2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)12月月考數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.等差數(shù)列中，若，則（）A.12 B.18 C.6 D.92.若直線，平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3 C.1或 D.或33.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（）A.16 B. C.24 D.4.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（）A. B. C. D.5.空間中有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）A. B. C. D.7.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（）A B.12 C. D.8.數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項(xiàng)和為（）A.1640 B.1680 C.2100 D.2120二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）A.數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個(gè)數(shù)列B.數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)C.在數(shù)列中,第8個(gè)數(shù)是D.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為10.已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1，為的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線為異面直線B.平面C.二面角的正弦值為D.若棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為11.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.是遞減數(shù)列 B.是等差數(shù)列C. D.12.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為B.當(dāng)時(shí)，的最大值為C.存在點(diǎn)，使得D.的最小值為1三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填在答題卡中的橫線上.）13.若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)的值為_________．14.已知為等比數(shù)列，公比，，且成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式_________．15.已知數(shù)列滿足．則的通項(xiàng)公式為_________．16.已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之和為4（1）寫出點(diǎn)軌跡的方程；（2）若直線與軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.18.（1）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，，求通項(xiàng)公式．19.已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)且被圓截得弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.20.已知數(shù)列中，，．（1）證明數(shù)列等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意，都有成立，求的取值范圍．21.已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，平面.（1）求證：；（2）若四棱錐的體積為2，求平面與平面夾角的余弦值.22.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且離心率2.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，若，求.2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)12月月考數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在等差數(shù)列中，若，則（）A.12 B.18 C.6 D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，所以，所以.故選：D.2.若直線，平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3 C.1或 D.或3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行列方程，由此求得.【詳解】由于兩直線平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，兩直線平行.當(dāng)時(shí)，，兩直線平行.綜上所述，的值為或.故選：D3.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（）A.16 B. C.24 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，所以，解得或（舍去）或（舍去），此時(shí)，所以，故選：C4.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)互相垂直兩直線斜率之間的關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，圓心坐標(biāo)為，由，所以直線的斜率為，因此直線的垂直垂直平分線的斜率為，所以直線的垂直垂直平分線方程為：，故選：A5.空間中有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出，即可得，，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為即可得解.【詳解】解：，則，，則，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：A.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷．【詳解】是等差數(shù)列，∴，又，所以，公差，因此中，當(dāng)時(shí)遞減，是最小值，從開始，遞增，又，，所以使得的最大的為11，故選：C．7.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（）A. B.12 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到所以，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，得到軸，利用勾股定理，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以焦點(diǎn)，因?yàn)椋鶕?jù)拋物線的定義，可得，又因?yàn)椋裕驗(yàn)椋磼佄锞€的通徑長(zhǎng)為，所以軸，所以.故選：C.8.數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項(xiàng)和為（）A.1640 B.1680 C.2100 D.2120【答案】A【解析】【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)榈闹芷跒椋缘闹芷跒?又，，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.又，所以，，，于是得到，同理可求出，…，設(shè)，則數(shù)列是以6為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前80項(xiàng)和為數(shù)列的前20項(xiàng)和.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）A.數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個(gè)數(shù)列B.數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)C.在數(shù)列中,第8個(gè)數(shù)是D.數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列概念即可得選項(xiàng)A正誤;利用數(shù)列的通項(xiàng)公式等于110,計(jì)算出結(jié)果,即可得選項(xiàng)B的正誤;根據(jù)數(shù)列的規(guī)律,即可得選項(xiàng)C、D的正誤.【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列-2023,0,4的首項(xiàng)是-2023,而數(shù)列4,0,-2023的首項(xiàng)是4,所以兩個(gè)數(shù)列不是同一個(gè),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),解得:或(舍),即110是該數(shù)列的第10項(xiàng),故選項(xiàng)B正確;因?yàn)閿?shù)列可寫為:,所以第8個(gè)數(shù)是,故選項(xiàng)C正確;因?yàn)樗钥梢钥醋鰯?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,故選項(xiàng)D正確.故選：BCD10.已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1，為的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線為異面直線B.平面C.二面角的正弦值為D.若棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】連接、交于點(diǎn)，連接，即可證明，從而得到平面，即可判斷A、B，建立空間中直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷C，求出外接圓的半徑，即可求出正三棱柱外接球的半徑，即可判斷D.【詳解】連接、交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，故B正確；又，平面，所以與不平行且無公共點(diǎn)，所以直線與直線為異面直線，故A正確；取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，則平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量可以為，設(shè)二面角為，顯然為銳二面角，則，所以，即二面角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；外接圓的半徑，所以正三棱柱外接球的半徑，所以該球的表面積，故D正確.故選：ABD11.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.是遞減數(shù)列 B.是等差數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題中的遞推公式，分別可求出，，，從而可對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕裕允鞘醉?xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，故D正確；因?yàn)椋裕蔅錯(cuò)誤；因?yàn)椋ㄒ矟M足），所以，所以是遞減數(shù)列，故A正確；因?yàn)椋矗訡正確.故選：ACD12.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為B.當(dāng)時(shí)，的最大值為C.存在點(diǎn)，使得D.的最小值為1【答案】ABD【解析】【分析】A項(xiàng)中需先解出的范圍，然后利用離心率的定義進(jìn)行判斷；B項(xiàng)中根據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化為求的最大值，從而進(jìn)而判斷；C項(xiàng)中先求出點(diǎn)的軌跡方程，再判斷該軌跡圖形與橢圓是否有交點(diǎn)，從而進(jìn)行判斷；D項(xiàng)中根據(jù)橢圓定義得，并結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，所以得：，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：由橢圓定義知，當(dāng)在軸下方時(shí)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)：設(shè)，若，即：，則得，即點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，又由A項(xiàng)知：，得，又因?yàn)椋茫缘茫海栽搱A與橢圓無交點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：由橢圓定義得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填在答題卡中的橫線上.）13.若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)的值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)焦距求得，結(jié)合橢圓的方程求得.【詳解】由于橢圓焦距為，所以，由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，所以，解得.故答案為：14.已知為等比數(shù)列，公比，，且成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式_________．【答案】【解析】分析】由成等差數(shù)列，得，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，代入求出公比即可.【詳解】由成等差數(shù)列，且，得，解得或，又，所以，所以，故答案為：.15.已知數(shù)列滿足．則的通項(xiàng)公式為_________．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和間的關(guān)系求解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，兩式相減可得，，，當(dāng)時(shí)，適合上式，，故答案為：16.已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】連接，則，設(shè)點(diǎn)，則，分析可得，可得范圍，進(jìn)而可得離心率的范圍.【詳解】連接，則，由切線長(zhǎng)定理可得，又，，所以所以，則設(shè)點(diǎn)，則，且，所以所以，故.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之和為4（1）寫出點(diǎn)軌跡的方程；（2）若直線與軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用定義法求橢圓方程即可；（2）利用橢圓與直線位置關(guān)系的判斷方法即可.【小問1詳解】由橢圓定義可知，軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，故，，，其方程為.【小問2詳解】聯(lián)立得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍為.18.（1）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，，求通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式列方程求解即可；（2）利用累乘法求解通項(xiàng)公式.【詳解】（1）依題意，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)椋裕獾茫海裕唬?），，．19.已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，結(jié)合題意得到，求得圓心，再由，即可求得圓的方程；（2）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)得到，分的斜率不存在和存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【小問1詳解】解：圓的圓心在直線上且與軸切于點(diǎn)，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，.所以圓心，半徑，故圓的方程為.【小問2詳解】解：由直線l過點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得，即，解得，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，此時(shí)不滿足條件；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即，可得，解得或，所以直線方程為或.20.已知數(shù)列中，，．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可推出，又，即可得到，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）經(jīng)化簡(jiǎn)可得，.令，根據(jù)求出時(shí)，最大，即可得出的取值范圍．【小問1詳解】證明：由已知可得，，又，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，.所以，所以.則由可得，對(duì)任意，都成立.令，假設(shè)數(shù)列中第項(xiàng)最大，當(dāng)時(shí)則，有，即，整理可得，解得，所以.因?yàn)椋裕?又，所以數(shù)列中第2項(xiàng)最大，即對(duì)任意，都成立.所以由對(duì)任意，都成立，可得.21.已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，平面.（1）求證：；（2）若四棱錐的體積為2，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)梯形的性質(zhì)求解可證，進(jìn)而根據(jù)線線垂直即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解平面夾角，或者利用幾何法，結(jié)合線面垂直找到兩平面的夾角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求解.【小問1詳解】∵平面，平面，∴，過點(diǎn)作，由為等腰梯形，，故，所以，即，即，平面，∴平面，平面，故.小問2詳解】方法一:，∵,，∴.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，,設(shè)平面法向量為，則，，取，得同理，設(shè)面法向量為，則，，取，得，由題意，.設(shè)平面與平面夾角為，則，方法二：，∵,，∴.∵平面，平面，∴平面平面，過作，則平面垂足為，平面，則,過作的垂線，垂足為，連，由于平面,所以平面,平面，故，則為所求二面角夾角的平面角.，所以,,，