絕密★啟用前

2021年高考數學模擬考場仿真演練卷(江蘇專用)

第二模擬

本試卷共22題。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知全集U為實數集，A={x|f-3xW0},8={4x>l},則AD(CuB)=()

A.{x|0WxVl}B.{xIOWxWl}C.{x|lWx<3}D.{x|0WxW3}

【答案】B

【分析】可求出集合A,然后進行補集和交集的運算即可.

【解答】解：；A={x|0WxW3},B={x|x>l},

.?.CuB={x|xWl},AO(CuB)={x|OWxWl}.

故選：B.

【知識點】交、并、補集的混合運算

2.已知復數z=(a-2i)(2+i)(。為實數，，?為虛數單位)為純虛數，則|z|=()

A.V3B.3C.5D.V5

【答案】C

【分析】利用復數的運算及純虛數、復數的模的概念求得結果.

【解答】解：由題設知：z—(a-2i)(2+j)—(2a+2)+(a-4)i,

?；z為純虛數，...2a+2=0,解得：a=-\,

.,.z=-5/,|z|=5,

故選：C.

【知識點】復數的模

3.為了更好地引領廣大團員青年繼承和發揚五四精神，為實現中華民族偉大復興的中國夢而努力奮斗，某學

校團委在五四運動101周年紀念日即將來臨之際，舉行了“傳承五四精神，書寫戰疫青春”云主題演講

活動.本次演講有6名同學和2名青年教師參加，在演講出場順序中要求兩位教師中間恰好間隔3名同

學，則8人不同的出場的順序種數為()

A.480B.960C.2880D.5760

【答案】D

【分析】根據題意，分2步進行分析：①在6人中任選3人，安排在2名教師中間，②將這個整體與其他

3人全排列，由分步計數原理計算可得答案.

【解答】解：根據題意，分2步進行分析：

①在6人中任選3人，安排在2名教師中間，有C63A3342種情況，

②將這個整體與其他3人全排列，有44種排法，

則有C63A33A22A44=5760種安排方法，

故選：D.

【知識點】排列、組合及簡單計數問題

4.幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點M,N是銳角NAQ8的一邊QA上的兩點，試在邊。8上找一

點P,使得/MPN最大”.如圖，其結論是：點尸為過M,N兩點且和射線QB相切的圓的切點.根據

以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系xO），中，給定兩點M（-l,2）,N（1,4）,點尸在x軸上

移動，當/MPN取最大值時，點尸的橫坐標是（）

A.1B.-7C.1或-7D.2或-7

【答案】A

【分析】根據米勒問題的結論，P點應該為過例，N的圓與x軸的切點，結合幾何關系求解即可.

【解答】解：依題意，設尸點坐標為（a,b）,

則圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=〃,

31-i-y-ra.,在（-1-a）2+（2-b）2=b2

M,N兩點在圓上，所以＜,

.（l~a）（4-b）2=b2

解得［a=l或者（舍），

lb=2lb=10

故P點的橫坐標為1.

【知識點】兩直線的夾角與到角問題

5.某學校要在6名男生和3名女生中選出5名學生進行關于愛國主義教育相關知識的初賽，要求每人回答一

個問題，答對得2分，答錯得0分.已知6名男生中有2人不會答所有的題目，只能得0分，其余4人

可得2分，3名女生每人得2分的概率均為2.現選擇2名男生和3名女生，每人答一題，則所選隊員

3

得分之和為6分的概率為()

A.AB.也AC.3D.毀

3105581

【答案】D

【分析】根據題意，記“所選5位隊員得分之和為6分”為事件E,據此分3種情況討論：①男生得0分,

女生得6分，②男生得2分，女生得4分，設其為事件B,③男生得4分，女生得2分，設其為

事件C,求出三個事件的概率，將其相加即可得答案.

【解答】解：根據題意，記“所選5位隊員得分之和為6分”為事件E,

分3種情況討論：

,2

①男生得。分，女生得6分，設其為事件4,則尸(A)(2)3X(1)。=旦，

v633405

cici

②男生得2分，女生得4分，設其為事件8,貝IJP(B)=^-±XC32(2)2X(1)?衛,

C233135

,2

③男生得4分，女生得2分，設其為事件C,則P(C)=WxC3](2)'X(1)2=A,

3345

b

故尸(￡)=P(A)+P(B)+P(C)-_A_+_32_+_L=

4051354581

故選：D.

【知識點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式、n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率、古典

概型及其概率計算公式

'|x+l|,-74x<0

6.己知函數f(x)=<(x)=/-2%,設。為實數，若存在實數加，使/(加)-2g

lnx,e

(〃)=o,則實數。的取值范圍為()

A.[-1,+8)B.(-8,-1]U[3,+8)

C.[-1,3]D.(-8,3]

【答案】C

【分析】根據函數/(x)的圖象，得出值域為[-2,6],利用存在實數m,使/(“)-2g(a)=0,得出

2g(a)的值域滿足-2W2/-4〃W6,即可.

【解答】解：??工(x)=1-2x,設a為實數，

.?.2g(〃)=2a2-4a,尤R,

Vy=2a2-4a,〃ER,

?二當u—\時，y最小值=一2,

|x+lI,-7<x40

?.?函數/(x)=.

lnx,eMx《e

/(-7)=6,/(e2)--2,

值域為[-2,6]

?.?存在實數m,使/(m)-2g(a)=0,

-2W2a2-4aW6,

即-lWaW3,

【知識點】對數函數圖象與性質的綜合應用

7.點M,N分別是棱長為2的正方體ABCD-A\B\C\D\中棱BD,CG的中點，動點P在正方形BCGBi（包

括邊界）內運動.若以i〃面AMM則%?的長度范圍是（)

[莘?，3]D.[2,3]

A.⑵泥]B.，V5]C

【答案】B

【分析】取BiG的中點E,的中點F,連結4E,A\F,EF,取EF中點0,連結40,推導出平面AMN

//平面MEF,從而點P的軌跡是線段EF,由此能求出為?的長度范圍.

【解答】解：取BiG的中點E,的中點F,連結4E，4尸，EF,取EF中點0,連結4。,

?.?點M,N分別是棱長為2的正方體中棱8C,CG的中點,

：.AM//A\E,MN//EF,

\'AMnMN=M,A\EC\EF=E,

二平面AMN〃平面4E凡

?.?動點P在正方形BCG8(包括邊界)內運動，且B4i〃面AMM

二點P的軌跡是線段EF,

+12=而,EF=qF+]2=后,

：.A\OA-EF,

.?.當p與。重合時，以?的長度取最小值40=J(泥戶-當V二歲,

當P與E(或F)重合時，力?的長度取最大值為4E=A|F=旄.

的長度范圍為[盟I,V51-

2

故選：B.

【知識點】點、線、面間的距離計算

8.已知定義在R上的函數)，=/(x+l)-3是奇函數，當(1,+8)時，/(x)--3,則不等式優

x-1

(x)-3]ln(x+1)>0的解集為()

A.(1,+8)B.(-1,0)U(e,+8)

C.(0,1)U(e,+8)D.(-1,0)U(1,+8)

【答案】D

【分析】根據已知可得對(0,+8),均有/(x+1)20,從而可得)，=/(x+1)-3在(0,+8)上單

調遞增，由函數的奇偶性可知函數y=/(x+l)-3在R上單調遞增，作出函數y=/(x+l)-3的

大致圖象，利用圖象的平移可得f(x)-3的圖象，數形結合即可求得不等式的解集.

【解答】解：因為(1,+8)時，f(x)2x+—---3,

X-1

則可令X=X1+1,此時xi>0,

所以當(0,+8)時，/(X)+l)與xi+-l--2,

X1

即對(0,+8),均有/(x+1)20,

因為y=/(x+l)-3,所以y'=f(x+1),

所以y=/(x+l)-3在(0,+°°)上單調遞增,

由函數y=/(x+l)-3是奇函數，

所以函數y=/(x+l)-3在R上單調遞增，

故可大致畫出函數y=/(x+1)-3的圖象，

對于/(%)-3只需要將y=f(x+D-3向右平移1個單位即可得到,

當x>0時，In(x+1)>0,此時只需要/(x)>3即可，

由圖象可知，此時(1,+8),

當-l<x<0時，In(x+1)<0,此時只需要/(x)<3即可，

由圖象可知，此時(-1,0).

綜上，不等式的解集為(-1,0)U(1,+8).

故選：D.

【知識點】利用導數研究函數的單調性、函數奇偶性的性質與判斷

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求

的，選對得分，錯選或漏選不得分。

9.已知雙曲線一/--￡=1的離心率為2,則A的值可以為()

k2-54k

A.-3B.6_741C.3D.6+741

【答案】BC

【分析】判斷雙曲線的焦點坐標所在軸，然后利用離心率列出方程求解即可.

卜2-5〉0

k>0

【解答】解:當雙曲線的焦點坐標在軸時，，解得&

x2=3.

k-5+4k.

-2----=4

k-5

\2-5<0

k<C0,力/口,—

雙曲線的焦點坐標在y軸時，可得，,解得k=6-A/41?

-4k-(k-5)

-----------=4A

-4k

故選：BC.

【知識點】雙曲線的性質

10.已知函數/（x）=sin3x+cos3x的最小正周期是n,則下列判斷正確的有（）

A.函數f（x）的圖象可由函數、=&$苗丸的圖象向左平移三個單位得到

4

B.函數/（尤）在區間［三，且口上是減函數

88

C.函數了（尤）的圖象關于點（工，0）對稱

8

D.函數f（x）取得最大值時x的取值集合為改k=卜兀6，k€Z}

【答案】BCD

【分析】先利用輔助角公式進行化簡，然后結合正弦函數的性質分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：*.*/(x)=sin3x+cos3x=J^sin(3尤+2-)的周期T=-￡-L=TT,

40)

；.3=2,f(x)=asin(2x"^~>

對A,函數/（x）的圖象可由函數.y=J5sinZr的圖象向左平移:個單位得到，4不正確;

對8,由匹W2x+?L可得，2L<X<12L,故f（x）在區間［三，旦口上單調遞減,

24飛28飛飛888

B正確；

對C,因為/（-3）=0,得到函數圖象的一個對稱中心為（工，0）,C正確.

88

對。，因為sin（2x+：）=l=2x+：=；+2k兀=x=kn+—（kEZ），。上確.

故選：BCD.

【知識點】函數y=Asin（<ox+（p）的圖象變換、三角函數的周期性、兩角和與差的三角函數

11.下列命題中正確命題是（）

A.函數f（x）=J2+x2有最小值2

V2+x2

B.“x2-4x-5=0”的一個必要不充分條件是“x=5”

C.命題p：SAGR,tanx=1；命題q：VxGR,x2-x+1>0.則命題"p!\（一'q）"是假命題

D.函數/（x）=d-3x2+l在點（2,7（2））處的切線方程為y=-3

【答案】CD

【分析】A令五戛=t>M，g(/)=/+1,利用導數研究其單調性極值與最值，即可判斷出正誤；B"x

=5"="l-4x-5=0"，反之不成立，即可判斷出正誤；C命題p：3.r=2L,taar=l,因此是

4

真命題；命題仍V.rGR,^-X+1=(X^1-)24J.>0)是真命題.即可判斷出正誤；。函數/(x)

-3^+1,f(x)=3JT-6x,f(2)=0,/(2)=-3,即可得出函數/(x)在點(2,/(2))

處的切線方程，即可判斷出正誤.

2

【解答】解：令個S(力=￡+2?，g'(，)=1-±=工J〉。,因此函數g(，)單調遞

tt2t2

增，，g⑺2g

函數f(x)=6+x2+-j」F有最小值3返，大于2,因此4不正確；

72772

“f-4x-5=0”的一個充分不必要條件是“x=5”，因此8不正確；

命題p：taiw=l,因此是真命題；命題q：V.rGR,x2-x+1=G」)？十乏>0,是真

4'X21TJ

命題.則命題“pALq)”是假命題，C正確；

函數f(x)=/-3/+1,/(x)=3/-6x,/(2)=0,/(2)=-3,函數/(x)在點(2,

/(2))處的切線方程為y=-3,。正確.

故選：CD.

【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程、復合命題及其真假、充分條件、必要條件、充要條件、基

本不等式及其應用

12.若隨機變量X服從兩點分布，其中p(x=0)=2，E(X)、D(X)分別為隨機變量X均值與方差，則下列

3

結論正確的是()

A.P(X=l)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4D.D(x)="1

【答案】AB

【分析】推丑陋同P(x=i)=2從而E(x)=ox—+1X—D(X)=(o-2)2XA+(1-2)2

3u3133333

x2=2,由此能過河卒子同結果.

39

【解答】解：隨機變量X服從兩點分布，其中p(x=O)=2，

3

:.p(x=i)=2,

3

E(X)=ox5+ix|■義

333

D(X)=(o-2)2XA+(I-2)2x2=2,

33339

在A中，P(X=l)=E(X),故A正確；

在8中，E(3X+2)=3E(X)+2=3X_|_+2=4,故8正確；

在C中，D(3X+2)=9。(X)=9x2=2,故C錯誤；

9

在。中，D(X)=2,故。錯誤.

9

故選:AB.

【知識點】離散型隨機變量的期望與方差

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知直線/：y=fcc+l(ZCR),若直線上/總存在點M與兩點A(-1,0),B(1,0)連線的斜率之積為

-3/n(機＞0),則實數m的取值范圍是.

【分析】由題意利用斜率公式可得1y2=-3m(x2-l)能成立，即“+3用『+2日+1-3旭=0能成立.由

y=kx+l

判別式△》(),可得-12+36m20,由此可得，”的范圍.

【解答】解：設M(x,y)在直線/：y=kx+\(Jt6R)上，

則KMA?K“B=—^―?—^―=-3m,故丁=-3m(x2-1).

x+1X-l

由＜y=_3m(x-1)能成立，可得(3+3/)f+2Ax+l-3m=0能成立.

y=kx+l

.?.△=43-4(3+3機)(I-3m)=12〃而-l2/n4-36/n2^0,

Vw＞0,；.12/-12+36m》0,故-12+36m》0,

3

故答案為：，“2工.

3

【知識點】直線的斜率

14.數學家也有許多美麗的錯誤，如法國數學家費馬于1640年提出了以下猜想吊=22'1("=0,1,2,??-)

是質數.直到1732年才被善于計算的大數學家歐拉算出「5=641*6700417,不是質數.現設小=log2[log2

(-1)J(n=l,2,???),b?—...-...—,則表示數列｛兒｝的前〃項和S==___.

a/ajl)

【分析】利用對數運算性質可得斯=log2[bg2(F?-1)]=〃，代入與=—二一通過裂項求和方法即

a/an+D

可得出｛6｝的前“項和S”.

n=W,

【解答】解：aw=log2[log2(Frt-1)]=10g2[10g2(22“)=log22

貝Ub,,=——----=1-^-A--

an^an+^n(n+l)nn+1

，數列｛兒｝的前n項和S?=1-_1+_1-A+.....+A-_L_=1-

223nn+1n+1n+1

故答案為：_J2_.

n+1

【知識點】數列遞推式、數列的求和

15.A,B,C,。為球面上四點，M,N分別是A8,CD的中點，以MN為直徑的球稱為A8,C￡)的“伴隨

球”，若三棱錐A-BC。的四個頂點在表面積為64TT的球面上，它的兩條邊A8,C。的長度分別為和

4、左，則A8,8的伴隨球的體積的取值范圍是.

【分析】由已知求出三棱錐A-BCO的外接球的半徑，求出。M,ON的長度，進一步求出MN的范圍，則

答案可求.

【解答】解：由題意可知，球的半徑為R=4,分別取球。的兩條弦AB,C/)的中點M,N,

則0M=｛42_7=3,ON=^2_12=2,即弦A8,C4分別是以。為球心，

半徑為3和2的球的切線，且弦AB在以。為球心，半徑為2的球的外部，

MN的最大距離為2+3=5,最小距離為3-2=1.

當。，N三點共線時，分別取最大值5與最小值1.

故半徑分別為反，工，

22

：.AB,CD的伴隨球的體積的取值范圍是［匹，2252L］.

66

故答案為：［乃，絲三］.

66

【知識點】球的體積和表面積

16.如圖，某景區有景點A,B,C,D.經測量得，BC=6ktn,乙48c=120°,sin/8AC=U^LZACD=

14

60°,CD=AC,則AO=km,現計劃從景點8處起始建造一條棧道8M,并在M處修建觀景臺.為

獲得最佳觀景效果，要求觀景臺對景點A、。的視角NAMQ=120。.為了節約修建成本，棧道長度

的最小值為km.

【分析】在△ABC中，直接由正弦定理求解A力的長度；以B為坐標原點，以BC所在直線為x軸建立平面

直角坐標系，求出M點的軌跡，可知例點在圓x2+(y_io.)2=%的一段圓弧上，再由圓心到

B點的距離減去半徑求得棧道B例長度的最小值.

【解答】解：在△ABC中，BC=6,NABC=120°,sinNBAC=Yil,

14

由正弦定理可得：一區一=一二----即.士岑,

sinZBACsinZABC迄V3_

_142

解得：AC=Eh/7.

在△ACO中，由NACO=60°,CD=AC,得△AC。為等邊三角形，可得4O=AC=6開心打；

以8為坐標原點，以BC所在直線為4軸建立平面直角坐標系，

V

A

也

由sin/BAC率，得c"BAC=誓'

/.sinZACB=sin(1200+ZBAC)=sinl20°cosZBAC+cos1200sinZBAC

=返旭二區叵

2142147

cosZACS71-sin2ZACB-7，

在△ABC中，由正弦定理可得：一巡一=_MI_,解得AB=12.

_sinZACBsinl200

二4點的坐標為(-6,6A/3).

sin/OCx=sin(600+ZACB)=sin6(TcosZi4CJ?+cos60asinZACB

=a「V?J亞=沂

l-x〒節義〒IF'

2=：

則cosNDCx=hsinZDCxy1,

二。點坐標為(9,9退〉.

設y),則以“=丫則^,k=-

K

MAX+6KMDx-9

120x+6X-9_F-

.?.由到角公式可得：lan120—ll_v3,

?y-6V3y-9V3、

+~x+6-x-9

整理得：x2+(y-10j§)2=8小

點在圓x2+(y_io%)2=84的一段圓弧上.

圓心為(0,10?),半徑為2折.

則長度的最小值為小“107v_2歷=1哂-2收?

故答案為：出々；10V3-2V21.

【知識點】解三角形

四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。考生根據要求作答。

17.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,從條件①<?+〃-c?=2運力sinC,條件②

3

6sinC+J^ccosB,條件③(/+序-c2)?acosB+%cosA)=a兒這三個條件中任選一個，解答下列問題.

(I)求角C的大小；

(II)若c=2,當a,。分別取何值時，AABC面積取得最大值，并求出其最大值.

【分析】(/)利用正弦定理，余弦定理可求C的大小，

(//)由余弦定理及基本不等式可求她的范圍，再由三角形的面積公式即可求解.

【解答】解：(/)若選①由余弦定理及/+〃_c2=2Z^zgsinC得2a0cosC=2/^>absinC，

33

所以tanC=^3，

因為Ce(0,IT),

所以C-2L,

3__

若選②由正弦定理及J&=〃sinC+?ccosB得，V3sinA=sinBcosC+sinCcosL

所以V^sin(8+C)=sinBcosC+sinCcos8,

所以西sinBcosC=sinBsinC，

因為Be(0,n),

所以sinBWO,

所以tanC=J§,

所以C=三，

3

若選③，由余弦定理及(。4廿-/”(acosB+bcosA)=abc,得，2abcosC(acosB+bcosA)—abe,

由正弦定理得2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC?

所以2coscsin(4+8)=sinC,

因為sinCWO,

所以cosC=—,

2

所以c=2L,

3

(〃)由c=2及c1=a1+b1-2abcosC=a2+b2-ab^ab,

得HW4,當且僅當。=0=2時取等號.

所以S.48c=/absinC《灰，當且僅當。=匕=2時取等號，此時△A8C面積取得最大值

【知識點】余弦定理

a+1

18.已知數列｛斯｝滿足〃]=1,w〃+i=25+1)an+n+29設曰=—2-

n

(I)判斷數列｛d｝是否為等比數列，并說明理由；

(II)若斯〈人兒2,對v〃CN*都成立,求人的取值范圍.

【分析】(I)直接利用數列的關系式的變換和等比數列的定義求出結果；

(II)利用(])的結論，利用數列的單調性和恒成立問題的應用求出結果.

【解答】解：(I)數列｛“”｝滿足=1,natl+\—2(n+1)an+n+2,

整理得”a“+i=2(rt+1)a?+2(n+1)-n,

a.I+1at

即〃(〃〃+i+l)=2(H+1)(an+1),兩邊同除以〃(1)得：-----=0*——

n+1n

=

即bn+\2bnr

故數列｛/%｝是以b[=，L=2為首項，2為公比的等比數列.

(II)由(I)得：

n-1n

bn=2X2=2-

所以=pn

^nn2-l,

若a〃<kb?,則〃?2"-1<X*22H,

即x〉n?2-1,

則_=(n+l)?2nHn,2n-l_(l-n)?2n+l+3

cn+l-cn~~.2(n+1)~~~~

當n=\時，ci-ci>0,

當心2時，C/i+l-cn<0,

所以數列｛Cn｝從第二項起單調遞減，

所以(C)=Cc―?

要使得〃〃V昉“2,對均成立，

則只需使得入〉n?2：-l恒成立,

【知識點】數列遞推式、等比數列的性質

19.“在線學習”是中小學生疫情防控期間的主要學習手段之一.某校高三年級對n名學生線上學習與線下

學習的效果進行問卷調查，統計結果如表：已知從〃名學生中任選一名，取到線上學習的女同學的概率

為專

線上學習線下學習

男同學3015

女同學20m

(1)根據如表說明，能有多大把握認為線上學習與線下學習的效果與性別有關？

(II)從線上學習的同學中，采用按性別分層抽樣的方法選取10人，再從選取的10人中隨機抽取3人作

為代表參加學校組織的視頻會，設抽取的3人中女同學人數為X,寫出X的分布列并求出數學期望E(X).

2

參考公式：K=-----------------------其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數據：

P(K22k)0.0100.0050.001

k6.647.8810.83

【分析】(I)根據題意求〃，m,補全2X2列聯表，計算K2,與臨界值比較即可判斷；

(II)計算出分層抽樣抽取的男同學和女同學人數，寫出X的所有可能取值，分別計算概率可

得分布列，進而求出數學期望.

【解答】解：(I)因為從〃名學生中任選一名，取到線上學習的女同學的概率為上，

5

所以型=工，

n5

所以H=100,

因為30+15+20+6=100,

所以加=35,

所以2義2列聯表為：

線上學習線下學習合計

男同學301545

女同學203555

合計5550100

根據列聯表數據得d=10°X(30X35-15X20)2__100^9.901>7.88,

50X50X45X5511

所以有99.5%的把握認為線上學習與線下學習的效果與性別有關.

(II)根據分層抽樣方法得到抽取男同學有理10=6人，女生有4人,

50

由題意可得X的所有可能取值為0,1,2,3,

p31

則p（x=o）=^-=A,p（x=i）=—^■=■1,

C36c32

^10^10

P1P2

則F（X=2）=-4r-^-=-.p（x=3）=-^-=-L

c310c330

J。Jo

所以X的分布列為：

X0123

p_1231

a~2Io30

：.E(X)=0XA+1XJL+2XA.+3XJL_=A

6210105

【知識點】離散型隨機變量的期望與方差、獨立性檢驗

20.如圖，四邊形M4BC中，△ABC是等腰直角三角形，ACLBC,△M4C是邊長為2的正三角形，以AC

為折痕，將△MAC向上折疊到△D4C的位置，使點。在平面ABC內的射影在AB上，再將△MAC向下

折疊到△E4C的位置，使平面E4CL平面A8C,形成幾何體D48CE.

(1)點廠在BC上，若。尸〃平面E4C,求點尸的位置;

(2)求直線AB與平面E8C所成角的余弦值.

【分析】(1)點尸為8c的中點，設點。在平面A8C內的射影為。，連接。￡>,OC,取AC的中點”，連

接EH,由題意知EHVAC,平面ABC,由題意知平面ABC,得。。〃平面EAC,取

8c的中點F,連接。凡則。F〃AC,從而。尸〃平面E4C,平面QOF〃平面￡AC,由此能證明

OF〃平面EAC.

(2)連接OH,由。凡OH,0。兩兩垂直，以。為坐標原點，OF,OH,。。所在直線分別

為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線48與平面E8C所成角的余弦值.

【解答】解：(1)點F為BC的中點，

理由如下：設點。在平面ABC內的射影為O,連接。￡>,OC,

?:AD=CD,：.OA=OC,

...在RtZ\4BC中，O為A8的中點,

取AC的中點4,連接EH,由題意知AC,

又平面E4C_L平面ABC,平面EACC平面ABC=AC,

.?.EH，平面ABC,由題意知DO_L平面ABC,

：.DO//EH,二。。〃平面E4C,

取BC的中點F,連接OF,則OF//AC,

又OFC平面EAC,ACu平面EAC,；.OF〃平面E4C,

'.'DOnOF^O,二平面DOF〃平面EAC,

■:OFu平面DOF,；.DF//平面EAC.

(2)連接OH,由(1)可知OF,OH,OO兩兩垂直，

以。為坐標原點，OF,OH,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系,

則8(1,-1,0),A(-1,1,0),E(0,1,-?),C(1,1,0),

/.AB=⑵-2,0),BC=(0，2,0),BE=(-I,2,-5/3),

設平面EBC的法向量n=(小b,c),

則w上？=2b=。，取，則嬴(歷0.-1),

BE