§8.5空間中直線、平面的平行文字語言圖形語言符號語言直線與直線平行基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.平行線的傳遞性直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.直線與平面平行判定定理如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.線線平行?線面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.線面平行?線線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b平面與平面平行判定定理如果一個平面內的兩條相交直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.線面平行?面面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質定理如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行面面平行?線線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b§8.6空間中直線、平面的垂直一、空間中直線、平面所成的角定義取值范圍圖示異面直線所成的角已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角．空間兩條直線所成角異面直線所成角直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角.直線與平面所成的角二面角二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.記作：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的平面角二、空間中直線、平面的距離1．直線與平面的距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．2．兩個平行平面間的距離如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．三、空間中直線、平面的垂直文字語言圖形語言符號語言直線與直線垂直相交垂直a⊥b異面垂直如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直.a⊥b直線與平面垂直（一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.）判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.線線垂直?線面垂直l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行.線面垂直?線線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b平面與平面垂直（一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．）判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.線面垂直?面面垂直l⊥α，l?β?α⊥β性質定理兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.面面垂直?線線垂直α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β題型一：空間中直線、平面面平行與垂直的判定與證明【典例】1．已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則2．已知兩個平面，兩條直線，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若是異面直線，，，，，則3．如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面4．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B．C． D．5．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B． C． D．6．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求證：平面.【方法總結】證明線線平行的方法：①利用線線平行定義證共面且無公共點；②利用基本事實4證兩線同時平行于第三條直線；③利用線面平行的性質定理把證線線平行轉化為證線面平行；④利用線面垂直的性質定理把證線線平行轉化為證線面垂直；⑤利用面面平行的性質定理把證線線平行轉化為證面面平行．7．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.8．如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．題型二：夾角問題【典例1】在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【方法總結】求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角.（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.【變式】1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1C1與B1C所成角的大小；(2)若E，F分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.2.在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【典例2】正方體ABCD中，B與平面AC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式】1.已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．2．在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（

）A． B． C． D．【典例3】1．已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為【變式】1.如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，．（1）證明：點在平面內；（2）若，，，求二面角的正弦值．題型三：距離問題【典例1】如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．【方法總結】求點面距方法：①定義法是解決點面距問題的首選方法，特別是題目中含有面面垂直的條件，計算簡單，是該題的最優解；②等積法；③向量法：當題目中有較好的建系條件時．【變式】1．已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為．2．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為，求A到平面的距離.3．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE