重慶市普通高中2024屆高一上數學期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．某數學興趣小組設計了一種螺線，作法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，并作等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，BA為半徑逆時針畫圓弧，交線段CB的延長線于點D；再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧，交線段AC的延長線于點E，以此類推，得到的螺線如圖所示．當螺線與直線有6個交點（不含A點）時，則螺線長度最小值為（）A. B.C. D.2．已知向量，且，則實數=A B.0C.3 D.3．如圖所示，點P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角（）A.90° B.60°C.45° D.30°4．已知集合，，有以下結論：①；②；③．其中錯誤的是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③5．已知當時，函數取最大值，則函數圖象的一條對稱軸為A. B.C. D.6．函數的最小正周期是（）A.1 B.2C. D.7．高斯是德國著名的數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，，已知函數()，則函數的值域為（）A. B.C. D.8．設函數的定義域，函數的定義域為，則（）A. B.C. D.9．“四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知，且，則的最小值為（）A.3 B.4C.6 D.911．已知函數f(x)=3x???????A. B.C. D.12．已知函數，對于任意，且，均存在唯一實數，使得，且，若關于的方程有4個不相等的實數根，則的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術.現有兩名剪紙藝人創作甲、乙兩種作品，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名藝人上午創作的甲作品數和乙作品數，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名藝人下午創作的甲作品數和乙作品數，i=1，①該天上午第1名藝人創作的甲作品數比乙作品數少；②該天下午第1名藝人創作的乙作品數比第2名藝人創作的乙作品數少；③該天第1名藝人創作的作品總數比第2名藝人創作的作品總數少；④該天第2名藝人創作的作品總數比第1名藝人創作的作品總數少.其中所有正確結論序號是___________.14．若點在函數的圖象上，則的值為______.15．若直線與圓相切，則__________16．若函數是R上的減函數，則實數a的取值范圍是___三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知關于一元二次不等式的解集為.（1）求函數的最小值；（2）求關于的一元二次不等式的解集.18．某公司今年年初用萬元收購了一個項目，若該公司從第年到第（且）年花在該項目的其他費用（不包括收購費用）為萬元，該項目每年運行的總收入為萬元（1）試問該項目運行到第幾年開始盈利？（2）該項目運行若干年后，公司提出了兩種方案：①當盈利總額最大時，以萬元的價格賣出；②當年平均盈利最大時，以萬元的價格賣出假如要在這兩種方案中選擇一種，你會選擇哪一種？請說明理由19．如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點（１）證明：平面平面；（２）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積20．我們知道，聲音由物體的振動產生，以波的形式在一定的介質（如固體、液體、氣體）中進行傳播．在物理學中，聲波在單位時間內作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強I（）．但在實際生活中，常用聲音的聲強級D（分貝）來度量．為了描述聲強級D（）與聲強I（）之間的函數關系，經過多次測定，得到如下數據：組別1234567聲強I（）①聲強級D（）1013.0114.7716.022040②現有以下三種函數模型供選擇：（1）試根據第1-5組的數據選出你認為符合實際的函數模型，簡單敘述理由，并根據第1組和第5組數據求出相應的解析式；（2）根據（1）中所求解析式，結合表中已知數據，求出表格中①、②數據的值；（3）已知煙花的噪聲分貝一般在，其聲強為；鞭炮的噪聲分貝一般在，其聲強為；飛機起飛時發動機的噪聲分貝一般在，其聲強為，試判斷與的大小關系，并說明理由21．對于兩個函數：和，的最大值為M，若存在最小的正整數k，使得恒成立，則稱是的“k階上界函數”.（1）若，是的“k階上界函數”.求k的值；（2）已知，設，，.（i）求的最小值和最大值；（ii）求證：是的“2階上界函數”.22．已知，計算下列各式的值.（1）；（2）.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】根據題意，找到螺線畫法的規律，由此對選項逐一分析，從而得到答案【詳解】第1次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為；第2次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計1次；第3次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為3，交累計2次；第4次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為；第5次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計3次；前5次累計畫線；第6次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計4次，累計畫線；第7次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為；第8次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計5次；第9次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計6次，累計畫線，故選項A正確故選：A另解：由前三次規律可發現，每畫三次，與l產生兩個交點，故要產生6個交點，需要畫9次；每一次畫的圓弧長度是以為首項，為公差的等差數列，所以前9項之和為：﹒故選：A﹒2、C【解析】由題意得，，因為，所以，解得，故選C.考點：向量的坐標運算.3、B【解析】將原圖還原到正方體中，連接SC，AS，可確定（或其補角）是PB與AC所成的角.【詳解】因為ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，可將原圖還原到正方體中，連接SC，AS，則PB平行于SC，如圖所示.∴（或其補角）是PB與AC所成的角，∵為正三角形，∴，∴PB與AC所成角為.故選：B.4、C【解析】解出不等式，得到集合，然后逐一判斷即可.【詳解】由可得所以，故①錯；，②錯；，③對，故選：C5、A【解析】由最值確定參數a,再根據正弦函數性質確定對稱軸【詳解】由題意得因此當時，，選A.【點睛】本題考查三角函數最值與對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎題.6、A【解析】根據余弦函數的性質計算可得；【詳解】因為，所以函數的最小正周期；故選：A7、B【解析】先利用換元思想求出函數的值域，再分類討論，根據新定義求得函數的值域【詳解】()，令，可得，在上遞減，在上遞增，時，有最小值，又因為，所以當時，，即函數的值域為，時，；時，；時，；的值域是故選：B【點睛】思路點睛：新定義是通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.8、B【解析】求出兩個函數的定義域后可求兩者的交集.【詳解】由得，由得，故，故選：B.【點睛】本題考查函數的定義域和集合的交，函數的定義域一般從以下幾個方面考慮：（1）分式的分母不為零；（2）偶次根號（，為偶數）中，；（3）零的零次方沒有意義；（4）對數的真數大于零，底數大于零且不為1.9、A【解析】由菱形和平行四邊形的定義可判斷.【詳解】解：四邊形是菱形則四邊形是平行四邊形，反之，若四邊形是平行四邊形則四邊形不一定是菱形，所以“四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”充分不必要條件.故選：A.10、A【解析】將變形為，再將變形為，整理后利用基本不等式可求最小值.【詳解】因為，故，故，當且僅當時等號成立，故的最小值為3.故選：A.【點睛】方法點睛：應用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數變形以產生和為定值或積為定值的局部結構.求最值時要關注取等條件的驗證.11、B【解析】根據對數的運算性質求出，再根據指數冪的運算求出即可.【詳解】由題意知，，則，所以.故選：B12、A【解析】解：由題意可知f（x）在[0，+∞）上單調遞增，值域為[m，+∞），∵對于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一實數t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數，值域為（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m∵|f（x）|＝f（）有4個不相等的實數根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴則a的取值范圍是（﹣4，﹣2），故選A點睛：本題中涉及根據函數零點求參數取值，是高考經常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解；（2）分離參數后轉化為函數的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數的圖象與參數的交點個數；（3）轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、①②④【解析】根據點的坐標的意義結合圖形逐個分析判斷即可【詳解】對于①，由題意可知，A1的橫、縱坐標分別為第1名藝人上午創作的甲作品數和乙作品數，由圖可知A1的橫坐標小于縱坐標，所以該天上午第對于②，由題意可知，B1的縱坐標為第1名藝人下午創作的乙作品數，B2的縱坐標為第2名藝人下午創作的乙作品數，由圖可知B1的縱坐標小于B2的縱坐標，所以該天下午第對于③，④，由圖可知，A1,B1的橫、縱坐標之和大于A2故答案為：①②④14、【解析】將點代入函數解析式可得的值，再求三角函數值即可.【詳解】因為點在函數的圖象上，所以，解得，所以，故答案為：.15、【解析】由直線與圓相切可得圓心到直線距離等與半徑，進而列式得出答案【詳解】由題意得，，解得【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于一般題16、【解析】按照指數函數的單調性及端點處函數值的大小關系得到不等式組，解不等式組即可.【詳解】由題知故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）（2）【解析】（1）由題意可得，解不等式求出的取值范圍，再利用基本不等式求的最小值；（2）不等式化為，比較和的大小，即可得出不等式的解集.【小問1詳解】因為關于一元二次不等式的解集為，所以，化簡可得：，解得：，所以，所以，當且僅當即，的最小值為.【小問2詳解】不等式，可化為，因為，所以，所以該不等式的解集為.18、（1）第年（2）選擇方案②，理由見解析【解析】（1）設項目運行到第年盈利為萬元，可求得關于的函數關系式，解不等式可得的取值范圍，即可得出結論；（2）計算出兩種方案獲利，結合兩種方案的用時可得出結論.【小問1詳解】解：設項目運行到第年的盈利為萬元，則，由，得，解得，所以該項目運行到第年開始盈利【小問2詳解】解：方案①，當時，有最大值即項目運行到第年，盈利最大，且此時公司總盈利為萬元，方案②，當且僅當，即時，等號成立即項目運行到第年，年平均盈利最大，且此時公司的總盈利為萬元.綜上，兩種方案獲利相等，但方案②時間更短，所以選擇方案②19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】（１）由面面垂直的判定定理很容易得結論；（２）所求三棱錐底面積容易求得，是本題轉化為求三棱錐的高，利用直線與平面所成的角為，作出線面角，進而可求得的值，則可得的長試題解析：（1）如圖，因為三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的邊的中點，所以又，因此平面而平面，所以平面平面（2）設的中點為，連結,因為是正三角形，所以又三棱柱是直三棱柱，所以因此平面，于是為直線與平面所成的角，由題設，，所以在中，，所以故三棱錐的體積考點：直線與平面垂直的判定定理；直線與平面所成的角；幾何體的體積．20、（1），理由見解析（2），（3），理由見解析【解析】（1）根據表格中的數據進行分析，可排除一次函數和二次函數，再根據待定系數法，即可得到結果；（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①處的值；由已知可得時，可得，進而可求出當時的值，進而求出②處的值；（3）設煙花噪聲、鞭炮噪聲和飛機起飛時發動機噪聲的聲強級分別為，由已知可得，代入關系式，即可判斷與的大小關系.【小問1詳解】解：選擇.由表格中的前四組數據可知，當自變量增加量為時，函數值的增加量不是同一個常數，所以不應該選擇一次函數；同時當自變量增加量為時，函數值的增加量從變為，后又縮小為，函數值的增加量越來越小，也不應該選擇二次函數；故應選擇.由已知可得：，即，解之得所以解析式為.【小問2詳解】解：由（1）知，令，可得，，故①處應填；由已知可得時，，所以，又當時，，故②處應填.【小問3詳解】解：設煙花噪聲、鞭炮噪