概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布匯報(bào)人：AA2024-01-19隨機(jī)變量及其分布概述常見離散型隨機(jī)變量分布常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征與極限定理目錄01隨機(jī)變量及其分布概述隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量具有可測(cè)性、單調(diào)性和有界性等基本性質(zhì)。其中，可測(cè)性是指隨機(jī)變量的取值可以被概率測(cè)度所描述；單調(diào)性是指隨機(jī)變量的取值在一定條件下具有單調(diào)遞增或遞減的性質(zhì)；有界性是指隨機(jī)變量的取值范圍在一定條件下是有限的。隨機(jī)變量性質(zhì)隨機(jī)變量定義與性質(zhì)分布律定義離散型隨機(jī)變量的分布律是指描述隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率的規(guī)律，通常用分布列或分布函數(shù)表示。常見離散型隨機(jī)變量分布常見離散型隨機(jī)變量分布包括二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。離散型隨機(jī)變量定義離散型隨機(jī)變量是指其取值只能是有限個(gè)或可列個(gè)實(shí)數(shù)的隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量及其分布律01連續(xù)型隨機(jī)變量是指其取值可以充滿某個(gè)區(qū)間或多個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量定義02連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個(gè)描述隨機(jī)變量取值概率分布情況的函數(shù)，通常簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)。概率密度函數(shù)定義03常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布包括均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)分布函數(shù)與隨機(jī)變量的關(guān)系分布函數(shù)是一個(gè)描述隨機(jī)變量取值落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率的函數(shù)，通常記為F(x)。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為階梯狀；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為連續(xù)曲線。分布函數(shù)定義分布函數(shù)與隨機(jī)變量之間存在密切的關(guān)系。一方面，分布函數(shù)可以完全確定一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布情況；另一方面，通過隨機(jī)變量的取值可以求得相應(yīng)的分布函數(shù)的值。因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常常通過研究分布函數(shù)來了解和分析隨機(jī)變量的性質(zhì)和行為。分布函數(shù)與隨機(jī)變量的關(guān)系02常見離散型隨機(jī)變量分布概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n。期望和方差E(X)=np，D(X)=np(1-p)。定義在n次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p，則成功次數(shù)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布定義泊松分布是一種描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。泊松分布的參數(shù)是單位時(shí)間（或單位面積）內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率λ。概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...。期望和方差E(X)=λ，D(X)=λ。泊松分布定義在伯努利試驗(yàn)中，記每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，試驗(yàn)進(jìn)行到事件A首次出現(xiàn)為止，此時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)X服從參數(shù)為p的幾何分布。概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=(1-p)^(k-1)p，k=1,2,...。期望和方差E(X)=1/p，D(X)=(1-p)/p^2。幾何分布超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率分布稱為超幾何分布。超幾何分布的參數(shù)是N,M,n。概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=C_M^kC_(N-M)^(n-k)/C_N^n，k=0,1,...,min{n,M}。期望和方差E(X)=nM/N，D(X)=(nM/N)((N-M)/N)((N-n)/(N-1))。定義03常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布定義在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，均勻分布也叫矩形分布，它是對(duì)稱概率分布，在相同長(zhǎng)度間隔的分布概率是等可能的。性質(zhì)均勻分布由兩個(gè)參數(shù)a和b定義，它們是數(shù)軸上的最小值和最大值，通常縮寫為U（a，b）。應(yīng)用均勻分布在自然情況下極為罕見，同樣來由的是指數(shù)分布，像身高、體重、成績(jī)分?jǐn)?shù)、考試分?jǐn)?shù)在總體上都服從或近似服從均勻分布。010203均勻分布010203定義指數(shù)分布（也稱為負(fù)指數(shù)分布）是描述泊松過程中的事件之間的時(shí)間的概率分布，即事件以恒定平均速率連續(xù)且獨(dú)立地發(fā)生的過程。性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要特征是無記憶性（MemorylessProperty，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個(gè)隨機(jī)變量呈指數(shù)分布，當(dāng)s,t>0時(shí)有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。應(yīng)用在排隊(duì)論中，一個(gè)顧客接受服務(wù)的時(shí)間長(zhǎng)短用指數(shù)分布來近似。電話交換臺(tái)收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客、某放射性元素發(fā)射出的粒子、顯微鏡下某區(qū)域中的白血球等等，以單位時(shí)間內(nèi)按泊松分布的數(shù)目到達(dá)。指數(shù)分布定義正態(tài)分布（Normaldistribution），也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布（Gaussiandistribution），最早由A.棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測(cè)量誤差時(shí)從另一個(gè)角度導(dǎo)出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多方面有著重大的影響力。要點(diǎn)一要點(diǎn)二應(yīng)用正態(tài)分布在醫(yī)學(xué)的參考值范圍確定、醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)處理、醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、醫(yī)學(xué)研究和醫(yī)學(xué)論文撰寫中，均有著廣泛的應(yīng)用。正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布性質(zhì)對(duì)于X是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，均值M(X)和方差D(X)通過公式計(jì)算得到。定義如果Y是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則exp(Y)為對(duì)數(shù)正態(tài)分布；同樣，如果Y是對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則ln(Y)為正態(tài)分布。如果一個(gè)變量可以看作是許多很小獨(dú)立因子的乘積，則這個(gè)變量可以看作是對(duì)數(shù)正態(tài)分布。一個(gè)典型的例子是股票投資的長(zhǎng)期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。應(yīng)用對(duì)數(shù)正態(tài)分布可用于描述股票收益率的分布情況。從長(zhǎng)期來看，股票市場(chǎng)的收益率的分布也可以看作是對(duì)數(shù)正態(tài)分布。04隨機(jī)變量函數(shù)的分布分布律的確定通過概率質(zhì)量函數(shù)（PMF）確定離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。期望和方差的計(jì)算利用分布律計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望和方差，衡量隨機(jī)變量的平均水平和波動(dòng)程度。常見離散分布了解并掌握常見的離散分布，如二項(xiàng)分布、泊松分布等，以及它們的性質(zhì)和應(yīng)用場(chǎng)景。離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布030201概率密度函數(shù)的確定通過概率密度函數(shù)（PDF）描述連續(xù)型隨機(jī)變量的分布情況，反映隨機(jī)變量取值的概率大小。分布函數(shù)的性質(zhì)了解分布函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)不減、右連續(xù)等，以及它與概率密度函數(shù)的關(guān)系。常見連續(xù)分布熟悉常見的連續(xù)分布，如正態(tài)分布、指數(shù)分布等，掌握它們的性質(zhì)和應(yīng)用場(chǎng)景。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布理解混合型隨機(jī)變量的定義，即既包含離散部分又包含連續(xù)部分的隨機(jī)變量。混合型的定義掌握確定混合型隨機(jī)變量分布函數(shù)的方法，通常需要考慮離散部分和連續(xù)部分的概率加權(quán)。分布函數(shù)的確定學(xué)會(huì)計(jì)算混合型隨機(jī)變量的期望和方差，以便更好地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性。期望和方差的計(jì)算010203混合型隨機(jī)變量函數(shù)的分布05多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量定義與性質(zhì)定義多維隨機(jī)變量是指取值在多維空間中的隨機(jī)變量，通常表示為$X=(X_1,X_2,...,X_n)$，其中$X_i$是一維隨機(jī)變量。性質(zhì)多維隨機(jī)變量具有一些基本性質(zhì)，如獨(dú)立性、相關(guān)性、協(xié)方差矩陣等。這些性質(zhì)對(duì)于描述多維隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性和進(jìn)行概率計(jì)算具有重要意義。定義二維離散型隨機(jī)變量是指取值在二維平面上的離散點(diǎn)的隨機(jī)變量，用$(X,Y)$表示。其聯(lián)合分布律描述了$X$和$Y$同時(shí)取各個(gè)值的概率分布。聯(lián)合分布律的表示二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律可以用一個(gè)二維表格來表示，表格中的每個(gè)元素表示$X$和$Y$取對(duì)應(yīng)值的概率。二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律VS二維連續(xù)型隨機(jī)變量是指取值在二維平面上的連續(xù)區(qū)域的隨機(jī)變量，用$(X,Y)$表示。其聯(lián)合概率密度函數(shù)描述了$(X,Y)$落在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的概率分布。聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合概率密度函數(shù)具有非負(fù)性、規(guī)范性（全空間積分為1）以及可加性等基本性質(zhì)。通過聯(lián)合概率密度函數(shù)，可以計(jì)算$(X,Y)$落在任意區(qū)域內(nèi)的概率。定義二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率密度函數(shù)對(duì)于二維隨機(jī)變量$(X,Y)$，其邊緣分布是指其中一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布，即$X$或$Y$的分布。邊緣分布可以通過對(duì)聯(lián)合分布律或聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行求和或積分得到。條件分布是指在給定另一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量，條件分布律可以通過聯(lián)合分布律和邊緣分布律計(jì)算得到；對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，條件概率密度函數(shù)可以通過聯(lián)合概率密度函數(shù)和邊緣概率密度函數(shù)計(jì)算得到。邊緣分布條件分布邊緣分布與條件分布06隨機(jī)變量的數(shù)字特征與極限定理數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量取值的“平均值”，反映隨機(jī)變量取值的“中心位置”。方差描述隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，反映隨機(jī)