人教A版2024年高一數(shù)學(xué)寒假提高講義 第12課 平面向量的應(yīng)用 三(原卷版)_第1頁
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第第頁第12課平面向量的應(yīng)用三解三角形(重難點(diǎn)題型精講)1.余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示(2)對余弦定理的理解①余弦定理對任意的三角形都成立.

②在余弦定理中,每一個等式都包含四個量,因此已知其中三個量,利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式,適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式:SKIPIF1<0+SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0=2bcSKIPIF1<0A,SKIPIF1<0+SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0=2acSKIPIF1<0B,SKIPIF1<0+SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0=2abSKIPIF1<0C.2.正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中,若角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c,則各邊和它所對角的正弦的比相等,即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(2)正弦定理的常見變形在△ABC中,由正弦定理得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=k(k>0),則a=kSKIPIF1<0A,b=kSKIPIF1<0B,c=kSKIPIF1<0C,由此可得正弦定理的下列變形:①SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,aSKIPIF1<0B=bSKIPIF1<0A,aSKIPIF1<0C=cSKIPIF1<0A,bSKIPIF1<0C=cSKIPIF1<0B;

②SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0;

③a:b:c=SKIPIF1<0A:SKIPIF1<0B:SKIPIF1<0C;④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2R,(R為△ABC外接圓的半徑).(3)三角形的邊角關(guān)系

由正弦定理可推導(dǎo)出,在任意三角形中,有“大角對大邊,小角對小邊”的邊角關(guān)系.3.解三角形(1)解三角形的概念一般地,三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中,已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題:

①已知兩邊及它們的夾角,求第三邊和其他兩個角;

③已知三邊,求三角形的三個角.(3)正弦定理在解三角形中的應(yīng)用公式SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0反映了三角形的邊角關(guān)系.

由正弦定理的推導(dǎo)過程知,該公式實(shí)際表示為:SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.上述的每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關(guān)系.從方程角度來看,正弦定理其實(shí)描述的是三組方程,對于每一個方程,都可“知三求一”,于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題:

①已知兩角和任意一邊,求其他的邊和角,

③已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角.4.測量問題(1)測量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長度不可直接測量時,求AB的距離有以下三種類型:(2)測量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測量時,求AB的高度有以下三種類型:(3)測量角度問題測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角),海上、空中的追及與攔截,此時問題涉及方向角、方位角等概念,若是觀察建筑物、山峰等,則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念,確定所求的角在哪個三角形中,該三角形中已知哪些量,然后解三角形即可.5.對三角形解的個數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊,求其他的邊和角,此時有唯一解,三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角,此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角”時三角形解的情況,下面以已知a,b和A,解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得:

①若SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0>1,則滿足條件的三角形的個數(shù)為0;

②若SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0=1,則滿足條件的三角形的個數(shù)為1;

③若SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0<1,則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2.

顯然由0<SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0<1可得B有兩個值,一個大于SKIPIF1<0,一個小于SKIPIF1<0,考慮到“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于SKIPIF1<0”等,此時需進(jìn)行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角”時三角形解的情況,以已知a,b和A,解三角形為例,用幾何法探究如下:6.三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計算公式①SKIPIF1<0=SKIPIF1<0aSKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0bSKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0cSKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別為邊a,b,c上的高).

②將SKIPIF1<0=bSKIPIF1<0C,SKIPIF1<0=cSKIPIF1<0A,SKIPIF1<0=aSKIPIF1<0B代入上式可得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0abSKIPIF1<0C=SKIPIF1<0bcSKIPIF1<0A=SKIPIF1<0acSKIPIF1<0B,即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①SKIPIF1<0=SKIPIF1<0r(a+b+c)=SKIPIF1<0rl,其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長.

②SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【題型1三角形的解的個數(shù)問題】【方法點(diǎn)撥】方法一:從代數(shù)的角度分析,利用正弦定理進(jìn)行分析;方法二:從幾何的角度分析,結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析求解.【例1】在△ABC中,a=18,b=24,∠A=45°,此三角形解的情況為(

)A.一個解B.二個解C.無解D.無法確定【變式1﹣1】在△ABC中,若b=3,c=322,B=A.無解B.兩解C.一解D.解的個數(shù)不能確定【變式1﹣2】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列條件能確定三角形有兩解的是(

)A.a=5,b=4,A=π6B.a=4,b=5,A=π4C.a=5,b=4,A=【題型2利用正弦定理解三角形】【方法點(diǎn)撥】事實(shí)上,所謂解三角形本質(zhì)上就是解基于邊角的內(nèi)蘊(yùn)方程,已知三角形的兩角與一邊解三角形時,(1)由三角形內(nèi)角和定理A+B+C=SKIPIF1<0,可以計算出三角形的第三個角;(2)由正弦定理SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,可計算出三角形的另兩邊.【例2】在△ABC中,sinA=13,b=3sinA.32B.33C.3D【變式2﹣1】記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=2,b=5,B=45°,則A.25B.105C.55【變式2﹣2】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,cosB=13,則△ABCA.324B.322C.2【題型3利用余弦定理解三角形】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體題目,利用余弦定理或其推論,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a:b:c=3:7:2,則B等于(A.π6B.π4C.π3【變式3﹣1】在△ABC中,a=7,b=43,c=13A.π3B.π4C.π6【變式3﹣2】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sinA=32,b=3,c=5,則a=A.7B.19C.7或19D.19【題型4三角形的面積問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體條件,結(jié)合三角形面積公式,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】(已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=217,b=52,cosA.362B.183C.27D【變式4﹣1】記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若asinB=bsinC,則A.a2sin2C2B.b2sin2A2【變式4﹣2】已知△ABC中,sinA=3sinCcosB,且AB=2,則△ABC的面積的最大值為(

)A.3B.33C.9D.【題型5正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】正、余弦定理本身是研究幾何圖形計算的工具,因此在面對幾何圖形時,關(guān)鍵是尋找相應(yīng)的三角形,并在三角形中運(yùn)用正、余弦定理,特別是涉及公共邊時,要利用公共邊來進(jìn)行過渡,即利用公共邊創(chuàng)造的互補(bǔ)或互余關(guān)系列式,其本質(zhì)是構(gòu)建關(guān)于角的關(guān)系的方程.【例5】如圖,在銳角△ABC中,B=π4,AB=36,AC=6,點(diǎn)D在BC(1)求∠ACB;(2)求△ACD的周長.【變式5﹣1】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,b=2,cosA=(1)求c的值;(2)求sinC的值及△ABC【變式5﹣2】在銳角△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知sinA?(1)求角B的值;(2)若a=2,求△ABC的周長的取值范圍.【題型6解三角形的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】正、余弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用,本質(zhì)上還是正、余弦定理在解決幾何圖形(主要是三角形與四邊形)問題中的應(yīng)用,因此利用幾何圖形本身及實(shí)際問題中涉及的術(shù)語(如方位角等)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)娜切危谌切沃羞\(yùn)用正弦定理或余弦定理即可.【例6】某景區(qū)的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE,其中BD,BE為景區(qū)內(nèi)的乘車觀光游覽路線,ED,DC,CB,BA,AE是步行觀光旅游路線(所有路線均不考慮寬度),經(jīng)測量得:∠BCD=135°,∠BAE=120°,∠CBD=30°,CD=32,DE=8,且cos(1)求BE的長度;(2)景區(qū)擬規(guī)劃△ABE區(qū)域種植花卉,應(yīng)該如何設(shè)計,才能使種植區(qū)域△ABE面積最大,并求此最大值.【變式6﹣1】江西浮梁地大物博,山清水秀;據(jù)悉,某建筑公司在浮梁投資建設(shè)玻璃棧道?摩天輪等項(xiàng)目開發(fā)旅游產(chǎn)業(yè),考察后覺得當(dāng)?shù)貎勺街g適合建造玻璃棧道,現(xiàn)需要測量兩山頂M,N之間的距離供日后施工需要,特請昌飛公司派直升機(jī)輔助

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