第第頁第10講復數的概念【學習目標】1、了解從實數系到復數系的擴充過程和方法．2、研究復數的表示、運算及其幾何意義．【考點目錄】考點一：復數的基本概念考點二：復數相等考點三：復數的幾何意義考點四：復數的模考點五：復數的軌跡與最值問題【基礎知識】知識點一：復數的基本概念1、虛數單位數叫做虛數單位，它的平方等于，即．知識點詮釋：①是－1的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是；②可與實數進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立．2、復數的概念形如（）的數叫復數，記作：（）；其中：叫復數的實部，叫復數的虛部，是虛數單位．全體復數所成的集合叫做復數集，用字母表示．知識點詮釋：復數定義中，容易忽視，但卻是列方程求復數的重要依據．3、復數的分類對于復數（）若b=0，則a+bi為實數，若b≠0，則a+bi為虛數，若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數．分類如下：（）用集合表示如下圖：4、復數集與其它數集之間的關系（其中為自然數集，為整數集，為有理數集，為實數集，為復數集．）5、共軛復數：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．通常記復數的共軛復數為．知識點二：復數相等的充要條件兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等．即：如果，那么特別地：．知識點詮釋：（1）一個復數一旦實部、虛部確定，那么這個復數就唯一確定；反之一樣．根據復數a+bi與c+di相等的定義，可知在a=c，b=d兩式中，只要有一個不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大小．如果兩個復數都是實數，就可以比較大小；也只有當兩個復數全是實數時才能比較大小．知識點三：復數的幾何意義1、復平面、實軸、虛軸：如圖所示，復數（）可用點表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，也叫高斯平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸．知識點詮釋：實軸上的點都表示實數．除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．2、復數集與復平面內點的對應關系按照復數的幾何表示法，每一個復數有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應．復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應關系，即復數復平面內的點這是復數的一種幾何意義．3、復數集與復平面中的向量的對應關系在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的，所以，我們還可以用向量來表示復數．設復平面內的點表示復數（），向量由點唯一確定；反過來，點也可以由向量唯一確定．復數集C和復平面內的向量所成的集合是一一對應的，即復數平面向量這是復數的另一種幾何意義．4、復數的模設（），則向量的長度叫做復數的模，記作．即．知識點詮釋：①兩個復數不全是實數時不能比較大小，但它們的模可以比較大小．②復平面內，表示兩個共軛復數的點關于x軸對稱，并且他們的模相等．【考點剖析】考點一：復數的基本概念例1．若（）為實數，（）是純虛數，則復數為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，，所以．故選：C．例2．設集合，，，則，，間的關系為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據復數的定義，復數包含虛數和實數，虛數包含純虛數和非純虛數的虛數．因此只有B正確．故選：B．例3．已知復數（i是虛數單位）（1）復數z是實數，求實數m的值；（2）復數z是虛數，求實數m的取值范圍；（3）復數z是純虛數，求實數m的值.【解析】（1）復數z是實數，則，解得或；（2）復數z是虛數，則，解得且且；（3）復數是純虛數，則，解得.考點二：復數相等例4．當x?y為何實數時，復數等于2？【解析】根據題意可知，實部等于2，虛部等于0，即，解方程得，，，所以或或或.故答案為：或或或.例5．）已知復數，若，則___________.【答案】【解析】解：因為所以，解得所以故答案為：考點三：復數的幾何意義例6．復數z滿足，則對應復平面內的點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設復數，則有：則有：故有：解得：故選：B例7．設是復數的共軛復數.在復平面內，復數與對應的點關于軸對稱，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：設，則，，依題意得，解得，∴，.故選：B.考點四：復數的模例8．已知復數，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由題意，.故選：D.例9．已知復數z的模為10，虛部為6，則復數z為______．【答案】【解析】設，則﹒故答案為：考點五：復數的軌跡與最值問題例10．若復數滿足，則的最大值是______.【答案】3【解析】設，則，根據復數幾何意義知，表示在復平面內，到的距離，則最大值為，故答案為：3例11．設復數滿足，則=__________.【答案】0【解析】設復數，由，可得復數對應的點在以和為端點的線段的垂直平分線上，所以，由可得復數對應的點在以和為端點的線段的垂直平分線上，所以，由可得復數對應的點在以和為端點的線段的垂直平分線上，所以，又由，解得，所以.故答案為：.【真題演練】1．已知（為虛數單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，而為實數，故，故選：B.2．已知，，(i為虛數單位)，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【解析】，利用復數相等的充分必要條件可得：.故選：C.3．當時，復數在復平面上對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由題設知：復數對應點為，由，則，故點在第四象限.故選：D4．在復平面內，與復數的共軛復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】復數的共軛復數為，對應得點為，位于第二項限.故選：B5．已知，且．若，則的最大值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】設，，故，，則，，，當時，有最大值為4.故選：C6．復平面內，若復數滿足，則所對應的點的集合構成的圖形是（

）A．圓 B．直線 C．橢圓 D．雙曲線.【答案】B【解析】設，則，，因為，所以，整理可得：，所以所對應的點的集合構成的圖形是直線，故選：B.7．已知，，則z等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，所以，解得，，即.故選：D8．當時，復數在平面上對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，，點在第四象限．9．i是虛數單位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．【答案】4－4i【解析】是周期為4的運算，，，，…，代入原式得.故答案為：10．已知實數m滿足，求m及x的值．【解析】實數m滿足，則，∴，解得，.【過關檢測】一、單選題1．已知純虛數，其中為虛數單位，則實數的值為（

）A．1 B．3 C．1或3 D．0【答案】B【解析】因為為純虛數，故，則，解得.故選：B2．已知為虛數單位，則復數在復平面內對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】在復平面所對應的點為，位于第二象限.故選：B.3．已知i為虛數單位，復數，則z的共軛復數為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故其共軛復數為，故選：B.4．設，復數，若為純虛數，則（

）A．3或 B．3 C．或 D．【答案】B【解析】因為復數為純虛數，所以，解得.故選：B5．設是虛數單位，若復數，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】A【解析】因為，所以=，當時，.故選：A.6．若，，則復數等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，根據復數相等的充要條件得，解得，故．故選：B．7．已知復數z滿足，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，整理得：,所以，消去得,因為方程有解，所以，解得：.故選：D.8．已知復數①在復平面內對應點的坐標為(1，－1)；②復數的虛部為；③復數的共軛復數為；④；⑤復數是方程在復數范圍內的一個根.以上5個結論中正確的命題個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為，所以在復平面內對應點的坐標為(1，－1)，所以①正確；復數的虛部為，所以②錯誤；復數的共軛復數為，所以③錯誤；，所以④正確；方程在復數范圍內的根為，所以復數是方程在復數范圍內的一個根，所以⑤正確；所以正確的命題個數為3個，故選：C.二、多選題9．下列關于的說法中正確的有（

）A．表示點與點之間的距離 B．表示點與點之間的距離C．表示點到原點的距離 D．表示坐標為的向量的模【答案】ACD【解析】由復數的幾何意義知復數、分別對應復平面內的點與點，所以表示點與點之間的距離，故A正確；，可表示為點到原點的距離，故C正確；，故B錯誤；與向量一一對應，則可表示坐標為的向量的模，故D正確.故選：ACD.10．下列說法中正確的有（

）A．若，則是純虛數B．若是純虛數，則實數C．若，則為實數D．若，且，則【答案】CD【解析】對于A中，當，可得的不是純虛數，故A錯誤；對于B中，當，可得，此時不是純虛數，所以B錯誤；對于C中，當時，可得，所以為實數，所以C正確；對于D中，由，且，所以，所以D正確．故選：CD11．（多選）若，且，則等于（

）A．4 B． C．2 D．0【答案】AD【解析】因為，且，所以，解得或，所以或0．故選：AD12．設復數，（R），對應的向量分別為（為坐標原點），則（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，則的最大值為【答案】AD【解析】對A，；對B，對應的坐標為，對應的坐標為，因為，故，即，故B錯誤；對C，若，則，即，因為，故，即，故，故C錯誤；對D，若，即，其幾何意義為到的距離小于等于，又的幾何意義為到的距離，故的最大值為故D正確；故選：AD三、填空題13．復數z的虛部為，在復平面內復數z對應的向量的模為2，則復數_______________.【答案】或【解析】設，則有，解得或，所以或，故答案為：或.14．若復數（）在復平面上對應的點位于第二象限，則m的取值范圍是_______.【答案】【解析】復數（）在復平面上對應的點位于第二象限.可得解得.故答案為：15．若，且，則的最大值是_______．【答案】【解析】，則復平面上表示復數的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示到點的距離，∵，所以=的最大值為．故答案為：．16．若復數滿足（為虛數單位），則的最大值是___________.【答案】【解析】設，，則，即，兩邊平方得：，整理得：，兩邊平方得：，將代入中，可得：，所以，則故答案為：四、解答題17．當實數為何值時，復數在復平面內的對應點滿足下列條件：(1)位于第四象限；(2)位于實軸負半軸上（不含原點）；(3)在上半平面（含實軸）．【解析】（1）要使點位于第四象限，則有∴∴；（2）要使點位于實軸負半軸上（不含原點），則有∴∴；（3）要使點在上半平面（含實軸），則有，解得或．18．在復平面內A，B，C的對應的復數分別為．(1)求；(2)判定的形狀．【解析】（1）根據復數的幾何意義，得，，，所以，同理：，．（2）由（1）得，故，所以為直角三角形.19．已知復數（）.試求實數分別為什么值時，分別為：(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數.【解析】（1）因為（）為實數，所以，解得，所以，當時，為實數.（2）因為（）為虛數，所以，解得且.所以，當時，為虛數.（3）因為（）為純虛數，所以，，解得.所以，當時，為純虛數.20．已知復數z=m（m+2）+（m2+m-2）i．(1)若z是純虛數，求實數m的值；(2)若z在復平面內對應的點位于第四象限，求實數m的取值范圍．【解析】（1）若復數是純虛數，則，解得或且，，所以.（2）復數z在復平面內對應的點位于第四象限，則，解得，故的取值范圍為.21．已知復數滿足，且復數在復平面內的對應點為．