第第頁第15講空間點、直線、平面之間的位置關系【學習目標】1、掌握平面及其基本性質．2、清晰空間中點、直線和平面存在怎樣的位置關系．【考點目錄】考點一：平面的概念及其表示考點二：平面的確定考點三：點線共面考點四：三點共線考點五：三線共點問題考點六：截面問題考點七：直線與直線的位置關系考點八：異面直線所成的角考點九：直線與平面的位置關系考點十：平面與平面的位置關系【基礎知識】知識點一、平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一個只描述而不定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象．幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．知識點詮釋：（1）“平面”是平的（這是區別“平面”與“曲面”的依據）；（2）“平面”無厚薄之分；（3）“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區別“平面”與“平面圖形”的依據．2、平面的畫法：通常畫平行四邊形表示平面．知識點詮釋：（1）表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫成，橫邊長是其鄰邊的兩倍；（2）兩個相交平面的畫法：當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，把被遮住的部分的線段畫為虛線或者不畫；3、平面的表示法：（1）用一個希臘字母表示一個平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四邊形的四個字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四邊形的相對兩個頂點的兩個字母表示，如平面或者平面；4、點、直線、平面的位置關系：（1）點A在直線a上，記作；點A在直線a外，記作；（2）點A在平面上，記作；點A在平面外，記作；（3）直線在平面內，記作；直線不在平面內，記作．知識點二、平面的基本性質平面的基本性質即書中的三個公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎．1、公理1：（1）文字語言表述：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內；（2）符號語言表述：，，，；（3）圖形語言表述：知識點詮釋：公理1是判斷直線在平面內的依據．證明一條直線在某一平面內，只需證明這條直線上有兩個不同的點在該平面內．“直線在平面內”是指“直線上的所有點都在平面內”．2、公理2：（1）文字語言表述：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；（2）符號語言表述：、、三點不共線有且只有一個平面，使得，，；（3）圖形語言表述：知識點詮釋：公理2的作用是確定平面，是把空間問題化歸成平面問題的重要依據．它還可用來證明“兩個平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點”這一條件．“有且只有一個”的含義可以分開來理解．“有”是說明“存在”，“只有一個”說明“唯一”，所以“有且只有一個”也可以說成“存在”并且“唯一”，與確定同義．（4）公理2的推論：①過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；②過兩條相交直線，有且只有一個平面；③過兩條平行直線，有且只有一個平面．（5）作用：確定一個平面的依據．3、公理3：（1）文字語言表述：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；（2）符號語言表述：且；（3）圖形語言表述：知識點詮釋：公理3的作用是判定兩個平面相交及證明點在直線上的依據．知識點三、點線共面的證明所謂點線共面問題就是指證明一些點或直線在同一個平面內的問題．1、證明點線共面的主要依據：（1）如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內（公理1）；②經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面（公理2及其推論）．2、證明點線共面的常用方法：（1）證明幾點共面的問題可先取三點（不共線的三點）確定一個平面，再證明其余各點都在這個平面內；（2）證明空間幾條直線共面問題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個平面，再證明其余直線均在這個平面內．知識點四、證明三點共線問題所謂點共線問題就是證明三個或三個以上的點在同—條直線上．1、證明三點共線的依據是公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們還有其他的公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．也就說一個點若是兩個平面的公共點，則這個點在這兩個平面的交線上．對于這個公理應進一步理解下面三點：①如果兩個相交平面有兩個公共點，那么過這兩點的直線就是它們的交線；②如果兩個相交平面有三個公共點，那么這三點共線；③如果兩個平面相交，那么一個平面內的直線和另一個平面的交點必在這兩個平面的交線上．2、證明三點共線的常用方法方法1：首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點．根據公理3知，這些點都在交線上．方法2：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在其上．知識點五、證明三線共點問題所謂線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點．1、證明三線共點的依據是公理3．2、證明三線共點的思路：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過這點，把問題轉化為證明點在直線上的問題．知識點六、異面直線1、定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．2、畫法：3、兩異面直線所成角的常用方法平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．知識點七、空間兩條直線的位置關系位置關系共面情況有無公共點相交在同一平面內有且只有一個公共點平行在同一平面內沒有公共點異面不同在任何一個平面內沒有公共點知識點八、直線與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內有無數個公共點直線a與平面α相交有且只有一個公共點直線a與平面α平行無公共點知識點九、平面與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點兩平面平行無公共點兩平面相交有無數個公共點，這些點在一條直線上【考點剖析】考點一：平面的概念及其表示例1．如圖所示，用符號語言可表示為（）A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【解析】由圖可知平面相交于直線，直線在平面內，兩直線交于點，所以用符號語言可表示為，，，故選：A例2．用符號表示下列語句：(1)點A在直線l上，l在平面內；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內；(3)點A在平面內，直線l經過點A，且直線l在平面外；(4)直線l經過平面外一點M．【解析】(1)點A在直線l上，l在平面內，記為：；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內，記為：平面平面=直線l，直線m平面；(3)點A在平面內，直線l經過點A，且直線l在平面內外，記為：點A平面，點A直線l，直線l平面；(4)直線l經過平面外一點M，記為：點M平面，點M直線l.考點二：平面的確定例3．下列命題中正確的是（）A．過三點確定一個圓B．兩個相交平面把空間分成四個區域C．三條直線兩兩相交，則確定一個平面D．四邊形一定是平面圖形【答案】B【解析】A，過不共線三點確定一個圓，錯誤；B，兩個相交平面把空間分成四個區域，正確；C，三條直線兩兩相交，若第三條在另兩條確定的平面內可以確定一個平面，否則不能確定一個平面，錯誤；D，四邊形可以是平面圖形，也可以是空間四邊形，錯誤.故選：B例4．以下說法中，正確的個數是（）①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；③首尾依次相接的四條線段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①正確，若四點中有三點共線，則可以推出四點共面，這與四點不共面矛盾；②不正確，共面不具有傳遞性；③不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面內,故選：B考點三：點線共面例5．如圖，正方體中，，分別為，的中點．求證：，，，四點共面；【解析】證明：連接，在正方體中，∵，分別為，的中點，∴是的中位線，∴，又因為，∴∴四邊形為梯形，即，，，四點共面．例6．如圖所示，，，．求證：直線，，在同一平面內．【解析】證明方法一（納入平面法）∵，∴和確定一個平面．∵，∴．又∵，∴．同理可證．∵，，∴．∴直線，，在同一平面內．方法二（輔助平面法）∵，∴和確定一個平面．∵，∴，確定一個平面．∵，，∴．∵，，∴．同理可證，，，．∴不共線的三個點，，既在平面內，又在平面內，∴平面和重合，即直線，，在同一平面內．考點四：三點共線例7．已知正方體，，分別是棱，的中點．（Ⅰ）畫出平面與平面的交線，并說明理由；（Ⅱ）設為直線與平面的交點，求證：，，三點共線．【解析】（Ⅰ）如圖所示，直線即為平面與平面的交線，理由如下：在正方體中，∵，分別是棱，的中點，平面，平面，且與不平行，∴在平面內分別延長，，則與必相交于一點，不妨設為點，∴，，∵平面，平面，∴平面，平面，即為平面和平面的公共點，又∵為平面和平面的公共點，連接，∴直線即為平面與平面的交線．（Ⅱ）證明：如圖所示，在正方體中，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∵為直線與平面的交點，∴，又∵平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴，，三點共線．考點五：三線共點問題例8．如圖，在三棱錐中，分別是的中點，點在上，點在上，且有.試判定直線的位置關系.【解析】如圖，連接因為分別是的中點，所以為的中位線,所以且，又所以,且.由公理4，,且,所以共面且不平行，因此延長交于.則且，又因為面面,所以由公理3故三線共點例9．在三棱錐中，分別是線段的中點，分別是線段上的點，且.求證:（1）四邊形是梯形；（2）三條直線相交于同一點.【解析】（1）分別是邊的中點，，，由得：，且，且，四邊形是梯形.（2）由（1）知：相交，設，，平面，平面，同理可得：平面，又平面平面，，和的交點在直線上，三條直線相交于同一點.考點六：截面問題例10．已知正方體的棱長為2，若，分別是的中點，作出過，，三點的截面.【解析】例11．如圖，正方體的棱長為分別是的中點，設過三點的平面與交于點．（1）畫出過三點的平面與平面的交線，以及與平面的交線；（2）求的長．【解析】（1）設三點確定的平面為，則與平面的交線為直線，設，則是與平面的交線，，連接，則是所要畫的平面與平面的交線．（2）正方體棱長為，又，所以．在中，，所以．考點七：直線與直線的位置關系例12．已知，為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（）A．若，，則a與b是異面直線 B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面內，則a與b異面 D．若a，b不同在任何一個平面內，則a與b異面【答案】D【解析】已知，為不同的平面，，，為不同的直線，對于A：若，，則與是異面直線或平行直線或相交直線，故A錯誤；對于B：若與是異面直線，與是異面直線，則與也可能是異面直線或平行直線，故B錯誤；對于C：若，不同在平面內，則與是異面直線或平行直線或相交直線，故C錯誤；對于D：根據異面直線的定義，若，不同在任何一個平面內，則與是異面直線，故D正確．故選：D例13．如圖，點，，，分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線與是異面直線的一個圖是________．（填序號）①②③④【答案】③【解析】①中可得是平行四邊形，從而，②中都與它們所在面的一條對角線平行，因此有，④中和與它們所在平面的交線交于同一點，因此它們相交.只有③可選．故答案為：③．考點八：異面直線所成的角例14．空間四邊形的對角線分別為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】取的中點，分別連接，因為分別為的中點，可得，所以異面直線與所成角，即為直線與所成角，即為或其補角因為，所以，在中，因為且，滿足，可得為直角三角形，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.例15．在正方體中，則異面直線AC與的所成角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方體中，，異面直線AC與的所成角即為與所成的角，而三角形為等邊三角形，故與的夾角為，所以異面直線AC與的所成角為.故選：C考點九：直線與平面的位置關系例16．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關系：（1）AD1所在直線與平面BCC1的位置關系是________；（2）平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是________．【答案】平行相交【解析】解：（1）AD1所在的直線與平面BCC1沒有公共點，所以平行；（2）平面A1BC1與平面ABCD有公共點B，故相交．故答案為：平行；相交.考點十：平面與平面的位置關系例17．在四棱臺中，平面與平面的位置關系是（）A．相交 B．平行C．不確定 D．異面【答案】A【解析】解：如圖所示，由棱臺的定義可知，平面與平面一定相交.故選：A.【真題演練】1．在長方體中，，，，則和所成的角是（

）A．60° B．45° C．30° D．90°【答案】A【解析】如圖所示：易知，所以和所成的角，即為和所成的角，在中，，所以.即和所成的角是.故選：A2．若點在直線上，在平面內，則用符號表示??之間的關系可記作___________.【答案】，，【解析】點在直線上，在平面內，則，，故??之間的關系可記作，，.故答案為：，，3．三條互相平行的直線最多可確定____個平面．【答案】3【解析】若三條直線在同一個平面內，則此時三條直線只能確定一個平面，若三條直線不在同一個平面內，則此時三條直線能確定三個平面，所以三條互相平行的直線最多可確定3個平面.故答案為：3.4．如圖所示．是正方體，O是的中點，直線交平面于點M，給出下列結論：①A、M、O三點共線；

②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；

④B、、O、M共面，其中正確的序號為_________．【答案】①③【解析】連接，因為是的中點，所以，平面與平面有公共點A與，則平面平面，對于①，平面，則平面，因為平面，則，即A，M，O三點共線，所以①正確，對于②③，由①知A，M，O三點共線，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②錯誤，③正確；對于④，連接，則都在平面上，若平面，則直線平面，所以平面，顯然平面，所以④錯誤，故答案為：①③5．若面，面，面，則平面與平面的位置關系_________.【答案】相交【解析】因面，面，面，則面與面有公共點A，且不重合，所以面與面的位置關系是相交.故答案為：相交6．在正四面體ABCD中，E為BC的中點，則異面直線AE與CD所成角的余弦值為___________.【答案】【解析】在正四面體ABCD中，取BD的中點F，連接，如圖，設，因E為BC的中點，則，，即有是異面直線AE與CD所成的角或其補角，而，在等腰中，，所以異面直線AE與CD所成角的余弦值為.故答案為：7．下圖中的兩個相交平面，其中畫法正確的是______．【答案】④【解析】對于①，因被擋住的部分應畫虛線，需要畫出兩相交平面的交線，故①錯誤；對于②，因被擋住的部分應畫虛線，故②錯誤；對于③，因被擋住的部分應畫虛線，不被擋住的畫出實線，且兩平面的交線需從平面的上邊界畫到平面的下邊界，故③錯誤；對于④，因被擋住的部分應畫虛線，不被擋住的畫出實線，且兩平面的交線需從平面的上邊界畫到平面的下邊界，故④正確.故答案為：④.8．在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別邊AB，BC上的點，且．求證：(1)點E，F，G，H四點共面；(2)直線EH，BD，FG相交于一點．【解析】（1）由題意，作圖如下：空間四邊形中，分別是的中點，.又，，，四點共面.（2）證明：連接、，因為分別是的中點，所以，且，又因為，所以，且，所以，且，故四邊形為梯形，且是梯形的兩腰，所以相交于一點.設交點為，因為平面，所以平面，同理平面，而平面平面，所以，故點時直線的公共點，即直線相交于一點.【過關檢測】一、單選題1．如圖，在正方體中，、、、分別為、、、的中點，則異面直線與所成的角等于（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】如圖，連接，由題意，，所以異面直線與所成的角是或其補角，由正方體性質知是等邊三角形，，所以異面直線與所成的角是．故選：B．2．一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．相交或異面【答案】D【解析】如圖（1）所示，此時直線與直線為異面直線，其中，此時直線與為相交直線；如圖（2）所示，此時直線與直線為異面直線，其中，此時直線與為異面直線，綜上，一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線的位置關系是相交或異面.故選:D.3．與空間不共面的四個點距離相等的平面有（

）A．3個 B．4個 C．7個 D．無數個【答案】C【解析】如圖（1）所示，一個點在夾面一邊，另外三個點在另一邊，由這點向其余三點確定的而作重線，則垂線的中垂面滿足要求，這樣的平面有4個；如圖（2）所示，當兩個點在平面一邊，另外兩個點在平面另一邊，異面直線的公垂線的中垂面滿足要求，而異面直線有3對，所以這祥的平面有3個，綜上可得，共有（個）．故選：C.4．如圖，正方體中，若，，分別為棱，，的中點，，分別是四邊形，的中心，則下列判斷錯誤的是（

）A．，，，四點共面 B．，，，四點共面C．，，，四點共面 D．，，，四點共面【答案】B【解析】因為正方體中，，，分別為棱，，的中點，，分別為四邊形，的中心，所以是的中點，所以在平面上，故A正確；因為，，在平面上，不在平面上，所以，，，四點不共面，故B錯誤；由已知可知，所以，，，四點共面，故C正確；連接并延長，交于點，則為的中點，連接，則，所以，，，四點共面，故D正確．故選：B.5．若，且與的方向相同，則與（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行【答案】D【解析】如圖，若，且與的方向相同，與不一定平行．故選：D．6．一個正方體內有一個內切球，作正方體的對角面，所得的截面圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由組合體的結構特征可知球與正方體的各面相切，而與各棱相離，所以截面圖形中的圓與上下底面的對角線相切，與兩側棱相離，只有B符合故選：B7．如圖，在三棱柱中，是正三角形，E是的中點，則下列敘述中正確的是（

）A．與是異面直線 B．與共面C．與是異面直線 D．與所成的角為【答案】C【解析】對于A，由于與都在平面內，故與是共面的，故錯誤對于B，由于在平面內，而與平面相交于點，點不在上，故與是異面直線，同理，與是異面直線，所以B錯誤，C正確.對于D，與所成角就是與所成角，且E是的中點，也為正三角形，所以，即與所成的角為，故錯誤.故選:C.8．在正方體上有一只螞蟻，從點出發沿正方體的棱前進，若該螞蟻走的第條棱與第條棱是異面的，則這只螞蟻走過第2022條棱之后的位置是在（

）A．點處 B．點處 C．點處 D．點處【答案】B【解析】不妨設螞蟻從點先沿走，如圖，結合正方體的性質知與直線異面的直線有，，，，共4條，由題意可知螞蟻走過3條棱的路線是或，即螞蟻走過第3條棱后的位置在點處，同理，螞蟻從點先沿或走，走過第3條棱后的位置一定是在點處，以此類推，螞蟻走過第6條棱后的位置一定在點處，如此走下去，每走過6條棱后都會回到起點，因為，所以這只螞蟻走過第2022條棱之后的位置是在點處.故選：B.二、多選題9．如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則以下正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由展開圖可得幾何體的直觀圖如下：所以與為異面直線，與為異面直線，故A、D錯誤；由正方體的性質可得（），，所以四邊形為平行四邊形，所以，故B、C正確；故選：BC10．如圖，在正方體中，P，Q分別是棱的中點，平面平面，則下列結論中不正確的有（

）A．l過點B．l不一定過點C．的延長線與的延長線的交點不在l上D．的延長線與的延長線的交點在l上【答案】BC【解析】連接，在正方體中，取的中點，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，平面，平面，所以，故A正確，B錯誤；如圖的延長線與的延長線的交點，的延長線與的延長線交點，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面，所以，故C錯誤，D正確.故選：BC.11．下列圖形中一定是平面圖形的有（

）A．三角形 B．平行四邊形 C．梯形 D．四條邊相等的四邊形【答案】ABC【解析】由平面及基本性質知：對于A，三角形的三個頂點不共線，故三角形一定是平面圖形，故A正確；對于B，平行四邊形的兩組對邊分別平行，故平行四邊形一定是平面圖形，故B正確；對于C，梯形有一組對邊平行，故梯形一定是平面圖形，故C正確；對于D，四邊相等的四邊形可能是空間四邊形，故D不正確.故選：ABC12．如圖，在長方體中，E、F、G、H分別是、、AB、AD的中點，則下列說法正確的是（

）A．點A在平面內 B．C．平面平面 D．直線EH與直線FG相交【答案】AD【解析】連接、、、，若是的中點，連接、，由題設，且，則為平行四邊形，所以且，又E是中點，故且，則為平行四邊形，所以且，綜上，且，故共面，A正確；由過直線外一點有且僅有一條直線與該直線平行，且，不可能有，B錯誤；由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C錯誤；連接，又G、H分別是AB、AD的中點，則且，E、F分別是、的中點，則且，所以，即共面，且，故直線EH與直線FG相交，D正確.故選：AD三、填空題13．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，與所成角的大小為___________.【答案】【解析】如圖,把正方體的平面展開圖還原成正方體，，，,在這個正方體中,與所成角的大小為.故答案為：.14．已知，，，是相應長方體或空間四邊形的邊或對角線的中點，則這四點必定共面的是______．（寫序號）【答案】①③④【解析】①中，，，，，四點共面；②中，和是異面直線，故四點不共面；③中，，，，，四點共面；④中，，，，，四點共面；故答案為：①③④15．從正方體的12條棱和12條面對角線中選出條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值為______．【答案】4【解析】正方體共有8個頂點，若選出的條線兩兩異面，則不能共頂點，即至多可選出4條，又可以選出4條兩兩異面的線（如圖），故所求的最大值是4．故答案為：4．16．如圖，長方體中，，點和分別為線段和的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__．【答案】【解析】取AB的中點Q，連接，因為點為的中點，所以，又，故四邊形為平行四邊形，所以，連接BE，取BE的中點P，連接PQ，因為Q為AB的中點，所以PQAE，所以或其補角為異面直線與所成角，過點P作PG⊥于點G，PM⊥BC于點M，連接，因為，所以，，因為點為線段中點，則，，，，由勾股定理得：，，，，在中，由余弦定理得：，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：四、解答題17．如圖，為空間四邊形，點，分別是，的中點，點，分別在，上，且，．(1)求證：，，，四點共面；(2)求證：，必相交且交點在直線上．【解析】（1）證明：連接，因為，分別是，的中點，，；所以，，所以，所以，，，四點共面．（2）證明：易知，又，所以，結合（1）的結論可知，四邊形是梯形，因此直線，不平行．設它們交點為，平面，同理，所以平面，又平面平面，因此，即，必相交且交點在直線上．18．利用正方體的頂點，根據等角定理，畫出一個與大小相等的角，要求角的頂點與平面不共面．【解析】連接，由正方體的性質知，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以與的兩邊分別平行，且方向都相反，所以，所以即為所求角．19．已知四面體S-A