1.2直角三角形第1課時1.了解勾股定理及其逆定理的證明方法．2.進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力．3.結合具體例子了解逆命題、逆定理的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立．4.在數學活動中，獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心，對數學命題的獲得產生好奇心和求知欲．學習目標重點難點準備好了嗎？一起去探索吧！直角三角形復習回顧

直角三角形的性質：1.直角三角形的兩個銳角互余；2.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.3.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

a2+b2=c2B

C

A

bca30°

∠A+∠B=90°

直角三角形的兩個銳角有怎樣的關系？為什么？在直角三角形中，兩個銳角的和等于90°探究，即這兩個銳角互余.由三角形內角和定理，易得：兩銳角的和=180°–90°=90°.如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？為什么？是直角三角形請你試著證明一下吧！已知：如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°.求證：△ABC是直角三角形.探究證明：在△ABC中，根據三角形內角和定理有：∠A+∠B+∠C=180°，又有∠A+∠B=90°，∴∠C=180°–90°=90°.∴△ABC是直角三角形.證明：如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形.B

C

A

定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

勾股定理的各種表達式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，則：a2b2

c2b2

c2-a2a2

c2-b2探究求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長：①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.5思考

：以前我們已經學過了通過角的關系來確定直角三角形，可不可以通過邊來確定直角三角形呢？探究

探究方法一：拼圖計算方法二：割補法方法三：趙爽的弦圖方法四：總統證法方法五：青朱出入圖方法六：達·芬奇證明法

在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的辦法得出“這個三角形是直角三角形”的結論.你能證明這個結論嗎？勾股定理證明的方法：勾股定理?直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.探究△ABC≌△A′B′C′

？∠A是直角△ABC是直角三角形A

B

C

已知：如圖，在△ABC中，滿足AB2+AC2=BC2．求證：△ABC是直角三角形．構造兩直角邊分別為AB，AC的Rt△A′B′C′探究證明：作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，則

A′B′2+

A′C′2=

B′C′2(勾股定理)∵

AB2+

AC2=

BC2，A′B′=AB，A′C′=AC，∴BC2=B′C′2.∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的對應角相等)

因此，△ABC是直角三角形.A

B

C

探究定理：

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.ACBabca2+b2=c2

直角三角形作用：判斷三角形是否為直角三角形.注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式.核心：只要滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三

角形為直角三角形，最長邊所對應的角為直角.議一議定理1

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.定理2如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，

那么這個三角形是直角三角形.前面我們學習了兩個定理，分別為：ACBabca2+b2=c2議一議命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b2=c2條件結論問題1：兩個命題的條件和結論分別是什么？問題2：兩個命題的條件和結論有何聯系？它們是條件和結論正好相反的兩個命題.議一議再觀察下面三組命題:如果兩個角是對頂角，那么它們相等；如果兩個角相等，那么它們是對頂角.如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的角所對的邊相等.上面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎?

在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.議一議命題與逆命題：等腰三角形有兩個角相等.有兩個角相等的三角形是等腰三角形.互逆命題想一想

你能寫出命題“如果兩個有理數相等，

那么它們的平方相等”的逆命題嗎?想一想:一個命題是真命題，它的逆命題是真命題還是假命題?它們都是真命題嗎?如果兩個有理數的平方相等，那么這兩個數相等.假命題一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題.我們已經學習了一些互逆的定理,如：勾股定理及其逆定理；

兩直線平行，內錯角相等；

內錯角相等，兩直線平行.你還能舉出一些例子嗎?如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.想一想典型例題

例

若△ABC的三邊a，b，c

滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC是否是直角三角形？解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2－6a

+b2－8b+c2－10c+50=0a2－6a

+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0∴a=3，b=4，

c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.【分析】把所給的等式進行因式分解，分解后的每項因式整理為非負數相加得0的形式，求出三角形三邊的關系，進而判斷三角形的形狀.隨堂練習1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠B=∠C-∠AB.a2=(b+c)(b-c)C.∠A：∠B：∠C=5：4：3D.a:b:c=5

:4:3C2.下列定理中，有逆定理的定理個數是（

）①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；②若三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形；③全等三角形的對應角相等；④若a=b，則a2=b2.A.1個B.2個 C.3個 D.4個B隨堂練習3.說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，同旁內角互補；(3)如果ab=0，那么a=0，b=0.解：(1)四邊形是多邊形為真命題，逆命題：多邊形是四邊形，此逆命題為假命題；(2)兩直線平行，同旁內角互補為真命題，逆命題：同旁內角互補，兩直線平行，此逆命題為真命題；

(3)如果ab=0，那么a=0，b=0為假命題；逆命題：如果a=0，b=0，那么ab=0，此逆命題為真命題.隨堂練習4.在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的長.【分析】由等腰三角形的判定可得AC=BC=3，由三角形的內角和定理可求得∠C=90°，再利用勾股定理計算可求解.CAB3解:∵∠A=∠B=45°，∴AC=BC=3，∠C=180°-45°-45°=90°，∴AB=隨堂練習5.已知：在△ABC中，∠ACB=90°，D為邊AC上的任意一點.

求證：BD2+AC2=CD2+AB2.證明:∵∠ACB=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2，∴BC2=AB2-AC2；又∵在Rt△BCD中.BC2=BD2-CD2，∴AB2-AC2=BD2-CD2.即

BD2+AC2=CD2+AB2.ACBD勾股定理的逆定理：直角三角形定理與逆定理：

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.命題與逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.教科書

習題1.5第1、2題再見1.2直角三角形第2課時配套北師大版1.能夠證明直角三角形全等的“HL”定理，能用尺規(guī)完成已知一條直角邊和斜邊作直角三角形；2.利用“HL”定理解決實際問題；3.通過對一般三角形與直角三角形全等判定方法的比較初步感受普遍性與特殊性之間的辯證關系；4.進一步掌握推理證明的方法，提升演繹推理能力和思維能力.學習目標重點難點準備好了嗎？一起去探索吧！直角三角形復習回顧

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理：

勾股定理的逆定理：

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.B

C

A

a2+b2=c2abc問題2：在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，欲證△ABC

≌△DEF，還需條件

或

或

.復習回顧問題1：三角形全等的公理及推論有哪些？判定公理:SSS，SAS,ASA；推論：AAS.∠B=∠E∠C=∠FAC=DFABCDEF探究不一定全等.已知兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一組等邊所對的角是直角呢?做一做已知:線段a、c(a﹤c)，

直角α.求作：Rt△ABC,使∠C=∠α

，BC=a，AB=c.已知一條直角邊和斜邊，求作一個直角三角形.caα你能畫出這個三角形嗎？

做一做作法：1.作∠MCN=∠α=90°；2.在射線CM上截取線段CB=a；3.以點B為圓心，線段c的長為半徑畫弧，交射線CN于點A；

4.連接AB，得到Rt△ABC.BAMCN已知:線段a、c(a﹤c)，

直角α.求作：Rt△ABC，

使∠C=∠α

，BC=a，AB=c.已知一條直角邊和斜邊，求作一個直角三角形.

交流(1)你作的

△ABC是唯一的嗎？(2)拿著你剛畫好的直角三角形，和同桌的及小組內比比看，這些直角三角形有怎樣的關系呢？

交流探索探究定理：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示.前提條件1條件2你能證明它的正確性嗎？探究證明：在△ABC中，∵∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2(勾股定理)

同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′∴△ABC

≌△A′B′C′(SSS).已知：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，

AB=A′B′，AC=A′C′.求證：△ABC

≌△A′B′C′ACBA′C′B′【分析】根據勾股定理求出BC及B′C′，再根據SSS定理進行判定.

探究在Rt△ABC

與Rt△

DEF中

AC=DF

AB=DE

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)ABCDEF“HL”僅適用直角三角形.幾何語言：

探究判定兩個直角三角形全等的方法：“邊、邊、邊”或“SSS”“邊、角、邊”或“SAS”“角、邊、角”或“ASA”“角、角、邊”或“AAS”“斜邊、直角邊”或“HL”想一想：你能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等？直角三角形特殊判定方法典型例題

如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關系.

例

【分析】由圖可得△BAC與△EDF均是直角三角形，由已知可根據HL定理判斷兩三角形全等.∠B的對應角是∠DEF，∠DEF是∠F的余角.典型例題

如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜∠B和∠F的大小有什么關系.

例

解：根據題意，可知：∠BAC=

∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL)，∴∠B=∠DEF(全等三角形對應角相等)，∵∠DEF+∠F=90o，∴∠B+∠F=90°.隨堂練習

1.判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個銳角分別相等的兩直角三角形全等；(2)斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等；(3)兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等；(4)一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等.假命題真命題真命題真命題隨堂練習2.如圖，點P是∠BAC內一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，PE＝PF，則直接得到△PEA≌△PFA的理由是()A．HLB．ASAC．AASD．SASA3.如圖，點D，A，E在直線l上，AB＝AC，BD⊥l于點D，CE⊥l于點E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，則DE＝

．第2題第3題8隨堂練習4.已知：如圖，D是△ABC