2023年中考數學模擬試卷

請考生注意：

1,請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列說法中，正確的個數共有（）

（1）一個三角形只有一個外接圓；

（2）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；

（3）在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等；

（4）三角形的內心到該三角形三個頂點距離相等；

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.某市6月份日平均氣溫統計如圖所示，那么在日平均氣溫這組數據中，中位數是（）

A.8B.10C.21D.22

3.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH±AB于H,則DH=()

2412

A.5B.5C.12D.24

4.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=10°,以A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB于M、AC于N,再分別以M、N

1

為圓心，大于‘MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連接AP并延長交BC于D,下列四個結論：

①AD是NBAC的平分線;

②NADC=60。；

③點D在AB的中垂線上;

?SAACD：SAACB=1：

1.其中正確的有（）

A

A.只有①②③B.只有①②④C.只有①③④D.①②③④

5.等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm,則這個三角形周長是（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cm

6.到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形（）的交

點.A.三個內角平分線B.三邊垂直平分線

C.三條中線D.三條高

7.某幾何體由若干個大小相同的小正方體搭成，其主視圖與左視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小正方體最少有

左視圖主視圖

A.4個B.5個C.6個D.7個

8.如圖，菱形ABCD的邊長為2,NB=30。.動點P從點B出發，沿B-C-D的路線向點D運動.設△ABP的面積

為y（B、P兩點重合時，△ABP的面積可以看作0）,點P運動的路程為x,則y與x之間函數關系的圖像大致為（）

DC

9.設xl,x2是一元二次方程x2-2x-5=0的兩根，則xl2+x22的值為（）

A.6B.8C.14D.16

10.下列計算正確的是（）

A.x2+x3=x5B.x2x3=x5C.（-x2）3=x8D.x6：x2=x3

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.若代數式在實數范圍內有意義，則X的取值范圍是.

12.一個n邊形的內角和為1080°,則n=.

k

y~

13.如圖，點A在雙曲線*上，AB_Lx軸于B,且△AOB的面積AOB=2,貝4k=

14.若函數y=mx2+2x+l的圖象與x軸只有一個公共點，則常數m的值是.

15.如圖，在OABCD中，AB=8,P、Q為對角線AC的三等分點，延長DP交AB于點M,延長MQ交CD于點N,

貝IICN=.

16.計算2x3-x2的結果是

—.三、解答題(共8題，共72

分)

17.(8分)如圖1,在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE,PE交CD于

F

(1)證明：PC=PE；

(2)求/CPE的度數；

(3)如圖2,把正方形&BCD改為菱形ABCD,其他條件不變，當NABC=120。時，連接CE,試探究線段AP與線段

串W面儂關系兌弊破！由.w

BCBc

圖1圖2

18.(8分)如圖，AB是。O的直徑，點C在。O上，CEAAB于E,CD平分DECB,交過點B的射線于D,交

AB于FC且BC=BD.

5

(1)求證：BD是。O的切線；

(2)若AE=9,CE=12,求BF的長.

19.(8分)為了解某校九年級學生立定跳遠水平，隨機抽取該年級50名學生進行測試，并把測試成績(單位：m)繪

學生立定跳遠測試成績的頻數分布表

分組頻數

1.2<x<1.6a

1.6<x<2.012

2.0<x<2.4b

2.4<x<2.810

請根據圖表中所提供的信息，完成下列問題：表中a=,b=,樣本成績的中位數落在范圍內；

請把頻數分布直方圖補充完整；該校九年級共有1000名學生，估計該年級學生立定跳遠成績在2.4Wx<2.8范圍內的學

生有多少人？

學生立定跳遠測試成績的頻數分布直方圖

20.(8分)如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為(m,n)(m<0,

k

y=~

n>0),E點在邊BC上，F點在邊OA上.將矩形OABC沿EF折疊，點B正好與點O重合，雙曲線”過點E.

(1)若m=-8,n=4,直接寫出E、F的坐標;

(2)若直線EF的解析式為y=6+3,求卜的值;

y=一

⑶若雙曲線X過EF的中點，直接寫出tanNEFO的值.

21.(8分)中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣.為了傳承中華民族優秀傳統文化，我市某中學舉行“漢字聽寫''比

賽，賽后整理參賽學生的成績，將學生的成績分為A,B,C,D四個等級，并將結果繪制成如圖所示的條形統計圖和

扇形統計圖，但均不完整.

8

7

6

5

4

3

2

1

請你根據統計圖解答下列問題：參加比賽的學生共有一名；在扇形統計圖中，m的值為表示“D等級”的扇形的圓心

角為—度；組委會決定從本次比賽獲得A等級的學生中，選出2名去參加全市中學生“漢字聽寫”大賽.已知A等級學生

中男生有1名，請用列表法或畫樹狀圖法求出所選2名學生恰好是一名男生和一名女生的概率.

22.（10分）我們已經知道一些特殊的勾股數，如三連續正整數中的勾股數：3、4、5；三個連續的偶數中的勾股數6、

8、10；事實上，勾股數的正整數倍仍然是勾股數.另外利用一些構成勾股數的公式也可以寫出許多勾股數，畢達哥拉

斯學派提出的公式：a=2n+l,b=2n2+2n,c=2n2+2n+l（n為正整數）是一組勾股數，請證明滿足以上公式的a、b、c

的數是一組勾股數.然而，世界上第一次給出的勾股數公式，收集在我國古代的著名數學著作《九章算術》中，書中

11

提到：當2=2（m2-n2）,b=mn,c=（m2+n2）（m>n為正整數，m>n時，a、b、c構成一組勾股數；利用上述結論，

解決如下問題：已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數，其中一邊長為37,且n=5,求該直角三角形另兩邊的

長.23.（12分）如圖，某校自行車棚的人字架棚頂為等腰三角形，D是AB的中點，中柱CD=1米，NA=27。，求

跨度AB的長（精確到0.01米）.

C

zipD

<----------聆度---------->

24.如圖，0°是/BC的外接圓，4c是。。的直徑，過圓心。的直線儀“48于O,交◎于瓦/，PB是@

的切線，3為切點，連接AP,AF.

（1）求證：直線以為°°的切線；

⑵求證：EF2=4ODOP；

tanZF=

（3）若BC=6,2,求AC的長.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、C

【解析】

根據外接圓的性質，圓的對稱性，三角形的內心以及圓周角定理即可解出.

【詳解】

（1）一個三角形只有一個外接圓，正確：

（2）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確；

（3）在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，正確；

（4）三角形的內心是三個內角平分線的交點，到三邊的距離相等，錯誤；

故選：C.

【點睛】

此題考查了外接圓的性質，三角形的內心及軸對稱和中心對稱的概念，要求學生對這些概念熟練掌握.

2、D

【解析】

分析：根據條形統計圖得到各數據的權，然后根據中位數的定義求

解.詳解：一共30個數據，第15個數和第16個數都是22,所以中位

數是22.故選D.

點睛：考查中位數的定義，看懂條形統計圖是解題的關鍵.

3、A

【解析】

解：如圖，設對角線相交于點0,

1111

VAC=8,DB=6,；.AO=2AC=2“8=4,BO=2BD=2x6=3,

由勾股定理的，AB=J402+B°2=,42+32=5,

1

VDH±AB,，S菱形ABCD=AB?DH=2AOBD,

124

即5DH=2x8x6,解得DH=5.

【點睛】

本題考查菱形的性質.

4,D

【解析】

①根據作圖過程可判定AD是/BAC的角平分線；②利用角平分線的定義可推知NCAD=10。，則由直角三角形的性質來

求NADC的度數；③利用等角對等邊可以證得4ADB是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”性質可以證明點D在

AB的中垂線上；④利用10。角所對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積計算公式來求兩個三角形面積之比.

【詳解】

①根據作圖過程可知AD是NBAC的角平分線，①正確；②如圖，在aABC中，ZC=90°,ZB=10°,.,.ZCAB=60%

1

2

又TAD是NBAC的平分線，AZ1=Z2=ZCAB=10°,AZl=90°-Z2=60°,即NADC=60。，②正確；③

1

=ZB=10°,???AD=BD,?,?點D在AB的中垂線上，③正確；④如圖，,在直角^ACD中，Z2=10°,ACD=2AD,

；.BC=CD+BD=2AD+AD=〃D,SADAC=次CCD=ACAD.ASAABC=ACBC=AC-AD=XCAD,

ASADAC：SAABC=<CAD：ACAD=1:1,④正確.故選D.

【點睛】

本題主要考查尺規作角平分線、角平分線的性質定理、三角形的外角以及等腰三角形的性質，熟練掌握有關知識點是

解答的關鍵.

5、B

【解析】當腰長是2cm時，因為2+2<5,不符合三角形的三邊關系，排除；當腰長是5cm時，因為5+5>2,符合三角

形三邊關系，此時周長是12cm.故選B.

6、B

【解析】

試題分析：根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等解答.

解：到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交

點.故選B.

點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵.

7、B

【解析】

由主視圖和左視圖確定俯視圖的形狀，再判斷最少的正方體的個數.

【詳解】由主視圖和左視圖可確定所需正方體個數最少時俯視圖（數字為該位置小正方體的個數）為：

則搭成這個幾何體的小正方體最少有5個，

故選B.

【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，根據主視圖和左視圖畫出所需正方體個數最少的俯視圖是關鍵.

【詳解】

請在此輸入詳解！

【點睛】

請在此輸入點睛！

8、C

【解析】

先分別求出點P從點B出發，沿B—C—D向終點D勻速運動時，當0<xW2和2<x±4時，y與x之間的函數關系式,

即可得出函數的圖象.

【詳解】

由題意知，點P從點B出發，沿B—C—D向終點D勻速運動，則

1

當0<xS2,y=2x,

當2<xW4,y=l,

由以上分析可知，這個分段函數的圖象是

C.故選C.

9、C

【解析】

根據根與系數的關系得到xl+x2=2,xl?x2=-5,再變形X12+X22得到(xl+x2)2-2x1-x2,然后利用代入計算即可.

【詳解】

；一元二次方程x2-2x-5=0的兩根是xl、x2,

x1+x2=2,xl?x2=-5,

x12+x22=(xl+x2)2-2x1,x2=22-2x(-5)

=1.故選C.

【點睛】

b

考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根與系數的關系：若方程的兩根為xl,x2,則xl+x2=-a,x1?x2=

10、B

【解析】

分析：直接利用合并同類項法則以及同底數幕的乘除運算法則和積的乘方運算法則分別計算得出答

案.詳解：A、不是同類項，無法計算，故此選項錯誤；

B、X2-X3=X5,正確；

C、故此選項錯誤；

D、X6-Z-X2故此選項錯誤；

故選：B.

點睛：此題主要考查了合并同類項以及同底數塞的乘除運算和積的乘方運算，正確掌握運算法則是解題關鍵.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、xNl

【解析】

先根據二次根式有意義的條件列出關于X的不等式，求出X的取值范圍即

可.解廠二7一1在實數范圍內有意義，

解得X>1.

故答案為X》.

本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數大于等于2.

12、1

【解析】

(n-2)-180°

直接根據內角和公式計算即可求解.

【詳解】

(n-2)?110°=1010°,解得

n=l.故答案為I.

【點睛】

(n-2)-180°

主要考查了多邊形的內角和公式.多邊形內角和公式：

13、-4

【解析】

:由反比例函數解析式可知：系數卜卜*14L

忖=。陽川=2|/c|=xy=2x2=4

VSAAOB=2B|J2,A11；

又由雙曲線在二、四象限k<0,，k=-4

14、0或1

【解析】

分析：需要分類討論：

①若m=0,則函數y=2x+l是一次函數，與x軸只有一個交點；

②若m#0,則函數y=mx2+2x+l是二次函數，

根據題意得：△=4-4m=0,解得：m=lo

.,.當m=0或m=l時，函數y=mx2+2x+l的圖象與x軸只有一個公共點。

15、1

【解析】

根據平行四邊形定義得：DC〃AB,由兩角對應相等可得：△NQCsAMQA,ADPC-AMPA,列比例式可得CN的

長.

【詳解】

；四邊形ABCD是平行四邊形，

，DC〃AB,

/.ZCNQ=ZAMQ,ZNCQ=ZMAQ,

.??△NQC^AMQA,

同理得：ADPCs^MPA,

VP.Q為對角線AC的三等分點，

CN=CQ=1CP=CD=2

...AMAQ2)APAM1(

設CN=x,AM=lx,

8=2

?.?2x1，

解得，X=1,

.'.CN=1,

故答案為1.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質和相似三角形的判定和性質，熟練掌握兩角對應相等，兩三角形相似的判定方法是關鍵.

16、2x5

【解析】試題分析：根據單項式乘以單項式，結合同底數幕相乘，底數不變，指數相加，可知2x3-x2=2x3+2=2x5.

故答案為：2x5

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)證明見解析(2)90°(3)AP=CE

【解析】

⑴、根據正方形得出AB=BC,ZABP=ZCBP=45°,結合PB=PB得出△ABP^ACBP,從而得出結論；(2)、根據全等

得出NBAP=/BCP,NDAP=NDCP,根據PA=PE得出NDAP=NE,即NDCP=/E,易得答案；(3)、首先證明4ABP

和^CBP全等，然后得出PA=PC,ZBAP=ZBCP,然后得出NDCP=/E,從而得出NCPF=/EDF=60。，然后得出4EPC

是等邊三角形，從而得出AP=CE.

【詳解】

(1)、在正方形ABCD中，AB=BC,ZABP=ZCBP=45°,

在AABP和△CBP中，又：PB=PBr.△ABP烏Z\CBP(SAS),，PA=PC,VPA=PE,，PC=PE；

(2)、由(1)知,AABP^ACBP,，NBAP=NBCP,/.ZDAP=ZDCP,

VPA=PE,...NDAP=/E,.".ZDCP=ZE,VZCFP=ZEFD(對頂角相等)，

.?.180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,即ZCPF=ZEDF=90°；

(3)、AP=CE

理由是：在菱形ABCD中，AB=BC,NABP=NCBP,

在AABP和△CBP中，又YPB=PB.'.△ABP^ACBP(SAS),

，PA=PC,ZBAP=ZDCP,

VPA=PE,：.PC=PE,.".ZDAP=ZDCP,VPA=PCAZDAP=ZE,.*.ZDCP=ZE

ZCFP=ZEFD(對頂角相等)，180°-ZPFC-ZPCF=1800-ZDFE-ZE,

B[JZCPF=ZEDF=180°-ZADC=180°-120°=60°,.,.△EPC是等邊三角形，；.PC=CE,；.AP=CE

考點：三角形全等的證明

18、(1)證明見解析；(2)1.

【解析】

試題分析：(1)根據垂直的定義可得/CEB=90。，然后根據角平分線的性質和等腰三角形的性質，判斷出Nl=/D,從

而根據平行線的判定得到CE〃BD,根據平行線的性質得/DBA=/CEB,由此可根據切線的判定得證結果；

('irti;■i.u

(2)連接AC,由射影定理可得"八",進而求得EB的長，再由勾股定理求得BD=BC的長，然后由“兩角對

應相等的兩三角形相似'’的性質證得△EFC-ABFD,再由相似三角形的性質得出結果.

試題解析：⑴證明：V"’,

.NCEB~90°

???

；CD平分,BC=BD,

Z/N2423

??,?

■々二ND

CEBD

：.//.

々DBA-CEB-90°

：AB是。0的直徑，

，BD是00的切線.

(2)連接AC,

：AB是00直徑，

;.WB90\

-?-CE-1-AB，

可得［AE,EB

CE2

￡3=-r=-=16.

?AE

在RtZXCEB中，ZCEB=90°,由勾股定理得

BCJc/+加20.

.BDBC20

/EFC=/BFD,

/.△EFC^ABFD.

EC_EF

.BD=BF

???

/2~16?BF

?,?20BF?

a

考點：切線的判定，相似三角形，勾股定理

19、(1)8,20,2.0<x<2.4；(2)補圖見解析；(3)該年級學生立定跳遠成績在2.4%<2.8范圍內的學生有200人.

【解析】

【分析】(1)根據題意和統計圖可以求得a、b的值，并得到樣本成績的中位數所在的取值范圍；

(2)根據b的值可以將頻數分布直方圖補充完整；

(3)用1000乘以樣本中該年級學生立定跳遠成績在2.4SXV2.8范圍內的學生比例即可得.

【詳解】(1)由統計圖可得，

a=8,b=50-8-12-10=20,

樣本成績的中位數落在：2.0Wx<2.4范圍內，

故答案為：8,20,2.0<x<2.4；

(2)由(1)知，b=20,

補全的頻數分布直方圖如圖所示;

學生立定跳遠測試成績的頻數分布直方圖

10

(3)1000x50=200(人)，

答：該年級學生立定跳遠成績在2.4WS2.8范圍內的學生有200人.

【點睛】本題考查了頻數分布表、頻數分布直方圖、中位數等，讀懂統計圖與統計表，從中找到必要的信息是解題的

關鍵.

20、(1)E(—3,4)、F(-5,0)；(2)4；(3)也

【解析】

⑴連接OE,BF,根據題意可知：8(「。/=8,8,1=0《'=4.設￡。=工則8月(龍,8-丫,根據勾股定理可得：

-。/7,即/+<=187?廠解得：x*即可求出點E的坐標，同理求出點F的坐標.

(2)連接BF、OE,連接BO交EF于G由翻折可知：GO=GB,BE=OE,證明△BGE絲ZXOGF,證明四邊形OEBF

為菱形，令y=0,則/"I°,解得--爐，根據菱形的性質得OF=OE=BE=BF=J%y=n,則",+'",解

n-3n-3n-3~-><-2

丫=下--7T(-不)=川3)

得V’則CE=2，在RSCOE中，根據勾股定理列出方程"，即可求出點E的坐標，即

可求出k的值；

M+rT

x=-------

(3)設EB=EO=x,則CE=-m—x,在RtACOE中，根據勾股定理得到(一m-x)2+n2=x2,解得，求出點

m-n加十刀-mnm-nmnk

-Z，w---------，0二，二-,n二，二y=-

7m%?222tn)2v

E(-)、F(一)，根據中點公式得到EF的中點為(~~),將E(-)、(--)代入.中，得

2

n(nf-rf)1

------------=

2m4

,得m2=2n2

即可求出tanZEFO=

【詳解】

解：(1)如圖：連接OE,BF,

E(—3,4)、F(—5,0)

(2)連接BF、OE,連接BO交EF于G由翻折可知：GO=GB,BE=OE

可證：ABGE絲/XOGF(ASA)

ABE=OF

四邊形OEBF為菱形

令y=0,貝+30,解得.；.OF=OE=BE=BF=J

〃?3〃?3

令丫=~貝日至+3",解得'.\CE=3

在R3COE中，W,

3

n;

解得

"3

；.E(2'2)

平33#

k=--x------

.?.224

⑶設EB=EO=x,則CE=-m-x,

m+n

在RtZkCOE中，(一m-x)2+n2=x2,解得------3一

nf-rfnf+，一

-；-?n—-----,0

.\E(-，n)、F(~m)

mn

.\EF的中點為(二2)

m-nmwk

將E(2m'")、(2'2)代入,x中，得

n(m-n)1

------------=~mn

-m4,得m2=2n2

.,.tanZEFO="

【點睛】

考查矩形的折疊與性質，勾股定理，一次函數的圖象與性質，待定系數法求反比例函數解析式，銳角三角函數等，綜

合性比較強，難度較大.

2

21、（1）20；（2）40,1；（3）3.

【解析】

試題分析：（1）根據等級為A的人數除以所占的百分比求出總人數；

（2）根據D級的人數求得D等級扇形圓心角的度數和m的值；

（3）列表得出所有等可能的情況數，找出一男一女的情況數，即可求出所求的概

率.試題解析：解：（1）根據題意得：3+15%=20（人），故答案為20；

（2）C級所占的百分比為20X100%=40%,表示“D等級”的扇形的圓心角為20x360°=l°；

故答案為40、1.

（3）列表如下：

男女女

男（男，女）（男，女）

女（男，女）（女，女）

女（男，女）（女，女）

42

所有等可能的結果有6種，其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種，則P恰好是一名男生和一名女生=6=3.

22、（1）證明見解析；（2）當n=5時，一邊長為37的直角三角形另兩邊的長分別為12,1.

【解析】

（1）根據題意只需要證明a2+b2=c2,即可解答

11

（2）根據題意將n=5代入得到a=2（m2-52）,b=5m,c=2（m2+25）,再將直角三角形的一邊長為37,分別分

11

三種情況代入a=2（m2-52）,b=5m,c=2（m2+25）,即可解答

【詳解】

(1)*.*a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1,

c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,

/.a2+b2=c2,

?；n為正整數，

；.a、b、c是一組勾股數；

(2)解：Vn=5

11

；.a=2(m2-52),b=5m,c=2(m2+25),

..,直角三角形的一邊長為37,

.??分三種情況討論，

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①當a=37時，2(m2-52)=37,

解得m=±3M(不合題意，舍去)

②當y=37時，5m=37,

37

解得m=5(不合題意舍去)；

1

③當z=37時，37=2(m2+n2),

解得m=±7,

Vm>n>0,m、n是互質的奇數，

m=7,

把m=7代入①②得，x=12,y=l.

綜上所述：當n=5時，一邊長為37的直角三角形另兩邊的長分別為12,