云南省紅河州彌勒市中小學2023-2024學年九年級數學第一學期期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知的半徑為，點到圓心的距離為，則點和的位置關系是（）A．點在圓內 B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定2．已知△ABC∽△DEF，∠A=85°；∠F=50°，那么cosB的值是（）A．1 B． C． D．3．對于不為零的兩個實數a，b，如果規定a★b，那么函數的圖象大致是（）A． B． C． D．4．當取下列何值時，關于的一元二次方程有兩個相等的實數根（）A．1. B．2 C．4. D．5．如圖，在中，．將繞點按順時針方向旋轉度后得到，此時點在邊上，斜邊交邊于點，則的大小和圖中陰影部分的面積分別為（）A． B．C． D．6．如圖，⊙是的外接圓，，則的度數為()A．60° B．65° C．70° D．75°7．若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是A．x≤ B．x≥ C．x≤ D．x≥8．在下列幾何體中，主視圖、左視圖和俯視圖形狀都相同的是（）A． B． C． D．9．國家規定存款利息的納稅辦法是：利息稅=利息×20%，銀行一年定期儲蓄的年利率為2.25%，今小王取出一年到期的本金和利息時，交納利息稅4.5元，則小王一年前存入銀行的錢為（）.A．1000元 B．977.5元 C．200元 D．250元10．如圖，⊙O的半徑為1，點O到直線的距離為2，點P是直線上的一個動點，PA切⊙O于點A，則PA的最小值是（）A．1 B． C．2 D．11．定義：如果一個一元二次方程的兩個實數根的比值與另一個一元二次方程的兩個實數根的比值相等，我們稱這兩個方程為“相似方程”，例如，的實數根是3或6，的實數根是1或2，，則一元二次方程與為相似方程.下列各組方程不是相似方程的是()A．與 B．與C．與 D．與12．兩相似三角形的相似比為，它們的面積之差為15，則面積之和是（）A．39 B．75 C．76 D．40二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=1．將扇形OAB沿過點B的直線折疊．點O恰好落在延長線上點D處，折痕交OA于點C，整個陰影部分的面積_____．14．如圖，在菱形ABCD中，∠B=60o，E是CD上一點，將△ADE折疊，折痕為AE，點D的對應點為點D’，AD’與BC交于點F，若F為BC中點，則∠AED=______.15．對于任何實數，，，，我們都規定符號的意義是，按照這個規定請你計算：當時，的值為________．16．若正六邊形外接圓的半徑為4，則它的邊長為_____．17．如圖，菱形ABCD的邊AD與x軸平行，A、B兩點的橫坐標分別為1和3，反比例函數y＝的圖象經過A、B兩點，則菱形ABCD的面積是_____；18．△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則sin∠A的值為__________．三、解答題（共78分）19．（8分）當時，求的值．20．（8分）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，動點E、F分別在邊AB、AD上，且AF=AE．將△AEF繞點E順時針旋轉10°得到△A'EF'，設AE=x，△A'EF'與矩形ABCD重疊部分面積為S，S的最大值為1．（1）求AD的長；（2）求S關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．21．（8分）在中，，以直角邊為直徑作，交于點，為的中點，連接、．（1）求證：為切線．（2）若，填空：①當________時，四邊形為正方形；②當________時，為等邊三角形．22．（10分）若邊長為6的正方形ABCD繞點A順時針旋轉，得正方形AB′C′D′，記旋轉角為a．（I）如圖1，當a＝60°時，求點C經過的弧的長度和線段AC掃過的扇形面積；（Ⅱ）如圖2，當a＝45°時，BC與D′C′的交點為E，求線段D′E的長度；（Ⅲ）如圖3，在旋轉過程中，若F為線段CB′的中點，求線段DF長度的取值范圍．23．（10分）在平面直角坐標系xOy（如圖）中，拋物線y＝ax2+bx+2經過點A（4，0）、B（2，2），與y軸的交點為C．（1）試求這個拋物線的表達式；（2）如果這個拋物線的頂點為M，求△AMC的面積；（3）如果這個拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，點E在線段AB上，且∠DOE＝45°，求點E的坐標．24．（10分）已知如圖，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，且∠C＝2∠A．（1）求∠A的度數．（2）求BD的長．25．（12分）解方程：（1）2x2﹣7x+3＝0（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）26．如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為A（2，3）、B（1，1）、C（5，1）．（1）把平移后，其中點移到點，面出平移后得到的；（2）把繞點按逆時針方向旋轉，畫出旋轉后得到的，并求出旋轉過程中點經過的路徑長（結果保留根號和）．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解析】根據點與圓的位置關系進行判斷．【詳解】∵⊙O的半徑為6cm，P到圓心O的距離為6cm，

即OP=6，

∴點P在⊙O上．

故選：B．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有3種，設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內?d＜r．2、C【分析】由題意首先根據相似三角形求得∠B的度數，然后根據特殊角的三角函數值確定正確的選項即可．【詳解】解：△ABC∽△DEF，∠A=85°，∠F=50°，∴∠C=∠F=50°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-85°-50°=45°，∴cosB=cos45°=.故選：C.【點睛】本題主要考查相似三角形的性質以及三角函數相關，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的對應角相等．3、C【分析】先根據所給新定義運算求出分段函數解析式，再根據函數解析式來判斷函數圖象即可.【詳解】解：∵a★b，∴∴當x>2時，函數圖象在第一象限且自變量的值不等于2，當x≤2時，是反比例函數，函數圖象在二、四象限.故應選C.【點睛】本題考查了分段函數及其圖象，理解所給定義求出分段函數解析式是解題的關鍵.4、A【分析】根據一元二次方程的判別式判斷即可.【詳解】要使得方程由兩個相等實數根,判別式△=(-2)2-4m=4-4m=0,解得m=1.故選A.【點睛】本題考查一元二次方程判別式的計算,關鍵在于熟記判別式與根的關系.5、C【解析】試題分析：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋轉而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位線，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，∴S陰影=DF×CF=×=．故選C．考點：1.旋轉的性質2.含30度角的直角三角形．6、C【分析】連接OB，根據等腰三角形的性質和圓周角定理即可得到結論．【詳解】連接OB，∵OC＝OB，∠BCO＝20，∴∠OBC＝20，∴∠BOC＝180?20?20＝140，∴∠A＝140×＝70，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理，要知道，同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．7、A【分析】根據二次根式被開方數為非負數即可求解.【詳解】依題意得2-4x≥0解得x≤故選A.【點睛】此題主要考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是熟知二次根式被開方數為非負數.8、C【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．依次找到主視圖、左視圖和俯視圖形狀都相同的圖形即可．【詳解】解：A、圓臺的主視圖和左視圖相同，都是梯形，俯視圖是圓環，故選項不符合題意；B、三棱柱的主視圖和左視圖、俯視圖都不相同，故選項不符合題意；C、球的三視圖都是大小相同的圓，故選項符合題意．D、圓錐的三視圖分別為等腰三角形，等腰三角形，含圓心的圓，故選項不符合題意；故選C.【點睛】本題考查了三視圖的有關知識，注意三視圖都相同的常見的幾何體有球和正方體．9、A【分析】利息問題是一個難點，要把握好利息、本金、利息稅的概念，由利息稅可求得利息為4.5÷20%=22.5元，根據年利率又可求得本金．【詳解】解：據題意得：利息為4.5÷20%=22.5元本金為22.5÷2.25%=1000元．故選：A．【點睛】本題考查利息問題，此題關系明確，關鍵是分清利息、本金、利息稅的概念．10、B【分析】因為PA為切線，所以△OPA是直角三角形．又OA為半徑為定值，所以當OP最小時，PA最小．根據垂線段最短，知OP=1時PA最小．運用勾股定理求解．【詳解】解：作OP⊥a于P點，則OP=1．

根據題意，在Rt△OPA中，AP==故選：B．【點睛】此題考查了切線的性質及垂線段最短等知識點，如何確定PA最小時點P的位置是解題的關鍵，難度中等偏上．11、C【分析】根據“相似方程”的定義逐項分析即可.【詳解】A.∵，∴.∴x1=4，x2=-4，∵，∴x1=5，x2=-5.∵4：(-4)=5:(5)，∴與是相似方程，故不符合題意；B.∵，∴x1=x2=6.∵，∴(x+2)2=0，∴x1=x2=-2.∵6：6=(-2)：(-2)，∴與是相似方程，故不符合題意；C.∵，∴，∴x1=0，x2=7.∵，∴，∴(x-2)(x+3)=0，∴x1=2，x2=-3.∵0：7≠2：(-3)，∴與不是相似方程，符合題意；D.∵，∴x1=-2，x2=-8.∵，∴(x-1)(x-4)=0，∴x1=1，x2=4.∵(-2)：(-8)=1：4，∴與是相似方程，故不符合題意；故選C.【點睛】本題考查了新定義運算，以及一元二次方程的解法，正確理解“相似方程”的定義是解答本題的關鍵.12、A【分析】由兩相似三角形的相似比為，得它們的面積比為4：9，設它們的面積分別為4x，9x，列方程，即可求解.【詳解】∵兩相似三角形的相似比為，∴它們的面積比為4：9，設它們的面積分別為4x，9x，則9x-4x=15，∴x=3，∴9x+4x=13x=13×3=39.故選A.【點睛】本題主要考查相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關鍵.二、填空題（每題4分，共24分）13、9π﹣12．【詳解】解：連接OD交BC于點E，∠AOB=90°，∴扇形的面積==9π，由翻折的性質可知：OE=DE=3，在Rt△OBE中，根據特殊銳角三角函數值可知∠OBC=30°，在Rt△COB中，CO=2，∴△COB的面積=1，∴陰影部分的面積為=9π﹣12．故答案為9π﹣12．【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題）及扇形面積的計算，掌握圖形之間的面積關系是本題的解題關鍵．14、75o【分析】如圖（見解析），連接AC，易證是等邊三角形，從而可得，又由可得，再根據折疊的性質得，最后在中利用三角形的內角和定理即可得.【詳解】如圖，連接AC在菱形ABCD中，是等邊三角形F為BC中點（等腰三角形三線合一的性質），即（兩直線平行，同旁內角互補）又由折疊的性質得：在中，由三角形的內角和定理得：故答案為：.【點睛】本題是一道較好的綜合題，考查了菱形的性質、等邊三角形的性質、平行線的性質、圖形折疊的性質、三角形的內角和定理，利用三線合一的性質證出是解題關鍵.15、1【分析】先解變形為，再根據，把轉化為普通運算，然后把代入計算即可.【詳解】∵，∴，∵，∴=(x+1)(x-1)-3x(x-2)=

x2-1-3x2+6x=-2x2+6x-1=-2(x2-3x)-1=-2×(-1)-1=1.故答案為1.【點睛】本題考查了信息遷移，整式的混合運算及添括號法則，16、1【分析】根據正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形，即可求解．【詳解】正六邊形的中心角為360°÷6=60°，那么外接圓的半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形，故正六邊形的外接圓半徑等于1，則正六邊形的邊長是1．故答案為：1．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，利用正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形得出是解題的關鍵．17、【分析】作AH⊥BC交CB的延長線于H，根據反比例函數解析式求出A的坐標、點B的坐標，求出AH、BH，根據勾股定理求出AB，根據菱形的面積公式計算即可．【詳解】作AH⊥BC交CB的延長線于H，∵反比例函數y＝的圖象經過A、B兩點，A、B兩點的橫坐標分別為1和3，∴A、B兩點的縱坐標分別為3和1，即點A的坐標為（1，3），點B的坐標為（3，1），∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2，由勾股定理得，AB＝＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝2，∴菱形ABCD的面積＝BC×AH＝4，故答案為4．【點睛】本題考查的是反比例函數的系數k的幾何意義、菱形的性質，根據反比例函數解析式求出A的坐標、點B的坐標是解題的關鍵．18、【分析】根據勾股定理及三角函數的定義直接求解即可；【詳解】如圖，，∴sin∠A，故答案為：【點睛】本題考查了三角函數的定義及勾股定理，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵.三、解答題（共78分）19、【分析】先對分式進行化簡，然后代值計算．【詳解】原式=將代入得故答案為：【點睛】本題考查分式的化簡，注意先化簡過程中，可以適當使用乘法公式，從而簡化計算．20、（1）；（2）【分析】（1）根據題意，當在上時，，則重疊的面積有最大值1，根據面積公式，即可求出AD的長度（2）根據題意，需要對x的值進行討論分析，分成三種情況進行解題，分別求出S與x的關系式，即可得到答案.【詳解】（1）如圖，當在上時，，∵，，∴．解方程，得：或（舍去），∴．（2）①當時，如圖，．②如圖可知，經過點時，，．．．,．當時，如圖，，．．．．．③當時，如圖，，，在和中，，，．．．∵矩形，．綜上所述：.【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉的性質，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式，熟練運用分類討論的思想進行解題是解本題的關鍵．21、（1）證明見解析；（2）①2；②．【分析】（1）連接，，根據為斜邊的中線得出，進而證明得出即得．（2）①根據正方形的判定，只需要即得；②根據等邊三角形的判定，只需要即得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，．∵為直徑∴∵為斜邊的中線∴∵，∴∴∴為的切線．（2）①當DE=2時∵∴∵由（1），得∴∴四邊形為菱形∵∴四邊形為正方形②當時∵∴為切線∵由（1），為切線∴∵為的中點∴∵∴∴∵OD=OB∴為等邊三角形【點睛】本題是圓的綜合題型，考查了圓周角定理、切線判定、切線長定理、正方形的判定、等邊三角形的判定及全等三角形的判定及性質，解題關鍵是熟知：直徑所對的圓周角是直角，經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．22、（I）12π；（Ⅱ）D′E＝6﹣6；（Ⅲ）1﹣1≤DF≤1+1．【分析】（Ⅰ）根據正方形的性質得到AD＝CD＝6，∠D＝90°，由勾股定理得到AC＝6，根據弧長的計算公式和扇形的面積公式即可得到結論；（Ⅱ）連接BC′，根據題意得到B在對角線AC′上，根據勾股定理得到AC′＝＝6，求得BC′＝6﹣6，推出△BC′E是等腰直角三角形，得到C′E＝BC′＝12﹣6，于是得到結論；（Ⅲ）如圖1，連接DB，AC相交于點O，則O是DB的中點，根據三角形中位線定理得到FO＝AB′＝1，推出F在以O為圓心，1為半徑的圓上運動，于是得到結論．【詳解】解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∴AC＝6，∵邊長為6的正方形ABCD繞點A順時針旋轉，得正方形AB′C′D′，∴∠CAC′＝60°，∴的長度＝＝2π，線段AC掃過的扇形面積＝＝12π；（Ⅱ）解：如圖2，連接BC′，∵旋轉角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在對角線AC′上，∵B′C′＝AB′＝6，在Rt△AB′C′中，AC′＝＝6，∴BC′＝6﹣6，∵∠C′BE＝180°﹣∠ABC＝90°，∠BC′E＝90°﹣45°＝45°，∴△BC′E是等腰直角三角形，∴C′E＝BC′＝12﹣6，∴D′E＝C′D′﹣EC′＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6；（Ⅲ）如圖1，連接DB，AC相交于點O，則O是DB的中點，∵F為線段BC′的中點，∴FO＝AB′＝1，∴F在以O為圓心，1為半徑的圓上運動，∵DO＝1，∴DF最大值為1+1，DF的最小值為1﹣1，∴DF長的取值范圍為1﹣1≤DF≤1+1．【點睛】本題考查了旋轉的綜合題，正方形性質，全等三角形判定與性質，三角形中位線定理．（Ⅲ）問解題的關鍵是利用中位線定理得出點P的軌跡．23、（1）y＝-14x2+12x+2；（1）32【解析】（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；（1）利用配方法可求出點M的坐標，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，過點M作MH⊥y軸，垂足為點H，利用分割圖形求面積法可得出△AMC的面積；（3）連接OB，過點B作BG⊥x軸，垂足為點G，則△BGA，△OCB是等腰直角三角形，進而可得出∠BAO＝∠DBO，由∠DOB＋∠BOE＝45°，∠BOE＋∠EOA＝45°可得出∠EOA＝∠DOB，進而可證出△AOE∽△BOD，利用相似三角形的性質結合拋物線的對稱軸為直線x＝1可求出AE的長，過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，則△AEF為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得出AF、EF的長，進而可得出點E的坐標．【詳解】解：（1）將A（4，0），B（1，1）代入y＝ax1＋bx＋1，得：16a＋解得：a＝∴拋物線的表達式為y＝﹣14x1＋12（1）∵y＝﹣14x1＋12x＋1＝﹣14（x﹣1）1∴頂點M的坐標為（1，94當x＝0時，y＝﹣14x1＋12∴點C的坐標為（0，1）．過點M作MH⊥y軸，垂足為點H，如圖1所示．∴S△AMC＝S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM，＝12（HM＋AO）?OH﹣12AO?OC﹣12CH＝12×（1＋4）×94﹣12×4×1﹣12×（＝32（3）連接OB，過點B作BG⊥x軸，垂足為點G，如圖1所示．∵點B的坐標為（1，1），點A的坐標為（4，0），∴BG＝1，GA＝1，∴△BGA是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°．同理，可得：∠BOA＝45°．∵點C的坐標為（1，0），∴BC＝1，OC＝1，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，BO＝12，∴∠BAO＝∠DBO．∵∠DOE＝45°，∴∠DOB＋∠BOE＝45°．∵∠BOE＋∠EOA＝45°，∴∠EOA＝∠DOB，∴△AOE∽△BOD，∴AEBD∵拋物線y＝﹣14x1＋12x＋1的對稱軸是直線∴點D的坐標為（1，1），∴BD＝1，∴AE1∴AE＝2，過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，則△AEF為等腰直角三角形，∴EF＝AF＝1，∴點E的坐標為（3，1）．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、三角形（梯形）的面積、相似三角形的判定與性質以及等腰直角三角形，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出二次函數表達式；（1）利用分割圖形求面積法結合三角形、梯形的面積公式，求出△AMC的面積；（3）通過構造相似三角形，利用相似三角形的性質求出AE