第第頁第12課平面向量的應(yīng)用三解三角形（重難點(diǎn)題型精講）1.余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示(2)對余弦定理的理解①余弦定理對任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝2bcSKIPIF1<0A，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝2acSKIPIF1<0B，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝2abSKIPIF1<0C.2.正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中，由正弦定理得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝k(k＞0)，則a＝kSKIPIF1<0A，b＝kSKIPIF1<0B，c＝kSKIPIF1<0C，由此可得正弦定理的下列變形：①SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，aSKIPIF1<0B＝bSKIPIF1<0A，aSKIPIF1<0C＝cSKIPIF1<0A，bSKIPIF1<0C＝cSKIPIF1<0B；

②SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；

③a:b:c＝SKIPIF1<0A:SKIPIF1<0B:SKIPIF1<0C；④SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關(guān)系

由正弦定理可推導(dǎo)出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關(guān)系.3.解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；

③已知三邊，求三角形的三個角.(3)正弦定理在解三角形中的應(yīng)用公式SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0反映了三角形的邊角關(guān)系.

由正弦定理的推導(dǎo)過程知，該公式實(shí)際表示為：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.上述的每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關(guān)系.從方程角度來看，正弦定理其實(shí)描述的是三組方程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.4.測量問題(1)測量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：(2)測量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：(3)測量角度問題測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.5.對三角形解的個數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若SKIPIF1<0B＝SKIPIF1<0＞1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0；

②若SKIPIF1<0B＝SKIPIF1<0＝1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；

③若SKIPIF1<0B＝SKIPIF1<0＜1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2.

顯然由0＜SKIPIF1<0B＝SKIPIF1<0＜1可得B有兩個值，一個大于SKIPIF1<0，一個小于SKIPIF1<0，考慮到“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于SKIPIF1<0”等，此時需進(jìn)行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：6.三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計算公式①SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0aSKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0bSKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0cSKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別為邊a,b,c上的高).

②將SKIPIF1<0＝bSKIPIF1<0C，SKIPIF1<0＝cSKIPIF1<0A，SKIPIF1<0＝aSKIPIF1<0B代入上式可得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0abSKIPIF1<0C＝SKIPIF1<0bcSKIPIF1<0A＝SKIPIF1<0acSKIPIF1<0B，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0r(a+b+c)＝SKIPIF1<0rl，其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長.

②SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【題型1三角形的解的個數(shù)問題】【方法點(diǎn)撥】方法一：從代數(shù)的角度分析，利用正弦定理進(jìn)行分析；方法二：從幾何的角度分析，結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析求解.【例1】在△ABC中，a＝18，b＝24，∠A＝45°，此三角形解的情況為（

）A.一個解B.二個解C.無解D.無法確定【變式1﹣1】在△ABC中，若b=3，c=322，B=A.無解B.兩解C.一解D.解的個數(shù)不能確定【變式1﹣2】在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A.a=5,b=4,A=π6B.a=4,b=5,A=π4C.a=5,b=4,A=【題型2利用正弦定理解三角形】【方法點(diǎn)撥】事實(shí)上，所謂解三角形本質(zhì)上就是解基于邊角的內(nèi)蘊(yùn)方程，已知三角形的兩角與一邊解三角形時，(1)由三角形內(nèi)角和定理A+B+C＝SKIPIF1<0，可以計算出三角形的第三個角；(2)由正弦定理SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，可計算出三角形的另兩邊.【例2】在△ABC中，sinA=13，b=3sinA.32B.33C.3D【變式2﹣1】記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=2,b=5,B=45°，則A.25B.105C.55【變式2﹣2】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=2，cosB=13，則△ABCA.324B.322C.2【題型3利用余弦定理解三角形】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體題目，利用余弦定理或其推論，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a:b:c=3:7:2，則B等于（A.π6B.π4C.π3【變式3﹣1】在△ABC中，a=7,b=43,c=13A.π3B.π4C.π6【變式3﹣2】在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若sinA=32，b=3，c=5，則a=A.7B.19C.7或19D.19【題型4三角形的面積問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體條件，結(jié)合三角形面積公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=217,b=52,cosA.362B.183C.27D【變式4﹣1】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asinB=bsinC，則A.a2sin2C2B.b2sin2A2【變式4﹣2】已知△ABC中，sinA＝3sinCcosB，且AB＝2，則△ABC的面積的最大值為（

）A.3B.33C.9D.【題型5正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】正、余弦定理本身是研究幾何圖形計算的工具，因此在面對幾何圖形時，關(guān)鍵是尋找相應(yīng)的三角形，并在三角形中運(yùn)用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時，要利用公共邊來進(jìn)行過渡，即利用公共邊創(chuàng)造的互補(bǔ)或互余關(guān)系列式，其本質(zhì)是構(gòu)建關(guān)于角的關(guān)系的方程.【例5】如圖，在銳角△ABC中，B=π4，AB=36，AC=6，點(diǎn)D在BC(1)求∠ACB；(2)求△ACD的周長.【變式5﹣1】在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=3，b=2，cosA=(1)求c的值；(2)求sinC的值及△ABC【變式5﹣2】在銳角△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sinA?(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周長的取值范圍.【題型6解三角形的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】正、余弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，本質(zhì)上還是正、余弦定理在解決幾何圖形(主要是三角形與四邊形)問題中的應(yīng)用，因此利用幾何圖形本身及實(shí)際問題中涉及的術(shù)語(如方位角等)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)娜切危谌切沃羞\(yùn)用正弦定理或余弦定理即可.【例6】某景區(qū)的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，其中BD，BE為景區(qū)內(nèi)的乘車觀光游覽路線，ED，DC，CB，BA，AE是步行觀光旅游路線（所有路線均不考慮寬度），經(jīng)測量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，CD=32，DE＝8，且cos(1)求BE的長度；(2)景區(qū)擬規(guī)劃△ABE區(qū)域種植花卉，應(yīng)該如何設(shè)計，才能使種植區(qū)域△ABE面積最大，并求此最大值.【變式6﹣1】江西浮梁地大物博，山清水秀；據(jù)悉，某建筑公司在浮梁投資建設(shè)玻璃棧道?摩天輪等項(xiàng)目開發(fā)旅游產(chǎn)業(yè)，考察后覺得當(dāng)?shù)貎勺街g適合建造玻璃棧道，現(xiàn)需要測量兩山頂M，N之間的距離供日后施工需要，特請昌飛公司派直升機(jī)輔助