角平分線的性質可得CE=C凡可證△CEOmACFB,

可得DE=BF,根據勾股定理可求。。的半徑長.

OM—OB,

Z.OMB=Z.OBM,

■■BM平分N4BD,

???乙OBM=Z.MBF,

：.Z.OMB=4MBF,

第16頁，共28頁

???OM//BF,

vMF1BD,

/.OM1MF,即4OMF=90。,

??.MF是O。的切線；

(2)如圖，連接AN,ON

■：AN=介，

???AN=BN=4

?"B是直徑，AN=BN>

4ANB=90°,ON1AB

???AB=yjAN2+BN2=4V2

:.AO=BO=ON=2V2

OC=>jCN2-ON2=V9-8=1

：.AC=2V2+1，5C=2V2-1

NA=4NMB,4ANC=4MBe

???△ACN-4MCB

AC_CN

"'CM='BC

???AC-BC=CM-CN

???7=3-CM

7

CM=-

【解析】本題考查了切線的性質，圓的有關知識，相似三角形的判定和性質，勾股定

理等知識，求OC的長是本題的關鍵.

(1)根據等腰三角形的性質和角平分線的定義證得NOMB=/MBF,得出。M〃BF,即

可證得0M1.MF,即可證得結論；

(2)由勾股定理可求AB的長，可得AO,80,ON的長，由勾股定理可求CO的長，通

過證明△ACNSAMCB,可得差=￡,即可求CM的長.

CMBC

11.【答案】證明：(1)???4O〃BC,

:.Z-ADB=乙DBC,

???AB=CD，

?.AB=CD；

(2)???Z-APB=乙BAD,Z-BAD+乙BCD=180°,Z.APB+Z-APD=180°,

:.乙BCD=Z.APD,

又Y匕ADB=乙CBD,

ADP^^DBC,

ADDP

A—=一,

BDBC

???DPBD=AD,BC；

(3)vZ.APB=乙BAD,^.ABP=Z.DBA,

.??△48Ps△DBA,

tAB_PB

*,DB-AB9

.%AB2=DB,PB,

???AB2+ADBC=DBPB+ADBC

???由(2)得：DPBD=AD-BC,

:.AB2+AD,BC=DB,PB+DP?BD=DB(PB+OP)=DB2,

即BZ)2=AB2^AD-BC.

【解析】此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及圓周角定理，熟練應用相似三

角形的判定與性質是解題關鍵.

(1)利用平行線的性質結合圓周角定理得出密=&,進而得出答案；

(2)首先得出44DP"DBC,進而利用相似三角形的性質得出答案；

(3)利用相似三角形的判定方法得出△ABPQDBA,進而求出AB?=DB-PB,再利用

(2)中所求得出答案.

12.【答案】解：(1)連接4N,貝立N1BC,

第18頁，共28頁

?:/.ABC=4ACB,???△ABC為等腰三角形,

1

乙BAN=CAN乙=a=-BAC=乙BCP,

2

ANAC+乙NCA=90°,即a+4ACB=90°,

??.CP是。。的切線；

(2)???△ABC為等腰三角形，

AS13>/2

???NC=-BC=—，

22

cosZ-BCP=—=cosa,則tcma=—,

65

在△ACN中，AN=—=

tana2

同理AC=迺，

2

設：點B到AC的距離為/z,

11

則SMBC=T4NXBC=3AC/,

即：空、3夜=迺九，

22

解得：h=V15>

故點B到AC的距離為g.

【解析】（1）證明△ABC為等腰三角形，則NM4C+NNC4=90。，即a+/ACB=

90。，即可求解；

（2）在AACN中，AN=—=同理4C=迺，利用SAABC=；ANXBC=：4C-

tana2222

h,即可求解.

本題考查的是切線定理的判斷與運用，涉及到解直角三角形、三角形面積計算等，難

度適中.

13.【答案】（1）證明：連接0。，如圖，

???EF垂直平分BD,

???ED=EB,

???乙EDB=乙B,

vOA=0D9

，Z-A=Z-ODA,

v乙4+NB=90°,

???Z.ODA+Z.EDB=90°,

???乙ODE=90°,

???OD1DE,

二直線OE是。。的切線；

(2)解：vZC=90°,AC=3,BC=4,

AB—5,

作。Hl4。于"，如圖，^\AH=DH,

DZ,A.

在RtA。48中，sinA=

AB5

在Rt△04H中,sinA=誓=3

OA5

4

:.OH=/

4H=/一鼾=/

：.AD=2AH=I，

BD=5-1=y,

BF=-BD=—,

210

在Rt/MBC中，cosB=

在RtABEF中，cosB=^=7,

BE5

cl51919

ABE=-x—=——,

4108

???線段OE的長為o

【解析】（1）連接。。，如圖，根據線段垂直平分線的性質得EO=EB,則NEDB=

乙B,再利用等量代換計算出400E=90。，則。OLDE,然后根據切線的判定定理得

到結論；

第20頁，共28頁

(2)作0H14D于H,如圖，則AH=DH,利用乙4的正弦可計算出。〃=(,貝=

|,AD=2AH=l，所以BF=卷，然后利用4B的余弦計算出E8,從而得到EC的

長.

本題考查了切線的判定與性質：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切

線.圓的切線垂直于經過切點的半徑.判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或

“過圓心作這條直線的垂線”；有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”.也考查了

等腰三角形的性質.

14.【答案】解：(I)、?四邊形ABC。為平行四邊形，

:.Z-B=乙D,

???乙DEC+Z.AEC=180°,乙B+Z.AEC=180°,

:.乙DEC=乙B,

:.乙DEC=乙D,

???CE=CD；

(2)①如圖1,連接CO并延長，交。。于連接EM,

???四邊形48。為平行四邊形,

???AD//BC,AD=BC,

???Z,DAC=乙ACB,

vZ-ACB=乙DCE,

???Z-DAC=Z-DCE,

vZ.DAC=4M,

???Z.DCE=乙M,

???。”為0。直徑，

???乙MEC=90°,

:.匕M+Z-ECM=90°,

A/.DCE+AECM=90°,

???CD1CM,

CD與。0相切;

②券

【解析】

【分析】

本題考查了平行四邊形的性質，切線的判定定理，相似三角形的判定與性質等，解答

本題的關鍵是能夠靈活運用平行四邊形的性質.

(1)利用平行四邊形的性質得到NB=乙D,利用圓內接四邊形的性質證得NDEC=乙B,

即可得到=進一步可推出結論；

(2)①連接CO并延長，交。。于例，連接先證明4DCE=NDAC,進一步證明

NM=乙DCE,即可證明4CM=90°,可推出結論；

②先證明C0_L4B,推出AABC為等腰三角形，設CM與A3交于點4,過點O作

ON1BC于點N,求出ON的長度，再證△CON與△CBH相似，求出A8的長度，最后

證△CAB與ACCE相似，通過相似比求出。E的長度，進一步求出AE的長度.

【解答】

(1)證明：見答案.

(2)①證明：見答案.

②解：如圖2,設CM與AB交于點”，

???四邊形ABCD為平行四邊形,

：.AB//CD,AB=CD,

：.乙BHC=Z.DCM=90°,

CH1.AB,

?■AH=BH,

???CA=CB,

過點。作。NJ.BC于點N,

則CN=BN=^CB=2V5,

第22頁，共28頁

在Rt△ONC中，

ON=>JOC2-CN2=V5.

v乙OCN=Z.BCH,乙ONC=4CHB=90°,

:.ACONfCBH,

...絲="，即三=在，

CBBH4V5BH

???BH=4,

???48=28”=8,

:.CD=CE=8,

?.f=W=1,乙DCE=4ACB,

CECB

DCE~?ACB,

DCDE

???一=一，

CAAB

8DE

.'乘=T

nz?16V5

5

VAD=BC=4A/5.

AE=AD-DE=—?

5

故答案為延.

5

15.【答案】90

【解析】解：(1)vZF=ZF,Z,DCE=Z.BCF,^ADC=Z.E^LDCE,Z.ABC=

乙BCF+乙F,

:./.ADC=Z.ABCJ

???四邊形A3CD是O。的內接四邊形，

???/,ADC+2LABC=180°,

?，?Z-ADC=90°.

故答案為：90°；

(2)???在△ABE中，Z.A=55°,ZE=30°,

???/.ABE=180°-LA一皮=95°,

：?乙40尸=180°-Z,ABE=85°,

???在△4D尸中，Z.F=180°-Z-ADF-Z-A=40°；

(3)vZ.ADC=180°-Z/1-ZF,AABC=180°一一ZF,

v/-ADC+^LABC=180°,

???180°一一乙尸+180°-Z-A-/-E=180°,

???244+NE+4F=180°,

???=90°-=90°-

22

(1)由乙E=4F,易得N4DC=N48C,又由圓的內接四邊形的性質，即可求得答案；

(2)由乙4=55。，4E=30。，首先可求得乙4BC的度數，繼而利用圓的內接四邊形的性

質，求得乙4DC的度數，則可求得答案；

(3)由三角形的內角和定理與圓的內接四邊形的性質，即可求得180。-NA-NF+

180。一乙1一NE=180。，繼而求得答案.

此題考查了圓的內接四邊形的性質以及圓的內接四邊形的性質.注意圓內接四邊形的

對角互補.

16.【答案】解：⑴

■1?AB=AC>

「4尸為。。的直徑，

AF1BC,

?四邊形ABCD是平行四邊形,

AD//BC,

Z.AD1AF,

二4。是。。的切線；

(2)連接OC,OB,

???4BAC=45°,

乙BOC=90°,

■：AF=2,

:，OB=OC=1,

第24頁，共28頁

???BC=V2,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD—BC—V2,

連接0E,

-AB//BD,

???Z.ACE=Z.BAC=45°,

???Z.AOE=2/.ACE=90°,

vOA=OE=1,

???陰影部分的面積=S梯形AGED—S扇形AOE，

=31+@X1-歿A

【解析】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，扇形的面

積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

(1)根據垂徑定理得到4F1BC,根據平行四邊形的性質得到4D〃BC,求得ADJ.AF,

于是得到4。是。。的切線；

(2)連接。C,OB,根據圓周角定理得到NBOC=90。，根據勾股定理得到BC=夜，求

得