2024屆吉林省長春市七中數學高二第二學期期末聯考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班共有52人，現根據學生的學號，用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是()A．10 B．11 C．12 D．162．以，為端點的線段的垂直平分線方程是A． B． C． D．3．的展開式中各項系數之和為，設，則（）A． B． C． D．4．在極坐標系中,已知點,則過點且平行于極軸的直線的方程是()A．B．C．D．5．“四邊形是矩形，四邊形的對角線相等”補充以上推理的大前提是（）A．正方形都是對角線相等的四邊形 B．矩形都是對角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形 D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形6．展開式中x2的系數為（）A．15 B．60 C．120 D．2407．函數的單調遞增區間為(

)A． B． C． D．8．如圖，F1，F2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A． B．2C． D．9．設集合，集合，則（）A． B． C． D．10．化簡的結果是（）A． B． C． D．11．函數的最大值為（）A． B．1 C． D．12．設x＝－2與x＝4是函數f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點，則常數a－b的值為()A．21 B．－21C．27 D．－27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數的圖像經過第二、三、四象限，，則的取值范圍是_______．14．(文科學生做)若，則______．15．在空間中，已知一個正方體是12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于，則______．16．已知實數，滿足條件，復數（為虛數單位），則的最小值是_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實數的取值范圍．18．（12分）山西省2021年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分。根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為共8個等級.參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到八個分數區間，得到考生的等級成績。舉例說明1：甲同學化學學科原始分為65分，化學學科等級的原始分分布區間為，則該同學化學學科的原始成績屬等級，而等級的轉換分區間為那么，甲同學化學學科的轉換分為：設甲同學化學科的轉換等級分為，求得.四舍五入后甲同學化學學科賦分成績為66分。舉例說明2：乙同學化學學科原始分為69分，化學學科等級的原始分分布區間為則該同學化學學科的原始成績屬等級.而等級的轉換分區間為這時不用公式，乙同學化學學科賦分成績直接取下端點70分?，F有復興中學高一年級共3000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態分布。且等級為所在原始分分布區間為，且等級為所在原始分分布區間為，且等級為所在原始分分布區間為（1）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學科賦分成績；（精確到整數）.（2）若以復興中學此次考試頻率為依據，在學校隨機抽取4人，記這4人中物理原始成績在區間的人數，求的數學期望和方差.（精確到小數點后三位數）.附：若隨機變量滿足正態分布，給出以下數據，19．（12分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范圍．20．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）求函數在上的最大值和最小值；21．（12分）如圖，已知單位圓上有四點，，，，其中，分別設的面積為和.（1）用表示和；（2）求的最大值及取最大值時的值．22．（10分）某種證件的獲取規則是：參加科目A和科目B的考試，每個科目考試的成績分為合格與不合格，每個科目最多只有2次考試機會，且參加科目A考試的成績為合格后，才能參加科目B的考試；參加某科目考試的成績為合格后，不再參加該科目的考試，參加兩個科目考試的成績均為合格才能獲得該證件．現有一人想獲取該證件，已知此人每次參加科目A考試的成績為合格的概率是，每次參加科目B考試的成績為合格的概率是，且各次考試的成績為合格與不合格均互不影響．假設此人不放棄按規則所給的所有考試機會，記他參加考試的次數為X.（1）求X的所有可能取的值；（2）求X的分布列和數學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題計算出抽樣的間距為13，由此得解．【題目詳解】由題可得，系統抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D【題目點撥】本題主要考查了系統抽樣知識，屬于基礎題．2、B【解題分析】

求出的中點坐標，求出的垂直平分線的斜率，然后求出垂直平分線方程．【題目詳解】因為，，所以的中點坐標，直線的斜率為，所以的中垂線的斜率為：，所以以，為端點的線段的垂直平分線方程是，即．故選：B【題目點撥】本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關系，直線方程的求法，考查計算能力．3、B【解題分析】

先求出的值，再根據，利用通項公式求出的值.【題目詳解】令，可得的展開式中各項系數之和為，，設，則.故選：B【題目點撥】本題考查了二項式定理求多項式的系數和，二項式定理展開式的通項公式，需熟記公式，屬于基礎題.4、A【解題分析】

將點化為直角坐標的點，求出過點且平行于軸的直線的方程，再轉化為極坐標方程，屬于簡單題?！绢}目詳解】因為點的直角坐標為，此點到軸的距離是，則過點且平行于軸的直線的方程是，化為極坐標方程是故選A.【題目點撥】本題考查極坐標與直角坐標的互化，屬于簡單題。5、B【解題分析】

根據題意，用三段論的形式分析即可得答案．【題目詳解】根據題意，用演繹推理即三段論形式推導一個結論成立，大前提應該是結論成立的依據，∵由四邊形是矩形，得到四邊形的對角線相等的結論，∴大前提一定是矩形都是對角線相等的四邊形，故選B．【題目點撥】本題考查演繹推理的定義，關鍵是掌握演繹推理的形式，屬于基礎題.6、B【解題分析】

∵展開式的通項為，令6-r=2得r=4，∴展開式中x2項為，所以其系數為60,故選B7、D【解題分析】

先求出函數的定義域，然后根據復合函數的單調性滿足“同增異減”的結論求解即可．【題目詳解】由可得或，∴函數的定義域為．設，則在上單調遞減，又函數為減函數，∴函數在上單調遞增，∴函數的單調遞增區間為．故選D．【題目點撥】（1）復合函數的單調性滿足“同增異減”的結論，即對于函數來講，它的單調性依賴于函數和函數的單調性，當兩個函數的單調性相同時，則函數為增函數；否則函數為減函數．（2）解答本題容易出現的錯誤是忽視函數的定義域，誤認為函數的單調遞增區間為．8、D【解題分析】

連接，利用三角形邊之間的關系得到，，代入離心率公式得到答案.【題目詳解】連接，依題意知：，，所以.【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關系和雙曲線性質得到的關系式是解題的關鍵.9、B【解題分析】

求解出集合，根據并集的定義求得結果.【題目詳解】本題正確選項：【題目點撥】本題考查集合運算中的并集運算，屬于基礎題.10、A【解題分析】

根據平面向量加法及數乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據平面向量加法及數乘的幾何意義，可得，故選A．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的加法法則的應用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．11、A【解題分析】

由題意求得導數，得到函數單調性，即可求解函數的最大值，得到答案.【題目詳解】由題意，可得，當時，，則函數單調遞增；當時，，則函數單調遞減，所以函數的最大值為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了利用導數求解函數的最值問題，其中解答中求得函數的導數，得出函數的單調性是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.12、A【解題分析】

求出導數f′(x)．利用x＝－2與x＝4是函數f(x)兩個極值點即為f′(x)＝0的兩個根．即可求出a、b．【題目詳解】由題意知，－2，4是函數f′(x)＝0的兩個根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以?所以a－b＝－3＋24＝21.故選A【題目點撥】f′(x)＝0的解不一定為函數f(x)的極值點．（需判斷此解兩邊導數值的符號）函數f(x)的極值點一定是f′(x)＝0的解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用函數的圖像經過第二、三、四象限可得：，整理可得：，再利用指數函數的性質即可得解.【題目詳解】因為函數的圖像經過第二、三、四象限，所以，解得：又又，所以，所以所以，所以的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查了指數函數的性質及計算能力、分析能力，還考查了轉化能力，屬于中檔題．14、.【解題分析】分析：觀察條件和問題的角度關系可得：=，故=],然后按正切的和差公式展開即可.詳解：由題可得：=]=故答案為.點睛：考查三角函數的計算，能發現=是解題關鍵，此題值得好好積累，屬于中檔題.15、【解題分析】

畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于,在可求得.【題目詳解】畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于正方體面,與面所成的角為不妨設正方體棱長為,故在中由勾股定理可得:故答案為:.【題目點撥】本題考查了線面角求法,根據體積畫出幾何圖形,掌握正方體結構特征是解本題的關鍵.屬于基礎題.16、【解題分析】

先作出不等式組對應的區域，再利用復數的幾何意義將的最小值轉化成定點與區域中的點的距離最小的問題利用圖形求解．【題目詳解】如圖，作出對應的區域，由于為虛數單位），所以表示點與兩點之間的距離，由圖象可知的最小值為到直線的距離，即，故答案為．【題目點撥】本題考查一定點與區域中的一動點距離最值的問題，考查復數的幾何意義，利用線性規劃的知識進行求解是解決本題的關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）利用導數求得斜率，再求得切點坐標，由此求得切線方程.（II）將原不等式分離常數得，構造函數，利用導數求得，由此求得的取值范圍.【題目詳解】解：（Ⅰ）的導數為，可得切線的斜率為1，切點為，切線方程為，即；（Ⅱ）若在上恒成立，可得在上恒成立，令，則，，可得在上單調遞增，則，可得在上單調遞增，則，則．【題目點撥】本小題主要考查切線方程的求法，考查利用導數求解不等式恒成立問題，屬于中檔題.18、(1)小明82分，小紅70分；(2)1.504，0.938【解題分析】

（1）根據題意列式求解（2）先確定區間，再根據正態分布求特定區間概率，最后根據二項分布求期望與方差.【題目詳解】解（1）小明同學且等級為,設小明轉換后的物理等級分為，求得．小明轉換后的物理成績為82小紅同學且等級為，且等級為所在原始分分布區間為，小紅為本等級最低分72,則轉換后的物理成績為70分。（2）物理考試原始成績等級為所在原始分分布區間為，人數所占比例為24%，又因為物理考試原始成績基本服從正態分布，當原始分時，人數所占比例為則隨機抽取一個物理原始成績在區間的概率為由題可得【題目點撥】本題考查新定義理解、利用正態分布求特定區間概率以后利用二項分布求期望與方差，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、（1）；（2）【解題分析】

將函數寫出分段函數形式，再分段解不等式。不等式的解集非空即?！绢}目詳解】(1)或或無解或或或原不等式的解集為(2)若要的解集非空只要即可故的取值范圍為【題目點撥】本題考查含絕對值的不等式，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于基礎題。20、(1)在上單調遞增，在上單調遞減.(2)最大值為0，最小值為.【解題分析】

通過求導函數判斷函數單調性，進而判