第7節函數的圖象考試要求1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數；2.會運用基本初等函數的圖象分析函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題.1.利用描點法作函數的圖象知

識

梳

理步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數解析式；(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.2.利用圖象變換法作函數的圖象(1)平移變換－f(x)f(－x)－f(－x)logax[常用結論與微點提醒]1.記住幾個重要結論 (1)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關于直線x＝a對稱. (2)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)中心對稱. (3)若函數y＝f(x)對定義域內任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.2.圖象的左右平移僅僅是相對于x而言，如果x的系數不是1，常需把系數提出來，再進行變換.3.圖象的上下平移僅僅是相對于y而言的，利用“上減下加”進行.診

斷

自

測1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同.(

)(2)函數y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同.(

)(3)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于原點對稱.(

)(4)若函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.(

)解析(1)令f(x)＝－x，當x∈(0，＋∞)時，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，兩者圖象不同，(1)錯.(2)中兩函數當a≠1時，y＝af(x)與y＝f(ax)是由y＝f(x)分別進行振幅與周期變換得到，兩圖象不同，(2)錯.(3)y＝f(x)與y＝－f(x)圖象關于x軸對稱，(3)錯.(4)中，f(2－x)＝f[1＋(1－x)]＝f[1－(1－x)]＝f(x)，所以y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，(4)正確.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√解析其圖象是由y＝x2圖象中x<0的部分和y＝x－1圖象中x≥0的部分組成.答案C3.(新教材必修第一冊P140習題4.4T6)在2h內將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數衰減，能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是(

)解析依題意，在2h內血液中藥物含量Q持續增加，停止注射后，Q呈指數衰減，圖象B適合.答案B4.(一題多解)(2018·全國Ⅲ卷)下列函數中，其圖象與函數y＝lnx的圖象關于直線x＝1對稱的是(

) A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x) C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)

解析法一設所求函數圖象上任一點的坐標為(x，y)，則其關于直線x＝1的對稱點的坐標為(2－x，y)，由對稱性知點(2－x，y)在函數f(x)＝lnx的圖象上，所以y＝ln(2－x).

法二由題意知，對稱軸上的點(1，0)在函數y＝lnx的圖象上也在所求函數的圖象上，代入選項中的函數表達式逐一檢驗，排除A，C，D，選B.

答案B答案D∴f(x)為奇函數，排除A.答案(2，8]考點一作函數的圖象【例1】

作出下列函數的圖象：(2)將函數y＝log2x的圖象向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.規律方法作函數圖象的一般方法(1)直接法.當函數解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數時，就可根據這些函數的特征描出圖象的關鍵點直接作出.(2)圖象變換法.若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響.【訓練1】

分別作出下列函數的圖象： (1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.

解(1)先作出函數y＝lgx的圖象，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得函數y＝|lgx|的圖象，如圖①實線部分.(2)當x≥0時，y＝sin|x|與y＝sinx的圖象完全相同，又y＝sin|x|為偶函數，圖象關于y軸對稱，其圖象如圖②.考點二函數圖象的辨識所以f(x)是奇函數，排除選項C.所以f(x)的定義域為(－1，0)∪(0，1)，關于原點對稱.又f(x)＝f(－x)，所以函數f(x)是偶函數，圖象關于y軸對稱，排除A；當0<x<1時，lg|x|<0，f(x)<0，排除C；當x>0且x→0時，f(x)→0，排除D，只有B項符合.答案(1)B

(2)B規律方法1.抓住函數的性質，定性分析：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從周期性，判斷圖象的循環往復；(4)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.2.抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題.法二當x＝1時，f(1)＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A，C；又當x→＋∞時，y→＋∞，排除B，而D滿足.答案(1)B

(2)D角度1研究函數的性質【例3－1】

已知函數f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是(

)考點三函數圖象的應用多維探究A.f(x)是偶函數，遞增區間是(0，＋∞)B.f(x)是偶函數，遞減區間是(－∞，1)C.f(x)是奇函數，遞減區間是(－1，1)D.f(x)是奇函數，遞增區間是(－∞，0)解析將函數f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值得畫出函數f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數f(x)的圖象關于原點對稱，故函數f(x)為奇函數，且在(－1，1)上是遞減的.答案C角度2函數圖象在不等式中的應用【例3－2】(1)(2020·青島模擬)已知函數f(x)＝2－|x|，若關于x的不等式f(x)≥x2－x－m的解集中有且僅有1個整數，則實數m的取值范圍為(

) A.[－3，－1)

B.(－3，－1) C.[－2，－1)

D.(－2，－1)由圖可知，不等式f(x)≥x2－x－m的解集中的整數解為x＝0，解析(1)在同一平面直角坐標系中作出函數y＝f(x)，y＝x2－x－m的圖象如圖所示.角度3求參數的取值范圍【例3－3】

設函數f(x)＝|x2－2x|－ax－a，其中a>0，若只存在兩個整數x，使得f(x)<0，則a的取值范圍是________.

解析f(x)＝|x2－2x|－ax－a<0，則|x2－2x|<ax＋a，

分別畫出y＝|x2－2x|與y＝a(x＋1)的圖象，如圖所示.即x＝0或x＝1，∵只存在兩個整數x，使得f(x)<0，當x＝1時，|12－2|＝1，令2a＝1，規律方法1.利用函數的圖象研究函數的性質對于已知或易畫出其在給定區間上圖象的函數，其性質(單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象研究，但一定要注意性質與圖象特征的對應關系.2.利用函數的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程f(x)＝g(x)的根就是函數f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標；不等式f(x)<g(x)的解集是函數f(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點的橫坐標的集合，體現了數形結合思想.A.函數f(x)的圖象關于點(1，0)中心對稱B.函數f(x)在(－∞，1)上是增函數C.函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱D.函數f(x)的圖象上至少存在兩點A，B，使得直線AB∥x軸(2)(角度2)已知函數y＝f(x)的圖象是如圖所示的折線ACB，且函數g(x)＝log2(x＋1)，則不等式f(x)≥g(x)的解集是(

)A.{x|－1<x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1<x≤1}D.{x|－1<x≤2}∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}.(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函數g(x)的圖象如圖，答案(1)BCD

(2)C

(3)B直觀想象——函數圖象的活用直觀想象是發現和提出問題，分析和解決問題的重要手段，在數學研究的探索中，通過直觀手段的運用以及借助直觀展開想象，從而發現問題、解決問題的例子比比皆是，并貫穿于數學研究過程的始終，而數形結合思想是典型的直觀想象范例.類型1利用函數的圖象研究函數的性質對于已知或易畫出其在給定區間上圖象的函數，其性質(單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助圖象研究，但一定要注意性質與圖象特征的對應關系.【例1】

已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規定：當|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當|f(x)|＜g(x)時，h(x)＝－g(x)，則h(x)(

) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，無最小值 C.有最小值－1，無最大值 D.有最大值－1，無最小值解析畫出y＝|f(x)|＝|2x－1|與y＝g(x)＝1－x2的圖象，它們交于A，B兩點