水平陀螺進動的初步分析一．問題的提出。1?陀螺如果沒有自轉，則在重力矩作用下將直接加速倒下。設陀螺所受重力矩為M,陀螺對通過支點的水M平軸的轉動慣量為H,陀螺倒下的角加速度為^=。只要重力矩不變，則陀螺倒下的角加速度也不變。某H時刻的角速度為Q,則根據剛體轉動的角動量定理，有MAt=HAQ。其方向水平如圖1所示。ms.圖12?當陀螺高速自轉時，則有另外的現象：陀螺將產生進動。設陀螺所受重力矩為M,對自轉軸的轉動慣量為J，以角速度為3逆時針自轉。其角動量為L二J?,則根據角動量定理，有：MAt=AJo其方向水平如圖MAt2所示。他將只改變L的方向而不改變其大小，因此陀螺將水平進動。同時在△t時間內的進動角人申=「JoM所以得出其進動的角速度。或MAt=J?A申Jozmg圖2以上兩種情況都符合角動量定理。那么怎能說明陀螺必然產生水平進動而不加速倒下？又其水平進動的能量從何而來？上述的計算并沒有回答。雖然如此，但是在沒有辦法的時候，我們也只能相信他。3?近一步在飛機和輪船等具有三個自由度的交通工具，其發動機在強制進動的情況下會產生陀螺力矩M=JoxQ，如下圖例題所示：飛機的螺旋槳作為高速自轉的陀螺沿x軸的方向自轉，當飛機左轉彎時即沿y軸方向轉彎時，伴隨有抬頭，即沿z軸方向的轉動運動。（飛機陀螺力矩1.gif）

（6）螺旋槳飛機前部的螺旋槳為一高速自轉的轉手，當飛機機動飛行時將強制其主軸轉動，因而有陀螺力矩作用干機身，使飛機不能正確機動。試用數字埴寫下表飛機左轉彎時伴隨有飛機右轉彎時伴隨有運動。運動。飛機進入俯沖時伴隨有 運動。飛機由俯沖拉起時伴隨有飛機側滾時伴隨有 運動。運動。1歸血:轉巧）（6）螺旋槳飛機前部的螺旋槳為一高速自轉的轉手，當飛機機動飛行時將強制其主軸轉動，因而有陀螺力矩作用干機身，使飛機不能正確機動。試用數字埴寫下表飛機左轉彎時伴隨有飛機右轉彎時伴隨有運動。運動。飛機進入俯沖時伴隨有 運動。飛機由俯沖拉起時伴隨有飛機側滾時伴隨有 運動。運動。1歸血:轉巧）嚇，?際）/了1左轉彎2右轉彎了抬頭4低頭呂髓滾臨無伴曬運動這種現象我們也可以用簡單的實驗來驗證：取一個高速旋轉的陀螺，如下圖所示：（進動軸.gif）用手握住其外框的A.B兩點沿y軸方向稍微轉動一下外框，即強制其進動，則可看到整個陀螺沿z軸方向旋轉,右側向上，左側向下，直到整個陀螺直立起來。如同上題中的飛機抬頭一樣，可見此陀螺力矩并非源于外界，而是陀螺內部相互作用的結果。即此力矩就來源于高速旋轉的盤片。首先使盤片自身沿z軸翻轉，才帶動其軸和外框的旋轉。如果我們把陀螺稍微改變一點方向，即如下圖所示：（章動軸.gif）同樣，握住A,B兩點，順時針稍稍轉動外框，則整個陀螺便沿z軸方向旋轉。這個實驗分明就是，高速旋轉的水平陀螺，在重力矩的作用下，由于章動，便會產生進動。即陀螺的進動是由章動轉化而來。至于陀螺在強制進動的條件下，為什么會產生陀螺力矩則是下面要著重討論的問題。．陀螺力矩的產生：

取一個單片高速旋轉的陀螺（如上圖），當我們強制其倒下時，逆著Ox軸的方向看去，如圖3所示為陀螺的正面圖，其支點O在紙里，其盤片以角速度3逆時針自轉，其上的任一質點P的速度用v表示，陀螺沿重力矩的方向倒下形成章動，其角速度用Q］表示，由于章動是轉動，所以陀螺上的每個質點的運動都是在此轉動的基礎上的圓周運動，他們的加速度的除了原有的向心加速度以外又增加了一個指向支點的向心加速度和一個旋轉加速度（科里奧利加速度）a=20xv。由于章動軸向右。盤片逆時針旋轉，所以其左半部向下運動其科1 1科里奧利加速度指向紙里，（用“X”表示），而右半部向上運動，其科里奧利加速度指向紙外，（用“?”表示）。此加速度是隱含與盤片自轉和章動之中的。（章動科1.bmp）產生這種加速度的力偶,來源于盤片的剛性框架（下面簡稱剛架）對質點的作用。因此，根據達朗伯原理，陀螺內的所有質點都產生一個相反方向的力作用于剛架，對剛架的AB軸合成一個力偶，使陀螺的剛架帶動所有質點繞支點O,產生向右的加速度（進動加速度）。具體計算如下：（章動陀螺力矩計算l.bmp）既然盤片上的每一質點都獲得了科里奧利加速度a二20xv二2Qorsin*二20?x?？苅 i i 1可見盤片上各點產生的科里奧利加速度與其到AB軸的距離成正比。設盤片的質量面密度為p則每一質點都受到了盤片剛架所施加的力為：Af=2AmQ①x=2pAxAyQ①x。ii所以每一質點都施加于盤片剛架一個反作用力也為：

Af'=2pAxAyO］①x。此反作用力對于軸AB的力矩為:AM二2pAxAyQ①x2。1所以整個盤片質點對于AB軸的力矩為M=4pwQJRx2dxjRcos02dy10=8pwQ Rcos0cos0100=8pwQRJRR2sin20cos0d(Rsin0)10=8pwQRJ2R3sin20cos20d010=pwQR4J2sin2(20)d(20)10TOC\o"1-5"\h\z1 x=_pgR4J2(1-cos40)d(40)4 1 0x=—pwQR4[40-sin40]2410=1xpgR44 1=—R2=J1 1由此計算可以看出，進動力矩是與章動速度成正比的，即開始產生章動加速度時并無進動力矩，當章動速度產生以后才產生進動加速度，當章動速度很小時進動加速度也很小。可見進動總比章動晚半拍。進一步，當進動角速度Q產生以后，由于進動也是一種轉動，盤片上各個質點又增加一個科里奧利加速度，如下圖所示：（進動盤2.bmp）當然所有質點也會給A'B'軸一個反作用力矩M=J。為與章動所產生的陀螺力矩相區別我們稱此陀螺力矩為回轉力矩，此回轉力矩試圖抵消重力矩的作用，同樣回轉力矩又比進動速度晚半拍。這就好比LC振蕩回路中的感生電動勢與電容器兩端電壓，的關系，又如彈簧振子中的重力與彈簧的恢復力之間的關系。三．整個陀螺的運動過程可簡述如下。由于重力矩的作用產生章動加速度。隨著時間的積累產生了章動速度，同時產生了進動加速度，且進動加速度正比于章動速度。再經過時間的積累產生進動速度，同時產生回轉力矩，抵消重力矩的作用。此過程與豎直懸掛的彈簧振子有著相同的規律。如圖6所示。時間速度（加速度）— 位移速度（加速度）（彈力）I1時間 時間重力桓+積累=7士去積累_Mid遷回轄力拒 早功速度?章動位移（章動加速度）〔進動加速度） 進動速度〔回特力拒）圖6其過程可大體敘述如下：隨著陀螺產生了章動速度，便產生了進動加速度，隨著章動速度的增大，進動的加速度也增大，進動速度增大，其回轉力矩也不斷增大，當回轉力矩小于重力矩時章動仍在加速所以進動加速度仍在增大，進動達到其回轉力矩等于重力矩時，章動速度達到最大值（相當與彈簧振子的速度達到最大值）。這時的進動加速度也達到最大值，即進動速度最快地增大。到此相當于彈簧振子的振動完成了1/4周期。其后回轉力矩已大于重力矩，章動速度開始減小但方向不變，其進動加速度仍大于0，進動速度仍在增大，當章動速度減小到0時，停止向下的章動。進動加速度也見減小到0，進動速度達到最大（相當于彈簧振子的位移達到最大值），回轉力矩也達到最大且遠大于重力矩。到此相當于彈簧振子完成了半個周期的振動。此后由于回轉力矩遠大于重力矩，陀螺反向章動（上升），進動加速度反向，進動速度開始減小，但回轉力矩仍大于重力矩陀螺仍加速上升，當進動速度減小到回轉力矩等于重力矩時，章動速度達到最大（相當于彈簧振子上升速度達到最大值），進動減速的加速度也達到最大，完成了3/4個周期。此后章動速度繼續減小，當陀螺返回到原來的高度時，進動速度也減小到0。完成了章動的一個周期。如此循環反復，形成了隨著豎直方向，上下不斷的章動，水平方向也不斷地沿一個方向加速和減速。對于彈簧振子來說，由于阻力的作用彈簧最終停留在平衡位置，同樣對于陀螺，由于阻力矩的作用陀螺章動幅度不斷減小，水平方向的進動速度變化的幅度也不斷減小，最終章動消失，而水平方向的進動速度也就不再變化形成勻速進動。章動的觀察：由下文的定量計算表明，陀螺在開始時刻的章動幅度與自轉軸的角速度的平方成反比，因此章動在自轉速度較小,而釋放陀螺后短時間內才明顯出現的現象，故可如下操作。使陀螺高速旋轉。用手按住陀螺支架底座，手掌要放平，以免影響陀螺進動。把陀螺放在支架上。與豎直方向成45—60°左右。釋放。觀察其是否能見到章動。每進動一周，握住并釋放一次。當其自轉速度減小到一定程度時，在釋放以后便可看到章動現象。以后繼續操作，可以看到，每次釋放后陀螺的章動幅度都會增大一些。直到最后一次倒地。四．水平陀螺進動的定量計算：為了建立微小章動條件下的水平陀螺運動的牛頓定律方程，可以看出陀螺運動在水平面內的投影為一圓周，在豎直方向由于章動幅度很小可以認為在豎直方向的投影為一直線，所以我們采用圓柱坐標系。取單片陀螺。設其質量為m,對通過其中心且垂直于盤片的軸的轉動慣量為J=2mR2。盤片到支點的距離為L（即自轉軸長），厶其對支點的重力矩為M,其對通過支點的水平軸的轉動慣量為H。自轉角速度為3。用Q和屮分別表示其進動和章動的角位移。用。和。1表示進動和章動角速度。在進動方向和章動方向都受到粘滯阻力，其阻力矩都與其角速度成正比,比例系數為卩，則阻力矩分別為艸'和卩屮'。當其章動角速度為Q1時，上節的討論可知。沿章動方向陀螺受到力矩有重力矩M=mgL，由進動產生的回轉力矩J'和阻力矩卩屮'，而產生的章

動加速度為屮''。所以可得牛頓定律方程為:M-J卿'一H屮'=H屮'' (1)或屮!!或屮!!1)沿進動方向陀螺受到力矩有由章動速度產生陀螺力矩Je屮'和阻力矩卩?'，而產生進動加速度?''。所以可得牛頓定律方程為:Je屮'一艸'=H申” （2）或0'=絢'-%HH2或0'=絢'-%HH2)令—=PoHJe=k。H善=h。其中有：M=斗Hh可見h,k,卩分別表示，阻尼，陀螺的動量矩和陀螺所受到的重力矩。得：TOC\o"1-5"\h\z屮''=卩一k申'-何' （］，）申''=卻'-如' （2，）由（2,）解出屮’并對t求導后代入（1，）得:甲"'+2h（p''+（h2+k2）申'=kP （3）由（1，）解出Q'并對t求導后代入（2,）得:屮''+2切'+（h2+k2）屮'=hP（4）解此二方程并由初始條件：t=0時申=0； 0=0；申”=0。及t=0時屮=0；屮'=0；屮"=P。為開始時刻，陀螺在重力矩作用下開始倒下的角加速度Hh可得：并令一=tana?？傻茫簁P申= [kt-sin2a-e-加sin(kt-2a)] (5)k2+h2屮=——P [ht+cos2a-e-htcos(kt-2a)] (6)k2+h2其軌跡為：圖7

圖7五．討論：關于章動的幅度：一一 2卩MH 一 一若h=0時，章動的幅度最大為W= = ?？梢姰斖勇莸慕Y構確定以后，章動的最大幅度與陀螺自mk2 J2?2轉角速度的平方成反比。所以只有在陀螺自轉角速度較小時才能清晰地看到章動現象。另外，從其軌跡中還可以看出其章動的幅度隨著時間是不斷衰減的，所以要看陀螺的章動應該在釋放陀螺以后的開始階段來觀看。2?若以Q,Q1分別表示進動和章動角速度則有：kR h RQ= [1—e-ht(coskt+sinkt)]= [cosa—e-htcos(kt—a)]h2+k2 ' k丿訃2+h2(7)(8)kQ= [1+e-ht(—coskt—(7)(8)kQ= [1+e-ht(—coskt—sinkt)]= 尸一[sina+e-hsin(kt—a)]1 h2+k2 h k2+h2。=旦h2+k2J?M~H~H莎Q=_!^_1h2+k22 J?+()2

HM卩j?

()2+( )2HH(10)MJMJ?若R=0。則有：Q=卩2+J2?2J?「1=0。陀螺將停止下降。M而若卩北0。則其進動角速度略小于丁并有:J?Q_h_卩武卩J?3?能量損耗：以上計算說明了進動的產生過程，其正確性可驗證如下：tX時，重力的功率為緒=MQ1。進動方向阻力消耗的功率為：P=舊2。章動方向阻力消耗的功為：p=叫。進動和章動方向消耗的總功率為:p=P+P=卩(Q2+Q2)=卩Ik2+ =卩 =卩IQ1=MQ1可見此時重力做功的功率等于阻力消耗的總功率。4?對于多片陀螺來說，由于有：工M=M;工J=J;工H=Hiii所以仍有方程：甲'''+2h?''+(h2+k2)申'=kR屮"'+2h^''+（h2+k2）屮'二hP結果相同。六．回答幾個質疑：關于Mdt二dL。由牛頓定律方程（1）M-Je申'—卩屮'=H屮''可以看出若卩=0，則經過時間的積累可以得到：MAt=JeA申+HA屮'由外力矩的沖量矩等于動量矩的改變量，可見陀螺的動量矩的改變量包括兩項，即在進動方向轉過一個角度,在章動方向的速度有一個增量。只有當tS而A屮'T0即章動速度不變時才有MAt=J?A申。所以應該說，認為賴柴爾定理說的是MAt=JeA申。是對賴柴爾定理的曲解。陀螺力矩是怎么產生的？是內力還是外力？施力者是誰？為此我們先討論一下陀螺的內力：把剛體看成由無質量的剛性框架（以下簡稱剛架）和無數粘貼在剛架上的質點所組成。例1：用力拉細桿的一端，使細桿作勻加速運動。這一現象可作如下解釋：（1）力作用于剛架的一端，是一個集中力。（2）剛架把這個集中力按照各個質點的加速度分配到各個質點變成分布力，并產生相應的加速度，這是剛架對質點的作用力。（3）根據達朗伯原理，各個質點對剛架施加了一個反作用力?？偲饋碚f，剛架和質點之間組成一組相互作用力。如下圖所示：1圖表示拉力作用于細桿，2圖用圖像法表示各質點加速度和剛架所受各質點的反作用力。橫坐標表示細桿各點到其末端的距離，藍色箭頭表示各個質點的加速度（為了突出達朗伯原理，圖中沒有畫出每個質點所受的剛架的分布力，而只畫出了其加速度）。紅色箭頭表示根據達朗伯原理，每個質點對剛架產生的反作用力。（用力拉細桿內部相互作用.bmp）細桿Hl/；；川壬f例2：繞中心勻速轉動的細桿，其內部的相互作用力。雖然細桿并不受外力作用而處于平衡狀態，但是，細桿內部仍有相互作用力，即細桿內部各個質點都受到剛架的指向中心的向心力，從而產生向心加速度，根據達朗伯原理，各個質點都給細桿一個反作用力——離心力。這里剛架給質點的向心力和質點給剛架的離心力也是一對相互作用的內力。如下圖的圖象所示，橫坐標表示各質點到中心的距離，縱坐標表示各質點的加速度（綠色箭頭）和各質點給剛架的離心力（紅色箭頭）。（繞中心轉動的細桿.bmp）

各質點加if4刖架所受反力例3：細桿中心固定，用力F垂直于細桿推其一端。作勻加速轉動。現只分析其切向的相互作用。首先中心必受反向支持反力，合成力偶，使細桿繞其中心加速旋轉。剛架把集中的力偶轉變為分布力，并使每個質點獲得其所需的加速度。如下圖所示：（繞中心加速切向加速度及反力.bmp）隨著旋轉速度的產生和增大，桿內各質點產生向心加速度，根據達朗伯原理，各質點產生對剛架的離心力。每個質點所受向心力和及其給剛架的離心力分別是一對對作用力和反作用力，如例2所示。對于陀螺來說也是一樣，高速旋轉的陀螺剛剛釋放時，所以盤片內一組相互作用力即由于盤片高速旋轉使質點受到剛架的向心力的作用產生向心加速度，和根據達朗伯原理，質點反作用于剛架離心力。如下圖：

當陀螺受到重力矩的作用而開始章動以后則除了上述的一組力以外，又增加了兩組相互作用力：1，由于剛架章動而作用于質點的指向支點的向心力使質點產生向心加速度。根據達朗伯原理而使質點反作用于剛架一個離心力；如下圖左側視圖所示。2.由于質點參與兩個轉動而受到剛架的作用力產生科里奧利加速度，根據達朗伯原理，使質點反作用于剛架的陀螺力矩。如下圖俯視圖所示。

由前面的計算可知，章動的產生來源于外力矩即有外力矩作用于陀螺的軸上就立即產生章動加速度，在經過一小段的時間積累產生了章動速度時，才產生科里奧利加速度，即產生剛架與質點之間的相對運動趨勢而產生相互作用力。即陀螺力矩的產生則較章動的產生晚半拍，所以他是內力矩，是剛架使所有質點產生科里奧利加速度的作用力(這個力不知道叫什么名字，也許沒有名字。)的反作用力的力矩。也正因為他們是這樣一對相互作用力所以其合力矩才等于0。否則如果只有剛架給質點的力矩產生科里奧利加速度，那內力的合力矩怎能等于0。但剛架本身無質量，所以剛架將帶動所有質點產生進動。即科里奧利加速度與進動加速度是一對方向相反的加速度。其合成等于0。重力矩被回轉力矩平衡，陀螺是否動量矩守恒？重力矩是外力矩而回轉力矩是內力矩，所以仍然只是遵從動量矩定理，而不屬于動量矩守恒。附1：旋轉陀螺水平進動時科里奧利加速度的推導矢量R可以表示為：R二Rr0=R(cos0i+sin0j)如附圖1所示，式中cos0i+sin0j為與Ox軸夾角為0的單位矢量rO。附圖1若把單位矢量逆時針旋轉90°，則為：兀 兀p0=cos(—+0)i+sinq+)j=-sin0i+cos0j又：矢量rO對e的導數為:ro'=(cos0i+sin0j)'=-sin0i+cos0j=po即單位矢量對e的導數等于把該矢量逆時針旋轉90°若e是t的函數，則其對t的導數由復合函數求導運算可得：ro'=(cos0i+sin0j)'=(-sin0i+cos0j)0'=0po式中Q為e對t的導數。同理得：po'=一0ro附圖3如附圖2所示，固定坐標系Oxyz，坐標軸方向的單位矢量分別為i,j,k。設單片陀螺自轉軸長為L,盤片自轉角速度為3。開始時刻，處于沿Ox軸方向。在其盤片上建立坐標系0己』內其方向與Oxyz方向相同。其上一點P,在O^y平面內距離中心R處，其線速度為v=R?。其運動方向與Z］軸方向相同。經過時間t,陀螺進動角Q轉子中心到達O'處，如附圖3所示。自轉角0=et，P點到達P'處。其運動方向與z'軸夾角也是0。其在豎直方向投影為簡諧振動，其位移速度和加速度分別為：z=Rsin0k，v=R①cos0k;a=-Ro2sin0k，與水平方向的運動無關，是獨立的。此時其在O'x'y'zz平面上的投影為M。由于進動，原來盤片上的y1軸的方向已變成了y'。所以P'點的投影M的位置矢量為：OM=OO'+O'M。其中O'M二a二Rcos0po若取OO'方向的單位矢量為r°,O'M方向的單位矢量為p0,則有：ro=cosqi+sinQj式中申'=0OM=OO'+O'M=L+a=Lro+apo=Lro+Rcos0po而其速度為：v=(Lro)'+(Rcos0po)'=LQpo-R0'sin0po+Rcos0(—Oro)=LQpo-Resin0po-R0cos0ro其加速度為：a=(L0po)'-Re(sin0po)'-R0(cos0ro)'==LO'po+LO2(-ro)-Re[0'cos0po+sin0(-Oro)]-RO'cos0ro-RO[-0'sin0ro+cos0(Opo)]==LO'po一LO2ro一Re2cos0po+ReOsin0ro+RO'cos0ro+ReOsin0ro一RO2cos0po==LO'po一RO'cos0ro一LO2ro一RO2cos0po一Re2cos0po+2ReOsin0ro其中(1)LO'po-RO'cos0ro合成為進動加速度其中(2)-LO2ro和-RO2cos0po合成對于支點的向心加速度。(3).-Re2cos0po和z方向的—Re2sin0k合成對于盤片中心的向心加速度。而⑷2ReOsin0ro則為科里奧利加速度：a=2ReOsin0ro=2vOsin0ro?？破渲?為其速度與z'軸或旋轉參照系的z軸之間的夾角。此加速度的方向在y'軸上方sin0>0，其方向沿r°的正方向。在y'軸下方sin0<0，其方向逆ro的方向。如果逆著O'x'看過去如附圖4。則在y'軸的上方a科指向紙外用“?”表示，在y'軸下方指向紙內用“X”表示。可見，其方與進動軸和質點運動方向都垂直，即垂直于他們所決定的平面(紙面)。所以可以用叉積來表示此加速度按照右手坐標系可得：a科=2Qxv。、迥Z*aM/X/y附圖4所有質點對整個盤片的合成為一旋轉加速度。沿O'y'軸看去，如圖5的陀螺所示。附圖5附2：微分方程的解：y'''+2hy''+(h2+k2)y'二a (1)其對應的齊次方程為：y'''+2hy''+(h2+k2)y'二0 (2)特征根為：r=0r=—h土ki12,3其通解為：y=C+e-ht(Ccoskt+Csinkt)123原方程(1)的一個特解為：y*二bt則：y*'=b;y*''=0;y*"'=0代入原方程(1)得：0+0+(h2+k2)b=a;(a=hR或kR)原方程(1)的通解為：y=C+e-ht(Ccoskt+Csinkt)+bt(3)TOC\o"1-5"\h\z1 2 3(4)+e-ht[(—hC+kC)coskt+(—hC—kC)sinkt](4)h2+k2 2 3 3 2(5)y”=e-ht[(h2C—k2C—2hkC)coskt+(h2C—k2C+2hkC)sinkt](5)2 2 3 3 3 2當t=0時