第07講二項式定理【人教A版2019】·模塊一二項式定理·模塊二二項式系數的性質·模塊三課后作業模塊一模塊一二項式定理1．二項式定理一般地，對于任意正整數n，都有

=++++++.(*)

公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(k∈{0,1,2,,n})叫做二項式系數，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：=.(2)二項展開式的規律

①二項展開式一共有(n+1)項.

②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.

③每一項中a和b的冪指數之和為n.【考點1求二項展開式】【例1.1】（2023下·北京通州·高二統考期中）二項式x+23的展開式為（

A．x3+6xC．x3+12x【解題思路】由二項式定理求解.【解答過程】二項式x+23==x故選：B.【例1.2】（2023·全國·高三專題練習）下列不屬于x?23的展開式的項的是（

A．x3 B．6x2 C．12x【解題思路】按照二項式定理直接展開判斷即可.【解答過程】由二項式定理可知，(x?2)3=x故選：B.【變式1.1】（2023下·江蘇連云港·高二統考期中）x?yx+y10展開式中的項數為（A．11 B．12 C．22 D．2【解題思路】x?yx+y10=【解答過程】因為(x+y)所以xy則x?yx+y10=共有12項，故選：B．【變式1.2】（2023下·高二課時練習）(x＋2)n的展開式共有11項，則n等于（

）A．9 B．10 C．11 D．8【解題思路】利用二項式定理的知識即可求解.【解答過程】因為(x＋2)n的展開式共有n＋1項，而(x＋2)n的展開式共有11項，所以n＝10.故選:B.【考點2

求展開式的特定項或特定項的系數】【例2.1】（2023·西藏拉薩·統考一模）二項式2x?1x3A．160 B．?80x C．80x3 【解題思路】根據二項式展開式公式即可求解.【解答過程】因為Tk+1=C故選：C．【例2.2】（2023下·福建三明·高二校考階段練習）在x?1x24的展開式中，A．?4 B．4 C．?6 D．6【解題思路】寫出x?1x24的二項展開式的通項公式，再進行整理化簡，要求【解答過程】x?1x24的第由4?3r=1得r=1，∴x?1x24的展開式中故選：A.【變式2.1】（2023·北京西城·北京師大附中?？寄M預測）在x+2xA．1 B．3 C．6 D．12【解題思路】根據二項式定理，得出x+【解答過程】因為x+2x3展開式的第令3?3r=0，則r=1，所以常數項為T2故選：C.【變式2.2】（2023下·廣東珠?！じ叨？计谥校┤?x+a)5的展開式中x2的系數是80，則實數a的值是（A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】求出(x+a)5展開式的通項，令x的系數為2可得x【解答過程】(x+a)5展開式的通項為令5?r=2?r=3，可得x2系數為C可得a=2．故選：B.模塊二模塊二二項式系數的性質1．二項式系數的性質(1)楊輝三角——二項式系數表

當n依次取1,2,3,時，觀察的展開式的二項式系數：從中我們可以看出，左側三角是根據二項式定理得到的，右側三角是算出對應的組合數的值后所得結果，由此我們可以發現以下性質：

①每一行中的二項式系數是對稱的，如第一項與最后一項的二項式系數相等，第二項與倒數第二項的二項式系數相等.

②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.

③從第二行起，每一行的二項式系數從兩端向中間逐漸增大.

④第一行的兩個數之和為2=，第二行的三個數之和為4=，，第六行的各數之和為，，第n行的(n+1)個數之和為.(2)二項式系數的性質對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等(即)增減性當時，二項式系數逐漸增大；當時，二項式系數逐漸減小，因此二項式系數在中間取得最大值最大值當n是偶數時，展開式的中間一項的二項式系數最大；當n是奇數時，展開式的中間兩項與的二項式系數，相等且最大各二項式

系數的和【考點1

用賦值法求系數和問題】【例1.1】（2023上·福建莆田·高二?？计谀┤?1+x)9=a0+A．1 B．513 C．512 D．511【解題思路】利用賦值法，先令x=0，求出a0，再令x=1，求出a【解答過程】令x=0，得a0=1，令x=1，得所以a1故選：D.【例1.2】（2023下·重慶·高二統考期末）已知1?4x2023=a0+A．?2 B．?1 C．0 D．1【解題思路】令fx=1?4x【解答過程】令fx=1?4x所以，a=f1故選：A.【變式1.1】（2023下·高二單元測試）若1+2x21=a0+A．－2 B．－1 C．1 D．2【解題思路】利用賦值法，先取x=0得a1=1，再取【解答過程】取x=0，得a1再取x=?12，得所以?a故選：B.【變式1.2】（2023下·廣東湛江·高二?？计谥校┤?2x?1)10=a0A．a1+aC．a2=160 【解題思路】分別令x=0、x=1可判斷A；轉化為求2x+110的各項系數之和，令x=1可判斷B；利用通項公式可判斷C；分別令x=0、x=【解答過程】對選項A，2x?110令x=0，得a0=1，令x=1，得所以a1對選B，因為2x?110所以a0+a令x=1，則a0對選項C，a2x2對選項D，因為2x?110=a令x=12，則則a1故選：D.【考點2多項式積的展開式中的特定項問題】【例2.1】（2023上·遼寧丹東·高三統考期中）1?2xy(x+y)6的展開式中A．55 B．?70 C．65 D．?25【解題思路】根據(x+y)6【解答過程】含x4y2所以展開式中x4y2故選：D【例2.2】（2023上·湖北·高三校聯考階段練習）若4x?mx?25的展開式中的x3的系數為?600，則實數m=A．8 B．7 C．9 D．10【解題思路】求出x?25展開式的通項公式，進而根據x【解答過程】由題意知，x?25展開式的通項公式為C故x3的系數為4×解得m=7.故選：B．【變式2.1】（2023·全國·模擬預測）1+x+13xA．120 B．80 C．60 D．40【解題思路】利用3x+2【解答過程】3x+2而1+x+1對于3x+2對于x3x+23x5對于13x3x+23故1+x+13x故選：A．【變式2.2】（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習）在2x+ax+2x6的展開式中，x2A．3204 B．?160 C．160 D．?320【解題思路】根據二項式定理即可求解.【解答過程】x+2x6若2x?由k∈N，得7?2k≠2若a?令6?2k=2，解得k=2則a解得a=?2因為7?2k≠0，在?2Tk+1中，令6?2k=0，解得所以展開式中的常數項為?2C故選：D.【考點3求展開式中系數最大（?。┑捻棥俊纠?.1】（2023下·上海長寧·高二校考期末）二項式1?x4n+1n∈N,n≥1的展開式中，系數最大項的是（A．第2n+1項 B．第2n+1項和第2n+2項C．第2n項 D．第2n+2項【解題思路】根據該展開式中項的系數與二項式系數的關系，結合二項式中最大系數的項，分析中間的兩項即可．【解答過程】由二項展開式的通項公式Tk+1可知系數為?1k二項式系數最大的項為第2n+1項和第2n+2項，又由第2n+1項系數為?12n第2n+2項系數為(?1)2n+1故系數最大項為第2n+1項.故選：A.【例3.2】（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┤?x2?A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項【解題思路】先利用二項式系數的增減性求出n的值，再根據展開式的通項公式求解即可.【解答過程】因為2x所以n2+1=5，解得則2x2?1x當k為奇數時，系數為負數，當k為偶數時，系數為正數，所以展開式中系數最大時，k為偶數，由展開式通項可知T1=C80T7=C所以展開式中系數最大的是第三項，故選：B.【變式3.1】（2023下·江蘇淮安·高二校聯考期中）已知在x?23xnA．6 B．8 C．9 D．11【解題思路】寫出x?23xn【解答過程】由已知可得，x?23xn所以，第5項的系數為?24?C由題意知，16Cn4解得n=10或n=?5（舍去），所以n=10，Tr+1設第s+1項，系數的絕對值最大，該項系數的絕對值為?2s則有2s?C整理可得3s≥193s≤22，所以19又s∈N?，所以故選：B.【變式3.2】（2023·浙江·?？寄M預測）若二項式2x+1xnn∈N?的展開式中只有第7項的二項式系數最大，若展開式的有理項中第kA．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】根據條件可得n=12.寫出展開式的通項Tr+1=C12r【解答過程】由已知可得，n=12.根據二項式定理，知展開式的通項為Tr+1=Cr=0時，T1=C120r=4時，T5=C124r=8時，T9=C128r=12時，T13經比較可得，r=4，即k=5時系數最大，即展開式的有理項中第5項的系數最大．故選：A.【考點4利用二項式定理證明整除問題或求余數】【例4.1】（2023·全國·高三專題練習）已知m>0，且152021+m恰能被14整除，則m的取值可以是（A．1 B．3 C．7 D．13【解題思路】由152021+m=(14+1)【解答過程】由152021∴要使152021+m恰能被14整除，只需m+1能被14整除即可且∴m=14k?1,(k∈N?)，當k故選：D.【例4.2】（2023下·江蘇淮安·高二校聯考期中）若(3x+2)2023=a0+A．0 B．3 C．5 D．8【解題思路】分別賦值x=1以及x=?1，可推得a1+a3+a5【解答過程】令x=1，由已知可得，52023令x=?1，由已知可得，?12023兩式作差可得，2a所以，a1因為52023=5×=5×=5×C所以，a1+a3+顯然5×C所以，余數為3.故選：B.【變式4.1】（2023下·山東泰安·高二統考期中）若a∈N，且502023+a能被17整除，則aA．0 B．1 C．16 D．18【解題思路】將502023+a化為二項展開式，根據502023【解答過程】由題意，50=(r∈因為502023而C2021∴C2021∴?1+a=17k,k∈N,即a=17k+1,k∈∴a的最小值為18.故選：D.【變式4.2】（2023·湖南懷化·統考二模）若(2x+1)100=a0+A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】根據題意，給自變量x賦值，取x=1和x=?1，兩個式子相減，得到2【解答過程】在已知等式中，取x=1得a0取x=?1兩式相減得2(a即2a因為3===因為C50所以C50即2a故選：B.【考點5

楊輝三角問題】【例5.1】（2023·全國·高二隨堂練習）根據楊輝三角，寫出a+b8【解題思路】畫出楊輝三角圖象，相據楊輝三角與二項式系數關系可得a+b8的二項式系數，即可求得答案【解答過程】楊輝三角如下：11

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

∵相據楊輝三角與二項式系數關系可得：a+b8的二項式系數依次為1,8,28,56,70,56,28,8,1【例5.2】（2023·全國·高二隨堂練習）根據楊輝三角，我們可以得到很多與組合數有關的性質．例如，在下圖中，C1C2……(1)根據你發現的規律，猜想：Crr+(2)你還能發現有關組合數的哪些性質？【解題思路】（1）根據題中的規律可得出Crr+（2）根據C10=1，C30【解答過程】（1）解：猜想：Cr先證明：Cm由組合數公式可得C=m+1因此，Cr（2）解：觀察數陣可得C1C3C5C7?照此規律可得出C2n?1證明如下：由組合數的性質可知Cm因為C2n?1由組合數的性質可得C2n?1故C2n?1【變式5.1】（2023上·湖南岳陽·高一?？奸_學考試）閱讀材料，完成相應任務：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”(如圖所示)，它揭示了(a+b)n(n為非負數根據上述規律，完成下列問題：(1)直接寫出(a+b)5(2)(a+1)8的展開式中a(3)利用上述規律求115【解題思路】（1）由楊輝三角規律求解，（2）由二項式定理求解，（3）轉化為(10+1)5【解答過程】（1）由楊輝三角圖可得(a+b)（2）由楊輝三角的性質可得(a+1)8的展開式二項式系數可知展開式中a項的系數為C（3）11=100000+50000+10000+1000+50+1=161051.【變式5.2】（2023下·安徽蕪湖·高二統考期末）楊輝是我國古代數學史上一位著述豐富的數學家，著有《詳解九章算法》?《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數字表示，楊輝三角的發現要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質，利用這些性質，可以解決很多數學問題.性質1：楊輝三角的第n行就是(a+b)n性質2（對稱性）：每行中與首末兩端“等距離”之數相等，即Cn性質3（遞歸性）：除1以外的數都等于肩上兩數之和，即Cn性質4：自腰上的某個1開始平行于腰的一條線上的連續n個數的和等于最后一個數斜右下方的那個數，比如：1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20；請回答以下問題：(1)求楊輝三角中第8行的各數之和；(2)證明：Cn(3)在(1+x)2+(1+x)【解題思路】（1）由楊輝三角的第八行結合組合數的性質求解即可；（2）由組合數公式證明即可；（3）由二項式定理結合組合數性質求解即可.【解答過程】（1）楊輝三角中第8行的各數之和為1+（2）CCnr（3）(1+x)2+(1+x)3+?+(1+x)n+1模塊三模塊三課后作業1．（2023·高二課時練習）二項式a+b6的展開式中共有（

）項A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】由二項展開式的性質可得答案.【解答過程】二項式a+bn的展開式的項數為n+1本題n=6，所以6+1=7.故選：C.2．（2023下·江西贛州·高二校考階段練習）二項式x2?2A．?160x3 B．240x8 【解題思路】寫出通項公式，令k=3，求出第4項.【解答過程】因為Tk+1=C故選：A．3．（2023·全國·模擬預測）yx+mx?y7的展開式中x3y4A．2 B．1 C．?1 D．?2【解題思路】利用二項式的展開式公式展開，再與前面的項相乘求解即可.【解答過程】x?y7的展開式的通項公式為T所以yx令6?r=3r+1=4，解得r=3mTr+1=m??1r由題意，可知?13所以m=?2．故選：D．4．（2023·全國·高三專題練習）在3x?1xnA．二項式系數和為32B．各項系數和為128C．常數項為?135D．常數項為135【解題思路】令x=1，求出系數之和，再根據二項式系數的和結合已知求出n，進而可判斷AB；求出展開式的通項，令x的指數等于零，即可判斷CD.【解答過程】令x=1，得各項系數和為2n又二項式系數和為2n，則2n+即二項式系數和為64，各項系數和也為64，故A，B不正確；3x?1x6令6?3k2=0因此展開式中的常數項為32故選：D.5．（2023·四川成都·校聯考模擬預測）已知x?2yn的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，則展開式中的x5yA．―4 B．84 C．―280 D．560【解題思路】根據二項式系數的性質求得n=7，再根據二項式展開的通項即可求得指定項的系數.【解答過程】因為x?2yn的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，所以Cn又因為x?2y7的展開式的通項公式為T令r=2，所以展開式中的x5y2故選：B.6．（2023·河南·襄城高中校聯考模擬預測）若x2?3A．314 B．421 C．?4【解題思路】先令x=1，根據各項系數之和解得n=10，再求對應項系數計算比值即可.【解答過程】令x=1，得?2n=1024，解得n=10，所以x2所以第四項與第五項的系數之比?33故選：D.7．（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習）設a∈Z，且0≤a≤13，若512023+a能被13整除，則aA．0 B．1 C．11 D．12【解題思路】根據給定條件，利用二項式定理推理計算作答.【解答過程】51=52(52而522022?C即52(52因此a?1能被13整除，而a∈Z,0≤a≤13，即?1≤a?1≤12，所以a?1=0，即故選：B.8．（2023上·全國·高三階段練習）已知x3+ax6A．43,52 B．43,【解題思路】利用二項式定理展開公式，結合系數最大列出不等式即可求解.【解答過程】x3+a由題可知C64?故選：A.9．（2023上·浙江·高一階段練習）x2?x?26=aA．?32 B．0 C．32 D．64【解題思路】利用賦值法計算可得.【解答過程】因為x2令x=0可得a0令x=1可得a12令x=?1可得a12所以a12則a12故選：A.10．（2023下·山東·高二校聯考階段練習）“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示，則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（

）楊輝三角A．在第10行中第5個數最大B．第2023行中第1011個數和第1012個數相等C．CD．第6行的第7個數、第7行的第7個數及第8行的第7個數之和等于9行的第8個數【解題思路】A、B選項由二項式系數的增減性即可判斷；C選項，由Cnm?1+Cnm=【解答過程】A選項，第10行，10是偶數，所以在C10B選項，第2023行是奇數，中間兩項最大，即C20231011和C選項，由Cnm?1+D選項，C6故選：D.11．（2023上·高二課時練習）用二項式定理展開下列各式：(1)3a(2)2x【解題思路】利用二項式展開公式即可得解．【解答過程】（1）3==a（2）2+=