2021年秋季高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷

一、單選題

1.設(shè)集合A={—1,1,2,3,5},8={2,3,4},C={xe/?|L,x<3},貝MAnOU8=

A.{2}B.{2,3}C.{-b2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【分析】

先求AC1C,再求（ACIOUB.

【詳解】

因為Anc={l,2},

所以（AnC）UB={I,2,3,4}.

故選D.

【點睛】

集合的運算問題，?般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、

坐標系、韋恩圖等進行運算.

2.設(shè)復(fù)數(shù)4*2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，4=3+4"則z,=（）

A.25B.-25C.7-24/D.-7-24/

【答案】A

【分析】

由題意可得z2=3-4i,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算即可求解.

【詳解】

復(fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，z,=3+4z,

則Z2=3—4i,所以Z|Z2=（3+4j）（3-4i）=9+16=25.

故選：A

3.已知直三棱柱ABC—A4c的各頂點都在同一球面上，且該棱柱的體積為由，A8=2,AC=1,

Z￡MC=60°,則該球的表面積為（）

A.4萬B.4V271C.8萬D.327r

【答案】C

【分析】

利用三棱柱ABC—4旦6的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為6，48=2，AC=1,44c=60。，求出

AA「再求出A45C外接圓的半徑，即可求得球的半徑，從而可求球的表面積.

【詳解】

.棱柱A3C-4片G的側(cè)棱垂直于底面，

棱柱的體積為6，A5=2，AC=1,NB4c=60。，

二；x2x1xsin60°xAAi=W),：.A4,=2

二BC2=AB2+AC2-2ABACcos60°^4+l-2^3,：.BC=6.

設(shè)A/WC外接圓的半徑為"，則”:=2R,H=l.

sin60°

???外接球的半徑為疝T=正，.??球的表面積等于44x(逝丫=8].

故選：C.

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)柱體體積求棱長，考查幾何體外接球有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.

4.函數(shù)/(x)=sinxcosx+石cos?x的圖象的一條對稱軸為()

n兀c71

B.x=一C.x=一D.X--

632

【答案】A

【分析】

先化簡得f(x)=sin(2x+?)+*

令2xH---=----Fk7l,ZeZ求出對稱軸即可判斷.

32

【詳解】

2+CQS

/(x)=sinxcosx+V3cosx=—sin2x+V3-^=sin2x+—j+—

22(3J2

jrrrnK7T

令2x+—=—+Z］，keZ,解得了二一十——,keZ、

32122

則可得x=q是/(x)的一條對稱軸.

故選:A.

22

5.橢圓二+匕=1上一點M到焦點的距離為2,N是M片的中點，貝UIONI等于（）

259

A.2B.4C.6D.1.5

【答案】B

【分析】

設(shè)橢圓另?焦點為F2,根據(jù)橢圓定義|峭|+|咋|=2a=10，故I”周=8,再結(jié)合中位線定理即可得答案.

【詳解】

設(shè)桶圓另一焦點為工，根據(jù)橢圓定義|叫|+1"閭=2。=10,故4|=8,

△“片鳥中，N是M6的中點，。是耳居的中點，故。V是中位線，

W=1|MF2|=ix8=4.

故選：B.

6.已知?b2sin2a-cos2a=l,貝!jcosa的值為（）

1在62

BaD

-一-

A.5535

【答案】D

【分析】

利用二倍角公式化簡得到2sin?=cosa,再利用同角的平方關(guān)系求解.

【詳解】

由題得4sinacosa+l-2cos2a=1,

所以4sinacosa=2cos2a,

因為aef0,—j,

所以2sina=cosa,

因為sin?a+cos?a=1,/.—cos2ez+cos2a=1,

4

24/.cosa=]逐.

所以cos-a--a

故選：D

【點睛】

方法點睛：三角函數(shù)求值常用的方法有:三看(看角、看名、看式)三變(變角、變名、變式).

7.a\na>h\nh>c\nc=1,貝！I()

A.eh+c\na>ec+a\nb>ea+h\ncB.inb>eh+c\na>eu+h\nc

C.ea+b}nc>e<+a\nb>eh+,\naD.ea+blnc>eb+c]na>ec+a\nb

【答案】C

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx,利用導(dǎo)數(shù)得出。＞6＞。＞1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=絆，利用導(dǎo)數(shù)證明學(xué)〈華＜華,

從而得出ea+blnc>ec+aInb>e%Ina-

【詳解】

令/(x)=xlnx,則/(x)=l+lnx

當(dāng)0<x<1時，/'(x)<0,當(dāng)時，/'(x)>()

ee

111

AxInx—Inx

令g(zx)=h，則g,(?=—

e

由于函數(shù)y=工—Inx在(0,+8)上單調(diào)遞減,

X

則!一Inx=0在(0,+oo)上有唯一解c,故g'(x)=0在(0,+8)上有唯一解c

X

即當(dāng)時,g'(x)vO,則函數(shù)g(x)在(c,+8)上單調(diào)遞減

ur/、/,x/、口JnaIn/?Inc

即g(a)<g(勿<g(c),BP—<—<—

eee

ebIna<eaInb,ec\nb<e"Inc

eb+cIna<ea+（Inb,ea+c\nb<Inc=eb+c\na<ea+c\nb<eh+cInc

故選：C

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)值的大小關(guān)系.

8.算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項偉大的、重要

的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具.“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)

術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才.”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、

下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、

十位、百位、……，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠（簡稱下珠）是1,即五粒下珠的大小等

于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课?/p>

至多撥1粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率是（）

Hi必5.

小珅州卅

D.

2

【答案】D

【分析】

從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠，利用列舉法列出整數(shù)共有32個，其中能夠被3整除

的整數(shù)有16個，進而根據(jù)古典概型的概率計算公式可解.

【詳解】

解：從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠，得到的整數(shù)共有32個，分別為:

11,15,51,55,101,105,501,505,110,150,510,550,

1001,1005,5001,5005,1010,1050,5010,5050,1100,1500,5100,5500,

2,20,200,2000,6,60,600,6000,

其中算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的整數(shù)有16個，分別為：

15,51,105,501,150,510,1005,5001,1050,5010,1500,5100,6,60,600,6000,

則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率為P=￡=1.

322

故選：D.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵點是利用列舉法把從個位、十位、百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠所得

到的整數(shù)列舉出來.

二、多選題

9.已知在數(shù)學(xué)測驗中，某校學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N。10,81),其中90分為及格線，則下列結(jié)論中正

確的有(附：隨機變量J服從正態(tài)分布則P(4—2b<J<〃+2b)=0.9545)()

A.該校學(xué)生成績的期望為110B.該校學(xué)生成績的標準差為9

C.該校學(xué)生成績的標準差為81D.該校學(xué)生成績及格率超過95%

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)正態(tài)分布的數(shù)字特征可判斷ABC選項的正誤，計算出290)>0.97725,可判斷D選項的正誤.

【詳解】

因為該校學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(110,81),則〃=110,方差為</=81，標準差為b=9,

2b=110—2x9=92,P(^>90)>P(<>92)=P(^>X/-2O-)=1+1P(//-2O-<^<//+2O-)

=-+-x0.9545=0.97725>0.95.

22

所以，該校學(xué)生成績的期望為110,該校學(xué)生成績的標準差為9,該校學(xué)生成績及格率超過95%.

所以，ABD選項正確，C選項錯誤.

故選：ABD.

10.△A5C中，。為邊AC上的一點，且滿足通=；反，若P為邊8。上的一點，且滿足

AP=mAB+nAC[m>O,n>O),則下列結(jié)論正確的是()

A.m+2相=1B.相〃的最大值為

12

4ii

C.—?■—的最小值為6+4>歷D.〃?2+9〃2的最小值為六

mn2

【答案】BD

【分析】

根據(jù)平面向量共線定理可知A錯誤；

根據(jù)〃?〃=；m.（3〃），利用基本不等式可求得最大值，知B正確；

由3+'］（m+3/1）,利用基本不等式可求得最小值，知C錯誤:

mnymn）

利用基本不等式可得力2+9〃22（巴+3"）,知D正確.

2

【詳解】

X寸于A，AP=mAB+nAC=mAB4-3nAD，

???瓦P,。三點共線，.?.m+3〃=1,A錯誤;

11fm1

對于B,???加+3”=1,=—%（3〃）＜-x-----=一（當(dāng)且僅當(dāng)加=3〃時取等號），B正確；

3v73I2）12

IT八41（41Vc\r12〃mrA12〃m4/rz、“「＞lz12/2mniI

對于C,——F—=—i■—+3〃）=7d----1——＞7+2./------=7+443（當(dāng)且僅當(dāng)=一,即

mn\mn）mn、mnmn

=時取等號），C錯誤;

22W+3

對于D,/w+9n>^^=-（當(dāng)且僅當(dāng)閉=3〃時取等號），D正確.

22

故選：BD.

【點睛】

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：一正二定三相等.

（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點4,8的距離

之比為定值X（入#1）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡

\PA\1

稱阿氏圓，在平面直角坐標系x分中，A（-2,0）,8（4,0）,點尸滿足七寸=彳.設(shè)點尸的軌跡為G

下列結(jié)論正確的是，（）

A.C的方程為（K4）2+/=9

\PD\

B.在x軸上存在異于48的兩定點〃，E,使得匕

2

C.當(dāng)4B,尸三點不共線時，射線尸。是/板的平分線

D.在C上存在點弘使得1M=21惻

【答案】BC

【分析】

設(shè)/（%y）,運用兩點的距離公式，化簡可得一的軌跡方程，可判斷/；

假設(shè)在x軸上存在異于48的兩定點〃，E,使得四2設(shè)出〃，￡的坐標，求得軌跡方程，對照戶的

|PE|2

軌跡方程可得〃，E,可判斷6；

Q41PA

當(dāng)/,B,尸三點不共線時，由舄=7=局，由角平分線定理的逆定理，可判斷a

|QB|2\PB\

若在。上存在點M使得勵=2|也I；,可設(shè)“（x,y）,運用兩點的距離公式，可得M的軌跡方程，聯(lián)立〃

的軌跡方程，即可判斷〃.

【詳解】

在平面直角坐標系履/中，A（-2,0）,B（4,0）,點一滿足

陷|2

J（元+2）+y22

設(shè)尸（*,y）,則

&一4），/2

化筒可得（心4）2+/=16,故4錯誤;

\PD\

假設(shè)在x軸上存在異于45的兩定質(zhì)〃，E,使得舄]_

\PE\2

可設(shè)〃(必，0),E(n,0),可得+y2=2+y2,

化簡可得3f+3(8w-2/7)戶4/-〃2=o,

由〃的軌跡方程為*+了+8x=0,可得8///-2n=-24,4--T?2-0,

解得m=-6,n--12或m=-2,〃=4(舍去)，即存在〃(-6,0),f(-12,0),故6正確;

\OA\1\PA\

當(dāng)小B,戶三點不共線時，由舄=彳=局，可得射線々是N/%的平分線，故C正確:

\OB\2\PB\

若在C上存在點機使得|如|=2|也可設(shè)材（x,y）,即有次了了=2而百節(jié)

化簡可得必+/+3八+3=0,聯(lián)立V+「+8x=0,可得方程組無解，故不存在M故〃錯誤.

33

故選：BC.

【點睛】

本題考查軌跡方程的求法，考查圓方程的求法和運用，以及兩點距離公式的運用，考查化簡運算能力，屬

于中檔題.

12.如圖，在棱長為2的正方體ABCO—AB'C'。'中，M為BC邊的中點，下列結(jié)論正確的有（）

A.AM與。'9所成角的余弦值為典

10

9

B.過三點A、M、0c的正方體ABC。-A'3'C'。'的截面面積為一

2

jr

C.四面體ACBD的內(nèi)切球的表面積為了

D.正方體ABCD-AB'C'。'中，點P在底面AB'C'。'（所在的平面）上運動并且使NM4C'=NQ4C',

那么點P的軌跡是橢圓

【答案】AB

【分析】

——--------AM-D'B'

構(gòu)建空間直角坐標系，由異面直線方向向量的夾角cos<AM,D'B'>='—.為AM與D9所成角

|AM|||

的余弦值判斷A的正誤；同樣設(shè)P(x,y,O)結(jié)合向量夾角的坐標表示，且由等角的余弦值相等可得

V2y+2后

/,；~尸=二，進而判斷夕的軌跡知D的正誤；由立方體的截面為梯形，分別求

7%2+/+4XV35

MN,AD：AM,D'N,進而得到梯形的高即可求面積，判斷B的正誤；由四面體的體積與內(nèi)切球半徑及側(cè)

面面積的關(guān)系求內(nèi)切球半徑r,進而求內(nèi)切球表面積，判斷C的正誤.

【詳解】

A：構(gòu)建如下圖所示的空間直角坐標系：

則有：A(0,0,2),M(l,2,2),B'(0,2,0),D'(2,0,0)，

二AM=(1,2,0),W=(-2,2,0)，

AMD'B'2\/10j工

COS<AM,D'B'>~7=----,故正確.

|AMUFB175x7810

B：若川為CC的中點，連接劭V,則有"ZV//AT>'，如下圖示,

梯形AMND'為過三點A、MW的正方體ABCD-AB'C'D'的截面，

而MN=&=272,AM=D'N=后,可得梯形的高為—,

2

梯形的面積為S=,x3行x逑=?,故正確.

222

C：如下圖知：四面體A'C'BO的體枳為正方體體積減去四個直棱錐的體積,

.?.V=8-4x1x|x8=|,而四面體的棱長都為2及，有表面積為S=4x；x2及x2及xsing=8若,

若其內(nèi)切圓半徑為，則有，X86/=§，即/=立，所以內(nèi)切球的表面積為4%戶=也.故錯誤.

3333

D：正方體ABCO—AB'C'。'中，點P在底面AB'C'D（所在的平面）上運動且NM4C=NE4C，即P

的軌跡為面A'B'C。'截以和/、4〃為母線，4。’為軸的圓錐體側(cè)面所得曲線，如下圖曲線GPK,

A

構(gòu)建如下空間直角坐標系，4。,。,2）代孝,孚"，（。,2夜,。）,若皿。），則

戒=（一^，￥，0），記=（0,2及,一2）,AP=（x,y,-2），

前.苑_6屏

，cosZMAC

\AM\\AC'\~y/5xy[n~5

42y+2岳+2V15

cos

ZPAC即/,,「二~r，整理得

lAPIIACIyjx2+J2+4x73yjx2+y2+4xyj35

（y+10V2）2-9x2=216（y>0）.即軌跡為雙曲線的一支，故錯誤.

故選：AB

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用向量的坐標表示求異面直線的夾角，并結(jié)合等角的余弦值相等及向量數(shù)量積的坐標表示

求動點的軌跡，綜合立方體的性質(zhì)求截面面積，分割幾何體應(yīng)用等體積法求內(nèi)切球半徑，進而求內(nèi)切球的

表面積.

三、填空題

13.已知Ax)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，K/(-l)=2/(10)+3,則/1(2021)=.

【答案】1

【分析】

利用函數(shù)的周期性得7(2021)=/(—I),由已知條件可知/(-1)=一2/(-1)+3,即可求值.

【詳解】

由題意知：/(2021)=/(3x674-l)=/(-1),而/(—1)=2/(1())+3,

.../(-I)=2/(3x3+1)+3=2/(1)+3=-2/(-1)+3,即3/(—1)=3,

：./(-D=l.故/(2()21)=1.

故答案為：1

14.已知拋物線。：>2=2〃%(/7>0)的焦點為尸，過尸作斜率為由的直線/交拋物線。與A、8兩點,

若線段AB中點的縱坐標為也,則拋物線C的方程是.

【答案】

【分析】

本題首先可設(shè)A&,yJ、8(馬,%)，則W=2p々、=2px2,然后兩式相減，可得

(X一%)(X+必)=2p&)，再然后根據(jù)A、B兩點在斜率為6的直線/上得出力(x+必)=2〃,

最后根據(jù)線段A8中點的縱坐標為、回即可求出結(jié)果.

【詳解】

2

設(shè)A(4,y),8(々,%)，則y『=2pX],y2=2px2,

兩式相減得一寸-2Pxi-2Px?,即(M—必)(丁1+%)=2Mx-x,),

因為A、B兩點在斜率為由的宜線/上，

所以=6(X-必)(乂+%)=2P&-々)即6(X+%)=2P，

玉-A2

因為線段AB中點的縱坐標為6，所以乂+必=2百，

則6x2石=2p,p=3,拋物線。的方程是V=6x,

故答案為：；/=6院

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線相交的相關(guān)問題的求解，考查中點坐標的相

關(guān)性質(zhì)，考查直線斜率的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題.

2

15.已知函數(shù)/(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若/(石)=l+21nf,g(x2)=t,則(3w的

最小值為.

【答案】一二

【分析】

先證明據(jù)玉一1=ln%，結(jié)合求出a%-工2)1皿=/Inf,h(t)=t2lnr(z>0),根據(jù)函數(shù)的單

調(diào)性求出代數(shù)式的最小值即可.

【詳解】

,//(%)=百+ln(x)-l)=l-i-21nr,

即％—1+In(百一1)=In產(chǎn)=1ndt.-1)],

???/=6日(M-1?,*>0，

2inX2

g(x2)=x2\nx2=t=e-lnx2(2),

又???y=x?，在[0,+8)上單調(diào)遞增，

lnv2

故由①②得(%-l)=e-lnx2-l=lnx2,

2

故(X1%2-x2)\nt=x2\nx2-\nt=t\nt,

令>o),則hr(t)=2tlnt+t,

令"⑺>(),解得：…，，令"Q)v0,解得：

故〃(。在(04彳)遞減，在+遞增，

-11

故砥）min=恤2）=~—＞

2e

故答案為：-----

2e

【點睛】

利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟:第一步:利用r（%）＞o或r（無）＜。求單調(diào)區(qū)間;第二步:解r（x）=o；

第三步：比較方程的根同區(qū)間端點的大小；第四步：求極值；第五步：比較區(qū)間端點的函數(shù)值與極值的大

小.

16.格點是指平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點.一格點沿坐標線到原點的最短路程為該點到原點的

“格點距離”（如：2-2,1）,則點尸到原點的格點距離為2+1=3）.格點距離為定值的點的軌跡稱為“格

點圓”，該定值稱為格點圓的半徑，而每一條最短路程稱為一條半徑.當(dāng)格點半徑為6時，格點圓的半徑有

條（用數(shù)字作答）.

【答案】252

【分析】

由題設(shè)，易知格點圓上的格點都在|x|+|田=6上，其中每個象限有5個，且相互關(guān)于*、y軸或原點對稱，

分析可得每個格點半徑條數(shù)為+W，進而可求所有格點的半徑條數(shù).

【詳解】

設(shè)格點為（x,y）,格點半徑為6,貝ij|x|+ly為6,

.?.對應(yīng)格點圓圖象如下，每條邊上有（不含端點）5個格點,

以第一象限為例，格點有象5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),其中(1,5)的半徑有6條,(2,4)的半徑有15條,

(3,3)的半徑有20條，(4,2)的半徑有15條，(5,1)的半徑有6條，

，共有62條，即對于任意格點，其半徑條數(shù)有條，

二由上，四個象限共有4x(C：+C；+C；+C：+或)=248條半徑，另外數(shù)軸上有

(6,0),(0,6),(-6,0),(0,-6)四個點，半徑共有4C：=4條，

綜上，格點半徑為6時，格點圓的半徑有248+4=252條.

故答案為：252.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：畫出格點圓的圖象，確定各象限中格點坐標，分析格點半徑條數(shù)與坐標值之間的關(guān)系，應(yīng)用

對稱性求格點圓半徑總條數(shù)即可.

四、解答題

17.已知等差數(shù)列的首項為2,前A項和為￡,正項等比數(shù)列｛4｝的首項為1,且滿足，前〃項和為a3=25，

￡=Z%+Z?4.

(1)求數(shù)列｛&｝,｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)c“=(—l)"log3S,+log3d，求數(shù)列｛4｝的前26項和.

【答案】(1)%=2〃，2=3"T；(2)328.

【分析】

(1)根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于公差和公比的方程組，求出其解后可得兩個數(shù)列的通項公式.

(2)利用裂項相消法和分組求和可求｛cn｝的前26項和.

【詳解】

q+2d=2bq

}2+2d=2q

(1)由題意得:即《a

5q+等10+10J=q+q'

二4-9q=o,???{4}是正項等比數(shù)列，.?.q=3,則d=2,

=2+2(〃—1)=2〃，2=1?3"T=3"T.

(2)S“=g〃(2+2〃)=〃(〃+l),

則cn=(一1)"log,[/i(?+l)]+log33'i=^(-1)"log3〃+(-1)”log(〃+1)]+〃-1

{c,J的前26項和為：

T2()=(-log3l-log32+0)+(log32+log33+l)+(-log33-log?4+2)+…

+(—log325-log326+24)+(logs26+log327+25)

26x(0+25)

=-log31+log327+————L=3+325=328.

【點睛】

思路點睛：數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如

果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么

用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.

18.濰坊市為切實保障疫情防控期間全市食品質(zhì)量安全，采取食品安全監(jiān)督抽檢和第三方托管快檢室相結(jié)

合的方式，全面加強食品安全檢驗檢測據(jù)了解，灘坊市市場監(jiān)管部門組織開展對全市部分生產(chǎn)企業(yè)、農(nóng)貿(mào)

市場、大型商超、餐飲服務(wù)場所生產(chǎn)經(jīng)營的小麥粉、大米、食用油、調(diào)味品、肉制品、乳制品等與人民群

眾日常生活關(guān)系密切且消費量大的食品進行監(jiān)督抽檢組織抽檢400批次，抽檢種類涵蓋8大類31個品種全

市各快檢室快檢60209批次，其中不合格53批次.某快檢室在對乳制品進行抽檢中，發(fā)現(xiàn)某品牌乳制品質(zhì)

量不合格，現(xiàn)隨機抽取其5個批次的乳制品進行質(zhì)量檢測，已知其中有1個批次的乳制品質(zhì)量不合格下面

有兩種檢測方案：

方案甲：逐批次進行檢測，直到確定質(zhì)量不合格乳制品的批次；

方案乙：先任取3個批次的乳制品，將他們混合在一起檢測.若結(jié)果不合格，則表明不合格批次就在這3

個批次中，然后再逐個檢測，直到能確定不合格乳制品的批次；若結(jié)果合格，則在另外2批次中，再任取1

個批次檢測.

（1）方案乙中，任取3個批次檢測，求其中含有不合格乳制品批次的概率；

（2）求方案甲檢測次數(shù)X的分布列；

（3）判斷哪一種方案的效率更高，并說明理由.

3

【答案】（1）（2）答案見解析；（3）方案乙的效率更高.理由見解析.

【分析】

（1）由題意即可求解；（2）先求出X的可能取值，然后求出對應(yīng)的概率，進而可以求解；

（3）設(shè)方案乙的檢測次數(shù)為y,求出y的可能取值，然后求出對應(yīng)的概率，再求出方案甲和乙的數(shù)學(xué)期望，

比較大小即可求解.

【詳解】

C23

解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率p=u=三，

（2）依題意知檢測次數(shù)X的可能取值為1，2,3,4,

HX=2）=￥4

P（X=3）=4=L

P（X=4）=與1=1，

故方案甲檢測次數(shù)X的分布列為：

X1234

]_22

p

5555

(3)設(shè)方案乙檢測次數(shù)為y,則y的可能取值為2,3.

當(dāng)iy=2時的情況為先檢測3個批次為不合格，再從中逐一檢測時，恰好1次檢測出，或先檢測3個批次為

合格，再從其他2個批次中取出1個批次檢測.

則p(y=2)

6468一5'

2

所以6丫=3)=1

故方案乙檢測次數(shù)Y的分布列為:

Y23

32

p

5?

12

時卜5+號T

123814

則玖x)=M丁丁二

因為E(Y)<E(X),所以方案乙的效率更高.

19.已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,KbcosA+tzcosB=2ccosA.

(1)求A；

(2)若a=2,AABC的面積為g,求AABC的周長.

n

【答案】(1)A=一；(2)6.

3

【分析】

(1)根據(jù)人cosA+acosB=2ccosA，利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式得到

sin(A+5)=2sinCcosA,又A+6=;r-C,由5抽。=2$皿。<：054求解；

(2)根據(jù)4=2,AABC的面積為百，由面積公式得到bc=4,再結(jié)合余弦定理求得b+c即可.

【詳解】

(1)因為8cosA+〃cos5=2ccosA

所以sinBcosA+sinAcosB=2sinCeosA，

所以sin（A+3）=2sinCcosA,

因為A+B=%—C,

所以sinC=2sinCcosA，

因為sinCVO,

所以cosA=—.

2

因為0<A<?，

TC

所以A=々.

3

（2）因為A=q,AABC的面積為6，

所以SAABC=?CS嗚=6

解得be=4,

由余弦定理a2=b2+c2-2Z?ccosA>

得4=82+02-8c=（b+c）2-3bc，

所以方+c=4,

所以a+b+c=6.

所以AA5c的周長為6.

【點睛】

方法點睛：（1）在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要

抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如

果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個

定理都有可能用到.（2）解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制.

TT

20.如圖，四棱錐P—ABC。中，底面A8CD是菱形，=M是棱PB上的點，。是AD中點，

且POL底面ABC。，OP=△OA.

M

(1)求證：BC±OMt

3

(2)若PM=嚴,求二面角B—OM—C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)B.

4

【分析】

77

(1)由底面A5CD是菱形，ZBAD=1，可得△A5D為等邊三角形，再加上點。是AD中點可證OB1AD，

進而可得QB_L3C,再由尸0,底面ABC。，可得。尸_LBC,結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，即

可求證所求證；

(2)由題意及(D可以，以點。為原點，OAQB,。尸所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，再

利用向量法即可求解.

【詳解】

1T

證明：在菱形ABC。中，NBAD=§,.?.步出0為等邊三角形.

又?:。為A￡＞的中點,

???OBLAD.

???AD/,BC，

OBYBC.

?：PO_L底面ABCD,BCu平面ABCD,

???OP1BC.

■：OPC\OB^O,。尸,。80：平面「08，

3C_L平面P08.

M是棱P8上的點，

OMu平面P08.

BC±OM.

(2)解：???PO_L底面ABC。，OBA.AD,

，建立如圖所示空間直角坐標系O一個z,設(shè)。4=1,則0P=0B=6-

0(0,0,0),A(l,0,0),3(0,后0),。(一2,石,0),尸(0,0,百)，

ob=(-2,6,0)?

3

由PM=」PB,

5

得揄=協(xié)+|而=（0,乎,管）.

設(shè)加=（尤,y,z）是平面OMC的法向量,

—>一

OM?m=03y+2z=0,

由＜-_>,彳卜

2x-V3y=0,

OC-m=0

令y=2，則X=7J,Z=-3，則蔡=（G,2,-3）-

又???平面POB的法向量為：=（i,o,o）,

由題知，二面角6—QW-C為銳二面角，

所以二面角B-Q0—C的余弦值為立.

4

【點睛】

本題考查線線垂直的證明及空間向量法求二面角，考查考生的邏輯推理能力、空間想象能力、運算求解能

力及方程思想，屬于中檔題.

22r~1

21.已知等軸雙曲線C：1—與=l（a＞0,力0）經(jīng)過點（更，士）.

a2b222

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）已知點8（0,1）.

①過原點且斜率為A的直線與雙曲線C交于￡,尸兩點,求N演戶最小時衣的值；

②點/是。上一定點，過點6的動直線與雙曲線C交于只0兩點，3戶+左蟆為定值2,求點4的坐標及

實數(shù)4的值.

【答案】（1）x2-y2=l-.（2）①左=0：②A（立,1）,2=血或者A（—=—&.

【分析】

（1）由題意a=2?，代入已知點建立方程，解之可得雙曲線C的標準方程.

（2）①由對稱性可設(shè)E（x,y）,F（-x,-y）,且運用向量數(shù)量積的坐標運算表示

BEBF=-x2-y2+l,乂由V=/-1可得赤＜（）,由此可得最小時，上的值.

②設(shè)過點8的動直線為：y=b+1.設(shè)尸（石,乂）,。（乙,必），與雙曲線的方程聯(lián)立得

（l-t2）x2-2tx-2=0,根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可求得產(chǎn)＜2且/H1，由直線的斜率公式得

/x.+1-n枕,+1一〃代

—......+—-------=%,再由恒等式的思想可求得點A的坐標及實數(shù);I的值.

玉一x2-m

【詳解】

51

解：（1）由題意a=。，且44_1解得。=匕=1,

/一3=

所以雙曲線C的標準方程為/一丁=1.

（2）①由對稱性可設(shè)￡（x,y）,網(wǎng)-乂-y）,且X21,則-8尸=（x,y-1）?（-x,-^-l）=-x2-/+1,

因為七點在雙曲線。上，所以x2—y2=i,所以＞2=》2一1,所以屁.喬=20—巧40,

當(dāng)|乂=1時，8丘8尸=0,/58/7為直角，

當(dāng)卜|＞1時，詼?麗為鈍角.

因此，NE5/最小時，N=l,%=0.

②設(shè)A（九〃），過點5的動直線為：y="+L

12—y2=]

設(shè)尸（七,另）,。色,%），聯(lián)立＜得（1-廠）x?—2,tx—2=0,

y=/%+1

1-rW0

△=4r+80—尸）＞0

所以《一2，由1一產(chǎn)與0且△＞（）,解得*＜2且*wl，

…=一二

2

—=一y77

yx-n%今氏+1—〃tx^+l-n

k.p+^AQ=，，即且——+———=4即」------+—-------—A

%-mx2-mx[-mx2-m

化簡得（2f—4）玉為+（-，”'+1—〃+力??）（玉+々-2m+2nm—Anr=0,