1.1從現實對象到數學模型1.2數學建模的重要意義1.3數學建模示例1.4數學建模的基本方法和步驟1.5數學模型的特點和分類1.6數學建模能力的培養數學模型編安徽財經大學AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽財經大學AnhuiUniversityofFinance&Economics1959第一章建立數學模型2024/1/29玩具、照片、飛機、火箭模型…實物模型1.1

從現實對象到數學模型我們常見的模型2024/1/29玩具、照片、飛機、火箭模型…~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖…~符號模型1.1

從現實對象到數學模型我們常見的模型2024/1/29玩具、照片、飛機、火箭模型…~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖…~符號模型1.1

從現實對象到數學模型我們常見的模型2024/1/29模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物.模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.1.1

從現實對象到數學模型我們常見的模型2024/1/29你碰到過的數學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速為20km/h.甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順水航行需30h，從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少?x=20y=5求解2024/1/29航行問題建立數學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數）

用符號表示有關量（x,y分別表示船速和水速）

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）

求解得到數學解答（x=20,y=5）

回答原問題（船速為20km/h）2024/1/29數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學表述.建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模2024/1/291.2

數學建模的重要意義

電子計算機的出現及飛速發展.

數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透.數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視.

在一般工程技術領域,數學建模仍然大有用武之地.

在高新技術領域,數學建模幾乎是必不可少的工具.

數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地.2024/1/29“數學是一種關鍵的、普遍的、可以應用的技術”.數學“由研究到工業領域的技術轉化，對加強經濟競爭力具有重要意義”.“計算和建模重新成為中心課題，它們是數學科學技術轉化的主要途徑”.數學建模的重要意義2024/1/29數學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優化

規劃與管理數學建模計算機技術知識經濟如虎添翼2024/1/291.3

數學建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形.

地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面.

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地.2024/1/29模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來.

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性.xBADCOD′C′B′A′用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置.

四只腳著地距離是

的函數.四個距離(四只腳)A,C

兩腳與地面距離之和~f(

)B,D

兩腳與地面距離之和~g(

)兩個距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性2024/1/29用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來.f(

),g(

)是連續函數對任意

,f(

),g(

)至少一個為0數學問題已知：f(

),g(

)是連續函數;

對任意

，f(

)?g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構成地面為連續曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地2024/1/29模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法3）由f,g的連續性知

h為連續函數,據連續函數的基本性質,必存在

0(0<

0</2)

,使h(

0)=0,即

f(

0)=g(

0).1）將椅子旋轉90°，對角線AC和BD互換.由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.2）令h(

)=f(

)–g(

),則

h(0)>0和h(/2)<0.4）因為f(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.2024/1/29評注和思考建模的關鍵：假設條件中哪些是本質的,哪些是非本質的?考察四腳連線呈長方形的椅子(習題4).用

表示椅子的位置椅子的旋轉軸在哪里，它在旋轉過程中怎樣變化？用

f(

),g(

)表示椅腳與地面的距離證明過程的粗糙之處：2024/1/291.3.2

商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人

3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數比商人多,就殺人越貨.乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步決策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員.要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)2024/1/29模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數yk~第k次渡河前此岸的隨從數xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,…sk=(xk

,yk)~過程的狀態S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態集合uk~第k次渡船上的商人數vk~第k次渡船上的隨從數dk=(uk

,vk)~過程的決策D~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,…sk+1=sk

dk

+(-1)k~狀態轉移律D={(u

,v)

u+v=1,2,u,v=0,1,2}狀態因決策而改變2024/1/29模型求解xy3322110

窮舉法~編程上機

圖解法狀態s=(x,y)~16個格點~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,,d11給出安全渡河方案d1d11允許狀態S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}求dk

D(k=1,2,,n),使sk

S,并按轉移律sk+1=sk+(-1)kdk

由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).模型構成2024/1/29商人和隨從人數增加或小船容量加大;商人們怎樣安全過河智力游戲多步決策過程(數學模型)易于推廣:規格化方法考慮4名商人各帶一隨從的情況.多步決策模型:恰當地設置狀態和決策,確定狀態轉移律及目標(目標函數).便于求解(計算機編程等).2024/1/29場景1.3.3如何施救藥物中毒兩位家長帶著孩子急匆匆來到醫院急診室.訴說兩小時前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片的氨茶堿片，已出現嘔吐、頭暈等不良癥狀.按照藥品使用說明書，氨茶堿的每次用量成人是100~200mg，兒童是3~5mg/kg.過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量)過高，100μg/ml濃度會出現嚴重中毒,200μg/ml濃度可致命.醫生需要判斷：孩子的血藥濃度會不會達到100~200μg/ml；如果會達到，應采取怎樣的緊急施救方案.2024/1/29調查與分析轉移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統口服藥物體外認為血液系統內藥物的分布，即血藥濃度是均勻的，可以將血液系統看作一個房室，建立“一室模型”

.藥量x(t)藥量y(t)血液系統對藥物的吸收率(胃腸道到血液系統的轉移率)和排除率可以由半衰期確定.半衰期可以從藥品說明書上查到.2024/1/29通常，血液總量約為人體體重的7%

~8%，體重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目測這個孩子的體重約為成年人的一半，可認為其血液總量約為2000ml.調查與分析血藥濃度=藥量/血液總量

口服活性炭來吸附藥物，可使藥物的排除率增加到原來（人體自身）的2倍.臨床施救的辦法：

體外血液透析，藥物排除率可增加到原來的6倍，但是安全性不能得到充分保證.2024/1/29模型假設

1.胃腸道中藥物向血液的轉移率與x(t)成正比，比例系數λ(>0)，總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進入胃腸道.2.血液系統中藥物的排除率與y(t)成正比，比例系數μ(>0)，t=0時血液中無藥物.3.氨茶堿被吸收的半衰期為5h，排除的半衰期為6h.4.孩子的血液總量為2000ml.胃腸道中藥量x(t),血液系統中藥量y(t)，時間t以孩子誤服藥的時刻為起點（t=0）.2024/1/29模型建立x(t)下降速度與x(t)成正比(比例系數λ),總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進入胃腸道.轉移率正比于x排除率正比于y胃腸道血液系統口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是λx，由排除而減少的速度與y(t)成正比(比例系數μ),t=0時血液中無藥物.2024/1/29模型求解

藥物吸收的半衰期為5h藥物排除的半衰期為6h只考慮血液對藥物的排除2024/1/29血液總量2000ml血藥濃度200μg/ml結果及分析胃腸道藥量血液系統藥量血藥濃度100μg/mly(t)=200mg嚴重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到達醫院前已嚴重中毒，如不及時施救，約3h后將致命！y(2)=236.52024/1/29施救方案

口服活性炭使藥物排除率μ增至原來的2倍.

孩子到達醫院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作z(t)λ=0.1386(不變)，μ=0.1155×2=0.23102024/1/29施救方案

t=5.26z=318

施救后血液中藥量z(t)顯著低于y(t).z(t)最大值低于致命水平.

要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少應為0.4885.若采用體外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦法，當由醫生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定.2024/1/29

數學建模的基本方法機理分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律.將對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型.機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究

(CaseStudies)來學習.以下建模主要指機理分析.二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數.1.4

數學建模的基本方法和步驟2024/1/29

數學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的“問題”2024/1/29模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數學的語言、符號描述問題發揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數學工具

數學建模的一般步驟2024/1/29模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術.如結果的誤差分析、統計分析、模型對數據的穩定性分析.模型分析模型檢驗與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性.模型應用

數學建模的一般步驟2024/1/29數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題.選擇適當的數學方法求得數學模型的解答.將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象.用現實對象的信息檢驗得到的解答.實踐現實世界數學世界理論實踐2024/1/291.5

數學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數學模型的特點2024/1/29數學模型的分類應用領域人口、交通、經濟、生態、…數學方法初等數學、微分方程、規劃、統計、…表現特性描述、優化、預報、決策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態和動態線性和非線性離散和連續2024/1/291.6數學建模能力的培養數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力

學習、分析、評價、改進別人做過的模型.

親自動手，認真作幾個實際題目.2024/1/29參加全國大學生數學建模競賽的意義和作用1992年中國工業與應用數學學會(CSIAM)開始組織1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦(每年9月)2010年33省/市/區(含港澳)的1197校17317隊2024/1/29內容

賽題：工程技術、管理科學中簡化的實際問題.

答卷：包含模型假設、建立、求解計算方法設計和計算機實現、結果分析和檢驗、模型改進等方面的論文.形式3名大學生組隊，在3天內完成的通訊比賽.

可使用任何“死”材料（圖書、計算機、軟件、互聯網等），但不得與隊外任何人討論.宗旨創新意識團隊精神重在參與公平競爭標準假設的合理性，建模的創造性，結果的正確性，表述的清晰性.全國大學生數學建模競賽http://2024/1/29競賽培養創新精神和綜合素質

賽題緊密結合科技和社會熱點問題，培養理論聯系實際的學風和實踐能力.

解決方法沒有任何限制，培養主動學習、獨立研究的能力.

沒有事先設定的標準答案，留有充分余地供同學們發揮聰明才智和創造精神.

綜合運用學過的數學知識和計算機技術(選擇合適的數學軟件)通過數學建模分析、解決實際問題的能力.

2024/1/29

三天內自由地使用圖書館和互聯網，培養同學在短時間內獲取與賽題有關知識的能力.

分工合作、取長補短、求同存異、同舟共濟，培養同學的團隊精神和組織協調能力.

完成一篇用數學建模方法解決實際問題的完整的科技論文，培養同學的文字表達能力.競賽培養創新精神和綜合素質

在三天開放型競賽中自覺遵守紀律，培養誠信意識和自律精神.2024/1/29

多位中國科學院和中國工程院院士以及教育界的專家參加數學建模競賽舉辦的活動，為競賽題詞,對這項活動給予熱情關心和高度評價.2024/1/29競賽長期以來受到媒體關注與支持2024/1/291.某甲早8：00從山下旅店出發，沿一條路徑上山，下午5：00到達山頂旅店。次日早8：00從山頂旅店出發，沿同一條路徑下山，下午5：00到達山下旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。為什么？可以假設路況和天氣同樣，此人身體情況同樣，上下山所走路徑相同。那么就是路上休息時間和趕路時間的不同。

可以假設兩個同樣的他，同一天8:00分別從山上和山下出發，5:00同時到達山上和山下，則必會相遇，即甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。2024/1/292.37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪爭奪賽中的每兩只球隊中的勝利著及輪空著將進入下一輪，直至比賽結束。問共需進行多少場比賽。如果是N只球隊比賽呢假設一支隊伍長勝，則每次都由他來淘汰其他隊伍，則賽36場即可結束比賽。N只球隊就是N-1.或者說比賽是淘汰制，每打一場，淘汰一支隊伍，37支隊隊伍，只有一個冠軍，所以要賽36場即可結束比賽。N只球隊就是N-1。2024/1/293.甲乙兩站之間有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發一趟車，但發車時刻不一定相同。甲乙之間有一中間站丙，某人每天在隨機時刻到達丙站，并搭乘最先經過丙站的那趟車，結果發現100天中約有90天到達甲站，約有10天到達乙站。問開往甲乙站的電車經過丙站的時刻表是怎樣安排的。在丙站，往甲站方向的列車是09分,19分,....59分到。往乙站方向的列車是00分,10分....50分到。甲乙丙2024/1/294.

某人家住T市在他鄉工作，每天下班后乘火車于6：00抵達T市車站，他妻子駕車準時到車站接他回家。一日他提前下班并于5：30抵達T市車站，隨即步行回家，他的妻子像往常一樣駕車前來，在半路上遇到他，即接他回家，此時發現比往常提前10分鐘。問他步行了多長時間？⑵原來從車站出發為6:00,到家為6:00+x,設步行時間為y,則從車站出發為5:3