2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅱ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）=（）A．i B． C． D． 2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為（）A．9 B．8 C．5 D．4 3．（5分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A． B． C． D． 4．（5分）已知向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 5．（5分）雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則其漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）A．4 B． C． D．2 7．（5分）為計算S=1﹣+﹣+…+﹣，設(shè)計了如圖的程序框圖，則在空白框中應填入（）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 8．（5分）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A． B． C． D． 9．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）A． B． C． D． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是（）A． B． C． D．π 11．（5分）已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50 12．（5分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（）A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為．14．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為．15．（5分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin（α+β）=．16．（5分）已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。（一)必考題：共60分。17．（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{an}的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．18．（12分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖．為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值；（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．19．（12分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．20．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2．（1）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22．（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．（1）求C和l的直角坐標方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為（1，2），求l的斜率．[選修45：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）當a=1時，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍．2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）=（）A．i B． C． D． 【考點】A5：復數(shù)的運算．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可．【解答】解：==+．故選：D．【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，是基本知識的考查．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為（）A．9 B．8 C．5 D．4 【考點】1A：集合中元素個數(shù)的最值．【專題】32：分類討論；4O：定義法；5J：集合．【分析】分別令x=﹣1，0，1，進行求解即可．【解答】解：當x=﹣1時，y2≤2，得y=﹣1，0，1，當x=0時，y2≤3，得y=﹣1，0，1，當x=1時，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9個，故選：A．【點評】本題主要考查集合元素個數(shù)的判斷，利用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．3．（5分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點的符號的特點分別進行判斷即可．【解答】解：函數(shù)f（﹣x）==﹣=﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除A，當x=1時，f（1）=e﹣＞0，排除D．當x→+∞時，f（x）→+∞，排除C，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象的識別和判斷，利用函數(shù)圖象的特點分別進行排除是解決本題的關(guān)鍵．4．（5分）已知向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】11：計算題；38：對應思想；4O：定義法；5A：平面向量及應用．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可．【解答】解：向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=2﹣=2+1=3，故選：B．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題5．（5分）雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則其漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4O：定義法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出a，c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線a，b，c的關(guān)系進行求解即可．【解答】解：∵雙曲線的離心率為e==，則=====，即雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x，故選：A．【點評】本題主要考查雙曲線漸近線的求解，結(jié)合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決本題的關(guān)鍵．6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）A．4 B． C． D．2 【考點】HR：余弦定理．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)值，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，則AB====4．故選：A．【點評】本題考查余弦定理的應用，考查三角形的解法以及計算能力．7．（5分）為計算S=1﹣+﹣+…+﹣，設(shè)計了如圖的程序框圖，則在空白框中應填入（）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 【考點】E7：循環(huán)結(jié)構(gòu)；EH：繪制程序框圖解決問題．【專題】38：對應思想；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖．【分析】模擬程序框圖的運行過程知該程序運行后輸出的S=N﹣T，由此知空白處應填入的條件．【解答】解：模擬程序框圖的運行過程知，該程序運行后輸出的是S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步長是2，則在空白處應填入i=i+2．故選：B．【點評】本題考查了循環(huán)程序的應用問題，是基礎(chǔ)題．8．（5分）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A． B． C． D． 【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【專題】36：整體思想；4O：定義法；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】利用列舉法先求出不超過30的所有素數(shù)，利用古典概型的概率公式進行計算即可．【解答】解：在不超過30的素數(shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，從中選2個不同的數(shù)有=45種，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3種，則對應的概率P==，故選：C．【點評】本題主要考查古典概型的概率的計算，求出不超過30的素數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．9．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）A． B． C． D． 【考點】LM：異面直線及其所成的角．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5G：空間角．【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ===，∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．故選：C．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是（）A． B． C． D．π 【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；H5：正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值．【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一個減區(qū)間為[，]，結(jié)合已知條件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一個減區(qū)間為[，]，由f（x）在[﹣a，a]是減函數(shù)，得，∴．則a的最大值是．故選：A．【點評】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應用，三角函數(shù)的求值，屬于基本知識的考查，是基礎(chǔ)題．11．（5分）已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【考點】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專題】36：整體思想；4O：定義法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，則f（x+2）=﹣f（x），則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．12．（5分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（）A． B． C． D． 【考點】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），直線AP的方程為：y=（x+a），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，則P（2c，c），代入直線AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴題意的離心率e==．故選：D．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x．【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，當x=0時，y′=2，∴曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x．故答案為：y=2x．【點評】本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為9．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5T：不等式．【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【解答】解：由x，y滿足約束條件作出可行域如圖，化目標函數(shù)z=x+y為y=﹣x+z，由圖可知，當直線y=﹣x+z過A時，z取得最大值，由，解得A（5，4），目標函數(shù)有最大值，為z=9．故答案為：9．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15．（5分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin（α+β）=．【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)．【專題】33：函數(shù)思想；48：分析法；56：三角函數(shù)的求值．【分析】把已知等式兩邊平方化簡可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用兩角和差的正弦公式化簡為2sin（α+β）=﹣1，可得結(jié)果．【解答】解：sinα+cosβ=1，兩邊平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，兩邊平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案為：．【點評】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應用，三角函數(shù)的求值，屬于基本知識的考查，是基礎(chǔ)題．16．（5分）已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為40π．【考點】MI：直線與平面所成的角．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】利用已知條件求出圓錐的母線長，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側(cè)面積．【解答】解：圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，可得sin∠ASB==．△SAB的面積為5，可得sin∠ASB=5，即×=5，即SA=4．SA與圓錐底面所成角為45°，可得圓錐的底面半徑為：=2．則該圓錐的側(cè)面積：π=40π．故答案為：40π．【點評】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，母線與底面所成角，圓錐的截面面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。（一)必考題：共60分。17．（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{an}的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．【考點】84：等差數(shù)列的通項公式；85：等差數(shù)列的前n項和．【專題】34：方程思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）根據(jù)a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差數(shù)列{an}的公差，然后求出an即可；（2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn以及Sn的最小值．【解答】解：（1）∵等差數(shù)列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，∴Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴當n=4時，前n項的和Sn取得最小值為﹣16．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項的和公式，屬于中檔題．18．（12分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖．為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值；（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．【考點】BK：線性回歸方程．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4O：定義法；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據(jù)模型①計算t=19時的值，根據(jù)模型②計算t=9時的值即可；（2）從總體數(shù)據(jù)和2000年到2009年間遞增幅度以及2010年到2016年間遞增的幅度比較，即可得出模型②的預測值更可靠些．【解答】解：（1）根據(jù)模型①：=﹣30.4+13.5t，計算t=19時，=﹣30.4+13.5×19=226.1；利用這個模型，求出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值是226.1億元；根據(jù)模型②：=99+17.5t，計算t=9時，=99+17.5×9=256.5；．利用這個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值是256.5億元；（2）模型②得到的預測值更可靠；因為從總體數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額是逐年上升的，而從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，從2010年到2016年間遞增的幅度較大些，所以，利用模型②的預測值更可靠些．【點評】本題考查了線性回歸方程的應用問題，是基礎(chǔ)題．19．（12分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．【考點】KN：直線與拋物線的綜合．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）方法一：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點弦公式|AB|=，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程；（2）根據(jù)過A，B分別向準線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點坐標公式，即可求得圓心，求得圓的方程．【解答】解：（1）方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），設(shè)直線AB的方程為：y=k（x﹣1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，則x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，則k=1，∴直線l的方程y=x﹣1；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由拋物線的弦長公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，則直線的斜率k=1，∴直線l的方程y=x﹣1；（2）由（1）可得AB的中點坐標為D（3，2），則直線AB的垂直平分線方程為y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，設(shè)所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則，解得：或，因此，所求圓的方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點弦公式，考查圓的標準方程，考查轉(zhuǎn)換思想思想，屬于中檔題．20．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．【考點】LW：直線與平面垂直；MI：直線與平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；41：向量法；4R：轉(zhuǎn)化法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5H：空間向量及應用．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明PO⊥AC，PO⊥OB即可；（2）根據(jù)二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接BO，∵AB=BC=2，O是AC的中點，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=4，∴PO⊥AC，PO=2，則PB2=PO2+BO2，則PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC；（2）建立以O(shè)坐標原點，OB，OC，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（﹣2，2，0），設(shè)=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1則=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），則平面PAC的法向量為=（1，0，0），設(shè)平面MPA的法向量為=（x，y，z），則=（0，﹣2，﹣2），則?=﹣2y﹣2z=0，?=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0令z=1，則y=﹣，x=，即=（，﹣，1），∵二面角M﹣PA﹣C為30°，∴cos30°=|=，即=，解得λ=或λ=3（舍），則平面MPA的法向量=（2，﹣，1），=（0，2，﹣2），PC與平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=||==．【點評】本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的應用以及二面角，線面角的求解，建立坐標系求出點的坐標，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2．（1）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a．【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）通過兩次求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證明，（2）方法一、分離參數(shù)可得a=在（0，+∞）只有一個根，即函數(shù)y=a與G（x）=的圖象在（0，+∞）只有一個交點．結(jié)合圖象即可求得a．方法二、：①當a≤0時，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）沒有零點．．②當a≤0時，設(shè)函數(shù)h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一個零點?h（x）在（0，+∞）只有一個零點．利用h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，可得h（x））在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，結(jié)合函數(shù)h（x）圖象即可求得a．【解答】證明：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=ex﹣x2．則f′（x）=ex﹣2x，令g（x）=ex﹣2x，則g′（x）=ex﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．當x∈（0，ln2）時，g′（x）＜0，當x∈（ln2，+∞）時，g′（x）＞0，∴g（x）≥g（ln2）=eln2﹣2?ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一個零點?方程ex﹣ax2=0在（0，+∞）只有一個根，?a=在（0，+∞）只有一個根，即函數(shù)y=a與G（x）=的圖象在（0，+∞）只有一個交點．G，當x∈（0，2）時，G′（x）＜0，當∈（2，+∞）時，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，當→0時，G（x）→+∞，當→+∞時，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一個零點時，a=G（2）=．方法二：①當a≤0時，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）沒有零點．．②當a＞0時，設(shè)函數(shù)h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一個零點?h（x）在（0，+∞）只有一個零點．h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，當x∈（0，2）時，h′（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，∴，（x≥0）．當h（2）＜0時，即a，由于h（0）=1，當x＞0時，ex＞x2，可得h（4a）=1﹣==1﹣＞0．h（x）在（0，+∞）有2個零點當h（2）＞0時，即a