2024屆江蘇省五校高二數學第二學期期末學業水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．有一散點圖如圖所示，在5個數據中去掉（3，10）后，下列說法正確的是（）A．殘差平方和變小 B．方差變大C．相關指數變小 D．解釋變量與預報變量的相關性變弱2．將曲線y=sin2x按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B． C． D．3．已知對任意實數，有，且時，，則時（）A． B．C． D．4．在我國南北朝時期，數學家祖暅在實踐的基礎上提出了體積計算的原理：“冪勢既同，則積不容異”．其意思是，用一組平行平面截兩個幾何體，若在任意等高處的截面面積都對應相等，則兩個幾何體的體積必然相等．根據祖暅原理，“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.已知函數的拐點是，則（）A． B． C． D．16．函數(,則()A． B． C． D．大小關系不能確定7．的展開式存在常數項，則正整數的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．148．在等差數列中，且，則的最大值等于(）A．3 B．4 C．6 D．99．在0、1、2、3、4、5這6個數字組成的沒有重復數字的六位數中，能被2整除的數的個數為（）A．216 B．288 C．312 D．36010．若，則（）A． B． C． D．11．設a=log20.3，b=10lg0.3，c=100.3，則A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a12．在一項調查中有兩個變量和，下圖是由這兩個變量近8年來的取值數據得到的散點圖，那么適宜作為關于的回歸方程的函數類型是()A． B．C． D．（）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知中，角．．的對邊分別為．．，且，，，則____14．在未來3天中，某氣象臺預報天氣的準確率為0.8，則在未來3天中，至少連續2天預報準確的概率是______．15．拋物線的焦點為F，點是拋物線C上的一點滿足，則拋物線C的方程為________.16．5名學生站成一排拍照片，其中甲乙兩名學生不相鄰的站法有_______種．（結果用數值表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若展開式中第二、三、四項的二項式系數成等差數列.（1）求的值及展開式中二項式系數最大的項；（2）此展開式中是否有常數項，為什么？18．（12分）某中學一名數學老師對全班50名學生某次考試成績分男女生進行了統計,其中120分(含120分)以上為優秀,繪制了如下的兩個頻率分布直方圖:（1）根據以上兩個直方圖完成下面的列聯表:成績性別優秀不優秀合計男生女生總計（2）根據(1)中表格的數據計算,你有多大把握認為學生的數學成績與性別之間有關系?2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001（3）若從成績在[130,140]的學生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率.19．（12分）如圖，四棱錐，底面為直角梯形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知的內角A的大小為，面積為.(1)若，求的另外兩條邊長；(2)設O為的外心，當時，求的值.21．（12分）在四棱錐中，，是的中點，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10分）2018年2月22日，在韓國平昌冬奧會短道速滑男子500米比賽中，中國選手武大靖以連續打破世界紀錄的優異表現，為中國代表隊奪得了本屆冬奧會的首枚金牌，也創造中國男子冰上競速項目在冬奧會金牌零的突破.某高校為調查該校學生在冬奧會期間累計觀看冬奧會的時間情況，收集了200位男生、100位女生累計觀看冬奧會時間的樣本數據（單位：小時）.又在100位女生中隨機抽取20個人，已知這20位女生的數據莖葉圖如圖所示.（I）將這20位女生的時間數據分成8組，分組區間分別為，，…，，，完成頻率分布直方圖；（II）以（I）中的頻率作為概率，求1名女生觀看冬奧會時間不少于30小時的概率；（III）以（I）中的頻率估計100位女生中累計觀看時間小于20個小時的人數，已知200位男生中累計觀看時間小于20小時的男生有50人.請完成下面的列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“該校學生觀看冬奧會累計時間與性別有關”.男生女生總計累計觀看時間小于20小時累計觀看時間小于20小時總計300附：（）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由散點圖可知，去掉后，與的線性相關性加強，由相關系數，相關指數及殘差平方和與相關性的關系得出選項.【題目詳解】由散點圖可知，去掉后，與的線性相關性加強，且為正相關，所以變大，變大，殘差平方和變小，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關線性相關性強弱的問題，涉及到的知識點有相關系數，相關指數，以及殘差平方和與相關性的關系，屬于簡單題目.2、B【解題分析】

根據反解,代入即可求得結果.【題目詳解】由伸縮變換可得:代入曲線,可得:,即.故選:.【題目點撥】本題考查曲線的伸縮變換,屬基礎題,難度容易.3、B【解題分析】由條件知：是奇函數，且在內是增函數；是偶函數，且在內是增函數；所以在內是增函數；在內是減函數；所以時，故選B4、A【解題分析】

先閱讀題意，再由原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件可得解【題目詳解】由已知有”在任意等高處的截面面積都對應相等”是“兩個幾何體的體積必然相等“的充分條件不必要條件，結合原命題與其逆否命題的真假可得：“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的充分不必要條件，故選：A．【題目點撥】本題考查了閱讀能力、原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件，屬中檔題。5、D【解題分析】

遇到新定義問題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，在該題中求出原函數的導函數，再求出導函數的導函數，由導函數的導函數等于0，即可得到拐點，問題得以解決．【題目詳解】解：函數，，，因為方程有實數解，則稱點，為函數的“拐點”，已知函數的“拐點”是，所以，即，故選：．【題目點撥】本題考查導數的運算．導數的定義，和拐點，根據新定義題，考查了函數導函數零點的求法；解答的關鍵是函數值滿足的規律，屬于基礎題6、C【解題分析】

對函數求導得到函數的導函數，進而得到原函數的單調性，從而得到結果.【題目詳解】函數(,對函數求導得到當x>1時，導函數大于0，函數單調增，當x<1時，導函數小于0，函數單調遞減，因為，故得到.故答案為C.【題目點撥】這個題目考查了導函數對于研究函數單調性的應用，函數的單調性可以通過常見函數的性質得到，也可以通過定義法證明得到函數的單調性，或者通過求導得到函數的單調性．7、C【解題分析】

化簡二項式展開式的通項公式，令的指數為零，根據為正整數，求得的最小值.【題目詳解】，令，則，當時，有最小值為7.故選C.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查與正整數有關問題，屬于基礎題.8、B【解題分析】

先由等差數列的求和公式，得到，再由基本不等式，即可求出結果.【題目詳解】因為在等差數列中，所以，即，又，所以，當且僅當時，的最大值為4.故選B。【題目點撥】本題主要考查基本不等式求積的最大值，熟記等差數列的求和公式以及基本不等式即可，屬于常考題型.9、C【解題分析】

根據能被2整除，可知為偶數.最高位不能為0，可分類討論末位數字，即可得總個數.【題目詳解】由能夠被2整除，可知該六位數為偶數，根據末位情況，分兩種情況討論：當末位數字為0時，其余五個數為任意全排列，即有種；當末位數字為2或4時，最高位從剩余四個非零數字安排，其余四個數位全排列，則有，綜上可知，共有個.故選：C.【題目點撥】本題考查了排列組合的簡單應用，分類分步計數原理的應用，屬于基礎題.10、C【解題分析】分析：由題意根據二項式展開式的通項公式可得，再分別求得的值，從而可得結果.詳解：由常數項為零，根據二項式展開式的通項公式可得，且，，，故選C.點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.11、A【解題分析】

求出三個數值的范圍，即可比較大小.【題目詳解】，，，，，的大小關系是：.故選：A.【題目點撥】對數函數值大小的比較一般有三種方法：①單調性法，在同底的情況下直接得到大小關系，若不同底，先化為同底．②中間值過渡法，即尋找中間數聯系要比較的兩個數，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”．③圖象法，根據圖象觀察得出大小關系．12、B【解題分析】

根據散點圖的趨勢，選定正確的選項.【題目詳解】散點圖呈曲線，排除A選項，且增長速度變慢，排除選項C、D，故選B．【題目點撥】本小題主要考查散點圖，考查回歸直線方程等知識，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】，∴，由余弦定理得，∴，故答案為.14、0.768【解題分析】

至少連續2天預報準確包含3種情況：①三天都預報準確；②第一二天預報準確，第三天預報不準確；③第一天預報不準確，第二三天預報準確．分別求解后根據互斥事件的概率加法公式求解即可．【題目詳解】至少連續2天預報準確包含3種情況：①三天都預報準確，其概率為；②第一二天預報準確，第三天預報不準確，其概率為；③第一天預報不準確，第二三天預報準確，其概率為．∴在未來3天中，至少連續2天預報準確的概率是．即所求概率為．【題目點撥】本題考查獨立事件同時發生的概率的求法和互斥事件的概率，解答類似問題時首先要分清概率的類型，然后在選擇相應的公式求解．某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對立事件的概率，這樣可減少運算量，提高準確率．要注意“至多”“至少”等題型的轉化．15、【解題分析】

由在拋物線C上,結合拋物線的定義,即可求拋物線C的方程.【題目詳解】當時,,解得,則拋物線C的方程為:;當時,,解得,則拋物線C的方程為:;故答案為:.【題目點撥】本題考查利用拋物線的定義求拋物線的標準方程,難度較易.16、72【解題分析】

首先對除甲乙外的三名同學全排列，再加甲乙插空排入，根據分步乘法計數原理可得到結果.【題目詳解】將除甲乙外的三名同學全排列，共有：種排法甲、乙插空排入，共有：種排法根據分步乘法計數原理可得排法共有：種排法本題正確結果：【題目點撥】本題考查排列問題中的不相鄰問題的求解，關鍵是明確解決不相鄰的問題可采用插空的方式來進行求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）第四項為第五項為.（2）無常數項.【解題分析】分析:(1)先根據題意得到，解方程即得n=7.二項式系數最大的項為第四項和第五項，求第四項和第五項的二項式系數即得解.(2)假設展開式中有常數項，求出r的值，如果r有正整數解，則有，否則就沒有.詳解：（1）由題意可得，解得.所以展開式有8項，所以第四項和第五項的二項式系數最大，第四項為第五項為.（2）展開式的通項公式為，令，解得（舍去），故展開式無常數項.點睛：（1）本題主要考查二項式定理的二項式系數，考查特定項的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本運算能力.(2)二項式通項公式：（）,其中叫二項式展開式第項的二項式系數，而二項式展開式第項的系數是字母冪前的常數.18、（1）詳見解析；（2）有95%的把握認為學生的數學成績與性別之間有關系；（3）.【解題分析】

（1）根據表格數據填寫好聯表；（2）計算出的數值，由此判斷出所以有95%的把握認為學生的數學成績與性別之間有關系.（3）先計算出男生、女生分別有多少人，然后用減去全部都是男生的概率，求得所求的概率.【題目詳解】（1）成績性別優秀不優秀合計男生131023女生72027總計203050（2）由（1）中表格的數據知,.因為,所以有95%的把握認為學生的數學成績與性別之間有關系.（3）成績在[130,140]的學生中男生有人,女生有人,從6名學生中任取2人,共有種選法,若選取的都是男生,共有種選法;故所求事件的概率.【題目點撥】本小題主要考查列聯表獨立性檢驗，考查古典概型概率計算，考查對立事件，屬于基礎題.19、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）根據題意，設法證明平面，即可證得平面平面；；（2）如圖以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（1）證明：因為為直角梯形，，又因為，所以，所以，所以,又因為，，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）作于，因為，所以為中點，由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設，因為，，所以，如圖以為原點建立空間直角坐標系，則，，，9分設平面法向量，則，取，則，所以平面一個法向量，設與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角為正弦值為.點睛：本題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面垂直等基礎知識；考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力；考查數學結合思想，化歸與轉化思想20、（1）,；（2）或【解題分析】

（1）由三角形面積公式得到AC邊，再由余弦定理即可得出BC邊；（2）由（1）可知，利用余弦定理可求，設的中點為，則，結合為的外心，可得，從而可求得．【題目詳解】（1）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，于是，所以因為，所以.由余弦定理得.（2）由得，即，解得或4.設的中點為D，則，因為O為的外心，所以，于是.所以當時，，；當時，，.【題目點撥】本題主要考查三角形的面積公式及余弦定理的應用以及向量的基本運算和性質的應用．屬于中檔題.21、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面