備戰(zhàn)2022年高考名師預(yù)測模擬卷(11)

一.填空題(共12小題)

1.設(shè)集合A={—1,1,2,5},fi={x|2gijr6),則ArpU_Q—S}—.

【解答】解：；A={-1,1,2,5),B={x|2M6},

"0|3={2，5}.

故答案為：{2,5}.

2.若復(fù)數(shù)z滿足z-(l+i)=2(i為虛數(shù)單位)，則

【解答】解:因為z-(l+i)=2,

所以z=2=2(1-,)=m=一

1+i(1+0(1-/)2

故答案為：1-L

374

3.三階行列式|1561的值為44.

200

374

【解答】解：|1561=3x5x0+1x0x4+6x7x2-2x5x4-6x0x3-7x1x0=44.

200

故答案為：44.

4.在AA8C中，若b=2血,B=~,sinA=-,則。=-.

43-3一

【解答】解：由正弦定理知，—.

sinAsinB

.6/272

1.71

-sin—

34

4

ci=-?

3

故答案為：

3

5.已知函數(shù)f(x)=3'+e最小值為?貝心=_￡_.

【解答】解：/(x)=3v+—^―=3A+1+———1,

y+13r+i

令3"+l=W>l),

原函數(shù)化為g(/)=r+?-l,

若0,則g(f)在(l,+oo)I二為增函數(shù)，函數(shù)無最小值;

若a>0,則g(f)..2^?--1=2\[a一1,

當(dāng)且僅當(dāng)，=色，即，=6時函數(shù)求得最小值，

t

由2—1=—,得a=3.

39

故答案為：

9

6.已知(l+x)〃的展開式中，唯有V的系數(shù)最大，則(1+幻〃的系數(shù)和為64.

【解答】解：由題意，C>c；,且c：〉c：,

所以〃=6,

所以令x=l,(l+x)6的系數(shù)和為26=64.

故答案為：64.

7.某學(xué)校從4名男生、3名女生中選出2名擔(dān)任招生宣講員，則在這2名宣講員中男、女

生各1人的概率為-(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示).

~7~

【解答】解：某學(xué)校從4名男生、3名女生中選出2名擔(dān)任招生宣講員，

基本事件總數(shù)〃=2=21,

在這2名宣講員中男、女生各1人包含的基本事件個數(shù)機(jī)=C：C；=12,

則在這2名宣講員中男、女生各1人的概率為P=?=U=3.

n217

故答案為：

7

8.已知正三角形ABC邊長為1,點。在邊5C上且則A夙A/5=-.

3-6―

【解答】解：ABAD=AB\AB+^BC)

=AB+-ABBC

3

=1+—xlxlxcos120°

3

_5

-6.

故答案為：

6

9.已知中心在原點的雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為尸(近，0).直線y=x-1與該雙曲線交于

M,N兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為-2,則此雙曲線的方程是三-工=1.

3-25一

>>2

【解答】解：設(shè)雙曲線方程為與-2=1.

ab

22

將y=x—1代入之一與=1,整理得(〃-。2比2+2"x-/-/從二。

ab

由韋達(dá)定理得西+赴二五彳，則三上2=/^=一2.

又。2=/+62=7,解得/=2,b12=5,

所以雙曲線的方程是三-亡=1.

25

r2v2

故答案為：------=1-

25

10.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(2—x)+f(x)=0,當(dāng)xe(0,1］時，/(x)=-log2x,

若函數(shù)尸(x)=/(x)-sinG,在區(qū)間［-2,〃”上有2021個零點，則機(jī)的取值范圍是_［1008L

2017

丁一

【解答】解：由題意，函數(shù)f(x)為R上奇函數(shù)，所以"0)=0,R/(-x)=-/(%),

又/(2-x)+f(x)=0,可得f(2-x)=-/(x),可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱,

聯(lián)立可得/(2-x)=/(-x),所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，

又由函數(shù)y=sin和r的周期為2,且關(guān)于點(％,0)(%eZ)對稱，

因為當(dāng)xw(0,1］時,/(x)=-log2x,由圖像可知,

函數(shù)/(x)=-log2X和y=sin%x的圖像在［一1,1)上存在為=-1,吃=-g,$=0,工4=；四個零

點，即一個周期內(nèi)有4個零點，

要使得函數(shù)P(x)=f(x)-sin萬x,在區(qū)間［-2,間上有2021個零點，

其中X,=—2,X2=—/玉=一1，七=-g都是函數(shù)的零點，

即函數(shù)F(x)=/(x)-sinG在［0,刈上有2017個零點，

如果根是第2017個零點，則m=20)二1x2=1008,

4

如果根是第2018個零點，則m=1008+上1=9絲01’7，

22

B|bnG[1008,-y-).

11.已知直線/:y=-x+l與x軸交于點A,將線段Q4的〃等分點從左至右依次記為/>,

心，過這些分點分別作X軸的垂線，與直線/的交點依次為。I，。2…，從而得

到1個直角三角形△Qzl鳥，…，￡.2，若這些三角形的面積之和為5“,

則則s,=—!

【解答】解：由題意，A(l,0),則［d,0)，6(2,0).....初(生」,0)，

nnn

可得Q(±I)，Q,(Z,g)，…2I(T」)，

nnnnnn

???直角三角形△2O《，△046,…，匕立2的面積分別為巴?，匕3

2〃2n2n2

(1+n-l)(n-1)

c12n-12n-1

S=---H----+…-I----=------個------=----

2〃~2〃~2n227r4〃

則limS=lim—~~-=—?

”一>ooltn—>oo4/74

1

故答案為:4-

X---r<f)

12.已知函數(shù)={x,若對任意的王￡[2,+00),都存在電以-2,-1],使

\x-a\x.O

、7

得/⑷//)”，則實數(shù)。的取值范圍為

【解答】解：?.?%)￡[2,+oo),x2G[-2,-1],/(x2)>0,

Q〃

(羽---y\x}-a\..a,即對任意的X]G[2,+<?),都存在x,G[-2,-11，使…----—

」X2---

42

恒成立,

X?

當(dāng)小0時，顯然不等式恒成立；

當(dāng)Ovav2時，2—a...—,解得0<?,—；

74

當(dāng)〃..2時，1%-a|￡[O,4-OO）,此時不成立.

綜上，4,一.

4

7

故答案為：（-°°q]

二.選擇題（共4小題）

13.已知p:4=0,q:A^\B=09則p是鄉(xiāng)的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：由已知4=0=40|3=0，反之不成立，得〃是q的充分不必要條件，所以

選A.

故選：A.

14.已知點P（4,加）是直線/是參數(shù)）和圓。是

[y=-5+f[y=5sin。

參數(shù)）的公共點，過點。作圓c的切線則切線4的方程是（）

A.3x-4y-28=0B.3x+4y-28=0C.3x-y-13=0D.x-3y-16=0

fVi+3/

【解答】解：直線=二巧:f是參數(shù)）轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x-3y-16=0.

由于點尸（4,㈤在直線上，

故m=—3>

所以P（4,-4）,

設(shè)圓C的切線&的方程為y+4=k（x-4）,整理得fcc-y-4k-3=0.

由于直線與圓相切，故圓心（1,0）到直線版-y-奴-3=0的距離d=匕竺3=5,

Jl+公

解得女=3.

4

所以切線的方程為3x-4y-28=0.

故選：A.

15.點尸在直線/:y=x-l上，若存在過產(chǎn)的直線交拋物線y=d于A,3兩點，且

|PA|=|AB\,則稱點尸為“友善點”，那么下列結(jié)論中正確的是()

A.直線上的所有點都是“友善點”

B,直線上僅有有限個點是“友善點”

C.直線上的所有點都不是“友善點”

D.直線上有無窮多個點(不是所有的點)是“友善點”

【解答】解：如圖，設(shè)點A(小〃),P(x,x-1),則點3的坐標(biāo)為(2〃7-X,2〃-X+1),

「A,8在y=X2上，

/."n,，消去”整理可得x?-(4,*-l)x+2療-1=0①，

2n-x+\=(2m-xY

而△=(4根-1)2-4(2加-1)=8加-8相+5>0恒成立，

方程①恒有實數(shù)解.

故選：A.

16.已知函數(shù)y=/(x)的定義域為R,給出下列兩個結(jié)論：

①若函數(shù)丁=/(x)的圖象是軸對稱圖形，則函數(shù)y=f(f(x))的圖象是軸對稱圖形；

②若函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形，則函數(shù)y=f(/(x))的圖象是中心對稱圖形;

它們的成立情況是()

A.①成立，②不成立B.①不成立，②成立

C.①②均不成立D.①②均成立

【解答】解：①錯誤；

-LY-1x0

反例：f(x)=2',圖像關(guān)于直線y=3x-l對稱，

—2x--1,x<0

當(dāng)x..2時，/(/W)=-1(-1x-D-l=-x-j-

當(dāng)0,,x<2時，/(/(x))=-2(-x-1)-1=-x+1,

當(dāng)一g,,x<0時，/(/(%))=-2(-2x-1)-1=4x+1,

113

當(dāng)x<一］時，/(/W)=-(-2x-l)-l>

/(x)及/(/(%))的圖像如下所示：

故函數(shù)y=/(/(X))的圖象不是軸對稱圖形；

對于②，假設(shè)f(x)=sinx+l,其對稱中心為(0,1),

而/(/(-x))=/(I-sinx)=sin(l-sinx)+l,/(/(x))=/(I+sinx)=sin(l+sinx)+l,

則/(x)的圖象不是中心對稱圖形，②錯誤；

故選：C.

三.解答題(共5小題)

17.如圖，已知點P在圓柱0。1的底面圓O上，4?為圓O的直徑，04=2,ZAOP=120°,

三棱錐A-4P8的體積為孚.

(1)求圓柱。。1的表面積；

(2)求異面直線4Q與OP所成角的余弦值.

【解答】解：(1)由題意，在A4OP中，OA=OP=2,ZAOP=120°,所以"=26，

在MOP中，OB=OP=2,ZBOP=60。，所以8P=2,

因為三棱錐A-APB的體積為苧.

所以匕1T即=-V3,解得AA=4,

故圓柱OO|的表面積為％=2%*2?+2/rX2X4=24i.

(2)取A4，中點。，連接OQ,PQ,則OQ//AB,

得NPO。或它的補(bǔ)角為異面直線與OP所成的角，

又AP=2GAQ=AO=2,得OQ=2應(yīng)，PQ=4,

由余弦定理得cosZPOQ=-P。,

2xPOxOQ4

18.已知函數(shù)f(x)=2sinxcos2g+cosxsin＜p-sinx(0＜夕＜》)在》=萬處取最小值.

(1)求3的值；

JT13

(2)已知/(2工一亍)=屋且乃，乃)，求sin2x的值.

【解答】解：(1)函數(shù)

/(x)=2sinxcos^+cosxsin^-sinx=sinxcos^+cosxsin^sin(x+^),

由于在X=4處取最小值，且0＜夕＜乃，

所以e=5.

所以：/(X)=COSX.

3

(2)由于,萬),

匚匚I、I77c_7C5zr_4、1

所以—＜2,x--v—,cos(2x---)=—，

63333

所以§皿2不一馬二逑.

33

退_2&+6

所以sin2x=sin(2x----F—)=---x—+-x

33323

19.有一條長為120米的步行道。4,4是垃圾投放點叫，若以。為原點，為x軸正半

軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點3(x,0),現(xiàn)要建設(shè)另一座垃圾投放點電《,0),函數(shù)￡(x)表示與B

點距離最近的垃圾投放點的距離.

(1)若f=6O,求啟(10)、九(80)、/(95)的值,并寫出幾(幻的函數(shù)解析式;

(2)若可以通過f(x)與坐標(biāo)軸圍成的面積來測算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利.問：

垃圾投放點g建在何處才能比建在中點時更加便利？

【解答】解:(1)投放點的(120,0),七(60,0),140a0)表示與8(10,0)距離最近的投放點(即

句)的距離,

60

所以￡0(1°)=1-1。1=5。，同理分析，^(,(80)=|60-80|=20,幾(95)=|120-951=25，

由題意得,D={|60-x|,1120-x|

則當(dāng)|60-x|”|120-x|,即％,90時,九(x)=|60-x|；

當(dāng)|60-x|>|120-x|,即x>90時，4,(x)=|120-x|；

160-x|,x,90

綜上加(x)=

|120-x|,x>90

⑵由題意得/(x)={|-x|,|120-刈}“而，

所以巴:?、，則與坐標(biāo)軸圍成的面積如陰影部分所示,

[|120-x|,x>0.5(120+1)

ii3

所以S=—產(chǎn)+—(120—。2=巳/一60,+3600,

244

由題意，S<5(60),即乙2-60/+3600<2700,

解得20</<60,即垃圾投放點里建在(20,0)與(60,0)之間時，比建在中點時更加便利.

20.已知A,8分別是橢圓C:=+與=l(a>b>0)的左、右頂點，O為坐標(biāo)原點，|A8|=6,

ab

點(21)在橢圓C上，過點P(0,-3)的直線/交橢圓C于M,N兩個不同的點.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點8落在以線段為直徑為圓的外部，求直線/的傾斜角。的取值范圍；

(3)當(dāng)直線/的傾斜角9為銳角時，設(shè)直線AM,AN分別交y軸于點S,T,記萬=

Pf=HPb,求/1+〃的取值范圍.

【解答】解:(1)由題知|A31=2〃，

因為|AB|=6,

所以2。=6,解得a=3,

又(2,9)在橢圓上,

所以3+二=1,

所以從=5,

v22

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕v=1.

95

(2)由(1)知3(3,0),

①當(dāng)直線/的斜率不存在時，

|MN|=2b=2后,

以MN為直徑的圓交x軸于(土石，0),

此時，點3在以MN為直徑的圓的外部，所以6=工，

2

②當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為y=fee-3,M(xt,y),N?,%),

y=Ax-3

2

由J,得（5+9公）*2-54丘+36=0,

--------1--=---1----

95

所以△=(544)2—4x36(5+9-)>0,解得女>上或％<—上,

33

所以k54k

36

因為點B在以MN為直徑的圓的外部，

所以<BM，BN>=a-3,kx、-3)(x2-3,任-3),

=(1+公)x,x2-3(1+k)(xt+X2)+18

36+36k2-3x54k(l+k)+18(5+9a)

―5+9k2

18(2攵—7)(攵—1)Z.XJZHt7_*x.

=-.....二——->0,解得一或kvl,

5+9公2

又因為女>女或女<—女，

33

777

所以攵<――或一<攵<1或,

332

所以直線/的傾斜角的范圍是(arctang,LJ(arctan,乃-arctan：

(3)設(shè)直線4的方程為y=h-3,

又因為直線人的傾斜角為銳角，

由(2)知，k>-,

3

設(shè)M(X,)I),N(x2，y2)?

所以直線AAf的方程為)，=x%(x+3),

直線4V的方程為y=(x+3),

工2+3

把x=0代入y=^^(x+3),得丫=且匚，即s(o,且匚),

%1+3%+3%+3

同理可得7(0,/也)，

42+3

所以麗=(0,^-+3),可=(0,^-+3),用=(0,3),

%+3X2+3

由尸S=PT=^PO.

可得A,=———F1?〃=———I-1，

%1+3馬+3

54436

由(2)知,%+%2

-5+9吠2為無2-5+9吠2

2kxx+3(左一1)(%+/)-18

所以+2=---y-2