新高考數學一輪復習32《空間點、直線、平面之間的位置關系》鞏固練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關系不確定【答案解析】答案為：D.解析：構造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當取l4為B1C1時，l1∥l4，當取l4為BB1時，l1⊥lLISTNUMOutlineDefault\l3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關系是()A.相交B.異面C.平行D.垂直【答案解析】答案為：A.解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，則A1LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中點，則異面直線BC1與PD所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案解析】答案為：C.解析：如圖，取A1B1的中點E，連接D1E，AD1，AE，則∠AD1E即為異面直線BC1與PD所成的角.因為AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝eq\r(2)，所以△AD1E為正三角形，所以∠AD1E＝60°，故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(\r(3),3)【答案解析】答案為：C.解析：如圖所示，將直三棱柱ABC-A1B1C1補成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其補角為異面直線AB1與BC因為∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(2).在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D所以B1D1＝eq\r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq\r(3)，所以cos∠B1AD1＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).LISTNUMOutlineDefault\l3下列命題中，真命題的個數為()①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合；②兩條直線可以確定一個平面；③空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l.A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案為：B.解析：根據公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間中，相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據平面的性質可知④是真命題.綜上，真命題的個數為2.LISTNUMOutlineDefault\l3已知異面直線a，b分別在平面α，β內，且α∩β＝c，那么直線c一定()A.與a，b都相交B.只能與a，b中的一條相交C.至少與a，b中的一條相交D.與a，b都平行【答案解析】答案為：C.解析：如果c與a，b都平行，那么由平行線的傳遞性知a，b平行，與異面矛盾.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案解析】答案為：A.解析：若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件.LISTNUMOutlineDefault\l3已知P是△ABC所在平面外的一點，M，N分別是AB，PC的中點，若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案解析】答案為：A.解析：如圖，取AC的中點D，連接DN，DM，由已知條件可得DN＝2eq\r(3)，DM＝2.在△MND中，∠DNM為異面直線PA與MN所成的角，則cos∠DNM＝eq\f(16＋12－4,2×4×2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴∠DNM＝30°.LISTNUMOutlineDefault\l3平面α，β的公共點多于兩個，則①α，β平行；②α，β至少有三個公共點；③α，β至少有一條公共直線；④α，β至多有一條公共直線.以上四個判斷中不成立的個數為()A.0B.1C.2D.3【答案解析】答案為：C.解析：由條件知，當平面α，β的公共點多于兩個時，若所有公共點共線，則α，β相交；若公共點不共線，則α，β重合.故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立.LISTNUMOutlineDefault\l3給出下列命題，其中正確的兩個命題是()①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行；②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面；③直線m⊥平面α，直線n⊥直線m，則n∥α；④a，b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a，b都平行且與a，b的距離相等.A.①與②B.②與③C.③與④D.②與④【答案解析】答案為：D.解析：直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線可能與平面平行，也可能和平面相交；直線m⊥平面α，直線m⊥直線n，則直線n可能平行于平面α，也可能在平面α內，因此①③為假命題.LISTNUMOutlineDefault\l3在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點E，F，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個命題：①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正確的命題有()A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案解析】答案為：C.解析：由題意畫出草圖如圖所示，因為AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②錯誤；由AA1⊥平面BCFE，結合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面LISTNUMOutlineDefault\l3在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)【答案解析】答案為：C.解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體EFBA-E1F1B1A1.連接B1F，由長方體性質可知，B1所以∠DB1F為異面直線AD1與DB1連接DF，由題意，得DF＝eq\r(5)，FB1＝2，DB1＝eq\r(5).在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FBeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)﹣2FB1·DB1·cos∠DB1F，即5＝4＋5﹣2×2×eq\r(5)×cos∠DB1F，∴cos∠DB1F＝eq\f(\r(5),5).二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3在下列四個圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________.(填序號)【答案解析】答案為：②④.解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面.所以在圖②④中，GH與MN異面.LISTNUMOutlineDefault\l3已知α，β為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，則下列命題中正確的是________(填上所有正確命題的序號).①若α∥β，m?α，則m∥β；②若m∥α，n?α，則m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β.【答案解析】答案為：①④.解析：由α∥β，m?α，可得m∥β，所以①正確；由m∥α，n?α，可得m，n平行或異面，所以②不正確；由α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，可得m與β相交或m?β，所以③不正確；由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，所以④正確.綜上，正確命題的序號是①④.LISTNUMOutlineDefault\l3設a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線.上述命題中正確的命題是________(寫出所有正確命題的序號).【答案解析】答案為：①解析：由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內”，故④錯.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________.【答案解析】答案為：eq\r(2)解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD，因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D=eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).三 、解答題LISTNUMOutlineDefault\l3如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點.問：(1)AM與CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B與CC1是否是異面直線？說明理由.【答案解析】解：(1)AM與CN不是異面直線.理由如下：如圖，連接MN，A1C1因為M，N分別是A1B1，B1C1所以MN∥A1C1.又因為A1A綊C所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥所以A，M，N，C在同一平面內，故AM和CN不是異面直線.(2)D1B與CC1是異面直線.理由如下：因為ABCD-A1B1C1D1所以B，C，C1，D1不共面.假設D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假設不成立，即D1B與CC1是異面直線.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點.求證：(1)E，C，D1，F四點共面；(2)CE，D1F【答案解析】證明：(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，∵E，F分別是AB和AA1的中點，∴EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF與CD1確定一個平面，即E，C，D1，F四點共面.(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F設交點為P，則P∈CE，且P∈D1F又CE?平面ABCD，且D1F?平面A1ADD1∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1FLISTNUMOutlineDefault\l3在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且異面直線A1B與B1C1所成的角等于60°，設AA1＝a.(1)求a的值；(2)求三棱錐B1-A1BC的體積.【答案解析】解：(1)∵BC∥B1C1∴∠A1BC就是異面直線A1B與B1C1所成的角，即∠A1BC＝60°又AA1⊥平面ABC，AB＝AC，則A1B＝A1C∴△A1BC為等邊三角形，由AB＝AC＝1，∠BAC＝90°?BC＝eq\r(2)，∴A1B＝eq\r(2)?eq\r(1＋a2)＝eq\r(2)?a＝1.(2)∵CA⊥A1A，CA⊥AB，A1A∴CA⊥平面A1B1B，∴VB1-A1BC＝VC-A1B1B＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).LISTNUMOutlineDefault\l3如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F分別是BC，AD的中點.(1)求證：直線EF與BD是異面直線；