專題22簡單的三角恒等變換一、【知識精講】1．三角函數式的化簡要遵循“三看”原則2．三角函數式化簡的方法(1)弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．(2)在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次．3.三角恒等變換綜合應用的解題思路(1)將f(x)化為asinx＋bcosx的形式；(2)構造f(x)＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))·sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))·cosx))；(3)和角公式逆用，得f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ為輔助角)；(4)利用f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函數的性質；(5)反思回顧，查看關鍵點、易錯點和答題規范．二、【典例精練】例1.（2019全國卷Ⅱ）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.因為，所以.由，得.故選B.例2.（2019江蘇卷）已知，則的值是.【答案】【解析】由，得，所以，解得或．

當時，，，

.

當時，，，

所以.綜上，的值是．例3.（2013浙江）已知，則A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得，進一步整理可得，解得或，于是．例4.（2012山東）若，，則A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，，，答案應選D。另解：由及可得，而當時，結合選項即可得.答案應選D．例5.（2014江西）已知函數為奇函數，且，其中．（1）求的值；（2）若，求的值．【解析】（1）因為是奇函數，而為偶函數，所以為奇函數，又得所以，由，得，即（2）由（1）得：因為，得又，所以因此例6.（2012廣東）已知函數，（其中，）的最小正周期為10．(1)求的值；(2)設，，，求的值．【解析】（1）．（2）．．三、【名校新題】1.（安徽定遠重點高中2919屆高三統考）已知是的導函數，且，則實數的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可得f'（x）=cosx﹣asinx，由可得，解之得．故答案為：B2．(2019·咸寧模擬)已知tan(α＋β)＝2，tanβ＝3，則sin2α＝()A.eq\f(7,25) B.eq\f(14,25)C．－eq\f(7,25) D．－eq\f(14,25)【答案】C【解析】由題意知tanα＝tan[(α＋β)－β]＝eq\f(tanα＋β－tanβ,1＋tanα＋βtanβ)＝－eq\f(1,7)，所以sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(7,25).3.（2018-2019學年山東省煙臺市高三（上）期中）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0），其導函數f'（x）的部分圖象如圖所示，則函數f（x）的解析式為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數f（x）=Asin（ωx+φ），則導函數f'（x）=Aωcos（ωx+φ），由f′（x）的部分圖象知Aω=2，T=2×（+）=π，∴ω==2，∴A=1；由五點法畫圖知，x=時f（x）取得最大值，∴2×+φ=0，解得φ=﹣；∴函數f（x）=sin（2x﹣）．故選：A．4.（2019年荊州市八校聯考）設函數，若角的終邊經過點，則的值為（）A．1B．3C．4D．9【答案】B【解析】，所以．5.（2019屆廣州市高三年級調研）由的圖象向左平移個單位，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍后，所得圖象對應的函數解析式為A．B．C． D．【答案】A【解析】設原來的函數解析式為f(x),所求解析式為g(x),由題意：g(x)=,故選A6.（中原名校2019屆高三聯考）若函數,且的最小值是，則的單調遞增區間是A.B.C.D.【答案】D【解析】f由得：又由題意，可取,令故選D7.（湖北省重點高中聯考協作體2019屆高三上學期期中考試）已知函數，則函數的圖象（）A.關于點對稱B.關于軸對稱C.可由函數的圖象向右平移個單位得到D.可由函數的圖象向左平移個單位得到【答案】A【解析】∵f（x）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），則函數g（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的圖象可由函數f（x）的圖象向左平移個單位得到的，C,D錯;由,得時,,B錯.，A正確.故選A．8.（2019年合肥一模）已知，則=().A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知，兩邊平方得：1-9.（恩施州2019屆高三月考）若函數的部分圖象如圖所示，則關于的描述中正確的是

A.在上是減函數

B.點是的對稱中心

C.在上是增函數

D.直線是的對稱軸【答案】C【解析】解：由圖象知，，則，

得，

即，

由五點對應法得，

得，即，

當，

得，，

此時為增函數，故C正確，A錯誤，

，

即點不是的對稱中心，故B錯誤，

，即直線不是的對稱軸，故D錯誤，

故選：C．

10.（2019年荊州市八校聯考）已知同時滿足下列三個條件：①時最小值為，②是奇函數，③．若在上沒有最大值，則實數的范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由①可知，由②，為奇函數，所以，當時，，，滿足③，當時，，，不滿足③，所以，其圖像如圖所示，其圖像過點，要保證在上沒有最大值，則的取值范圍是．11.（2019屆廣州市高三年級調研）設為第二象限角，若，則=．【答案】【解析】，因為是第二象限角，所以12.（南京市2019屆高三第一學期綜合模擬）將函數的圖像向左平移()個單位弧，所得函數圖象關于直線對稱，則＝．【答案】【解析】函數y向左平移單位后，解析式變為y=5,依題意，有2（）+=,所以因為，故13.（安慶市五校聯盟2019屆高三聯考）已知函數的圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，則當時，的最大值和單調區間分別為【答案】，【解析】，相鄰兩對稱軸間的距離為，所以.，其增區間為：，，故在上，減區間為，增區間為，故當時，取得最大值為.14.（江蘇省如皋市2018—2019學年高三第一學期教學質量調研）已知函數，．若是奇函數，則的值為．【答案】-1【解析】由題意，=,又，所以15.（2019年合肥一模）將函數的圖像向左平移個單位后得到函數的圖像，設函數.(Ⅰ)求函數的單調遞增區間；(Ⅱ)若，求的值.【解析】(Ⅰ)由已知可得，則.令，解得.∴函數的單調遞增區間為.(Ⅱ)由得，∴，即.16（2019年皖北協作區高三年級聯考）在中，內角所對的邊分別為,已知，且成等比數列.（I）求； （II）若，求的值.【解析】（I），.