課時10用空間向量研究距離、夾角問題新授課1.能利用投影向量推導出點到直線和點到平面的距離公式．2.能用向量方法解決點到直線、平行線間、點到平面、直線到平面（直線與平面平行）、平行平面間的距離問題．任務1：復習回顧平面向量的投影向量.目標一：能利用投影向量得到點到直線和點到平面的距離公式.如圖，在空間中任取一點，作，.1.怎樣表示向量b方向上的單位向量u？2.如何作出向量a在向量b方向上的投影向量？3.怎樣用單位向量u表示向量a在向量b方向上的投影向量及投影向量的模？2.過點M作MM1垂直于直線ON，垂足為M1，向量即為a在b方向上的投影向量.3.，即，.M1任務2：探究利用向量求解空間點到已知直線的距離的方法.已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，如何利用這些條件求點P到直線l的距離？PQlAu如圖，設，則向量在直線l上的投影向量在中，由勾股定理得點P到直線l的距離(1)若AP與直線l垂直，點P到直線l的距離還等于嗎？(2)在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點P以及直線l，那么點P應該如何確定？(3)求解距離的過程中是否需要確定垂線段的垂足？(1)若AP與l垂直，則，.(2)點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度不會隨著點A的變化而變化，故點A可以是直線l上的任意一點.(3)到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術平方根.因此，求解點P到直線l距離問題時，只需直線l的方向向量及l上任意一點A，這樣得到參考向量或，再求得直線的單位方向向量，帶入公式即可，因此不需要確定垂線段的垂足.(4)求點到直線距離的主要有哪些方法？歸納總結求點到直線距離的方法：1.作點到直線的垂線,點到垂足的距離即為點到直線的距離；2.在三角形中用等面積法求解；3.向量法，即點到直線的距離為參考向量的平方與投影向量的平方差的算術平方根.思考：類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行線間的距離？如圖，在其中一條直線上任取一點，將求兩條平行直線之間的距離轉化為求點到另一條直線的距離.l1l2uAPQa任務3：探究利用向量求解空間點到已知平面的距離的方法.已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P

是平面α外一點，過點P作出平面α的垂線l，交平面α于點Q.(1)類比點到直線距離的研究過程，如何用向量表示？點P到平面α的距離應該怎樣表示？如圖，向量在直線l上的投影向量是，且

lPQαnA(2)在立體幾何圖形中求解距離的問題時，已知條件中一般只會給出點P及平面α，那點A該如何確定？求解距離的過程中是否需要找出點P在平面α內的投影及垂線段？求解點P到平面α距離問題時，只需平面α的法向量及平面α內的任意一點A，這樣得到“參考向量”，明確點到平面的距離為參考向量與法向量數量積的絕對值與法向量的模之比，即參考向量與法向量方向上的單位向量的數量積取絕對值.因此點A可以是平面α內任意一點，不需要找出點P在平面α內的投影及垂線段.(3)求點到平面的距離主要有哪些方法？歸納總結求點到平面的距離的方法：1.作點到平面的垂線，點與垂足的距離即為點到平面的距離.2.在三棱錐中用等體積法求解.3.向量法：點到平面的距離為參考向量與法向量數量積的絕對值與法向量的模之比.思考：如果直線l與平面α平行，如何求直線與平面的距離？如何求兩平行平面之間的距離？證明直線與平面平行或面面平行，再轉化為點到平面的距離.目標二：能用向量方法解決點到直線、平行線間、點到平面、直線到平面（直線與平面平行）、平行平面間的距離問題.任務：用向量方法求解空間中點到直線和平面的距離.在棱長為1的正方體ABCD

－A1B1C1D1

中，E為線段A1B1的中點，F為線段AB的中點.（1）求點B到直線AC1的距離；（2）求直線FC

到平面AEC1的距離.解：以D1為原點，D1

A1，D1

C1，D1

D所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，C1(0,1,0)，所以（1）取則所以，點B到直線AC1的距離為設平面AEC1的法向量為n=(x,y,z)，則(2)因為所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1.所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離.所以取z=1，則x=1，y=2，所以n=(1,2,1)是平面AEC1的一個法向量.，所以又因為所以點F到平面AEC1的距離為即直線FC到平面AEC1的距離為思考：上述過程中，求點到直線和點到平面兩種距離的步驟是怎樣的？點P到直線l的距離：1.建系，在直線l上任取一點A(注：選擇特殊便于計算的點)，求“參考向量(或)”的坐標.2.依據圖形先求出直線l的單位方向向量u.3.帶入公式求解.點P到平面α的距離：1.建系，選擇“參考向量”；2.確定平面α的法向量n；3.帶入公式求值.歸納總結1.建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉化為向量問題；2.通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；3.把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論.空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：練一練

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點．(1)求點M到直線AC1的距離；(2)求點N到平面MA1C1的距離．解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，直線AC1的一個單位方向向量為，故點M到直線AC1的距離為.(2)設平面MA1C1的一個法向量為＝(x，y，z)，則，即取x＝1，得