5TT-1.算式謎（一）

數字謎從形式上可以分為橫式數字謎與豎式數字謎，從運算法則上可以分為加減乘除四種形式的數字謎。

橫式與豎式亦可以互相轉換，本講中將主要介紹數字謎的一般解題技巧。主要橫式數字謎問題，因此，會需

要利用數論的簡單奇偶性等知識解決數字謎問題。

一、基本概念

填算符：指在一些數之間的適當地方填上適當的運算符號（包括括號），從而使這些數和運算符號構成的算式

成為一個等式。

算符：指+、-、X、+、（）、［］、｛｝。

二、解決巧填算符的基本方法

（1）湊數法：根據所給的數，湊出一個與結果比較接近的數，再對算式中剩下的數字作適當的增加或減少，

從而使等式成立。

（2）逆推法：常是從算式的最后一個數字開始，逐步向前推想，從而得到等式。

三、奇數和偶數的簡單性質

（一）定義：整數可以分為奇數和偶數兩類

（1）我們把1,3,5,7,9和個位數字是1,3,5,7,9的數叫奇數.

（2）把0,2,4,6,8和個位數是0,2,4,6,8的數叫偶數.

（二）性質：①奇數，偶數.

②整數的加法有以下性質：

奇數+奇數=偶數：

奇數+偶數=奇數：

偶數+偶數=偶數.

③整數的減法有以下性質：

奇數-奇數=偶數；

奇數-偶數=奇數；

偶數-奇數=奇數；

偶數-偶數=偶數.

④整數的乘法有以下性質：

奇數x奇數=奇數;

奇數x偶數=偶數:

偶數X偶數=偶數.

模塊一、巧填算符

（-）巧填加減運算符號

【例1］在下面算式適當的地方添上加號，使算式成立。88888888=1000

【考點】巧填算符之湊數法【難度】3星【題型】填空

【解析】要在八個8之間只添加號，使和為1000,可先考慮在加數中湊出一個較接近1000的數，它可以是

888,而888+88=976,此時，用去了五個8,剩下的三個8應湊成1000-976=24,這只要三者相

加就行了。本題的答案是：888+88+8+8+8=1000

【答案】888+88+8+8+8=1000

【例2】在等號左邊9個數字之間填寫6個加號或減號組成等式：123456789=101

【考點】巧填算符之湊數法【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，中年級，初賽，第2題

【解析】（不唯一）1+23+4+5+67-8+9=101或12—3+4-5+6+78+9=101

【答案】1+23+4+5+67-8+9=101或12—3+4-5+6+78+9=101

【例3】在下面的口中填入“+”、“一”，使算式成立：11口100908口7口60504口3口2口1=0

【考點】巧填算符之湊數法【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，初賽，5題

【解析】11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.（答案不唯一）

【答案】11+10+9-8-7-6-5-4+3-2-1=0.（答案不唯一）

【鞏固】在下面的口中填入“+”、“一”，使算式成立：10009口0706口5口4口02=1

【考點】巧填算符之湊數法【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級，初賽，第2題，6分

【解析】11+10+9...3+2=65,所以只要將其中和為32的幾項的加號改成減號即11-10-9-8+7+6-5+4+3+2=1

【答案】11-10-9-8+74-6-5+4+3+2=1

【例4】在下面算式中合適的地方，只添兩個加號和兩個減號使等式成立。123456789=100

【考點】巧填算符之湊數法【難度】3星【題型】填空

【解析】在本題條件中，不僅限制了所使用運算符號的種類，而且還限制了每種運算符號的個數。由于題目

中，一共可以添四個運算符號，所以，應把123456789分為五個數，又考慮最后的結果是100,

所以應在這五個數中湊出一個較接近100的，這個數可以是123或89。如果有一個數是123,就要

使剩下的后六個數湊出23,且把它們分為四個數，應該是兩個兩位數，兩個一位數.觀察發現，45

與67相差22,8與9相差1,加起來正巧是23,所以本題的一個答案是：123+45-67+8-9=100。

如果這個數是89,則它的前面一定是加號，等式變為1234567+89=100,為滿足要求，123456

7=11,在中間要添一個加號和兩個減號，且把它變成四個數，觀察發現，無論怎樣都不能滿足要求。

補充說明：一般在解題時，如果沒有特別說明，只要得到一個正確的解答就可以了。這類限制比較

多的題目的解決過程中，要時時注意按照題目的要求去做，由于題目的要求比較高，所以解決的方

法比較少。

【答案】123+45-67+8-9=100

（-）巧填四則混合算符號

【例5】請將四個4用四則運算符號、括號組成五個算式，使它們的結果分別等于5、6、7、8、9o

【考點】巧填算符之湊數法【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，決賽，第10題，10分

【解析】（4x4+4）+4=5,4+（4+4）+2=6,4+4-4+4=7,4+4+4-4=8,4+4+4+4=9

【答案】（4x4+4）+4=5,4+（4+4）+2=6,4+44+4=7,4+4+4-4=8,4+4+4+4=9

【例6】在下面式子中的W中選擇填入+x使等式成立.

1W2W3W4W5W6W7W8W9W1O=1OO

【考點】巧填算符之湊數法【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，4年級，第6題

【解析】1x2+3x4+5+6+7x8+9+10=100

【答案】1x2+3x4+5+6+7x8+9+10=100

【例7】在下面算式合適的地方添上+、-、x,使等式成立。12345678=1

【考點】巧填算符之逆推法【難度】3星【題型】填空

【解析】這道題的特點是等號左邊的數字比較多，而等號右邊的得數是最小的自然數1,可以考慮在等號左

邊最后一個數字8的前面添"一''號。這時，算式變為：1234567—8=1只需讓1234567=9就可

以了，考慮在7的前面添“+”號，則算式變為123456+7=9,只需讓123456=2就可以了，同

開始時的想法，在6的前面添“一”號，算式變為12345-6=2,這時只要12345=8即可.同樣，

在5前面添“+”號，則只需1234=3即可.觀察發現，只要這樣添：l+2x3-4=3就得到本題的一

個解為l+2x3-4+5-6+7-8=l?

補充說明：一般逆推法常限于數字不太多（如果太多，推的步驟也會太多），得數也比較小的題目，

如例4.在解決這類問題時，常把逆推法和湊數法結合起來使用，我們稱之為綜合法.所以，在解決這

類問題時，把逆推法和湊數法綜合考慮更有助于問題的解決。

【答案】1+2x3-4+5-6+7-8=1

【鞏固】在下列算式中合適的地方添上+、-、x,使等式成立。

①987654321=1993,②123456789=1993

【考點】巧填算符之湊數法【難度】3星【題型】填空

【解析】本題的特點是所給的數字比較多，而得數比較大，這種題目一般用湊數法來做，在本題中應注意可

使用的運算符號只有+、-、x。

①中，654x3=1962,與結果1993比較接近，而1993-1962=31,所以，如果能用98721湊出31

即可，而最后兩個數合在一起是21,那么只需用987湊出10,顯然，9+8-7-10,就有：9+8-7

+654x3+21=1993

②中，與1993比較接近的是345x6=2070.它比1993大77,現在，剩下的數是12789,如果把7、

8寫在一起，成為78,則無論怎樣，前面的1、2和最后的9都不能湊成1.注意到8x9=72,而7+8x9=79,

1x2=2,79-2=77.所以這個問題可以如下解決：1x2+345x6-7-8x9=1993。

【答案】9+8-7+654x3+21=1993;1x2+345x6-7-8x9=1993

【例8】在下面算式合適的地方添上+、-、x號，使等式成立。3333333333333333=1992

【考點】巧填算符之湊數法【難度】3星【題型】填空

【解析】本題等號左邊數字比較多，右邊得數比較大，仍考慮湊數法，由于數字比較多，在湊數時，應多用

去一些數，注意到333x3=999,所以333x3+333x3=1998,它比1992大6,所以只要用剩下的八個

3湊出6就可以了，事實了，3+3+3—3+3—3+3-3=6,由于要減去6,

則可以這樣添：333x3+333x3-3-3+3—3+3-3+3-3=1992。

【答案】333x3+333x3-3-3+3—3+3-3+3-3=1992

【例9】在下面合適的地方添上適當的運算符號使算式成立.（相鄰的幾個數可以組成一個數）

22222222=208

【考點】巧填算符之湊數法【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，2年級，第2題

【解析】222-22+2x2x2=208

【答案】222-22+2x2x2=208

【例10】利用運符號及括號，把數1、3、7、9連成結果等于5的算式.

【考點】填橫式數字謎之復雜的橫式數字謎【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽，

【解析】本題屬于數字謎問題，經過嘗試得到（9-7+3）xl=5

【答案】（9-7+3）xl=5

【例1。在方框中添加適當運算符號（不能添加括號），使等式成立.9口3口4口19口8口5口4=26

【考點】巧填算符之逆推法【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽

【解析】9+3+4+19-8-5+4=26

【答案】9+3+4+19-8-5+4=26

（三）巧填算符綜合

【例12］在下列算式中合適的地方，添上+、-、X、+、。等運算符號，使算式成立。

06666666666666666=1993（2）222222222222=1993

【考點】巧填算符之湊數法【難度】4星【題型】填空

【解析】本題中兩道小題的共同特點是：等號左邊的數字比較多，且都相同，而等號右邊的數是1993,比較

大.所以，考慮用湊數法，在等號左邊湊出與1993較接近的數.

①題中，666+666+666=1998,比1993大5,只要用余下的七個6湊成5就可以了，即6666666=5.

如果杷最前面一個6留下來，則只須將剩下的六個6湊成1,即666666=1,注意到6+6=1,6-6=0,

可以這樣湊6+6+6-6+6-6=1,或666+666=1。由于題目中要由1998中減掉5,所以最后的答案是：

666+666+666-（6-6+6+6-6+6-6）=1993或者666+666+666-（6-666+666）=1993

②題中，等號左邊是十二個2,比①題中的數字6小，個數也比①中的少.所以，要把它們也湊成1993,

應該增大左邊的數，也就是要多用乘法，仿照①題的想法，先湊出1998,可以這樣做：222x（2+2+2）

x（2+2+2）=1998用去了九個2,余下三個2,無論怎樣也湊不出5,不行.所以要減少前面用去2

的個數，由于222x9=1998,所以，我們要用幾個2湊出9,即：2x2x2+2+2,這樣，湊出1998共用

去了八個2,即222x（2x2x2+2+2）.此時，還剩下四個2,用四個2湊出5是可以的，即2+2+2+2=5.

這樣得到答案為：222x（2x2x2+2+2）-（2+2+24-2）=1993

【答案】666+666+666-（6-6+6+6-6+6-6）=1993;222x（2x2x2+2+2）-（2+2+2+2）=1993

【例13］在+、-、X、+、（）中，挑出合適的符號，填入下面的數字之間，使算式成立，每個空都必須填入

運算符號：①987654321=1②987654321=100（）

【考點】巧填算符之逆推法【難度】3星【題型】填空

【解析】這兩道題等號左邊的數字各不相同，且從大到小排列，題目要求在每個數字之間都要填上運算符號，

這是解題中要注意到的。

①中，等號右邊的得數是最小的自然數1,而等號左邊共有九個數字。先考慮用逆推法：由于等號

左邊最后一個數字恰好是1,與等號右邊相同，所以，可以考慮在1的前面添“+”號，這樣如果前面

8個數字的運算結果是0就可以了，觀察注意到，前面8個數字每一個數都比它前面一個數小1,這

樣，只要把它們分成4組，每兩數相減都得1,在兩組的前面添“+”號，兩組的前面添號，即得到：

（9-8）+（7-6）-（5-4）-（3-2）=0或（9_8）_（7-6）+（5_4）_（3_2）=0，于是得到答案：

9-8+7—6-（5-4）-（3—2）+1=1或9-8-（7—6）+5-4-（3—2）+1=1再考慮用湊數法：注意至U等號

左邊每一個數都比前一個數小1,所以，只要在最前面湊出一個1,其余的湊出0即可，事實上，恰

有9-8+7-6-（5-4）+（3-2）-1=1湊數法的解答還有很多，請同學們試一試其他的湊法。

②中，等號右邊是一個較大的自然數1000,而等號左邊要在每兩個數字之間添上運算符號，考慮用

湊數法。由于等號右邊是1000,所以，運算結果應由個位是5或0的數與一個偶數的乘積得到。如

果這個偶數是8,則在8的左、右兩邊都應該添“x”號，而9x8=72,而1000+72不是整數.所以，無

論在7654321之間怎樣添算符，都不能得到所要的答案。如果這個偶數是6,由于1000+6不是整

數，所以，不能得到所要的結果。如果這個偶數是4,那么在4的兩邊都應該添“x”號，即有：9876

5x4x321=1000.在4的右邊只有添為4x（3-2）xl才有可能使左邊的算式得1000,這時，必須有987

65=250,經過試臉知，無論怎樣添算符，都不能使上面的算式成立.所以，這個偶數不能是4。如

果這個偶數是2,那么，在2的兩邊都應該添“x”號，即有9876543x2x1=1000.只要添適當的算符，

使9876543的計算結果是500即可.再用湊數法，注意到9x8x7=504,與500很接近，只要能用6

543湊出“-"4即可.事實上，6+5—4-3=4,所以只需9x8x7—（6+5-4-3）9x8x7-6-5+44-

3=500這樣，得到本題的答案是：（9x8x7-6-5+4+3）x2xl=1000②題還可以綜合運用逆推法和湊數

法：由于等號右邊是1000,所以，等號左邊1的前面只能添“x”或號（事實上，“xl”與“+1”結果

是相同的），由于等號右邊的得數較大，考慮在2的前面添“x”號，于是9876543應湊出500,再

用與上面相同的湊數法即可解決。

【答案】①9-8+7-6-（5-4）-（3-2）+1=19-8-（7-6）+5-4-（3-2）+1=1

^,9-8+7-6-(5-4)+(3-2)-1=1

②(9x8x7-6-5+4+3)x2x1=1000

【例14】在下列算式中合適的地方，添上()[],使等式成立。

①1+2x3+4x5+6x7+8x9=303

②1+2x3+4x5+6x7+8x9=1395

③1+2x3+4x5+6x7+8x9=4455

【考點】巧填算符之逆推法【難度】4星【題型】填空

【解析】本題要求在算式中添括號，注意到括號的作用是改變運算的順序，使括號中的部分先做，而在四則

運算中規定“先乘除，后加減“，要改變這一順序，往往把括號加在有加、減運算的部分。題目中三

道小題的等號左邊完全相同，而右邊的得數一個比一個大.要想使得數增大，可以讓加數增大或因數

增大，這是考慮本題的基本思想。

①題中，由湊數的思想，通過加()，應湊出較接近303的數，注意至口+2*3+4x5+6=33,而33x7=231.

較接近303,而231+8x9=303,就可得到一個解為：(1+2x3+4x5+6)x7+8x9=303。

②題中，得數比①題大得多，要使得數增大，只要把乘法中的因數增大.如果考慮把括號加在7+8上，

則有6x(7+8)x9=810,此時，^*14-2x3+4x5無論怎樣加括號也得不到1395-810=585.所以這

樣加括號還不夠大，可以考慮把所有的數都乘以9,即(1+2x34-4x5+6x7+8)x9=693,仍比得數小，

還要增大，考慮將括號內的數再增大，即把括號添在(1+2)或(3+4)或(5+6)或(7+8)上，

試臉一下知道，可以有如下的添加法：[0+2)*(3+4)x5+6*7+8]x9=1395

③題的得數比②題又要大得多，可以考慮把(7+8)作為一個因數，而1+2x3+4x5+6x0+8)x9=837,

還遠小于4455,為增大得數，試著把括號加在(1+2X3+4X5+6)上，作為一個因數，結果得33,

而33x(7+8)x9=4455.這樣，得到本題的答案是：(14-2x3+4x5+6)x(7+8)x9=4455

【答案】(1+2x3+4x5+6)x7+8x9=303：

[(1+2)X(3+4)X5+6X7+8]X9=1395;

(1+2x3+4x5+6)x(7+8)x9=4455

【鞏固】在下面的式子里加上。和口，使它們成為正確的等式。

①217-49x8+112+4-2=89

(2)217-49x8+1124-4-2=1370

③217-49x8+112+4-2=728

【考點】巧填算符之逆推法【難度】4星【題型】填空

【解析】本題只要求添括號，而括號在四則運算中的作用是改變運算的先后順序，即由原來的“先乘除，后加

減”改為先做()中的運算，再做口中的運算，然后再按四則運算法做.所以，一般來講，括號應加在

運算的部分。這道題中的三道小題等號左邊完全相同，而右邊是不同的數，注意到49x8=392,

所以，括號不可能添在(217-49x8)上，而且每一道小題都要把217后面的減數縮小。①題中，等

號右邊的數比較小，所以應考慮用217減去一個較大的數，并且這個數得小于217,最好是一百多，

注意到49x8+112=504,而504+4=126.恰有217-126=91,91-2=89,即可得到答案:217-(49x8+112)

4-4-2=89

②題中，等號右邊的數比較大，所以在減小217后面的減數的同時，要注意把整個算式的得數增大，

這可以通過增大乘法中的因數或減小除法中的除數實現.如果這樣做：(217-49)x8,則既減小了減數，

又增大了因數，計算知：(217-49)x8=1344.算式中得數是1370.注意到剩下的部分112+4-2=26相加

恰好得到答案：(217-49)X8+1124-4-2=1370

③題中，等號右邊的數介于①題與②題之間，所以，放大和縮小的程度也要適當，由②題的計算知：

(217-49)x8=1344,③題的得數是728,而算式左邊還有+112+4-2,觀察發現，1344+112=1456,

1456+2=728。這樣可以得到③題的答案是：[(217-49)x8+l⑵+(4-2)=728

【答案】217-(49x8+112)+4-2=89;(217-49)%8+1124-4-2=1370;[(217-49)X8+112]H-(4-2)=728

模塊二、填橫式數字謎

(-)策略問題

【例15】用火柴棍拼成的數字和符號如下圖所示，那么用火柴棍拼成一個減法等式最少要用根火柴。

足味日日口-二

【考點】填橫式數字謎之奇偶分析法【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，第4題

【解析】“1”所用的火柴棍是2根，數目最少，所以要盡可能多用，即2-1=1,最少共用12（根）火柴棍.

【答案】12根

（-）奇偶分析法

【例16】將1、3、5、7、9填入等號左邊的5個方框中，2、4、6、8填入等號右邊的4個方框中，使等式

成立，且等號兩邊的計算結果都是自然數，這個結果最大為。

EJ-5-Q+□+□□=□+□+□□

【考點】填橫式數字謎之復雜的橫式數字謎【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第9題

【解析】因為左邊必是奇數，所以右邊最大值為87.（否則為88）經過嘗試，得3+1+5+79=6+2+84。

【答案】84

【鞏固】將1,3,5,7,9填入等號左邊的5個方框中，2,4,6,8填入等號右邊的4個方框中，使等式成

立，且等號兩邊的計算結果都是自然數，這個結果最小為。

6口+□+□□=□+□+□□

【考點】填橫式數字謎之復雜的橫式數字謎【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第10題

【解析】由奇偶性可以知道，左邊必然為奇數，所以右邊的結果也為奇數，而右邊□口必為偶數，故右邊的口+口

中只能是6+2,又要求結果最小，所以可以得到9+1+5+37=6+2+48=51。

【答案】51

【例17】把1?8這八個數字寫成兩個四位數字，使它們的差等于H11.即：□□□□-□□□□=1111

【考點】填橫式數字謎之奇偶分析法【難度】3星【題型】填空

【解析】注意到兩個四位數字的差是1111,也就是要求被減數上的每一位數，都要比減數上相對應的位上的

數大1.而所給的八個數字最小的是1,是奇數，所以被減數各位上的數字都應是偶數，而減數的每

一位，都是比被減數上相對應的位上的數小1的奇數.這樣就可以得到答案.本題的答案不惟一，下面

是其中的三個：

回回回回回BE=iiu；

同回囪回一回回亞；

回回同同國回回小mi.

補充說明：這道題的答案共有24個.同學們可以試著寫出其他的解.

【答案】

回回回回一用回；

EE目引EH亞］=1山；

目亞］同忍回亞卜山.

‘□+口=□

【例18】將1?9這九個數字分別填入下面算式的九個口中□-□=□,使每個算式都成立。

□入□=□

【考點】填橫式數字謎之奇偶分析法【難度】4星【題型】填空

【解析】①審題.在題目的三個算式中，乘法運算要求比較高，它要求在從1?9這九個數字中選出兩個，使

它們的積是一位數，且三個數字不能重復.

②選擇解題的突破口.由①的分析可知，填出第三個乘法算式是解題的關鍵.

③確定各空格中的數字.由前面的分析，滿足乘法算式的只有2x3=6和2x4=8.如果第三式填2x3=

6.則剩下的數是1,4,5,7,8,9,共兩個偶數，四個奇數.由整數的運算性質知，兩個偶數必定是

前兩個式中各填一個，試一試，可以為［日口一日

@-0=0

樣填：（答案不是惟一的，這里只填出一個）.如果第三式填2x4=8,則剩下的數是1,3,5,6,1,

9.其中只有一個偶數和五個奇數，由整數的運算性質知，無論怎樣組合都不能填出前兩個算式.本題

@+固=回

的一個答案是：國-團=日

囪x囪=回

@+固=回

【答案】＜0-0=0

回、囪=網

（三）整除性質

【例19】將0、1、2、3、4、5、6這七個數字填在圓圈和方格內，每個數字恰好出現一次，組成只有一

位數和兩位數的整數算式.問填在方格內的數是多少？0*0=口=00

【考點】填橫式數字謎之奇偶分析法【難度】3星【題型】填空

a）題目要求用七個數字組成5個數，說明有3個數是一位數，有2個數是兩位數.很明顯，方框里的

數和被除數是兩位數，其余的被乘數、乘數和除數是1位數.看得出來，0不能做被乘數和乘數，更

不能做除數，因而0是兩位數的個位數字，但不能是商的個位數字，即不能是方框里的兩位數的個

位數字，否則會使除數的個位也為0,從而只能是被除數的個位數字：乘數如果是1,不論被乘數是

幾，都將在算式出現兩次，與題意不符，所以，乘數不是1.同樣乘數也不能是5.乘數如果有2,

則被乘數只能是6,才能保證方格里的數是不含偶的兩位數，但此時2出現重復，所以乘數里面也

沒有2.被除數是3個一位數的乘積，其中一個是5,另兩個中沒有1,也不能有2,因而被除數至

少是3x4x5=60.由于沒有比6大的數字，所以被除數就是60,而且算式是3x4=12=60+5.于

是方格中的數是12

【答案】3x4=12=60+5

【例20】將1一9這9個數字分別填入下圖的方框中，每個數字恰好用一次，使等式成立；現已將8填入，

則最左邊的兩個方框中所填的兩位數是。

□EZkD□=□□-口口=8

【考點】填橫式數字謎之復雜的橫式數字謎【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，第5題

【解析】因為8的兩位數倍的乘積還是兩位數，所以只有10、11、12,又8x10=80,出現重復數字，要舍去；

8x11=88,出現重復數字，要舍去；8x12=96,可以；還剩3、4、5、7四個數字，有45-37=8滿足題