考向5.14最值問題訓練專題

一、單選題

1.（2021?山東濟南?二模）如圖，菱形A8C。的邊AB=8,NB=60。，BP=3,Q是CO邊上

一動點，將梯形4PQO沿直線PQ折疊，4的對應點為4.當CA的長度最小時，CQ的長

7C.8D.6.5

2.（2021?廣東廣州?三模）如圖1,在菱形A8CD中，AB=6,NBAO=120。，點E是BC

邊上的一動點，點尸是對角線B3上一動點，設P。的長度為無，PE與尸C的長度和為y,

圖2是y關于x的函數圖象，其中”Q,b）是圖象上的最低點，則a+匕的值為（）

A.7A/3B.6叢+3C.85/3D.3月+6

3.（2020.江蘇?一模）在以下列長度為邊長的4個正方形鐵片中，若要剪出一個直角邊長分

別為4cm和1cm的直角三角形鐵片，則符合要求的正方形鐵片邊長的最小值為（）

A.叵cm16C.螞m5&

B.一cmD.---cm

25172

4.（2019?安徽蚌埠?中考模擬）如圖，在RSABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,點、F

在邊AC上，并且CF=2,點E為邊2C上的動點，將ACEF沿直線EF翻折，點C落在點

P處，則點P到邊4B距離的最小值是（）

5.（2019?山東聊城?一模）如圖，正方形ABCD邊長為4,M,N分別是邊BC,CD上的

兩個動點且AMLMN,則AN的最小值是（）

C.2石D.4應

6.（2019?山東濟寧?中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別為（2,0）,

（0,4）,過A,0,8三點作圓，點C在第一象限部分的圓上運動，連結CO,過點。作CO的

垂線交C8的延長線于點。，下列說法：①Z4OC=NBO￡＞；②sinZD=g；③CO的最大值

為10.其中正確的是（）

B.②③C.①③D.??③

7.（2016?河南?模擬預測）如圖，AABC,aEFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊

BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M.當4EFG繞點D旋轉時，線段BM長的最小

C.應D.73-1

8.（2021?河南南陽?二模）如圖，等邊三角形ABC中，AB=3,點。在邊A8上，且AO=1,

點E是邊8上的一動點，作射線ED.射線EO繞點E順時針旋轉60。得到射線EF,交AC

于點凡則點E從8-C的運動過程中，CF的最大值是（）

4

9.（2021?江蘇蘇州?一模）如圖，在RfA8C中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點/在邊AC

上，并且CF=2,點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則

點P到邊AB距離的最小值是（）.

二、填空題

10.（2019?江蘇泰州?中考模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為4,OB的半徑為2,P為。B

11.（2019?四川瀘州?一模）如圖，在..ABC中，D,E分別是BC,A8上的點，且

NB=ZADE=ZDAC,如果/XEBD,.ADC的周長分別記為“，叫，m2,則"土強

的最大值是.

12.（2021?江蘇連云港?一模）如圖，在正方形ABCD中，A8=8,點H在CD上，且CH

=2,點E繞著點B旋轉，且8E=2,在CE的上方作正方形EFGC,則線段產〃的最小值是

13.（2021?江蘇無錫?一模）如圖，△ABC中，AB=AC=2,/A4c=120。，D、E分別是

BC、AC邊上的動點，S.ZADE=ZABC,連接BE,則△A歐的面積的最小值為.

14.（2021.福建.大同中學二模）如圖，以48為直徑的。。與CE相切于點C,CE交力B的

延長線于點E,半徑。4=6,4=30°,弦C￡>LAB,垂足為點尸，連接AC,OC,則下列

結論正確的是.（寫出所有正確結論的序號）

①BC=BD;②扇形OBC的面積為12兀；③△OBS/^OEC；④若點P為線段0A上一動

15.（2022.遼寧.東北育才實驗學校模擬預測）如圖，48=4,。為A8的中點，。。的半徑

為1,點P是。。上一動點，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點P、B、C按逆時針

方向排列），則線段4C的長度的最大值為.

16.（2021.陜西.交大附中分校模擬預測）如圖，在矩形4BCD中，4B=28C=10,點E在

8上,CE=2,點F、P分別是AC、A8上的動點，則PE+PP的最小值為.

17.（2021.陜西?西安市鐵一中學模擬預測）如圖，80和AC為四邊形A8CZ）的對角線,

ABLBD,ZCBD=60°,BD=2BC,AD=S,則AC的最大值為.

18.（2021?河南三門峽?二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=5,Z4BC=60。，點P

為直線A8上的一個動點，四邊形PCE戶為平行四邊形，。為PF的中點，則PE的最小值為

三、解答題

19.（2020?江西九江?三模）邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，連

接DE,交AC于點N,過點D作DFLDE,交BA的延長線于點F,連接EF,交AC于點

M.

（1）判定ADFE的形狀，并說明理由；

（2）設CE=x,AAMF的面積為y,求y與x之間的函數關系式；并求出當x為何值時y

有最大值？最大值是多少？

（3）隨著點E在BC邊上運動，NA-MC的值是否會發生變化？若不變，請求出NA-MC的

值；若變化，請說明理由.

DE----------,C

B

一、單選題

1.（2021.四川綿陽.中考真題）如圖，在△ACD中，AD=6,BC=5,AC2AB（AB+BC）,

且DCA,若AQ=3”,點。是線段A8上的動點，則PQ的最小值是（）

A.立B.旦C.正D.-

2225

2.（2019?內蒙古巴彥淖爾?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知

4（-3,-2）,8（0,-2）,。（一3,0）,“是線段48上的一個動點，連接過點M作MN1MC交

y軸于點N,若點M、N在直線丫=h+6上，則。的最大值是（）

84

3.（2013?四川德陽?中考真題）如圖，在圓O上有定點C和動點P,位于直徑AB的異側,

53

過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q,已知：圓O半徑為tan/ABC=

則CQ的最大值是

0

4.（2012?浙江湖州?中考真題）如圖，已知點A（4,0）,O為坐標原點，P是線段OA上

任意一點（不含端點O,A）,過P、O兩點的二次函數yi和過P、A兩點的二次函數y2的

圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C,射線OB與AC相交于點D.當OD=AD=3時,

這兩個二次函數的最大值之和等于（）

5.（2020.四川巴中?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，48=4,對角線AC,8。交于點

O,sinZCOD=—,尸為AC上一動點，于點E,PFLBD于點、F,分別以PE,

2

PF為邊向外作正方形PEGH和面積分別為豆，邑.則下列結論：①80=8；②

點P在運動過程中，PE+P尸的值始終保持不變，為26；③的最小值為6；④當

PH:PN=5:6時,則。M:AG=5:6.其中正確的結論有（）

C.3個D.4個

6.（2017?黑龍江?中考真題）如圖，在連長為4的正方形ABCD中，E、F是AD邊上的兩

個動點，且AE=FD,連接BE、CF、BD,CF與BD交于點H,連接DH.下列結論正確的個

數是（）

?△ABG^AFDG；②HD平分NEHG；③AG_LBE；④SAHDG：SAHBG=tanZDAG；⑤線段

DH的最小值是26-2

A.2B.3C.4D.5

7.（2017?廣西貴港?中考真題）如圖，在正方形.4CD中，0是對角線工。與3D的交點,

M是邊上的動點（點,1/不與&。重合）,CV-DM.CV與,公交于點A',連接

OMO.VJ/.V.下列五個結論：①AC'?二AD.UC；②AC0、=AD（B/；

?AOMX^AO.AD；④jy'CU'MV：；⑤若,4=2,則邑岫?的最小值是:，

A.2B.3C.4D.5

8.（2020?江蘇無錫?中考真題）如圖，等邊AABC的邊長為3,點Z）在邊AC上，AD=1,

線段尸2在邊84上運動，PQ=g，有下列結論：

①CP與。。可能相等；②AAQO與A/JCP可能相似;③四邊形PC。。面積的最大值為上叵；

16

④四邊形PCDQ周長的最小值為3+巨.其中，正確結論的序號為（）

2

A.①④B.②④C.①③D.②③

二、填空題

9.（2021?山東青島?中考真題）己知正方形ABC。的邊長為3,E為CO上一點，連接AE并

延長，交BC的延長線于點F,過點。作ZX7J.AF,交AF于點H,交BF于點G,N為EF

的中點，M為BD上一動點,分別連接MC,MN.若怦*則MN+MC的最小值為

^AFCE4

10.（2021?四川內江?中考真題）已知非負實數”，b,C滿足'1=.=/,設5=°+給+攵

的最大值為"?，最小值為“，則己/7的值為

m

11.（2021?內蒙古通遼?中考真題）如圖，A8是。。的弦，A8=2G，點C是。。上的一個

動點，且NACB=60。，若點M,N分別是A8,8c的中點，則圖中陰影部分面積的最大值

是.

12.（2021?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在△ABC中，48=4,BC=5,點。、尸分別在8C、

AC上，CD=2BD,CF=2AF,BE交AO于點尸，則AAFE面積的最大值是.

13.（2021?黑龍江?中考真題）如圖，在RrAAOB中，ZAOB=90°,。4=4,08=6,以點

。為圓心，3為半徑的OO,與OB交于點C,過點C作CO_LOB交A8于點。，點戶是邊。4

上的點，則PC+PQ的最小值為.

，4-（刈9?四川涼山?中考真題）如圖，正方形ABCD中，AM2,點P在

BC上運動（不與B、C重合），過點P作P。，EP,交CD于點Q,則CQ的最大值為

15.（2019?浙江臺州?中考真題）如圖，直線44l3,A,B,C分別為直線《，12,4上

的動點，連接AB,BC,AC,線段AC交直線4于點。.設直線4，4之間的距離為山，

1772

直線4,4之間的距離為〃，若NA8C=90。，BD=4,且一=;，則機+w的最大值為____.

n3

16.（2019?浙江嘉興?中考真題）如圖，在。O中，弦AB=1,點C在AB上移動，連結OC,

過點C作CDLOC交。O于點D,則CD的最大值為一.

17.（2019?四川南充?中考真題）如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點A在V軸的正半軸及原點

上滑動，頂點B在x軸的正半軸及原點上滑動，點E為AB的中點，AB=24,BC=5,給出下列

結論：①點A從點O出發，到點B運動至點O為止，點E經過的路徑長為12無；②AOAB

的面積的最大值為144；③當OD最大時，點D的坐標為（至公，兇龍），其中正確的結

2626

論是（填寫序號）.

18.（2013?廣西河池?中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4,E、F分別是BC、CD

上的兩個動點，且AELEF.則AF的最小值是一.

三、解答題

19.（2019?黑龍江?中考真題）如圖，在ABC中，ZA=900.A8=8cm,AC=6cm,若動

點。從8出發，沿線段BA運動到點A為止（不考慮。與8,A重合的情況），運動速度為

2cm/s,過點。作￡>E〃BC交AC于點E,連接BE,設動點。運動的時間為x（s）,AE的

長為y（cm）.

（1）求y關于X的函數表達式，并寫出自變量尤的取值范圍；

（2）當x為何值時，aBDE的面積S有最大值？最大值為多少？

20.（2020.福建?中考真題）已知直線4：y=-2x+10交y軸于點A,交x軸于點8,二次函

數的圖象過A,8兩點，交x軸于另一點C,BC=4,且對于該二次函數圖象上的任意兩點

弓（玉,%）,鳥（馬,丫2），當士>々25時，總有y>%.

(1)求二次函數的表達式；

(2)若直線/24=皿+〃(〃二10),求證：當根=一2時，12///,；

(3)E為線段BC上不與端點重合的點，直線，3：y=-2x+4過點C且交直線AE于點尸，求

MBE與ACEF面積之和的最小值.

參考答案

1.B

【解析】

【分析】

作CHL48于H,如圖，根據菱形的性質可判斷△ABC為等邊三角形，可求得CH,BH,

PH,在RtACHP中,利用勾股定理計算出CP,再根據折疊的性質得點H在以尸點為圓心,

以為半徑的弧上，利用點與圓的位置關系得到當點4在尸C上時，。'的值最小，然后證明

CQ=CP即可.

【詳解】

解：作CHLA8于H,如圖,

,菱形48CZ）的邊A8=8,ZB=60°,

△ABC為等邊三角形，8c=8

BH=4,CH=4BC2-BH2=>/82-42=4G，

"：PB=3,

:.HP=BH-BP=4-3=l,

在心中，CP7cH2+HP?=J(4G『+『=7,

?.?梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點A,

...點4在以P點為圓心，力為半徑的弧上，

工當點4在PC上時，C4的值最小，

AZAPQ=ZCPQ,而CD〃A8,

ZAPQ=ZCQP,

：.NCQP=NCPQ,

：.CQ=CP=1.

故選：B.

【點撥】本題考查了折疊的性質，菱形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定與性質，求圓

外一點到圓的距離的最值問題，解決本題的關鍵是確定點4,在PC上時，C4的值最小.

2.A

【解析】

【分析】

從圖2知，4是y=PE+PC的最小值，從圖1作輔助線知a=CEa，C4<PE,+PC=PE+PC：

接下來求出。=CE2=3g,設。心與80交于點鳥，則求出E8=26，8。=66，最后得

b=P2D=4s/3,所以a+匕=36+46=76,選A.

【詳解】

解：如下圖，在A8邊上取點4,使得8E和8g關于8。對稱，

連接Pg,得PC+PE=PC+P耳，

連接CE一作垂足為芻，

D

BEC

由三角形三邊關系和垂線段最短知，

PE+PC=PEt+PC施E]CE2,

即PE+PC有最小值CE”

菱形ABC。中，AB=6,Zfi4￡>=120°,

在RiBE2c中，ZE25C=60°,

解得C￡=3g,

向是圖象上的最低點

:.b=y=PE+PC=CES,

此時令與83交于點P2,

由于8E2=3,在RMBRE?中，

8鳥=26,又BD=6上,

:.P、D=4\/3,

乂PD的長度為x,圖2中H(a,b)是圖象上的最低點，

a=P2D=4G,

乂〃=3>/3>

:.a+b=ly/3,

故選：A.

【點撥】本題考查動點及最小值問題，解題的關鍵是在于通過翻折點夙中軸對稱)，然后

利用三角形三邊關系及垂線段最短原理，判斷出PC+PE最小值為CE?.

3.B

【解析】

【分析】

AFEFI

證明AAEFS/^DCE,得出---=-----—,設AE=xcm,則AD=CD=4xcm,DE=AD

DCCE4

-AE=3xcm,在RtZkCDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【詳解】

解：如圖所示：

△CEF是直角三角形，NCEF=90。，CE=4,EF=1,

.,.ZAEF+ZCED=90°,

?.?四邊形ABCD是正方形，

,.ZA=ZD=90°,AD=CD,

???NDCE+NCED=90。，

AZAEF=ZDCE,

/.△AEF^ADCE,

.AE_EF_I

??麗—ZF—“

設AE=xcm,則AD=CD=4xcm,

/.DE=AD-AE=3xcm,

在RtACDE中,由勾股定理得:(3x)2+(4x)2=42,

4

解得：x=1,

【點撥】本題考查相似三角形的判定與性質、勾股定理的應用等知識，是重要考點，難度較

易，掌握相關知識是解題關鍵.

4.C

【解析】

【分析】

如圖，延長尸尸交A3于當尸匕LA3時，點P到48的距離最小，利用△AFMsaABC

得到空=整求出即可解決問題.

ABBC

【詳解】

如圖，延長FP交A8TM,當FPLA8時，點P到AB的距離最小.（點P在以F為圓心CF

為半徑的圓上，當尸PLA8時，點P到48的距離最小）

A

Xf

VZA=ZAtZAMF=ZC=90°f

：./XRFMsXABC、

.AF_FM

\45-BC

CF=2,AC=6,BC=8

AF=4,AB=VAC2+BC2=10

4FM.

—=-----??FM=3.2,

108

VPF=CF=2f

???PM=1.2

點P到邊A8距離的最小值是1.2.

故選C.

【點撥】本題考查翻折變換、最短問題、相似三角形的判定和性質、勾股定理.垂線段最短

等知識，解題的關鍵是正確找到點P位置，屬于中考常考題型.

5.B

【解析】

【分析】

在RSADN,AN=>/AD2+DN2-而AD=4為定值，所以當DN取最小值時，AN也取最

小值.于是設BM=x,利用AABMS/\MCN,求出CN的長，即可表示出DN的長，根據

二次函數的最值求法即可得到正確結果.

【詳解】

解：VAM1MN

.-.ZAMB+ZCMN=90o

而/AMB+NMAB=90°

.\ZMAB=ZNMC

又,；NB=NC=90°

.'.△ABM^AMCN

.ABBM

"MC-CN

若設BM=x,則CM=4-x

4x

于是有

4-xCN

?CN=；x(4-x)

.?.DN=4-CN=-x2-x+4

4

=；（x-2尸+3

即：當BM=2時，DN取最小值為3,

而AN=JAD,DNZ，而AD=4為定值，所以當DN取最小值時，AN也取最小值

此時AN=“2+32—5

即當DN取最小值3時，AN也取最小值5.

故選B.

【點撥】本題考查的是相似三角形的性質應用與二次函數求最值的結合，把代數與幾何問題

進行了相互滲透，本題中運用二次函數求線段的最值是解題的關鍵.

6.C

【解析】

【分析】

連接AB,由題意得AB為圓的直徑，根據同角的余角相等可得NAOC=NBOD,根據圓周

角定理得/OCB=/OAB,可推出NOBA=/D,根據勾股定理求出AB,可出sin/D的值,

CDOC

證出AOCDsaOAB,則一=—,OC取最大值等于直徑時CD的值最大.

ABOA

【詳解】

解：連接AB,

VZDOC=900,ZBOA=90°,

?,.ZBOD+ZBOC=90°,ZAOC+ZBOC=90°,

???ZAOC=ZBOD,①正確；

VZDOC=90°,ZBOA=90°,

ZOCB+ZD=90°,ZOAB+ZOBA=90°,

VZOCB=ZOAB,

.\ZOBA=ZD,

22

'.'0A=2,0B=4,AB=V2+4=720=275，

sinZD=sinZOBA==—^==，②錯誤;

AB2>/55

VZDOC=ZBOA=90°,ZOCB=ZOAB,

/.△OCD^AOAB,

.CD_OC

**AB-OA

???ZBOA=90°,

AAB為圓的直徑，

???OC取最大值等于直徑AB時CD的值最大，

???CD的最大值二空三="也叵=10,③正確.

OA2

故選C.

【點撥】本題考查圓的綜合題，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定與性質，直角三角形的

性質以及圓周角定理，銳角三角函數的定義.

7.D

【解析】

【詳解】

試題解析：AC的中點O,連接AD、DG、BO,OM,如圖.

VAABC,△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點,

.?.AD±BC,GD1EF,DA=DG,DC=DF,

ZADG=90°-ZCDG=ZFDC,-^=—,

DCDF

.'.△DAG^ADCF,

AZDAG=ZDCF.

.?.A、D、C、M四點共圓.

根據兩點之間線段最短可得：BO<BM+OM,即BMNBO-OM,

當M在線段BO與該圓的交點處時，線段BM最小,

此時，BO=7SC2-OC2=>/22-12=73-OM=^AC=1,

則BM=BO-OM=73-1.

故選D.

考點：1.等邊三角形的性質、2.等腰三角形的性質、3.相似三角形的判定與性質.

8.C

【解析】

【分析】

根據等邊三角形的性質及角的等量代換可得依據相似三角形的判定和性質

可得ABDE?ACEF,空=空，設跖=x,CF=y,將各邊長代入相似比中可得二次函

CECF

Ia

數丁=-5/+；處利用二次函數的性質，求其最值即可.

【詳解】

解：?.?AABC為等邊三角形，

.-.ZB=ZC=60°,

在MED中,

ABDE+ABED=180°-60°=120°,

由題意旋轉60。，

???"所=60。，

：./CEF+/BED=120°,

:?/BDE=/CEF,

在ABDE與&CEF中,

NB=/C,

NBDE=NCEF,

:?M3DE?ACEF,

設=CF=y,BD=AB-AD=2,

BDBE

~CE~~CF

2x

3-xy

123

-y=--x+/%，

當、T=1時，

39

=CF=g為最大值，

28

故選：C.

【點撥】題目主要考查等邊三角形的性質及動點問題，相似三角形的判定及性質，二次函數

的應用，理解題意，根據相似比得出二次函數求最大值是解題關鍵.

9.C

【解析】

【分析】

先依據勾股定理求得A8的長，然后依據翻折的性質可知P/三尸C,故此點P在以F為圓心,

以2為半徑的圓上，依據垂線段最短可知當尸PLA8時，點P到A8的距離最短，然后依據

題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質求解即可.

【詳解】

解：如圖所示：當PE〃AB.

在放AABC中，VZC=90°,AC=6,BC=8,

??AB—16?+8?=10,

由翻折的性質可知：PF=FC=2fZFPE=ZC=90°.

PE//AB,

：.NPDB=90。.

由垂線段最短可知此時尸。有最小值.

又???Q為定值，

???產力有最小值.

XVZA=ZA,ZACB=ZADF,

DE4DE

AF=蕓,即白=爺，解得："二32

￡>C1()O

：.PD=DF-FP=3.2-2=1.2,

故選：C.

【點撥】本題考查翻折變換，垂線段最短，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思

想思考問題，屬于中考常考題型.

10.5

【解析】

【分析】

在BC上截取BE=1,連接BP,PE,由正方形的性質可得BC=4=CD,BP=2,EC=3,

可證APBEs/XCBP,可得PE=^PC,即當點D,點P,點E三點共線時，PD+PE有最小

值，即PD+《PC有最小值.

【詳解】

解：如圖，在BC上截取BE=1,連接BP,PE,

??,正方形ABCD的邊長為4,OB的半徑為2,

；.BC=4=CD,BP=2,EC=3,

..絲]BE

-=—，且NPBE=NPBC,

BC2BP

.,.△PBE^ACBP,

,BEPE\

??--------=一,

BPPC2

.,.PE=yPC,

.,.PD+yPC=PD+PE,

二當點D,點P,點E三點共線時，PD+PE有最小值，即PD+^PC有最小值,

.\PD+|PC最小值為DE=Jg+CE：=5.

故答案為5.

【點撥】本題考查了正方形的性質，圓的有關知識，相似三角形的判定和性質，添加恰當的

輔助線構造相似三角形是本題的關鍵.

g

11.

4

【解析】

【分析】

設BC=a,AC=b,由NB=NADE=NDAC,得到△ABCs/\EBDs2^DAC,通過相似比得到

DC=—,BD^BC-DC=a--=a-b'則土翳子，/喑小得到

aaa

即可求出最大值.

ma-a2j4

【詳解】

解：設BC=a,AC=b,VZB=ZADE=ZDAC,

.,.△ABC^AEBD^ADAC,

DCAC

AC-BC

DC=—,BD=BC-DC=a--=--b

aaa

22

rri]_BD_a-bm2_AC_b

mBCa2mBCa

22

nij+m2_a-bb_(b1Y55

"-m-a2+a-~la-2j+4"4'

則巴匚3的最大值是。

m4

【點撥】本題考查「三角形相似的判定與性質：有兩個角對應相等的兩個三角形相似；相似

三角形的對應邊的比相等，周長的比等于相似比.也考查了用配方法求最值.

12.10-272

【解析】

【分析】

連接AF、AC.CF,證明△AFCS/\8EC,從而根據E點運動軌跡發現尸點在以A點為圓心，

AF為半徑的圓上運動，當A、F、H三點共線時，F”有最小值.

【詳解】

解：連接。、CF、AF,

因為/BC4=/EC凡E

所以/BC￡=ZACF,

在等腰直角△48C和等腰直角△ECF中，

BCCE\

AC-CF-72

BCAC

所以在=孑

所以△BCE?4ACF,

所以槳=&,

BE

因為8E=2,

所以AF=2&,

因為點E繞著點8旋轉，且BE=2,

所以F在以A為圓心，2正為半徑的圓上運動,

當A、H、F三點共線時，尸”最小，

所以FH=AH-2&,

在放中，AD=8,DH=6,

所以AH=10,

所以尸〃最小值為10-272-

故答案為：10-2夜.

【點撥】本題主要考查了旋轉的性質、相似三角形的判定和性質，圓的基本性質，找到尸

點運動的軌跡是解題的關鍵.

4

【解析】

【分析】

過點A作于H,過點E作EKL8A交84的延長線于K.設4E=y,BD=x.利用相

似三角形的性質求出），的最小值，可得結論.

【詳解】

解：過點A作AHLBC于H,過點E作￡KJ_6A交BA的延長線于K.設AE=y,BD=x.

：.BH=CH,ZBAH=ZCAH=6O°,

:.BH=CH=AB?sin60°=布,

:.BC=2BH=2g,

：.CD=2yf3-x,EC=2-y,

在Rt^AEK中，EK=AE-sin600=—y,

2'

：.S4ABE=gAB-EK=gx2x正y=@y,

2222

,/ZADC=ZADE+ZEDC=ZABC+ZDAB,NADE=NABD,

：.NEDC=NDAB,

"：ZC=ZABD,

：.△A。8s△￡>EC,

.AB_DB

"~DC~~EC'

?2____x__

"2y/3-x~2-y'

整理得產Ix2-V3X+2=I(x-y/5)2+1,

>0,

??.尸石時，y的值最小，最小值為

??.△ABE的面積的最小值=1，

4

故答案為：-

4

【點撥】本題考查相似三角形的判定和性質，二次函數的性質，解直角三角形等知識，解題

的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考填空題

中的壓軸題.

14.①③④

【解析】

【分析】

根據垂徑定理可知8C=BO；利用同弧所對的圓周等于圓心角的一半可知NCOB=60。，再

利用扇形的面積公式求出扇形08c的面積為6n；利用切線性質可知OC_LCE,所以

ZOCE=ZOFC=90°,又因為NCOF=/COE,可判定△OCFS/\OEC；

APOP=(6-OP)OP=-OP2-6OP=-(OP-3)2+9,當OP=3時，有最大值為9.

【詳解】

解：①?；弦CDLA3,

???由垂徑定理可知：BC=BD，

故①正確；

@"：NA=30°,

/?ZCOB=2NA=60°，

:半徑OA=6,

???扇形OBC的面積=60°—6?=6兀,

360°

故②錯誤；

③;。。與CE相切于點C,

OC1.CE,

???NOCE=90'

VZCOF=ZCOE,ZOFC=ZOCEf

故③正確；

?VAPOP=(6-OP)OP=-OP2-6OP=-(O尸-3)2+9

...當OP=3時，AP.OP有最大值為9,

故④正確，

故答案為：①③④.

【點撥】本題考查垂徑定理，扇形的面積，相似三角形的判定定理，最值問題，切線性質.重

點要掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；記住扇形的面

2

積公式5=竺］,熟記相似三角形的判定定理.

360

15.3亞

【解析】

【分析】

作OKJ_AB于點。，在OK上截取OK=OA=OB,連接AK,BK,KC,OP,可得AA8K為等

腰直角三角形，從而得至I」NOBK=NPBC,竺.=歿=且，進而得到△OBPs^KBC,可

BKBC2

得到弟=茲=應-則有幻＞夜，進而得到點C的運動軌跡是以點K為圓心，KC長

Orro

為半徑的的圓，即可求解.

【詳解】

解：如圖，作0KJ_48于點O,在OK上截取OK=OA=O8,連接AK,BK,KC,OP,

?；OK=OA=OB,OKLAB,

:?KA=KB,NOAK=/AKO,/OBK=/OKB,

，ZAKB=90°,

???△ASK為等腰直角三角形，

-'-OB2+OK2=2OB2=BK2,

JNO6K=NO4K=45。，

???△PBC為等腰直角三角形，

PB2+PC2=1PB2=BC2，

：.ZPBC=45°,絲二型=",

BKBC2

/./OBK=/PBC,

:?△OBPsRKBC,

.?.四=.=應，

OPPB

'：OP=\,

：.KC=y/2,

A點C的運動軌跡是以點K為圓心，KC長為半徑的的圓,

?：AK=QOA=2五，

."C的最大值為2夜+夜=3點-

故答案為：3亞

【點撥】本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識，解

題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，解題的突破點是發現點C的運動

軌跡是以點K為圓心，KC為半徑的圓，所以中考填空題中的壓軸題.

16.竺唐

5

【解析】

【分析】

作點E關于直線AB的對稱點￡,將PE+PF轉化為PE，+PF,即當EFJ_AC時，PE+PF的

最小值為￡尸的長，利用三角形相似求長度即可.

【詳解】

解：如圖，作點E關于直線AB的對稱點連接￡：￡交AC于點G,過點￡作4。的垂線,

垂足為F，交A3于點P,可得尸石+P尸有最小值為￡'/，

.?.石￡=10,

EG//AD,

:./CEG=ZD、/CGE=NCAD,

:./\CEG^/\CDA,

.CEEGCG

"'CD~~DA~~CA'

CE=2,CD=AB=\G,AD=BC=5,

2EGCG

'.105752+102，

/.EG=1,CG=石，

NCEG=NEFG,NCGE=NEGF,

.-.△CEG^AEFG,

,CECG

'否二否’

...EF空后,

1O「

即PE+PF的最小值為一V5.

5

1OL

故答案為：—>/5.

5

【點撥】本題主要考查了矩形的性質，軸對稱-最短路線問題，相似三角形的判定與性質,

將PE+PF的最小值轉化為E下的長是解題的關鍵.

17.2幣+26

【解析】

【分析】

先證出48=90°,作R/AODG,使/Z)GO=90°,NODG=30°,證明出△SS-ABEX9,

從而得出CG=2石，在R/A4//G中，由勾股定理求出AG的長度，在AACG中，利用三角形

三邊關系可得AC的最大值.

【詳解】

解：取的中點為。，連接BO,作心ODG,使N0GO=9O。，ZODG=30°,連接CG,

過點。作驍C」8C于。，

NC8￡>=60。，

，BD=2BC,

'：BD=2BC,

.?.點C與C重合，

.../BCD=90°,

：.ZBDC=ZODG=30°,

:.NGDC=NBDO,—=—=

BDDO2

，ACDG-ABDO,

.CGCDG

??---=---=---,

BOBD2

：.BO=-AD=4,

2

/.CG=2石，

連接AG,過點G作GHJ_O。于H,

?：OG=-OD=2,

2

在RrMOG中，470G=60°,

，O"=I,GH=5

AH=5,

在RAAWG中，由勾股定理得：

?*-AG=ylHG2+AH2=J3+25=2百，

ACWAG+CG,

/.ACW2幣+2也,

的最大值為：2幣+26,

故答案為：2近+2班.

【點撥】本題考查特殊角的三角函數值、相似三角形的判定及其性質、三角形的三邊關系、

勾股定理等知識點，做輔助線構造三角形是解題的關鍵.

18.—73

2

【解析】

【分析】

利用平行線分線段成比例定理得到PG=；GE,PE=3PG,得到當PG_LC。時，PG最小，

即PE取得最小值，最小值為3PG,過點C作于點"，在R&BCH中,利用特殊角

的三角函數值即可求解.

【詳解】

解：設PE交CO于點G,

?.?四邊形PCE尸為平行四邊形，。為PF的中點，

J.PF//CE,BPPD//CE,

.PDPG_1

B|JPG=-GE,

"CE~GE~22

：.PE=3PG,

當PG_LC￡＞時，PG最小，即PE取得最小值，最小值為3PG,

過點C作CHLAB于點H,

四邊形ABCD為平行四邊形,

：.PH//CG,

則四邊形P”CG為矩形，

PG=CH,

在中，BC=5,ZABC=60°,

，C”=8Csin60°=*6,

2

的最小值為3尸G=3CH卷幣,

故答案為:~2^-

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形，兩點之間線段最短等知識，解題的

關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

19.(1)等腰直角三角形，見解析；(2)y=-5x2+x,當x=2,y有最大值1；(3)不

變，16

【解析】

【分析】

(I)先判斷出NFDA=NCDE,證得AADF絲Z\CDE,即可得出結論；

(2)利用平行線分線段成比例定理得出比例式表示出AF邊上的高，即可得出結論；

(3)先判斷出△FAM段aEIM,得出ME=FM,再判斷出△ANDs/\CDM,即可得出結論.

【詳解】

(1)在正方形ABCD中，AD=CD,ZADC=ZDCB=ZDAB=90°,

ZFDE=ZADC=90°,

.".ZFDA=ZCDE,

在4ADFCDE中，

-ZADF=ZCDE

■AD=CD,

ZDAF=ZDCE=90°

.'.△ADF^ACDE,

ADE=DF,

???△DFE為等腰直角三角形；

(2)過M作MG_LAB于G,

B

設MG=h,

又YNGAM=45°,

/.AG=MG=h,由(1)知FA=CE=x,

VCB1AB,

AMG//BC,

.FGMGx+/zh

??------=-------,RHJn---------=---------,

FBBEx+44-x

..4-x

.?h二----，

2

I4—x1

Ay=—-------=_—x2+x(0<x<4)；

224

1/、2

丁".(修)+i，

'：a=--<O

4f

???當x=2,y有最大值i；

(3)不變，如圖3,過點E作EI〃AB交AC于I,連接DM,

.'.ZEIC=ZICE=45°,

/.EI=EC=AF,

VEI/ZAB,

.'.ZFAM=ZMIE,ZMFA=ZIEM,

.'.△FAM^AEIM,

???ME=FM,

由(1)可得，AFDE是等腰直角三角形，

???DMJ_EF,

.\ZMDE=45°,ZMDC=45°+ZCDN=ZDNA,

VZDAN=ZDCM=45°,

.,.△AND^ACDM,

.AN_AD

.,.AN<M=AD<D=16.

【點撥】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似

三角形的判定和性質，二次函數的最值，等腰直角三角形的性質，三角形的面積公式，作出

輔助線構造相似三角形是解本題的關鍵.

參考答案：

1.A

【解析】

【分析】

根據相似三角形的性質得到吆=—,得到8￡>=4,AB=BD=4,過8作于，,

BDAD

根據等腰三角形的性質得到AH=340=3,根據勾股定理得到

BH=JAB=AH'W^=^，當時，P。的值最小，根據相似三角形的性質即

可得到結論.

【詳解】

解：A/MBADC4,

.ADCD

~BD~'AD'

65+BD

——=-----,

BD6

解得：BD=4（負值舍去），

AAMBADC4,

,4。_8一93

,~AB~~AD~~6~2y

3

/.AC=-AB

2r

AC2=AB（AB+BC）,

=AB（AB+BC）9

...AB=4,

.?.AB=BD=4,

過8作于H,

D,

A

/.AH=—AD=3,

2

/.BH7AB2-AH?="2—32=幣,

AD=3AP,AD=6f

??.AP=2,

當PQ_LA8時，PQ的值最小，

ZAQP=ZAHB=90°,Z.PAQ=NBAH

.?.AAPQMBH,

APPQ

.?T，

4百，

PQ咚

故選：A.

【點撥】本題考