2022年高考數學一輪復習驗收綜合模擬卷（一）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.已知復數z=4-2a—（8+a）i為純虛數，則實數（）

A.-16B.-AC.2D.4

【答案】C

【詳解】

山復數z=4-2a-（8+a）i為純虛數，所以4—2。=0旦8+。*0,解得a=2.

故選：C.

2.已知圓錐的表面積為3萬，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）

A.幣nB.BC.立兀D.6

33

【答案】C

【詳解】

解：設圓錐的底面半徑為r,圓錐的母線長為/,

由兀/=2nr,得/=2r,

又S=nr24-nr-2r=3兀產=3兀，

所以產=],解得r=1:

所以圓錐的高為〃一尸=J2?一4=耳,

所以圓錐的體積為兀X12xjj=立兀.

333

故選：C.

3.已知集合A=[(x,y)三|=2

,集合3={(x,y)|以一卜一2=0}，且Ap|8=0,則。=()

A.2B.-2C.一。和2D.1?和2

22

【答案】D

【詳解】

由^^=2可得2x-y-l=O（xx2）,故A={（x,y）|2x-y-l=0,x#2},

故集合A表示的是直線2x-y-l=0上除點（2,3）外的點的構成的集合.

①當直線以->-2=0與直線2x-y-l=0平行時，滿足AClB=0,此時。=2；

②當直線?7-2=0過點（2,3）時，滿足4|"|3=0,則2a-5=0,解得“=|.

綜上所述，4=2或

故選：D.

4.函數y=tan(2x-￡)的一個對稱中心是()

6

A.(~，0)B.(第,0)C.(￡,0)D.(￡,0)

12364

【答案】A

【詳解】

函數y=tan(2x-f)中，

令2x-'=1,keZ；

oZ

解得x.+q,解Z；

所以％=0時，y=tan(2x-￡)的一個對稱中心是U，0).

故選：A.

5.已知橢圓工+>2=1上一動點P到兩個焦點Fi,F2的距離之積為q,則q取最大值時，

4

△產斗鳥的面積為()

A.1B.小C.2D.2內

【答案】B

【詳解】

根據橢圓定義，IPKI+IP心|=2。=4,則|P耳|+|%|=4N2/^TT^1=2癡nq44,

當且僅當IM1=1PF。1=2時取

此時三角形是等腰三角形，易知匕=l,c=6,所以耳瑪的面積為==6

故選：B.

6.已知tana=-2,則---—()

cos2a

A.3B.—C.—D.—3

33

【答案】C

【詳解】

八,,,1+sin2a

解：tana=-2,則-----—

sin2a+cos2cr+2sintzcosa

cos2-si?n~~-a

_tan2a+l+2tana

1-tan2a

(-2)2+l+2x(-2)_1

1-(-2)?3

故選：C

7.已知f（3）=2J'（3）=-2,則21y（x）的值為（）

A.-4B.0C.8D.不存在

【答案】C

【詳解】

lim生魚區

?s3X-3

2x-6+6-3/(x)

=lim

x->3x-3

_2_^l?ni/(X)—2

z3X-3

二23%/(%)一/⑶

"x-3

=2-3/\3)

=2-3x(-2)

故選C.

8.甲、乙兩人拿兩顆如圖所示的正四面體骰子做拋擲游戲，規則如下：由一人同時擲兩個

骰子，觀察底面點數，若兩個點數之和為5,則由原擲骰子的人繼續擲；若擲出的點數之和

不是5,就由對方接著擲.第一次由甲開始擲，設第八次由甲擲的概率為巴，則%的值為

()

513257

A.----BC.----D.---

1024-I1024512

【答案】A

【詳解】

拋擲兩顆正四面體骰了觀察底面上的數字之和為5有4種情況，得點數之和為5的概率為

4_1

16-4'

第。次由甲擲有兩種情況:

一是第〃-1次由甲擲，第〃次由甲擲，概率為;Qi：

二是第〃-1次由乙擲，第”次由甲擲，概率為：（1-匕一1）.

1313

這兩種情況是互斥的，所以巴—即？=—5匕T+.，

即數列［匕-;｝是以4-;=;為首項，為公比的等比數列I,

所以

511

所以勺=所以兒=

1024

故選：A

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.）

9.在發生公共衛生事件期間，有專業機構認為該事件在一段時間內沒有發生大規模群體感

染的標志為“連續10天，每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日，甲、乙、丙、丁四地

新增疑似病例數據信息如下，則一定符合該標志的是（）

甲地：中位數為2,極差為5；

乙地：總體平均數為1,總體方差大于0;

丙地：總體平均數為2,眾數為2；

丁地總體平均數為2,總體方差為3.

A.甲地B.乙地

C.丙地D.丁地

【答案】AD

【詳解】

對A,因為甲地中位數為2,極差為5,故最大值不會大于2+5=7.故A正確.

對B,若乙地過去10日分別為0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,則滿足總體平均數為1,

總體方差大于0,但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故B錯誤.

對C,若丙地過去10日分別為0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,滿足總體平均數為2,眾

數為2,但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故C錯誤.

對D,假設至少有一天疑似病例超過7人，不妨設8人，則方差大于］X（8-2）2=3.6>3.與

題設矛盾，故連續10天，每天新增疑似病例不超過7人.故D正確.

故選：AD.

10.若0為坐標原點，OA=（n,m）,。豆=（：,，，尸（4,0）/而卜〃任1,|喬卜p+1,則

機+P的取值可能是（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】CD

【詳解】

m2+（/?-4）'=m2+2m+1,

由題意知。4Y22

I——4l+p~=p'+2p+i.

整理得2（根+p）=（"'+，）-8（〃+，）+30.

令/=〃+±貝！]+乂=1-8,3/e（-oo,-4]o[4,+<?）,

2（m+p）=/-8f+22=（r-4-626,

m+p>3,機+P的取值可能是3,6.

故選：CD

11.已知點P在圓C：（x-4）2+（y-5）2=5上，點A（4,0）,B（0,2）,則下列說法中正確的

是（）

A.點尸到直線AB的距離小于6B.點尸到直線AB的距離大于2

47T

c.8SNAP8的最大值為！D.Z4PB的最大值為工

52

【答案】BCD

【詳解】

解：?.■4（4,0）,仇0,2）,所以線段AB的中點為M（2,l）,kAB=^=~,所以線段4B的

1）—42

垂直平分線為y-l=2（x—2）,即y=2x-3,因為圓C：（x-4）2+（jv-5）2=5,圓心C（4,5）,

半徑r=5

又點C（4,5）恰在直線y=2x-3上，所以點尸到直線AB的距離最小值為

\CM\-r^22最大值為

>/（4-2）+（5-1）-^=75>2,

|CM|+r=J（4-2『+（5-l）2+后=3/>6,故A錯誤，B正確；

由正弦定理可知，當AWP的外接圓與圓C相內切時，NAPB最小，此時8s4P8最大,

此時尸恰在y=2x-3與(x-4)2+(y-5)2=5的一個交點上，由+('-5)=5解得

y=2x-3

JV5x—3/

{二7或1)二3,所以「(5,7)，所以|AP|=J(5-4『+72=50，

\PM\=J(5-2)2+(7-l)2=375，所以cosNAPM=^l==^且

'/ii1u

cosZAPB=cos2ZAPM=2cos2ZAPM_1=p當AABP的外接圓與圓C相外切時，ZAPB

jr

最大，此時NAP8=5，故C、D正確；

jr

12.已知邊長為〃的菱形ABC。中，ZADC=-,將△AOC沿AC翻折，下列說法正確的是

()

A.在翻折的過程中，直線AO,8c所成角的范圍是(o,5]

3

B.在翻折的過程中，三棱錐D-A8C體積最大值為土

8

C.在翻折過程中，三棱錐D-A8C表面積最大時，其內切球表面積為(14-86)》/

D.在翻折的過程中，點。在面A3C上的投影為E為棱C。上的一個動點，ED'的最小

值為無a

4

【答案】BC

【詳解】

解：對于A：由題意可得△ABC和△ADC為等邊三角形,

D

翻折后，當8。=。時?，四面體A8CD為正四面體，

取8c中點為E,連接AE,DE,可知AE_L8C,DE±BC,

AECDE=E,所以BC-L平面ADE,所以BA_LAD,

直線與BC所成角為直角，故A錯誤；

對于B：當平面ADC與底面垂直時，三棱錐。-ABC的體積最大,

取AC中點H,連接DH,則DHJ_AC,又因為平面ADC_L平面A8C,ADCc>ABC=AC,

所以DH_L平面ABC,

此時心*=叵，V，=1x且a?*叵=《，故B正確；

niax2nuix3428

對于C：因為AD=CD=A8=BC=a是翻折過程中的不變量，翻折過程中ABAD,ABCZ）的對

應邊始終相等，所以這兩個三角形始終全等，，/BAR/BCZ）始終相等，&ABD,△88等

于g^sinZBA。，由于最初時這兩個角都是120。，翻折到良。重合時，都變成了0。，在連

續變化的過程中，當/84。=/88=90°時-，4ABD,△8CD的面枳最大，而另外兩個面△

ADC,AABC在翻折中的形狀不變，面積是固定的，所以當且僅當此時三棱錐D-A8C表

面積最大，此時DC=^a，

取AC中點為。，連接8。，DO,則80_LAC,DO±AC,BOr>DO=O,

所以ACJ■平面BOD.

r——Cln-----Cl—Zu]o行

BO=DO=誓,cosABOD=~清島=--,sinZBOD=,

2x--------x----------

22

此時設內切球的半徑為〃，

V=-S)i)AC=-x—xDOxBOxsin/BODxAC

AHCciIJ)3H(32

=丁(S^ABC+SjDC+SAABD+S/CD)

2xD。xBOxsin，BODxAC-'(S"3c+^ADC+SAABD+S.BCD)

1瓜y/3a272(瓜2瓜2a2/、

2223(4422J

誓a,T舁*卜

內切球的表面積為4a2=4兀播-乎)/=(14-86%/

故c正確；

對于D：如圖，設翻折前的棱形的位置如圖A8C4在翻折過程中，設AC中點為0:

D

B

由已知可得AC=a,△ABC,ADC都是正三角形.

同上可證，AC_L平面BOD,所以平面8。。J"平面ABC,根據平面垂直的性質定理可得D在

平面A8CD中的射影小的軌跡是線段B。。，因為E是CD上的動點，所以ED'的最小值是異

面直線宜線8%與CD的距離，

當翻折使得二面角Q-AC-5接近于0。時，線段BD的長度接近于0,民。分別是異面直線

BD。與CD上的點，所以異面直線BD。與S的距離不超過3D,故異面直線BD。厲CD的距離

無限接近于0,（另外當二面角O-AC-B接近于180。時，的距離接近于0,A，。分

別是異面直線BDO與8上的點，所以異面直線BD。馬8的距離也不超過DD。，故異面直線

B4與CD的距離也無限接近于0）,所以的距離可以無限的接近于0,沒有最小值，故

D錯誤.

故選：BC.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分,

第二空3分。）

13.已知為偶函數，當xMO時，〃x?=e-*T-x,則〃x）=.

e'x-'-x,x<0

【答案】.T八

e+x,x>0

【詳解】

因“X）為偶函數，且當xMO時，f（x）=e-'-x,

則當x>0時，-x<0,于是得/（x）=/（-x）=ei+x,

e^'-x,x<0

所以f(x)=

ex~'+x,x>0

L-JCO

故答案為：■

e*T+x,x>0

14.直線x-y-2=0與拋物線丁=2*（。>0）交于A,8兩點，若線段AB被點M（4,2）平

分，則拋物線的準線方程為.

【答案】X=-I

【詳解】

設A（x2J,B（W，%），由線段A8被點M（4,2）平分，可知％+%=4,

又#=2pX],y}=2px2,所以（另+%乂乂-%）=2夕（％-々），

由題意可知，直線/的斜率存在，且為1,

所以x尸馬,所以4x比2=2p,

為一々

即4xl=2p,所以p=2.

故拋物線的準線方程為x=-L

15.已知函數〃x)=d+3k-4(O<a<l),若在卜1』上的最小值記為g(a),則g(a)=

【答案】a、

【詳解】

當-14x<a時，/(X)=X3-3X+3?,r(x)=3f-3W0,此時函數/(x)單調遞減，

當a<xWl時，/(x)=d+3x—3a,/'(力=3/+3>0,此時函數/(x)單調遞增，

綜上所述，/㈤而小8,)=_/1>)=".

故答案為：a3.

16.將正三角形(1)的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形，然

后去掉底邊，得到圖(2)；將圖(2)的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外

作正三角形，然后去掉底邊，得到圖(3)；如此類推，將圖(，?)的每條邊三等分，并以

中間的那一條線段為底邊向外作三角形，然后去掉底邊，得到圖("+1).上述作圖過程不斷

的進行下去，得到的曲線就是美麗的雪花曲線.若圖(1)中正三角形的邊長為1,則圖(〃)

的周長為，圖(〃)的面積為.

【詳解】

解：第一個三角形的周長為3x1=3,觀察發現：

第二個圖形在第一個圖形的周長的基礎上多了實驗室的周長的!，第三個在第二個的基礎上

多了其周長的g,

所以第二個圖形的周長為3x（1+j=3xg,

第三個圖形的周長為3x11+鞏局=3x（gj,

第四個圖形的周長為3x（l+；）x（l+；）x（l+g）=3x（捫

.....,

所以第〃個圖形的周長是第一個周長的（gj倍，所以第"個圖形的周長為3x（3）",

由題意可知，第〃個圖形的邊長都相等，且長度變為原來的g,則邊長"的遞推公式為

b“=；b“_、,nN2,"=1,所以2=、）,

邊數““的遞推公式為4,=4%T，〃*2,q=3,則a“=3?4"T,

第一個圖形的面積為a=立，

當〃22時、

=AI+3X4?2X3x4

4=A,-,+??-Ix

則4=A+（&-4）+（4-4）+…+（4-A-?

5

+------x

416520\9）

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解

答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟。）

2

17.已知數列｛叫的前"項和為S.=L±2（nG/V*）.

2

（1）求數列｛M｝的通項公式；

（2）設以=2"”+%,求｛/?〃｝的前n項和.

2

【詳解】

(1)當〃=1時，4=S[=-^―=1,

當“22時，/=S“-S'T=一紀止1.=",4=1滿足上式,

所以％="，

(2)由(1)可得我=2"+",則｛為｝的前n項和為

b｝+b2+---+bn

=(2'+1)+(22+2)+---+(2B+W)

+2?+…+2")+(1+2+—+〃)

2(1-2")”5+1)

1-2+~~

18.某學校田徑運動會跳遠比賽規定：比賽設立及格線，每個運動員均有3次跳遠機會，若

在比賽過程中連續兩次跳不過及格線，則該運動員比賽結束.已知運動員甲跳過及格線的概

率為：，且該運動員不放棄任何一次跳遠機會.

(1)求該運動員跳完兩次就結束比賽的概率；

(2)設該運動員比賽過程中跳過及格線的總次數為九求J的概率分布.

【答案】(1)I：(2)答案見解析.

【詳解】

(1)設該運動員跳完兩次后結束比賽為事件A,

跳完兩次結束即第一、二次都跳不過，所以P(A)=gT='

該運動員跳完兩次后結束比賽的概率為19.

(2)4=0即前兩次都跳不過，PC=0)=

。=1即第一次跳過，第二、三兩次不過或第二次跳過，第一、三跳不過,

4=2即一、二、三次中有且僅有一次有跳過，P(J=2)=C；

3J39

4=3即三次均跳過，尸?=3)=(|)=，.

隨機變量4的概率分布如卜

0123

1448

p?

927927

19.已知AABC的內角A,B,C的對邊分別為“，b,。，且asinC+?=&icosC+2c.

（1）求A；

（2）若4=2,且sin8+sinC=2sinA,求AABC的面積.

【答案】（1）A='（2）3（2-右）.

【詳解】

（1）因為asinC+G/?=6acosC+2c

由正弦定理可得sinAsinC+bsinB=GsinAcosC+2sinC.

.又sinB=sin［兀一（A+C）］=sin（A+C）,

所以sinAsinC+近sinAcosC+近cosAsinC=^sinAcosC+2sinC,

化簡得sinAsinC+A/JcosAsinC=2sinC,

因為sinCwO,所以sinA+A/JCOSA=2,即2sin（A+—）=2,

所以sin（A+'J=l

又Ae（0,兀），所以A+2=工，即4=

326

（2）因為sin8+sinC=2sinA,

由正弦定理可得人+c=2a,

2

由余弦定理/=+,2-2/7ccosA可得“2=s+c）_2bc-2bcxcosA,

即4=16-2機T歷,解得歷=12（2-石）,

2

所以“ABC的面積S=gbcsinA=gxl2x（2-6）xg=3（2-^）.

20.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A8C￡）是平行四邊形，ZAfiC=120,AB=1,8c=4,

PA=>/i5,M,N分別為BC,PC的中點，PD1DC,PM±MD

(1)證明：DCVPM；

(2)求直線AN與平面PCM所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)JL

1()

【詳解】

(1)因為底面ABCD是平行四邊形，ZABC=120sAB^\,BC=4,M為8C的中點，

所以在△MCD中，CD=\,CM=2,N￡)CM=60,

由余弦定理可得：DM2=CM2+CD2-2CMCDCOS60=4+l-2x2xlx-=3,

2

所以CM2=OM2+CO2,所以C￡)_LMZ),

又因為P￡>_LOC,PDcMD=D,所以。CJ-面PA?,

因為BMu面所以DC_LPM：

(2)因為DC^PM,MDcDC=D,可得PM_L面ABC。，

連接Ml,則在AABM中，AB=\,BM=2,ZABM=\2Q,

所以AM=y]AB2+BM2-2ABBMcos\2Q°=Jl+4-2xlx2x(-J=幣,

所以PM=J/V12_71M2='15—7=2應>

取AO的中點為E,連接ME，因為M為BC的中點，所以ME//CD,可得

所以ME,"BMP兩兩垂直，以M為原點，分別以為x,y,z軸建立直角坐標系,

則4(一忘2,0),40,0,2⑹，C(^,-l,0),N遣,-g,立,M(0,0,0),

麗:竽,_|,虛，MC=(A-I,O),標=(0,0,2&),

設平面PCM的一個法向量〃=(x,y,z),

n-MC=幣x-y=0廠

由，l，令x=l,y=V3,z=0,

HMP=2屈z=G

所以3=（1,G,o）,

設直線AN與平面PCM所成角為0,

所以直線AN與平面PCM所成角的正弦值為更.

10

92

21.已知雙曲線。:￡-去=1（。>0]>0）的漸近線方程為:y=±A->且過點J,

（1）求雙曲線C的標準方程

（2）過右焦點F且斜率不為0的直線/與C交于A,B兩點，點M坐標為停0）,求L+%

2

【答案】⑴--/=1;（2）0

3'

【詳解】

七叵

（1）由題意可得："3解得：：：：,所以.一

41.

所以雙曲線0的標準方程為

（2）C2=/+6=4,所以尸（2,0）,

設直線/：x=my+2,4(藥,兇)，8(々,力)，

x=my+2

ill—可得:(n?-3)y?+4my+1=0,

-4m1

所以X+%=

3+%=-+弋=—^+一^

芭一/x「3my'+2myi+l

x1町’2+：)+%(my>+2,盯％+g(y+%)

〃i2yM+g,"(y+%)+：

-1/x,11-4m2m-2m八

2吵為+5(/