山西省渾源縣第七中學校2023-2024學年高一數學第一學期期末復習檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某人用如圖所示的紙片，沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當燈旋轉時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處應依次寫上A.快、新、樂 B.樂、新、快C.新、樂、快 D.樂、快、新2．若不等式的解集為，那么不等式的解集為（）A. B.或C. D.或3．冪函數的圖象經過點，則（）A.是偶函數，且在上單調遞增B.是偶函數，且在上單調遞減C.是奇函數，且在上單調遞減D.既不是奇函數，也不是偶函數，在上單調遞增4．一個扇形的面積是，它的半徑是，則該扇形圓心角的弧度數是A. B.1C.2 D.5．設集合，則（）A.{1，3} B.{3，5}C.{5，7} D.{1，7}6．命題“且”是命題“”的（）條件A.充要 B.充分不必要C.必要不充分 D.既不充分也不必要7．與終邊相同的角的集合是A. B.C. D.8．為了給地球減負，提高資源利用率，垃圾分類在全國漸成風尚，假設2021年兩市全年用于垃圾分類的資金均為萬元.在此基礎上，市每年投入的資金比上一年增長20％，市每年投入的資金比上一年增長50％，則市用于垃圾分類的資金開始超過市的兩倍的年份是（）（參考數據：）A.2022年 B.2023年C.2024年 D.2025年9．已知集合，集合B滿足，則滿足條件的集合B有（）個A.2 B.3C.4 D.110．如圖，在正三棱錐中，，點為棱的中點，則異面直線與所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正四棱錐的底面邊長為4cm，高與斜高的夾角為，則該正四棱錐的側面積等于________cm212．若一扇形的圓心角為，半徑為，則該扇形的面積為__________.13．已知函數，，若不等式恰有兩個整數解，則實數的取值范圍是________14．直線2x+(1-a)y+2=0與直線ax-3y-2=0平行，則a=__________15．有關數據顯示，中國快遞行業產生的包裝垃圾在2015年約為400萬噸，2016年的年增長率為50%，有專家預測，如果不采取措施，未來包裝垃圾還將以此增長率增長，從__________年開始，快遞業產生的包裝垃圾超過4000萬噸．（參考數據：，）16．以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機械工程專家、機構運動學家勒洛首先發現，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉機等都有應用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規定成績在85分以上的學生為“優秀”，成績小于85分的學生為“良好”，且只有成績為“優秀”的學生才能獲得面試資格（1）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；（2）根據樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數與平均數；（3）如果用分層抽樣的方法從“優秀”和“良好”的學生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優秀”的概率是多少？18．已知函數.（1）判斷的奇偶性并證明；（2）用函數單調性的定義證明在區間上單調遞增；（3）若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.19．定義在上的函數（且）為奇函數（1）求實數的值；（2）若函數的圖象經過點，求使方程在有解的實數的取值范圍；（3）不等式對于任意的恒成立，求實數的取值范圍.20．已知，為銳角，，.（1）求的值；（2）求的值.21．設函數（且）（1）若函數存在零點，求實數的最小值；（2）若函數有兩個零點分別是，且對于任意的時恒成立，求實數的取值集合.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序為②年①③，即可得出結論【詳解】根據四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序為②年①③，故選A【點睛】本題考查四棱錐的結構特征，考查學生對圖形的認識，屬于基礎題.2、C【解析】根據題意，直接求解即可.【詳解】根據題意，由，得，因為不等式的解集為，所以由，知，解得，故不等式的解集為.故選：C.3、D【解析】設冪函數方程，將點坐標代入，可求得的值，根據冪函數的性質，即可求得答案.【詳解】設冪函數的解析式為：，將代入解析式得：，解得，所以冪函數，所以既不是奇函數，也不是偶函數，且，所以在上單調遞增.故選：D.4、C【解析】由題意首先求得弧長，然后求解圓心角的弧度數即可.【詳解】設扇形的弧長為，由題意可得：,則該扇形圓心角的弧度數是.本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查扇形面積公式，弧度數的定義等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、B【解析】先求出集合B，再求兩集合的交集【詳解】由，得，解得，所以，因為所以故選：B6、A【解析】將化為，求出x、y值，根據充要條件的定義即可得出結果.【詳解】由，可得，解得x=1且y=2，所以“x=1且y=2”是“”的充要條件.故選：A.7、D【解析】根據終邊相同的角定義的寫法，直接寫出與角α終邊相同的角，得到結果【詳解】根據角的終邊相同的定義的寫法，若α＝，則與角α終邊相同的角可以表示為k?360°（k∈Z），即（k∈Z）故選D【點睛】本題考查與角α的終邊相同的角的集合的表示方法，屬于基礎題.8、D【解析】設經過年后，市投入資金為萬元，市投入資金為萬元，即可表示出、，由題意可得，利用對數的運算性質解出的取值范圍即可【詳解】解：設經過年后，市投入資金為萬元，則，市投入資金為萬元，則由題意可得，即，即，即，即所以，所以，即2025年該市用于垃圾分類的資金開始超過市的兩倍；故選：D9、C【解析】寫出滿足題意的集合B，即得解.【詳解】因為集合，集合B滿足，所以集合B={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.故選：C【點睛】本題主要考查集合的并集運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、C【解析】取BC的中點E，∠DFE即為所求，結合條件即求.【詳解】如圖取BC的中點E，連接EF，DE，則EF∥AB，∠DFE即為所求，設，在正三棱錐中，，故，∴，∴，即異面直線與所成角的大小為.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、32【解析】在正四棱錐的高和斜高所在的直角三角形中計算出斜高后，根據三角形的面積公式即可求出側面積.【詳解】因為正四棱錐的底面邊長為4cm，高與斜高的夾角為，所以斜高為cm，所以該正四棱錐的側面積等于cm2故答案為：32.【點睛】本題考查了正棱錐的結構特征，考查了求正四棱錐的側面積，屬于基礎題.12、【解析】利用扇形的面積公式可求得結果.【詳解】扇形的圓心角為，因此，該扇形的面積為.故答案：.13、.【解析】因為,所以即的取值范圍是.點睛：對于方程解的個數(或函數零點個數)問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等14、3【解析】a=0時不滿足條件，∵直線2x+(1-a)y+2=0與直線ax-3y-2=0平行a≠0，∴解得a=315、2021【解析】設快遞行業產生的包裝垃圾為y萬噸，n表示從2015年開始增加的年份的數量，由題意可得y=400×（1+50%）n=400×（兩邊取對數可得n（lg3-lg2）=1，∴n（0.4771-0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴從2015+6=2021年開始，快遞行業產生的包裝垃圾超過4000萬噸.故答案為202116、【解析】計算出一個弓形的面積，由題意可知，勒洛三角形由三個全等的弓形以及一個正三角形構成，利用弓形和正三角形的面積可求得結果.【詳解】由弧長公式可得，可得，所以，由和線段所圍成的弓形的面積為，而勒洛三角形由三個全等的弓形以及一個正三角形構成，因此，該勒洛三角形的面積為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）第4組的頻率為0.2，作圖見解析（2）樣本中位數的估計值為，平均數為87.25（3）0.9【解析】(1)利用頻率和為1,計算可得答案,計算可得第四個矩形的高度為0.2÷5=0.04,由此作圖即可;(2)設樣本的中位數為x，由5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5解出即可得到中位數,根據77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10計算即可得到平均數;(3)通過列舉法可得所有基本事件的總數以及至少有一人是“優秀”的總數,再利用古典概型概率公式計算可得.【詳解】（1）其它組的頻率為（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，所以第4組的頻率為0.2，頻率分布圖如圖：（2）設樣本的中位數為x，則5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，解得x，∴樣本中位數的估計值為，平均數為77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；（3）依題意良好的人數為40×0.4＝16人，優秀的人數為40×0.6＝24人優秀與良好的人數比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優秀3人，良好2人，記“從這5人中選2人至少有1人是優秀”為事件M，將考試成績優秀的三名學生記為A，B，C，考試成績良好的兩名學生記為a，b，從這5人中任選2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10個基本事件，事件M含的情況是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個，所以P（M）0.9【點睛】本題考查了頻率分布直方圖,考查了由頻率分布直方圖計算中位數和平均數,考查了古典概型的概率公式,屬于中檔題.18、（1）為奇函數，證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）求出函數的定義域，然后驗證、之間的關系，即可證得函數為奇函數；（2）任取、，且，作差，因式分解后判斷差值的符號，即可證得結論成立；（3）由參變量分離法可得出，令，求出函數在上的最大值，即可得出實數的取值范圍.【小問1詳解】證明：函數為奇函數，理由如下：函數的定義域為，，所以為奇函數.【小問2詳解】證明：任取、，且，則，，，所以，，所以在區間上單調遞增.【小問3詳解】解：不等式在上恒成立等價于在上恒成立，令，因為，所以，則有在恒成立，令，，則，所以，所以實數的取值范圍為.19、（1）1（2）（3）答案見解析【解析】（1）根據題意可得，即可得解；（2）根據函數的圖象經過點，可得函數經過點，從而可求得，在求出函數在時的值域，即可得出答案；（3）原不等式成立即為，令，則，分和兩種情況討論，從而可得出答案.【小問1詳解】解：因為函數是定義在上的奇函數，所以，解得，當時，，此時，故當時，函數為奇函數，所以；【小問2詳解】解：因為函數的圖象經過點，所以函數經過點，故，即，當時，函數為增函數，故，為使方程有解，則，所以；【小問3詳解】解：原不等式成立即為，當時，函數單調遞增，故只要即可，令，則，∵，∴，∴對恒成立，由得；由得∴；同理，當時，函數單調遞減，故只要即可，∴對恒成立，解得；綜上可知，當時，；當時，20、（1）（2）【解析】（1）根據同角三角函數關系求得，再用誘導公式化簡即可求解；（2）利用余弦的兩角差公式計算即可.【小問1詳解】因為為銳角，所以，，.【小問2詳解】因為，為銳角，所以，，所以，所以.21、（1）；（2）【解析】(1)由題意列出不等式組，令，求出對稱軸，若在區間上有解，則解不等式即可求得