課后作業(yè)(二十四)平面向量的基本概念及線性運算一、選擇題1．(2013·寧波模擬)若a＋c與b都是非零向量，則“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．下列命題中是真命題的是()①對任意兩向量a、b，均有：|a|－|b|＜|a|＋|b|；②對任意兩向量a、b，a－b與b－a是相反向量；③在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0；④在四邊形ABCD中，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝0；⑤eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．②③3．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，則()A.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0C.eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0 D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝04．在?ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→)) D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝05．(2013·武漢模擬)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件是()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝06．(2013·鄭州模擬)已知△ABC和點M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在實數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m＝()A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題7．如圖4－1－3所示，向量a－b＝________(用e1，e2表示)．圖4－1－38．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是________．9．已知向量a，b是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使a、b共線的條件是________(將正確的序號填在橫線上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e②存在相異實數(shù)λ、μ，使λa＋μb＝0；③xa＋yb＝0(實數(shù)x，y滿足x＋y＝0)；④若四邊形ABCD是梯形，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線．三、解答題圖4－1－410．(2013·濟南模擬)如圖4－1－4所示，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，求實數(shù)m的值．11．設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量．(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求證：A、B、C三點共線．(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a－3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－kb，且A、C、D三點共線，求k的值．12．設(shè)O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))，λ∈[0，＋∞)．求點P的軌跡，并判斷點P的軌跡通過下述哪一個定點：①△ABC的外心；②△ABC的內(nèi)心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．解析及答案一、選擇題1．【解析】若a＋b＋c＝0，則b＝－(a＋c)，∴b∥(a＋c)；若b∥(a＋c)，則b＝λ(a＋c)，當(dāng)λ≠－1時，a＋b＋c≠0，因此“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的充分不必要條件．【答案】A2．【解析】①假命題．∵當(dāng)b＝0時，|a|－|b|＝|a|＋|b|.∴該命題不成立．②真命題，這是因為(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，∴a－b與b－a是相反向量．③真命題．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴命題成立．④假命題．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠0，∴該命題不成立．⑤假命題．∵eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))，∴該命題不成立．【答案】D3．【解析】由eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))知，點P是線段AC的中點，則eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，故選B.【答案】B4．【解析】A顯然正確；由平行四邊形法則知B正確，C中eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\o(BD,\s\up6(→))，故C錯誤；D中eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，故D正確．【答案】C5．【解析】若e1與e2共線，則e2＝λ′e1，∴a＝(1＋λλ′)e1，此時a∥b，若e1與e2不共線，設(shè)a＝μb，則e1＋λe2＝μ·2e1，∴λ＝0，1－2μ＝0，故選D.【答案】D6．【解析】由eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0易得M是△ABC的重心，且重心M分中線AE的比為AM∶ME＝2∶1，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2m,3)·eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\f(2m,3)＝2.∴m＝3.【答案】B二、填空題7．【解析】由圖知，a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝e1＋(－3e2)＝e1－3e2.【答案】e1－3e28．【解析】∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))同向時，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3，當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))反向時，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8＋5＝13，當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))不共線時，3＜|eq\o(BC,\s\up6(→))|＜13，綜上可知3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.【答案】[3，13]9．【解析】由①得10a－b＝0，故①對．②對．對于③，當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時，a與b不一定共線，故③不對．若AB∥CD，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，若AD∥BC，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不共線，故④不對．【答案】①②三、解答題10．【解】如題圖所示，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，∵P為BN上一點，則eq\o(BP,\s\up6(→))＝keq\o(BN,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋k(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))又eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，即eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(k,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以1－k＝m，且eq\f(k,4)＝eq\f(2,11)，解得k＝eq\f(8,11)，則m＝1－k＝eq\f(3,11).11．【解】(1)證明eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a－2b.所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))，又因為A為公共點，所以A、B、C三點共線．(2)設(shè)8a＋kb＝λ(ka＋2b所以實數(shù)k的值為±4.(3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因為A、C、D三點共線，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線．從而存在實數(shù)λ使eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，即3a－2b＝λ(2a－解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3)，所以k＝eq\f(4,3).12．【解】如圖，記eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，則eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))都是單位向量，∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(AN,\s\up6(→)