2024屆河南省焦作市普通高中數學高二第二學期期末調研試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知有相同兩焦點F1、F2的橢圓+y2=1和雙曲線-y2=1，P是它們的一個交點，則ΔF1PF2的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍有三角形 D．等腰三角形2．用數學歸納法證明“能被13整除”的第二步中，當時為了使用歸納假設，對變形正確的是（）A． B．C． D．3．已知函數圖象如圖，是的導函數，則下列數值排序正確的是（）A．B．C．D．4．已知f'x是函數fx的導函數，將y=fA． B．C． D．5．把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面⊥平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側視圖的面積為()A． B．C． D．6．若△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，△ABC的面，則a=（）A．1 B． C． D．7．在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．（2，4]8．已知全集U=R，集合A=xxx+2<0，A．-2,1 B．-1,0C．(-2,-1]∪[0,1] D．(0,1)9．某研究機構在對具有線性相關的兩個變量和進行統計分析時，得到如表數據．由表中數據求得關于的回歸方程為，則在這些樣本點中任取一點，該點落在回歸直線下方的概率為（）468101212356A． B． C． D．10．已知i為虛數單位，復數z滿足，則復（）A．1 B． C．i D．11．已知隨機變量，且，則A． B． C． D．12．如圖，在直角梯形中，，是的中點，若在直角梯形中投擲一點，則以，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為__________．14．(文科學生做)若，則______．15．設，則與的大小關系是__．16．設，若，則三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在以為直徑的半圓周上，有異于的六個點，直徑上有異于的四個點.則：（1）以這12個點（包括）中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？（2）以這10個點（不包括）中的3個點為頂點，可作出多少個三角形？18．（12分）如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區域．當地政府為了緩解該古跡周圍的交通壓力，欲在圓弧AB上新增一個入口P（點P不與A，B重合），并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點分別是B，P．當新建的兩條公路總長最小時，投資費用最低．設∠POA＝，公路MB，MN的總長為．（1）求關于的函數關系式，并寫出函數的定義域；（2）當為何值時，投資費用最低？并求出的最小值．19．（12分）已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與軸正半軸重合,直線的參數方程為：（為參數，），曲線的極坐標方程為:.（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）設直線與曲線相交于兩點,直線過定點,若，求直線的斜率.20．（12分）已知函數（1）若在區間上是單調遞增函數，求實數的取值范圍;（2）若在處有極值10，求的值;（3）若對任意的，有恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念和提高生態環境的保護意識，高二年級準備成立一個環境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環保知識競賽.（1）設事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數，求的分布列和數學期望.22．（10分）在中，角，，的對邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）已知等差數列的公差不為零，若，且，，成等比數列，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據橢圓和雙曲線定義：又；故選B2、A【解題分析】試題分析：假設當，能被13整除，當應化成形式，所以答案為A考點：數學歸納法3、C【解題分析】結合函數的圖像可知過點的切線的傾斜角最大，過點的切線的傾斜角最小，又因為點的切線的斜率，點的切線斜率，直線的斜率，故，應選答案C．點睛：本題旨在考查導數的幾何意義與函數的單調性等基礎知識的綜合運用．求解時充分借助題設中所提供的函數圖形的直觀，數形結合進行解答．先將經過兩切點的直線繞點逆時針旋轉到與函數的圖像相切，再將經過兩切點的直線繞點順時針旋轉到與函數的圖像相切，這個過程很容易發現，從而將問題化為直觀圖形的問題來求解．4、D【解題分析】

根據f'x的正負與f【題目詳解】因為f'x是函數fx的導數，f'x>0時，函數A中，直線對應f'x，曲線對應B中，x軸上方曲線對應fx，x軸下方曲線對應fC中，x軸上方曲線對應f'x，x軸下方曲線對應D中，無論x軸上方曲線或x軸下方曲線，對應f'x時，fx都應該是單調函數，但圖中是兩個不單調的函數，顯然故選D【題目點撥】本題主要考查函數與導函數圖像之間的關系，熟記導函數與導數間的關系即可，屬于?？碱}型.5、C【解題分析】取BD的中點E，連結CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱錐的側視圖，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面積S=××=，故選C.6、A【解題分析】

根據三角形面積公式可得,利用正余弦平方關系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【題目詳解】因為，，面積，所以.所以.所以，.所以.故選A.【題目點撥】本題考查正余弦定理,面積公式,基礎題.7、A【解題分析】

由，取的中點E，翻折前，連接，則，，翻折后，在圖2中，此時，及，進而得到，由此可求解得取值范圍，得到答案.【題目詳解】由題意得，取的中點E，翻折前，在圖1中，連接，則，翻折后，在圖2中，此時，因為，所以平面，所以，又為的中點，所以，所以，在中，可得①；②；③，由①②③，可得.如圖3，翻折后，當與在一個平面上，與交于，且，又，所以，所以，此時，綜上可得的取值范圍是，故選A.【題目點撥】本題主要考查了平面圖形的翻折問題，以及空間幾何體的結構特征的應用，其中解答中認真審題，合理利用折疊前后圖形的線面位置關系是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.8、C【解題分析】

先弄清楚陰影部分集合表示的含義，并解出集合A、B，結合新定義求出陰影部分所表示的集合?！绢}目詳解】由題意知，陰影部分區域表示的集合S=x集合A=xxx+2A∪B=-2,1，A∩B=因此，陰影部分區域所表示的集合為S=-2,-1∪0,1【題目點撥】本題考查集合的運算、集合的表示法以及集合中的新定義，考查二次不等式以及對數不等式的解法，解題的關鍵就是要弄清楚Venn圖表示的新集合的意義，在計算無限集之間的運算時，可充分利用數軸來理解，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中等題。9、A【解題分析】分析：求出樣本點的中心，求出的值，得到回歸方程得到5個點中落在回歸直線下方的有（，共2個，求出概率即可．詳解：故，解得：，

則

故5個點中落在回歸直線下方的有，共2個，

故所求概率是，

故選A．點睛：本題考查了回歸方程問題，考查概率的計算以及樣本點的中心，是一道基礎題．10、C【解題分析】

利用兩個復數代數形式的除法法則及虛數單位的冪運算性質，化簡復數到最簡形式．【題目詳解】解：復數，故選：．【題目點撥】本題考查兩個復數代數形式的乘除法，兩個復數相除，分子和分母同時除以分母的共軛復數，屬于基礎題．11、B【解題分析】

根據正態分布的對稱性即可得到答案.【題目詳解】由于，故選B.【題目點撥】本題主要考查正態分布中概率的計算，難度不大.12、C【解題分析】

根據，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形建立不等式，其幾何意義為以原點為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分，用此部分去掉即為符合條件的的運動區域，作出面積比即可【題目詳解】由題，，，故設為最長邊長，以，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形，即以原點為圓心，半徑為的圓，，故選【題目點撥】本題考查鈍角三角形的三邊關系，幾何意義轉化的能力及幾何概型二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：先結合三次函數圖象確定在上有且僅有一個零點的條件，求出參數a,再根據單調性確定函數最值，即得結果.詳解：由得，因為函數在上有且僅有一個零點且，所以，因此從而函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，點睛：對于函數零點個數問題，可利用函數的單調性、草圖確定其中參數取值條件．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．14、.【解題分析】分析：觀察條件和問題的角度關系可得：=，故=],然后按正切的和差公式展開即可.詳解：由題可得：=]=故答案為.點睛：考查三角函數的計算，能發現=是解題關鍵，此題值得好好積累，屬于中檔題.15、A≥B.【解題分析】

利用放縮的解法，令每項分母均為，將A放大，即可證明出A、B關系.【題目詳解】由題意：，所以.【題目點撥】本題考查放縮法，根據常見的放縮方式，變換分母即可證得結果.16、1【解題分析】

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）360；（2）116.【解題分析】分析：（1）構成四邊形，需要四個點，且無三點共線，可以分成三類，將三類情況加到一起即可；（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個數為.詳解：（1）構成四邊形，需要四個點，且無三點共線，可以分成三類：①四個點從中取出，有個四邊形；②三個點從中取出，另一個點從，中取出，有個四邊形；③二個點從中取出，另外二個點從，中取出，有個四邊形．故滿足條件的四邊形共有(個)．（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個數為(個)．點睛:排列與組合問題要區分開，若題目要求元素的順序則是排列問題，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素,高考中常見的排列組合問題還有分組分配問題，即不同元素分到不同組內時，通常先分組后分配.18、(1);(2)當時，投資費用最低，此時的最小值為.【解題分析】

（1）由題意，設，利用平面幾何的知識和三角函數的關系式及三角恒等變換的公式，即可得函數的關系式；（2）利用三角函數的基本關系式和恒等變換的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投資的最低費用，得到答案.【題目詳解】（1）連接，在中，，故，據平面幾何知識可知,在中，，故，所以，顯然，所以函數的定義域為，即函數關系式為，且．（2）化簡（1）中的函數關系式可得：令，則，代入上式得：當且僅當時取“＝”，此時求得，又，所以∴當時，投資費用最低，此時的最小值為.【題目點撥】本題主要考查了三角函數的實際應用，以及基本不等式求最值問題，其中根據平面幾何的知識和三角函數的關系式和恒等變換的公式，得到函數的解析式是解答的關鍵，著重靠考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由，得，由此能求出曲線C的直角坐標方程；（2）把代入，整理得，由，得，能求出直線l的斜率．【題目詳解】（1）曲線C的極坐標方程為，所以.即，即.（2）把直線的參數方程帶入得設此方程兩根為，易知,而定點M在圓C外，所以，，，，可得，∴，所以直線的斜率為-1.【題目點撥】本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查直線的斜率的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．20、（1）m≥－（1）（3）m∈[－1，1]【解題分析】分析：(1)由在區間上是單調遞增函數得，當時，恒成立，由此可求實數的取值范圍;（1），由題或，判斷當時，，無極值，舍去，則可求；（3）對任意的，有恒成立，即在上最大值與最小值差的絕對值小于等于1．求出原函數的導函數，分類求出函數在的最值，則答案可求；詳解：(1)由在區間上是單調遞增函數得，當時，恒成立，即恒成立，解得（1），由題或當時，，無極值，舍去.所以（3）由對任意的x1，x1∈[－1，1]，有|f(x1)－f(x1)|≤1恒成立，得fmax(x)－fmin(x)≤1．且|f(1)－f(0)|≤1，|f(－1)－f(0)|≤1，解得m∈[－1，1]，①當m=0時，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上單調遞增，fmax(x)－fmin(x)=|f(1)－f(－1)|≤1成立．②當m∈(0，1]時，令f＇(x)＜0，得x∈(－m，0)，則f(x)在(－m，0)上單調遞減；同理f(x)在(－1，－m)，(0，1)上單調遞增，f(－m)=m3+m1，f(1)=m1+m+1，下面比較這兩者的大小，令h(m)=f(－m)－f(1)=m3－m－1，m∈[0，1]，h＇(m)=m1－1＜0，則h(m)在(0，1]上為減函數，h(m)≤h(0)=－1＜0，故f(－m)＜f(1)，又f(－1)=m－1+m1≤m1=f(0)，僅當m=1時取等號.所以fmax(x)－fmin(x)=f(1)－f(－1)=1成立．③同理當m∈[－1，0)時，fmax(x)－fmin(x)=f(1)－f(－1)=1成立．綜上得m∈[－1，1]．點睛：本題考查利用導數研究函數的