第一章集合與函數的概念（復習）集合集合含義與表示集合間關系集合基本運算列舉法描述法補集并集交集知識結構包含關系相等關系函數函數的概念函數的表示方法函數的基本性質定義域對應法則值域單調性最值解析法列表法圖像法知識結構奇偶性集合映射1.集合的有關概念

元素(element)---我們把研究的對象統稱為元素。集合(set)---把一些元素組成的總體叫做集合,簡稱集。常用大寫的拉丁字母A、B、C…表示集合；用小寫的拉丁字母a,b,c…表示元素。

注：組成集合的元素可以是人、物、數、圖、點等。2.集合元素的特性：集合中的元素必須是互不相同的.集合中的元素必須是確定的.

集合中的元素是無先后順序的．集合中的任何兩個元素都可以交換位置．

注：只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.1.確定性：2.互異性：3.無序性：

判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由；(1)大于3小于11的偶數；(2)我國的小河流。思考中國的直轄市身材較高的人著名的數學家我們班年齡很小的同學判斷下列例子能否構成集合

注:

像”很”,”非常”,”比較”這些不確定的詞都不能構成集合√×××（1）屬于(belongto)：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作（2）不屬于(notbelongto)：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作3.元素與集合的關系

記我們班同學構成的集合為A，我們班其中兩位同學為a、b，那么a、b與A是什么關系？4.重要數集：(1)N:自然數集(含0)(2)N﹡或N＋

:正整數集(不含0)(3)Z：整數集(4)Q：有理數集(5)R：實數集

即非負整數集用符號“∈”或“”填空：

(1)3.14_______Q(2)π_______Q(3)0_______N(4)0_______N+(5)_______Z(6)2_______R練一練∈∈∈∈5.集合的表示方法

1、列舉法：

將集合中的元素一一列舉出來，用花括號{}括起來，并將元素用逗號隔開.互異無序{1，2，3，4，5}{北京，天津，上海，重慶}用列舉法表示下列集合(自然語言描述)：(1)小于10的所有自然數組成的集合；(2)方程x2=x的所有實數根組成的集合；(3)由1～20以內的所有質數組成的集合。例12、描述法：用所含元素的共同特征表示集合，寫成{元素符號及取值范圍︱特征性質}如：不等式x-7<3的解集{}如：所有偶數組成的集合{}試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有實數根組成的集合；(2)由大于10小于20的所有整數組成的集合。例2集合的基本關系BA子集真子集相等(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}（2)A={所有矩形}，B={所有平行四邊形}.（3)A={海南第二中學高一（7）班女生}.B={海南第二中學高一（7）班學生},1.觀察下面幾個例子，你能發現兩個集合間的關系嗎？（4）C={x|x是兩條邊相等的三角形}D={x|x是等腰三角形}BAABABBBABAA＝B例題3：寫出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集

解：集合{a,b}的所有子集為φ，{a}，{b}，{a,b}，真子集為φ，{a}，{b}，

（思考：集合{a1,a2,a3,…,an}有多少個子集？）(1).空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集;(2).任何一個集合是它本身的子集；(3).傳遞性：

(4).若集合A的元素個數為n，則它的子集有ABABUA并集的性質例4設A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}例5設集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3}求A∪B.解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}例6新華中學開運動會,設A={x|x是新華中學高一年級參加百米賽跑的同學}B={x|x是新華中學高一年級參加跳高比賽的同學},求A∩B.解:A∩B={x|x是新華中學高一年級既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學}.例8設U={x|x是小于9的正整},A={1,2,3}B={3,4,5,6},求CUA,CUB.解:根據題意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CUA={4,5,6,7,8}CUB={1,2,7,8}.例9設全集U={x|x是三角形},A={x|x是銳角三角形},B={x|x是鈍角三角形}求A∩B,CU(A∪B).設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x),x∈A

1.函數的概念函數值自變量定義域函數值的集合C={f(x)|x∈A}叫做函數的值域。函數的三要素：定義域、對應關系、值域。對于函數的概念，我們可以用“射擊模型”來加以理解。AB1235412345678910=C對應關系f之下，使得集合A和集合B中的元素滿足：“一對一”“多對一”（不能“一對多”）下列可作為函數y=f(x)的圖象的是ＡＢＣＤxxxxyyyyOOOO√．關于求定義域:（1）分母不等于零；偶次根式不小于零；每個部分有意義的實數的集合的交集；符合實際意義的實數集合．關于求值域：①y=3x+2(-1≤x≤1)RRRRR集合表示區間表示數軸表示{xa＜x＜b}(a,b)。。{xa≤x≤b}[a,b]..{xa≤x＜b}[a,b).。{xa＜x≤b}(a,b].。{xx＜a}(－∞,a)。{xx≤a}(－∞,a].{xx＞b}(b,+∞)。{xx≥b}[b,+∞).{xx∈R}(－∞,+∞)數軸上所有的點2.函數的表示法例3.某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1,2,3,4,5})個筆記本需要y元.試用函數的三種表示法表示函數y=f(x).問題1解：(1)解析法(2)列表法(3)圖象法X∈{1,2,3,4,5},解：由絕對值的概念，我們有

x,x≥0,-x,x＜0.

所以，函數y=|x|的圖象如右圖所示例5：畫出函數y=|x|的圖象。Y=12345y12x－33－2－10例6：某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規則制定

（1）5公里以內（含5公里），票價2元。（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里的按5公里計算）。如果某條路線的總里程為20公里，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象。解：設票價為y,里程為x，由題意可知，自變量的取值范圍是（0，20】由“招手即停”的票價制定規則，可得函數的解析式：Y=0＜x≤5,5＜x≤10,10＜x≤15,15＜x≤20,2,3,4,5,5151020x012345y分段函數

x,x≥0,-x,x＜0.Y=Y=0＜x≤5,5＜x≤10,10＜x≤15,15＜x≤20,2,3,4,5,1、在定義域的不同部分上，有不同的解析式。12345y12x－33－2－105151020x012345y2、圖象不是連續的而是分段的。

設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個由此可知，映射是函數的推廣，函數是一種特殊的映射。映射映射思考:映射與函數關系如何?映射的幾種形式：一對一，多對一3.函數的基本性質?畫出下列函數的圖象，觀察其變化規律：

1.從左至右圖象上升還是下降____? 2.在區間________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升引例2：分析一次函數f(x)=x

圖象Oxy引例3：分析二次函數的圖象Oxy引例3：分析二次函數的圖象Oxy引例3：分析二次函數的圖象Oxy引例3：分析二次函數的圖象Oxy引例3：分析二次函數的圖象Oxy引例3：分析二次函數的圖象Oxy引例3：分析二次函數的圖象Oxy引例3：分析二次函數的圖象Oxy引例3：分析二次函數的圖象1.在區間_______上,f(x)的值隨著x的增大而_____．2.在區間_______上,f(x)的值隨著x的增大而_____．

f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大減小從上面的觀察分析，能得出什么結論？歸納：從上面的觀察分析可以看出：不同的函數，其圖象的變化趨勢不同，同一函數在不同區間上變化趨勢也不同，函數圖象的這種變化規律就是函數性質的反映，這就是我們今天所要研究的函數的一個重要性質——函數的單調性如何用x與f(x)來描述上升的圖象？Oxy二、歸納探索，形成概念如何用x與f(x)來描述上升的圖象？Oxy如何用x與f(x)來描述上升的圖象？Oxy如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyx1＜x2如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)x1＜x2如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區間上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區間上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區間上任取x1,x2函數f(x)在給定區間上為增函數.x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區間上任取x1,x2如何用x與f(x)來描述下降的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函數f(x)在給定區間上為增函數.x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區間上任取x1,x2如何用x與f(x)來描述下降的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函數f(x)在給定區間上為增函數.在給定區間上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區間上任取x1,x2如何用x與f(x)來描述下降的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函數f(x)在給定區間上為增函數.x1＜x2

f(x1)＞f(x2)在給定區間上任取x1,x2x1＜x2

f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區間上任取x1,x2如何用x與f(x)來描述下降的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函數f(x)在給定區間上為增函數.函數f(x)在給定區間上為減函數.x1＜x2

f(x1)＞f(x2)在給定區間上任取x1,x21．增（減）函數一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域

I

內的某個區間D內的任意兩個自變量x1,x2

，當x1<x2

時，都有f(x1)<f(x2)（），那么就說f(x)在區間D上是增函數（減函數）．2．單調性與單調區間

如果函數y=f(x)在某個區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間。注意：（1）函數單調性是針對某個區間而言的，是一個局部性質;（2）x1,x2取值具有任意性。3．證明函數單調性的方法步驟

利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差：f(x1)－f(x2)；③變形：（通常是因式分解和配方）；④定號：（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；⑤下結論：（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．問題1

函數f(x)＝x2.在(－∞,0]上是減函數，在[0,+∞)上是增函數.當x≤0時，f(x)≥f(0)，

x≥0時，f(x)≥f(0).從而x∈R，都有f(x)≥f(0).因此x＝0時，f(0)是函數值中的最小值.問題2

函數f(x)＝－x2.同理可知x∈R，都有f(x)≤f(0).即x＝0時，f(0)是函數值中的最大值.函數最大值概念：二、講授新課函數最大值概念：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I.如果存在實數M，滿足：二、講授新課函數最大值概念：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I.如果存在實數M，滿足：(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M.二、講授新課函數最大值概念：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I.如果存在實數M，滿足：(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.二、講授新課函數最大值概念：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I.如果存在實數M，滿足：(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數y＝f(x)的最大值.記作：y|max=M或f(x)max=M二、講授新課最大值的幾何意義：函數圖像上最高點的縱坐標。類比最大值的定義，請你給出最小值的定義。函數最小值概念：二、講授新課函數最小值概念：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I.如果存在實數M，滿足：二、講授新課函數最小值概念：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I.如果存在實數M，滿足：(1)對于任意x∈I，都有f(x)≥M.二、講授新課函數最小值概念：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I.如果存在實數M，滿足：(1)對于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.二、講授新課函數最小值概念：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I.如果存在實數M，滿足：(1)對于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數y＝f(x)的最小值.記作：y|min=M或f(x)min=M二、講授新課yx20123-1-2-313456f(-3)=9y=x29410149-1x-3-20123實際上，對于R內任意的一個x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),……f(-x)f(x)表（1）填寫表（1），你發現了什么？f(-1)=1f(-2)=4x-xy=x2=f(1)=f(2)=f(3)=這時我們稱函數y=x2為偶函數。1.偶函數定義：

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數。

例如：函數y=x2+1，都是偶函數，它們的圖象分別如下圖(1)、(2)所示.如果一個函數是偶函數,則它的圖象關于y軸對稱。yxoy=x2偶函數的圖像特征反過來，如果一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數為偶函數。,是偶函數嗎？問題：0x123-1-2-3123456y不是。性質：偶函數的定義域關于原點對稱解：性質：偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反。xoy=x2例：3210-1-2-3-1x-3-20123f(-3)=-3=實際上，對于R內任意的一個x,都有f(-x)=-x=-f(x),這時我們稱函數y=x為奇函數。0xy123-1-2-1123-2-3……f(-x)-f(x)f(x)=x填寫表（3），你發現了什么？f(-1)=-1f(-2)=-2=x-x表（3）-f(1)=-f(2)-f(3)=f(x)=x0xy123-1-2-1123-2-3填寫表（4），你發現了什么？f(-3)==-f(3)f(-1)=-1=-f(1)f(-2)==-f(2)……f(-x)=-f(x)f(-x)=-1/x=-f(x),這時我們稱函數y=1/x為奇函數。13210-2-3x-1-1表（4）實際上，對于非零實數集內任意的一個x,都有2.奇函數定義：

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=－

f(x)，那么f(x)就叫做奇函數。

奇函數的圖像特征y=x3xyO如果一個函數是奇函數，則它的圖象關于原點對稱。反過來如果一個函數的圖象關于原點對稱，則這個函數為奇函數。問題：

是奇函數嗎？-30xy123-1-2-1123-2-3解：不是。性質：奇函數的定義域關