2024屆河北省承德市聯校高二數學第二學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若不等式|ax+2|＜6的解集為（﹣1，2），則實數a等于（）A．8 B．2 C．﹣4 D．﹣82．已知隨機變量服從的分布列為123…nP…則的值為（）A．1 B．2 C． D．33．已知函數，為的導函數，則的值為（）A．0 B．1 C． D．4．設函數，記，若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．5．下列命題中正確的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．的最大值是D．的最小值是6．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D．某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油7．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，8．如圖所示，陰影部分的面積為（）A． B．1 C． D．9．直線（為參數）被圓截得的弦長為（）A． B． C． D．10．設a，b∈R，則“a≥b”是“a>bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．若復數（為虛數單位）是純虛數，則實數（）A． B． C．0 D．112．將兩枚骰子各擲一次，設事件{兩個點數都不相同}，{至少出現一個3點}，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．邊長為2的等邊三角形繞著旋轉一周，所得到的幾何體體積為______.14．已知是夾角為的兩個單位向量，，則___．15．已知球的體積是V，則此球的內接正方體的體積為______．16．對于定義域為的函數，若滿足①；②當，且時，都有；③當，且時，都有，則稱為“偏對稱函數”．現給出四個函數：①；②；③；④.則其中是“偏對稱函數”的函數序號為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校為了了解學生對電子競技的興趣，從該校高二年級的學生中隨機抽取了人進行檢查，已知這人中有名男生對電子競技有興趣，而對電子競技沒興趣的學生人數與電子競技競技有興趣的女生人數一樣多，且女生中有的人對電子競技有興趣.在被抽取的女生中與名高二班的學生，其中有名女生對電子產品競技有興趣，先從這名學生中隨機抽取人，求其中至少有人對電子競技有興趣的概率；完成下面的列聯表，并判斷是否有的把握認為“電子競技的興趣與性別有關”.有興趣沒興趣合計男生女生合計參考數據：參考公式：18．（12分）已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點，直線的斜率為，為坐標原點.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設過點的直線與相交于，兩點，求面積的取值范圍.19．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程；（Ⅱ）若曲線上恰好存在兩個點到直線的距離為，求實數的取值范圍.20．（12分）已知橢圓.（1）求橢圓C的離心率e；（2）若，斜率為的直線與橢圓交于、兩點，且，求的面積.21．（12分）為更好地落實農民工工資保證金制度，南方某市勞動保障部門調查了年下半年該市名農民工（其中技術工、非技術工各名）的月工資，得到這名農民工月工資的中位數為百元（假設這名農民工的月工資均在（百元）內）且月工資收入在（百元）內的人數為，并根據調查結果畫出如圖所示的頻率分布直方圖：（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知這名農民工中月工資高于平均數的技術工有名，非技術工有名，則能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為是不是技術工與月工資是否高于平均數有關系？參考公式及數據：，其中．22．（10分）用數學歸納法證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用不等式的解集和對應方程的根的關系來求解.【題目詳解】因為的解集為，所以和是方程的根，所以解得.故選：C.【題目點撥】本題主要考查絕對值不等式的解法，明確不等式的解集和對應方程的關系是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.2、A【解題分析】

由概率之和為1，列出等式，即可求得k值.【題目詳解】由概率和等于1可得：，即.故選A.【題目點撥】本題考查分布列中概率和為1，由知識點列式即可得出結論.3、D【解題分析】

根據題意，由導數的計算公式求出函數的導數，將代入導數的解析式，計算可得答案．【題目詳解】解：根據題意，，則，則；故選：．【題目點撥】本題考查導數的計算，關鍵是掌握導數的計算公式，屬于基礎題．4、A【解題分析】試題分析：函數定義域是，，，設，則，設，則，，易知，即也即在上恒成立，所以在上單調遞增，又，因此是的唯一零點，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，，函數至少有一個零點，則，．故選B．考點：函數的零點，用導數研究函數的性質．【名師點睛】本題考查函數的零點的知識，考查導數的綜合應用，題意只要函數的最小值不大于0，因此要確定的正負與零點，又要對求導，得，此時再研究其分子，于是又一次求導，最終確定出函數的最小值，本題解題時多次求導，考查了學生的分析問題與解決問題的能力，難度較大．5、C【解題分析】因為A.的最小值是2，只有x>0成立。B.的最小值是2，取不到最小值。C.的最大值是，成立D.的最小值是，不成立。故選C6、D【解題分析】

解：對于A，由圖象可知當速度大于40km/h時，乙車的燃油效率大于5km/L，∴當速度大于40km/h時，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于5km，故A錯誤；對于B，由圖象可知當速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當速度相同時，消耗1升汽油，甲車的行駛路程最遠，∴以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故B錯誤；對于C，由圖象可知當速度為80km/h時，甲車的燃油效率為10km/L，即甲車行駛10km時，耗油1升，故行駛1小時，路程為80km，燃油為8升，故C錯誤；對于D，由圖象可知當速度小于80km/h時，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，∴用丙車比用乙車更省油，故D正確故選D．考點：1、數學建模能力；2、閱讀能力及化歸思想.7、A【解題分析】

根據含有一個量詞的命題的否定，特稱命題的否定是全稱命題，寫出原命題的否定，得到答案.【題目詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：A.【題目點撥】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于簡單題.8、B【解題分析】如圖所示軸與函數圍成的面積為,因此故選B.9、B【解題分析】分析：先消去參數，得到直線的普通方程，再求出圓心到直線的距離，得到弦心距，根據勾股定理求出弦長，從而得到答案.詳解：直線（為參數），，即，圓，圓心到直線的距離為.直線（為參數）被圓截得的弦長為.故選：B.點睛：本題考查了參數方程與普通方程的互化、點到直線的距離公式、弦心距與弦長的關系，難度不大，屬于基礎題.10、D【解題分析】

利用特殊值來得出“a≥b”與“a>b【題目詳解】若a=b=3，則a≥b，但a>b若a=2，b=-3，a>b成立，但a≥b因此，“a≥b”是“a>b”的既不充分也不必要條件，故選：D【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷，常用集合的包含關系來進行判斷，也可以利用特殊值以及邏輯推證法來進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題。11、A【解題分析】因為是純虛數，12、A【解題分析】分析：利用條件概率求.詳解：由題得所以故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)條件概率的公式:,=.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據題意可知：該幾何體是有公共底面的兩個一樣的圓錐,利用圓錐的體積公式求解即可.【題目詳解】根據題意可知：該幾何體是有公共底面的兩個一樣的圓錐,等邊三角形的高為,底面半徑為,所以所得到的幾何體體積為.故答案為【題目點撥】本題考查了按平面圖形一邊旋轉所形成的空間圖形的體積問題,考查了空間想象能力,考查了數學運算能力.14、【解題分析】

先計算得到，再計算，然后計算.【題目詳解】是夾角為的兩個單位向量故答案為【題目點撥】本題考查了向量的計算和模，屬于向量的常考題型，意在考查學生的計算能力.15、【解題分析】

設球的半徑為R，球內接正方體的棱長為a，根據題意知球內接正方體的體對角線是球的直徑，得出a與R的關系，再計算正方體的體積．【題目詳解】設球的半徑為R，球內接正方體的棱長為a，則球的體積是，又球的內接正方體的體對角線是球的直徑，即，；正方體的體積為．故答案為．【題目點撥】本題主要考查了球與其內接正方體的關系，屬于容易題題．16、①④.【解題分析】分析：條件②等價于f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，條件③等價于f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，依次判斷各函數是否滿足條件即可得出結論．詳解：由②可知當x＞0時，f′（x）＞0，當x＜0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上單調遞減，不滿足條件②，∴f2（x）不是“偏對稱函數”；又（）=（）=0，∴（x）在（0，+∞）上不單調，故（x）不滿足條件②，∴（x）不是“偏對稱函數”；又f2（x）=ln（﹣x）=ln，∴f2（x）在R上單調遞減，不滿足條件②，∴f2（x）不是“偏對稱函數”；由③可知當x1＜0時，f（x1）＜f（﹣x2），即f（x）﹣f（﹣x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，對于（x），當x＜0時，（x）﹣（﹣x）=﹣x﹣e﹣x+1，令h（x）=﹣x﹣e﹣x+1，則h′（x）=﹣1+e﹣x＞0，∴h（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，故h（x）＜h（0）=0，滿足條件③，由基本初等函數的性質可知（x）滿足條件①，②，∴（x）為“偏對稱函數”；對于f4（x），f4′（x）=2e2x﹣ex﹣1=2（ex﹣）2﹣，∴當x＜0時，0＜ex＜1，∴f4′（x）＜2（1﹣）2﹣=0，當x＞0時，ex＞1，∴f4′（x）＞2（1﹣）2﹣=0，∴f4（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，滿足條件②，當x＜0，令m（x）=f4（x）﹣f4（﹣x）=e2x﹣e﹣2x+e﹣x﹣ex﹣2x，則m′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣e﹣x﹣ex﹣2=2（e2x+e﹣2x）﹣（e﹣x+ex）﹣2，令e﹣x+ex=t，則t≥2，于是m′（x）=2t2﹣t﹣6=2（t﹣）2﹣≥2（2﹣）2﹣=0，∴m（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，∴m（x）＜m（0）=0，故f4（x）滿足條件③，又f4（0）=0，即f4（x）滿足條件①，∴f4（x）為“偏對稱函數”．故答案為：①④．點睛：本題以新定義“偏對稱函數”為背景，考查了函數的單調性及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；列聯表見解析，沒有.【解題分析】

（1）計算出從名學生中隨機抽取人的可能，再計算出抽到的人中至少有人對電子競技有興趣的可能，利用古典概型公式即得答案；（2）先填寫列聯表，然后計算，與比較大小即可得到答案.【題目詳解】從名學生中隨機抽取人，共有種不同的抽取方案；抽到的人中至少有人對電子競技有興趣的方案數有：種抽取人中至少有人對電子競技有興趣的概率為.設對電子競技沒興趣的學生人數為，對電子競技沒興趣的學生人數與對電子競技有興趣的女生人數一樣多由題，解得.又女生中有的人對電子競技有興趣，女生人數為男生人數為，其中有人對電子競技沒興趣得到下面列聯表沒用的把握認為“對電子競技的興趣與性別有關”.【題目點撥】本題主要考查古典概型，獨立性檢驗統計案例，意在考查學生的計算能力，分析能力，難度不大.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】分析：（1）根據題意得到關于a,c的方程組，解方程組得E的方程.(2)設：，先求，再求點到直線的距離，最后求，再利用基本不等式求面積的取值范圍.詳解：（Ⅰ）設，由條件知，，得，又，所以，，故的方程為.（Ⅱ）當軸時不合題意，故設：，，，將代入得，當，即時，，從而，又點到直線的距離，所以的面積，設，則，，因為，所以的面積的取值范圍為.點睛：（1）本題主要考查橢圓的標準方程，考查直線和橢圓的位置關系，考查橢圓中面積的最值問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力基本計算能力.(2)解答本題的關鍵由兩點，其一是求出，其二是先換元法再利用基本不等式求的面積的取值范圍，設，得到.19、（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）【解題分析】

（1）利用消去參數，得到曲線的普通方程，再由，化直線為直角坐標方程；（2）與直線的距離為的點在與平行且距離為的兩平行直線上，依題意只有一條平行線與圓相交，另一條平行線與圓相離，利用圓心到直線的距離與半徑關系，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）由曲線的參數方程（為參數，）消去參數，可得曲線的普通方程.，代入，得直線的直角坐標方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為，曲線表示以原點為圓心，以為半徑的圓，且原點到直線的距離為.所以要使曲線上恰好存在兩個點到直線的距離為，則須，即.所以實數的取值范圍是.【題目點撥】本題考查參數方程與普通方程互化、極坐標方程和直角坐標方程互化，以及直線與圓的位置關系，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）將橢圓的方程化為標準方程，得出、與的等量關系，可得出橢圓的離心率的值；（2）設直線的方程為，設點、，將的值代入得出橢圓的方程，將直線的方程與橢圓聯立，消去，列出韋達定理，利用弦長公式結合條件可求出，利用點到直線的距離公式計算出原點到直線的距離，然后利用三角形的面積公式可得出的面積.【題目詳解】（1）橢圓，橢圓長半軸長為，短半軸