第13講二項(xiàng)式定理【【考點(diǎn)目錄】【【知識梳理】知識點(diǎn)1二項(xiàng)式定理概念公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二項(xiàng)式定理.二項(xiàng)式系數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).通項(xiàng)Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，是展開式中的第k＋1項(xiàng)，可記做Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－k·bk(k＝0，1，2，…，n).二項(xiàng)展開式Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式.知識點(diǎn)2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)是一組僅與二項(xiàng)式的冪指數(shù)n有關(guān)的n＋1個(gè)組合數(shù)，與a，b無關(guān).其性質(zhì)如下：(1)對稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)__得到.直線r＝eq\f(n,2)將函數(shù)f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的圖象分成對稱的兩部分，它是圖象的對稱軸.(2)增減性與最大值：當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而增大；當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而減少.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么其展開式中間一項(xiàng)，即Teq\f(n,2)＋1的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么其展開式中間兩項(xiàng)T與Teq\f(n＋1,2)＋1的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.知識點(diǎn)3楊輝三角楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)組成的三角形數(shù)表(如下)，是我國數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大成就，教材設(shè)專題“探究”，這里列出一些最基本的結(jié)論.(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數(shù)列1，2，3，4，…，第三層(含1，3)是三角形數(shù)列1，3，6，10，15，….(2)對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(3)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).(4)第n行奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….(5)第n行所有數(shù)的和為2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(6)自左(右)腰上的某個(gè)1開始平行于右(左)腰的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜左(右)下方的那個(gè)數(shù).知識點(diǎn)4賦值法求和①“賦值法”普遍運(yùn)用于恒等式，是一種處理二項(xiàng)式相關(guān)問題比較常用的方法.對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一展開式的特定項(xiàng)（一）二項(xiàng)展開式1．（2023秋·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）在二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_______.2．（2023秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．40 D．803．（2023秋·廣東東莞·高二校聯(lián)考期中）若的二項(xiàng)展開式共有8項(xiàng)，則n=___________.4．（2023秋·山東聊城·高二山東聊城一中校考期中）已知的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的第3項(xiàng)為（

）A． B． C． D．5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知二項(xiàng)式，求展開式中的：(1)第6項(xiàng)；(2)第3項(xiàng)的系數(shù)；(3)含的項(xiàng)；(4)常數(shù)項(xiàng)．6．（2023·高二單元測試）若展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值是______．（二）兩個(gè)多項(xiàng)式積的展開式7．（2023春·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)校考階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（2023春·河南南陽·高二校考階段練習(xí)）已知的展開式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．29．（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考期末）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．40 B．60 C．80 D．12010．（2023春·遼寧鐵嶺·高二昌圖縣第一高級中學(xué)校考期中），則_________.11．（2023秋·黑龍江佳木斯·高二校聯(lián)考期末）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C．80 D．200（三）三項(xiàng)展開式12．（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考階段練習(xí)）的展開式中，共有多少項(xiàng)？（

）A．45 B．36 C．28 D．2113．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)是（

）A．120 B．-120 C．60 D．3014．（2023秋·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．21 B．15 C．9 D．-615．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在的展開式中的系數(shù)為________．16．（2023秋·山東濟(jì)寧·高二鄒城市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．480 C． D．24017．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）展開式中的系數(shù)是___________.18．（2023秋·遼寧朝陽·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為______；展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為243，則展開式中的系數(shù)為______.考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)的和（一）二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如果，則______.21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則等于（）A． B． C． D．22．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州市江都區(qū)丁溝中學(xué)校考期末）若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1024，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．25 B． C．15 D．23．（2023秋·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知．（1）求的值；（2）求的值．24．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期末）已知．求：(1)；(2)；(3)．25．（2023秋·廣東江門·高二校聯(lián)考期中）已知，則（

）A．224 B． C． D．44826．（2023秋·河北滄州·高二滄縣中學(xué)校考階段練習(xí)）已知.(1)求的值；(2)求的值.27．【多選】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）若，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．28．【多選】（2023秋·重慶萬州·高二校考階段練習(xí)）若，則正確的是（

）A．B．C．D．29．【多選】（2023秋·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）已知展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和比它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992，則下列結(jié)論正確的為（

）A．展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16B．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第三項(xiàng)C．展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)D．展開式有理項(xiàng)為第四項(xiàng)、第六項(xiàng)30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，下列命題中，不正確的是（

）A．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為B．展開式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)的和為C．展開式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)的和為D．（二）二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題31．（2023秋·浙江溫州·高二溫州中學(xué)校聯(lián)考期末）在二項(xiàng)式的展開式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的第項(xiàng)系數(shù)為（

）A． B． C． D．32．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知在二項(xiàng)式的展開式中，僅有第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．433．（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）已知的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992．求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．34．（2023秋·廣東深圳·高二校考期中）已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64(1)求n的值；(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．35．（2023春·湖南長沙·高二湘府中學(xué)校考階段練習(xí)）若二項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為______．考點(diǎn)三整除和余數(shù)問題36．（2023秋·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若n是正整數(shù)，則除以9的余數(shù)是____________.37．（2023秋·廣東佛山·高二南海中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)為奇數(shù)，那么除以13的余數(shù)是（

）A． B．2 C．10 D．1138．（2023·高二單元測試）已知．求證：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，能被64整除．【【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．15 D．202．（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和是16，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（

）A．16 B．32 C．1 D．3．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2023春·江蘇宿遷·高二沭陽如東中學(xué)校考期末）對任意實(shí)數(shù)x，有則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·云南曲靖·高二校考期末）若，則（

）A．B．C．展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0D．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為6．（2023秋·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2023秋·上海黃浦·高二上海