第十一講份數法小學奧數方法講義、每道題都含有詳細的分析和解答、以及適合的年級，一共40講，適合學生、家長、輔導教師。是小學一套難得的奧數資料。把應用題中的數量關系轉化為份數關系，并確定某一個數或未知數為1份數，然后先求出這個1份數，再以1份數為根底，求出所要求的未知數的解題方法，叫做份數法。〔一〕以份數法解和倍應用題兩個數的和及兩個數的倍數關系，求這兩個數的應用題叫做和倍應用題。例1某林廠有楊樹和槐樹共320棵，其中楊樹的棵數是槐樹棵數的3倍。求楊樹、槐樹各有多少棵？〔適于四年級程度〕解：把槐樹的棵數看作1份數，那么楊樹的棵數就是3份數，320棵樹就是〔3+1〕份數。因此，得：320÷〔3+1〕=80〔棵〕…槐樹80×3=240〔棵〕…楊樹答略。例2甲、乙兩個煤場共存煤490噸，甲煤場存煤數量比乙煤場存煤數量的4倍少10噸。甲、乙兩個煤場各存煤多少噸？〔適于四年級程度〕解：題中已經給出兩個未知數之間的倍數關系：甲煤場存煤數量比乙煤場存煤數量的4倍少10噸。因此可將乙煤場的存煤數量看作1份數，甲煤場的存煤數量就相當于乙煤場存煤數量的4倍〔份〕數少10噸，兩個煤場所存的煤490噸就是〔1+4〕份數少10噸，〔490+10〕噸就正好是〔1+4〕份數。所以乙場存煤：〔490+10〕÷〔1+4〕=500÷5=100〔噸〕甲場存煤：490-100=390〔噸〕答略。例3媽媽給了李平10.80元錢，正好可買4瓶啤酒，3瓶香檳酒。李平錯買成3瓶啤酒，4瓶香檳酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香檳酒各是多少錢？〔適于五年級程度〕解：因為李平用買一瓶啤酒的錢買了一瓶香檳酒，結果剩下0.60元，這說明每瓶啤酒比每瓶香檳酒貴0.60元。把每瓶香檳酒的價錢看作1份數，那么4瓶啤酒、3瓶香檳酒的10.80元錢就是〔4+3〕份數多〔0.60×4〕元，〔10.80-0.60×4〕元就正好是〔4+3〕份數。每瓶香檳酒的價錢是：〔10.80-0.60×4〕÷〔4+3〕=8.4÷7=1.2〔元〕每瓶啤酒的價錢是：1.2+0.60=1.80〔元〕答略。〔二〕以份數法解差倍應用題兩個數的差及兩個數的倍數關系，求這兩個數的應用題叫做差倍應用題。例1三灣村原有的水田比旱田多230畝，今年把35畝旱田改為水田，這樣今年水田的畝數正好是旱田的3倍。該村原有旱田多少畝？〔適于五年級程度〕解：該村原有的水田比旱田多230畝〔圖11-1〕，今年把35畝旱田改為水田，那么今年水田比旱田多出230+35×2=300〔畝〕。根據今年水田的畝數正好是旱田的3倍，以今年旱田的畝數為1份數，那么水田比旱田多出的300畝就正好是2份數〔圖11-2〕。今年旱田的畝數是：〔230+35×2〕÷2=300÷2=150〔畝〕原來旱田的畝數是：150+35=185〔畝〕綜合算式：〔230+35×2〕÷2+35=300÷2+35=150+35=185〔畝〕答略。*例2和平小學師生步行去春游。隊伍走出10.5千米后，王東騎自行車去追趕，經過1.5小時追上。王東騎自行車的速度是師生步行速度的2.4倍。王東和師生每小時各行多少千米？〔適于五年級程度〕解：根據“追及距離÷追及時間=速度差〞，可求出王東騎自行車和師生步行的速度差是10.5÷1.5=7〔千米/小時〕。騎自行車的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份數，騎自行車的速度就是2.4份數，比步行速度多2.4-1=1.4〔份〕。以速度差除以份數差，便可求出1份數。10.5÷1.5÷〔2.4-1〕=7÷1.4=5〔千米/小時〕…………步行的速度5×2.4=12〔千米/小時〕………………騎自行車的速度答略。〔三〕以份數法解變倍應用題兩個數量原來的倍數關系和兩個數量變化后的倍數關系，求這兩個數量的應用題叫做變倍應用題。變倍應用題是小學數學應用題中的難點。解答這類題的關鍵是要找出倍數的變化及相應數量的變化，從而計算出“1〞份〔倍〕數是多少。*例1大、小兩輛卡車同時載貨從甲站出發，大卡車載貨的重量是小卡車的3倍。兩車行至乙站時，大卡車增加了1400千克貨物，小卡車增加了1300千克貨物，這時，大卡車的載貨量變成小卡車的2倍。求兩車出發時各載貨物多少千克？〔適于五年級程度〕解：出發時，大卡車載貨量是小卡車的3倍；到乙站時，小卡車增加了1300千克貨物，要保持大卡車的載貨重量仍然是小卡車的3倍，大卡車就應增加1300×3千克。把小卡車增加1300千克貨物后的重量看作1份數，大卡車增加1300×3千克貨物后的重量就是3份數。而大卡車增加了1400千克貨物后的載貨量是2份數，這說明3份數與2份數之間相差〔1300×3-1400〕千克，這是1份數，即小卡車增加1300千克貨物后的載貨量。1300×3-1400=3900-1400=2500〔千克〕出發時，小卡車的載貨量是：2500-1300=1200〔千克〕出發時，大卡車的載貨量是：1200×3=3600〔千克〕答略。*例2甲、乙兩個班組織體育活動，選出15名女生參加跳繩比賽，男生人數是剩下女生人數的2倍；又選出45名男生參加長跑比賽，最后剩下的女生人數是剩下男生人數的5倍。這兩個班原有女生多少人？〔適于五年級程度〕解：把最后剩下的男生人數看作1份數，根據“最后剩下的女生人數是男生人數的5倍〞可知，剩下的女生人數為5份數。根據45名男生未參加長跑比賽前“男生人數是剩下女生人數的2倍〞，而最后剩下的女生人數是5份數，可以算出參加長跑前男生人數的份數：5×2=10〔份〕因為最后剩下的男生人數是1份數，所以參加長跑的45名男生是：10-1=9〔份〕每1份的人數是：45÷9=5〔人〕因為最后剩下的女生人數是5份數，所以最后剩下的女生人數是：5×5=25〔人〕原有女生的人數是：25+15=40〔人〕綜合算式：45÷〔5×2-1〕×5+15=45÷9×5+15=25+15=40〔人〕答略。〔四〕以份數法解按比例分配的應用題把一個數量按一定的比例分成幾個局部數量的應用題，叫做按比例分配的應用題。例1一個工程隊分為甲、乙、丙三個組，三個組的人數分別是24人、21人、18人。現在要挖2331米長的水渠，假設按人數的比例把任務分配給三個組，每一組應挖多少米？〔適于六年級程度〕解：甲、乙、丙三個組應挖的任務分別是24份數、21份數、18份數，求出1份數后，用乘法便可求出各組應挖的任務。2331÷〔24+21+18〕=37〔米〕37×24=888〔米〕…甲組任務37×21=777〔米〕…乙組任務37×18=666〔米〕…丙組任務答略。例2生產同一種零件，甲要8分鐘，乙要6分鐘。甲乙兩人在相同的時間內共同生產539個零件。每人各生產多少個零件？〔適于六年級程度〕解：由題意可知，在相同的時間內，甲、乙生產零件的個數與他們生產一個零件所需時間成反比例。把甲生產零件的個數看作1份數，那么，乙生產零件的個數就是：生產零件的總數539個就是：甲生產的個數：乙生產的個數：答略。〔五〕以份數法解正比例應用題成正比例的量有這樣的性質：如果兩種量成正比例，那么一種量的任意兩個數值的比等于另一種量的兩個對應的數值的比。含有成正比例關系的量，并根據正比例關系的性質列出比例式來解的應用題，叫做正比例應用題。這里是指以份數法解正比例應用題。例1某化肥廠4天生產化肥32噸。照這樣計算，生產256噸化肥要用多少天？〔適于六年級程度〕解：此題是工作效率一定的問題，工作量與工作時間成正比例。以4天生產的32噸為1份數，256噸里含有多少個32噸，就有多少個4天。4×〔256÷32〕=4×8=32〔天〕答略。例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？〔適于六年級程度〕解：每400粒大豆重80克，這一數量是一定的，因此大豆的粒數與重量成正比例。如把400粒大豆重80克看作1份數，那么24000粒大豆中包含多少個400粒，24000粒大豆中就有多少個80克。24000÷400=60〔個〕24000粒大豆的重量是：80×60=4800〔克〕綜合算式：80×〔24000÷400〕=4800〔克〕答略。〔六〕以份數法解反比例應用題成反比例的量有這樣的性質：如果兩種量成反比例，那么一種量的任意兩個數值的比，等于另一種量的兩個對應數值的比的反比。含有成反比例關系的量，并根據反比例關系的性質列出比例式來解的應用題，叫做反比例應用題。這里是指以份數法解反比例應用題。例1有一批水果，每箱裝36千克，可裝40箱。如果每箱多裝4千克，需要裝多少箱？〔適于六年級程度〕解：題中水果的總重量不變，每箱裝的多，那么裝的箱數就少，即每箱裝的重量與裝的箱數成反比例。如果把原來要裝的40箱看做1份數，那么現在需要裝的箱數就是原來要裝箱數的：現在需要裝的箱數是：答略。天的用煤量看做1份數，那么改良爐灶后每天的用煤量是原來每天用煤量的：用煤天數與每天用煤量成反比例，原來要用24天的煤，現在可以用的天數是：答略。〔七〕以份數法解分數應用題分數應用題就是指分數的三類應用題，即求一個數的幾分之幾是多少；求一個數是另一個數的幾分之幾；一個數的幾分之幾是多少，求這個數。例1長征毛巾廠男職工人數比女職工人數少1/3，求女職工人數比男職工人數多百分之幾？〔適于六年級程度〕解：從題中條件可知，男職工人數相當于女職工人數的：如果把女職工人數看作3份，那么男職工人數就相當于其中的2份。所以，女職工人數比男職工人數多：〔3-2〕÷2=50％答略。那么黃旗占：如果把21面黃旗看作1份數，總數量“1〞中包含有多少個7/45，旗的總面數就是21的多少倍。答略。棉花谷多少包？〔適于六年級程度〕解：由題意可知，甲、乙兩個倉庫各運走了一些棉花之后，甲倉庫剩下成8份時，甲倉庫剩下的是2份；把乙倉庫的棉花分成5份時，乙倉庫剩下的也是2份。但是，乙倉庫剩下的2份比甲倉庫剩下的2份多130包。可以看出，乙倉庫的1份比甲倉庫的1份多出：130÷2=65〔包〕如果把乙倉庫原有的棉花減少5個65包，再把剩下的棉花平均分成5份，這時乙倉庫的每一份棉花就與甲倉庫的每一份同樣多了。這樣，從兩倉庫棉花的總數2600包中減去5個65包，再把剩下的棉花平均分成13份〔其中甲倉庫8份，乙倉庫5份〕，其中的8份就是甲倉庫原有的包數。〔2600-65×5〕÷〔8+5〕×8=2275÷13×8=1400〔包〕……………甲倉庫原有的包數2600-1400=1200〔包〕……………乙倉庫原有的包數答略。〔八〕以份數法解工程問題工程問題就是研究工作量、工作時間及工作效率之間相互關系的問題，這種問題的工作量常用整體“1〞表示。例1一輛快車和一輛慢車同時從甲、乙兩站相對開出，經12小時相遇。相遇后，快車又行8小時到達乙站。相遇后慢車還要行幾小時才能到達甲站？〔適于六年級程度〕解：由“相遇后快車又行8小時到達乙站〞可知，慢車行12小時的路程快車只需行8小時。把快車行這段路程所需的8小時看作1份數，那么慢車所需的份數是：答略。*例2加工一批零件，甲單獨完成需要30天，乙單獨完成的時間比甲少解：由題意可知，甲單獨完成需要30天，乙單獨完成所需天數是：如果把乙工作的6天看作1份數，那么甲完成相同的工作量所需時間就答略。〔九〕以份數法解幾何題*例1一個正方形被分成了大小、形狀完全一樣的三個長方形〔如圖11-3〕。每個小長方形的周長都是16厘米。這個正方形的周長是多少？〔適于五年級程度〕解：在每個長方形中，長都是寬的3倍。換句話說，如果寬是1份，那么長為3份，每個長方形的周長一共可分為：3×2+1×2=8〔份〕因為每個長方形的周長為16厘米，所以每份的長是：16÷8=2〔厘米〕長方形的長，也就是正方形的邊長是：2×3=6〔厘米〕正方形的周長是：6×4=24〔厘米〕答略。*例2長方形長寬的比是7∶3。如果把長減少12厘米，把寬增加16厘米，那么這個長方形就變成了一個正方形。求原來這個長方形的面積。〔適于六年級程度〕解：根據題意，假設原來長方形的長為7份，那么寬就是3分，長與寬之間相差：7-3=4〔份〕由于長方形的長要減少12厘米，寬增加16厘米，長方形才能變成正方形，因此原長方形長、寬之差為：12+16=28〔厘米〕看得出，4份與28厘米是相對應的，每一份的長度是：28÷4=7〔厘米〕原來長方形的長是：7×7=49〔厘米〕原來長方形的寬是：7×3=21〔厘米〕原來長方形的面積是：49×21=1029〔平方厘米〕答略。第十二講消元法在數學中，“元〞就是方程中的未知數。“消元法〞是指借助消去未知數去解應用題的方法。當題中有兩個或兩個以上的未知數時，要同時求出它們是做不到的。這時要先消去一些未知數，使未知數減少到一個，才便于找到解題的途徑。這種通過消去未知數的個數，使題中的數量關系到達單一化，從而先求出一個未知數，然后再將所求結果代入原題，逐步求出其他未知數的解題方法叫做消元法。〔一〕以同類數量相減的方法消元例買1張辦公桌和2把椅子共用336元；買1張辦公桌和5把椅子共用540元。求買1張辦公桌和1把椅子各用多少錢？〔適于四年級程度〕解：這道題有兩類數量：一類是辦公桌的張數、椅子的把數，另一類是錢數。先把題中的數量按“同事橫對、同名豎對〞的原那么排列成表12-1。這就是說，同一件事中的數量橫向對齊，單位名稱相同的數量上下對齊。表12-1從表12-1第②組的數量減去第①組對應的數量，有關辦公桌的數量便消去，只剩下有關椅子的數量：5-2=3〔把〕3把椅子的錢數是：540-336=204〔元〕買1把椅子用錢：204÷3=68〔元〕把買1把椅子用68元這個數量代入原題，就可以求出買1張辦公桌用的錢數是：336-68×2=336-136=200〔元〕答略。〔二〕以和、積、商、差代換某數的方法消元解題時，可用題中某兩個數的和，或某兩個數的積、商、差代換題中的某個數，以到達消元的目的。1.以兩個數的和代換某數*例甲、乙兩個書架上共有584本書，甲書架上的書比乙書架上的書少88本。兩個書架上各有多少本書？〔適于四年級程度〕解：題中的數量關系可用下面等式表示：甲+乙=584

①甲+88=乙

②把②式代入①式〔以甲與88的和代換乙〕，得：甲+甲+88=584甲×2+88=5842甲=584-88=496甲=496÷2=248〔本〕乙=248+88=336〔本〕答略。2.以兩個數的積代換某數*例3雙皮鞋和7雙布鞋共值242元，一雙皮鞋的錢數與5雙布鞋的錢數相同。求每雙皮鞋、布鞋各值多少錢？〔適于四年級程度〕解：因為1雙皮鞋與5雙布鞋的錢數相同，所以3雙皮鞋的錢數與5×3=15〔雙〕布鞋的錢數一樣多。這樣可以認為242元可以買布鞋：15+7=22〔雙〕每雙布鞋的錢數是：242÷22=11〔元〕每雙皮鞋的錢數是：11×5=55〔元〕答略。3.以兩個數的商代換某數*例5支鋼筆和12支圓珠筆共值48元，一支鋼筆的錢數與4支圓珠筆的錢數一樣多。每支鋼筆、圓珠筆各值多少錢？〔適于五年級程度〕解：根據“一支鋼筆的錢數與4支圓珠筆的錢數一樣多〞，可用12÷4=3〔支〕的商把12支圓珠筆換為3支鋼筆。現在可以認為，用48元可以買鋼筆：5+3=8〔支〕每支鋼筆值錢：48÷8=6〔元〕每支圓珠筆值錢：6÷4=1.5〔元〕答略。4.以兩個數的差代換某數*例甲、乙、丙三個人共有235元錢，甲比乙多80元，比丙多90元。三個人各有多少錢？〔適于五年級程度〕解：題中三個人的錢數有下面關系：甲+乙+丙=235

①甲-乙=80

②甲-丙=90

③由②、③得：乙=甲-80

④丙=甲-90

⑤用④、⑤分別代替①中的乙、丙，得：甲+〔甲-80〕+〔甲-90〕=235甲×3-170=235甲×3=235+170=405甲=405÷3=135〔元〕乙=135-80=55〔元〕丙=135-90=45〔元〕答略。〔三〕以較小數代換較大數的方法消元在用較小數量代換較大數量時，要把較小數量比擬大數量少的數量加上，做到等量代換。*例18名男學生和14名女學生共采集松樹籽78千克，每一名男學生比每一名女學生少采集1千克。每一名男、女學生各采集松樹籽多少千克？〔適于五年級程度〕解：題中說“每一名男學生比每一名女學生少采集1千克〞，那么18名男生比女生少采集1×18=18〔千克〕。假設這18名男生也是女生〔以小代大〕，就應在78千克上加上18名男生少采集的18千克松樹籽。這樣他們共采集松樹籽：78+18=96〔千克〕因為已把18名男學生代換為女學生，所以可認為共有女學生：14+18=32〔名〕每一名女學生采集松樹籽：96÷32=3〔千克〕每一名男學生采集松樹籽：3-1=2〔千克〕答略。〔四〕以較大數代換較小數的方法消元在用較大數量代換較小數量時，要把較大數量比擬小數量多的數量減去，做到等量代換。*例勝利小學買來9個同樣的籃球和5個同樣的足球，共付款432元。每個足球比每個籃球貴8元，籃球、足球的單價各是多少元？〔適于五年級程度〕解：假設把5個足球換為5個籃球，就可少用錢：8×5=40〔元〕這時可認為一共買來籃球：9+5=14〔個〕買14個籃球共用錢：432-40=392〔元〕籃球的單價是：392÷14=28〔元〕足球的單價是：28+8=36〔元〕答略。〔五〕通過把某一組數乘以一個數消元當應用題的兩組數量中沒有數值相等的兩個同類數量時，應通過把某一組數量乘以一個數，而使同一類數量中有兩個數值相等的數量，然后再消元。*例2匹馬、3只羊每天共吃草38千克；8匹馬、9只羊每天共吃草134千克。求一匹馬和一只羊每天各吃草多少千克？〔適于五年級程度〕解：把題中條件摘錄下來，排列成表12-2。表12-2把第①組中的數量乘以3得表12-3。表12-3第③組的數量中，羊的只數是9只；第②組的數量中，羊的只數也是9只。這樣便可以從第②組的數量減去第③組的數量，從而消去羊的只數，得到2匹馬吃草20千克。一匹馬吃草：20÷2=10〔千克〕一只羊吃草：〔38-10×2〕÷3=18÷3=6〔千克〕答略。〔六〕通過把兩組數乘以兩個不同的數消元當應用題的兩組數量中沒有數值相等的兩個同類的數量，并且不能通過把某一組數量乘以一個數，而使同一類的數量中有兩個數值相等的數，而到達消元的目的時，應當通過把兩組數量分別乘以兩個不同的數，而使同一類的數量中有兩個數值相等的數，然后再消元。*例1買3塊橡皮和6支鉛筆用1.68元錢，買4塊橡皮和7支鉛筆用2元錢。求一塊橡皮和一支鉛筆的價格各是多少錢？〔適于五年級程度〕解：把題中條件摘錄下來排列成表12-4。表12-4要消去一個未知數，只把某一組數乘以一個數不行，要把兩組數分別乘以兩個不同的數，從而使兩組數中有對應相等的兩個同一類的數。因此，把第①組中的各數都乘以4，把第②組中的各數都乘以3，得表12-5。表12-5③-④得：3支鉛筆用錢0.72元，一支鉛筆的價格是：0.72÷3=0.24〔元〕一塊橡皮的價格是：〔1.68-0.24×6〕÷3=〔1.68-1.44〕÷3=0.24÷3=0.08〔元〕答略。*例2有大杯和小杯假設干個，它們的容量相同。現在往5個大杯和3個小杯里面放滿砂糖，共420克；又往3個大杯和5個小杯里面放滿砂糖，共380克。求一個大杯和一個小杯分別可以放入砂糖多少克？〔適于五年級程度〕解：摘錄題中條件排列成表12-6。表12-6把表12-6中①組各數都乘以5，②組各數都乘以3，得表12-7。表12-7③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，一個大杯里面可以放入砂糖：960÷16=60〔克〕一個小杯里面可以放入砂糖：〔420-60×5〕÷3=〔420-300〕÷3=40〔克〕答略。第十三講比擬法通過對應用題條件之間的比擬，或難解題與易解題的比擬，找出它們的聯系與區別，研究產生聯系與區別的原因，從而發現解題思路的解題方法叫做比擬法。在用比擬法解應用題時，有些條件可直接比擬，有些條件不能直接比擬。在條件不能直接比擬時，可借助畫圖、列表等方法比擬，也可適當變換題目的陳述方式及數量的大小，創造條件比擬。〔一〕在同一道題內比擬在同一道題內比擬，就是在同一道題的條件與條件、數量與數量之間的比擬，不涉及其他題目。1.直接比擬例1五年級甲班要種一些樹。如果每人種5棵，那么剩下75棵；如果每人種7棵，那么缺15棵。問這個班有多少人？這批樹苗有多少棵？〔適于四年級程度〕解：將兩種分配方案進行比擬，就會發現，第二次比第一次每人多種：7-5=2〔棵〕第二次比第一次多種：75+15=90〔棵〕90棵中含有多少個2棵就是全班的人數：90÷2=45〔人〕這批樹苗的棵數是：5×45+75=300〔棵〕或7×45-15=300〔棵〕答略。*例2四季茶莊購進兩批茶葉，第一批有35箱綠茶和15箱紅茶，共重2925千克。第二批有35箱綠茶和28箱紅茶，共重3640千克。兩種茶葉每箱各重多少千克？〔適于五年級程度〕解：將前后兩批茶葉的箱數與箱數、重量與重量分別比擬，可發現，第二批紅茶箱數比第一批紅茶箱數多：28-15=13〔箱〕第二批紅茶比第一批紅茶多：3640-2925=715〔千克〕因此，可得每一箱紅茶重量：715÷13=55〔千克〕每一箱綠茶重量：〔2925-55×15〕÷35=〔2925-825〕÷35=2100÷35=60〔千克〕答略。2.畫圖比擬有些應用題由于數量關系復雜、抽象，不便于通過直接推理、比擬看出數量關系，可借助畫圖作比擬，就容易看出數量關系。解：作圖13-1，比擬已修過米數與未修過米數的關系。可看出，這段公路一共分為〔7+2〕份。答略。3.列表比擬有些應用題適于借助列表的方法比擬條件。在用列表的方法比擬條件時，要把題中的條件摘錄下來，盡量按“同事橫對，同名豎對〞的格式排列成表。這就是說，要盡量使同一件事情的數量橫著對齊，使單位名稱相同的數量豎著對齊。例趙明準備買2千克蘋果和3千克梨，共帶6.8元錢。到水果店后，他買了3千克蘋果和2千克梨，結果缺了0.4元錢。求每千克蘋果、梨各多少元錢？〔適于五年級程度〕解：摘錄條件排列成表13-1。表13-1比擬①、②兩組數量會看出：由于多買了1千克蘋果，少買了1千克梨，才缺了0.4元。可見1千克蘋果比1千克梨貴0.4元。從買2千克蘋果、3千克梨的6.8元中去掉買2千克蘋果多用的錢，便可以把買2千克蘋果當成買2千克梨，那么一共買梨〔2+3〕千克，用錢：6.8-0.4×2=6〔元〕每千克梨的價錢是：6÷〔2+3〕=1.2〔元〕每千克蘋果的價錢是：1.2+0.4=1.6〔元〕答略。〔二〕和容易解的題比擬當一道應用題比擬復雜時，可先回憶過去是不是學過類似的、較容易解的題，回憶起來后，可進行比擬，找出聯系，從而找到解題途徑。1.與常見題比擬例4名騎兵輪流騎3匹馬，行8千米遠的路程，每人騎馬行的路程相等。求每人騎馬行的路程是多少？〔適于四年級程度〕小學生對這類題不易理解，如與下面的常見題作比擬就容易理解了。有3籃蘋果，每籃8個，平均分給4人，每人得幾個？把這兩道題中的條件都摘錄下來，一一對應地排列起來：3匹馬………3籃蘋果每匹馬都行8千米…………每籃都裝8個蘋果4人騎馬行的路程相等……4人得到的蘋果一樣多解答“蘋果〞這道題的方法是：8×3÷4通過這樣的比擬，自然會想出解題的方法。解：8×3÷4=6〔千米〕答：每人騎馬行的路程是6千米。2.與基此題比擬例甲、乙兩地相距10.5千米，某人從甲地到乙地每小時走5千米，從乙地到甲地每小時走3千米。求他往返于甲、乙兩地的平均速度。〔適于五年級程度〕在解答此題時，有的同學可能這樣解：〔5+3〕÷2=4〔千米〕。這是錯誤的。把上題與下面的題作比擬，就會發現問題。甲、乙兩地相距12千米，某人從甲地到乙地走了4小時，他每小時平均走多少千米？解此題的方法是：12÷4=3〔千米〕。這是總路程÷總的時間=平均速度。前面的解法不符合“總路程÷總時間=平均速度〞這個公式，所以是錯誤的。解：此題的總路程是：10.5×2總時間是：10.5÷5+10.5÷3所以他往返的平均速度是：10.5×2÷〔10.5÷5+10.5÷3〕=3.75〔千米/小時〕答略。3.把逆向題與順向題比擬例王明與李平共有糖假設干塊。王明的糖比李平的糖多題，不易找出解題方法。把這道題與類似的一道順向思維的題比擬一下，就可得出解題方法。答略。〔三〕創造條件比擬對那些不能以題中現有條件與相關條件進行比擬的應用題，應適當變換條件，創造可以比擬的條件，再進行比擬。*例1學校食堂第一次買來2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次買來5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？〔適于五年級程度〕解：摘錄題中條件，列成表13-2。表13-2從表13-2中的條件看，題中條件不能直接比擬。此時要創造條件比擬。因為大米袋數2和5的最小公倍數是10，所以把第一次買來的袋數2乘以5〔把面粉的袋數3，重量275也要乘以5〕，把第二次買來的袋數乘以2〔把面粉的袋數4，重量600也要乘以2〕，得表13-3。此時題中條件便可以比擬了。表13-3看表13-3，把兩次買來糧食的數量比擬一下，大米的袋數相同，面粉第一次比第二次多買：15-8=7〔袋〕因此，第一次買的糧食比第二次多：1375-1200=175〔千克〕每袋面粉重：175÷7=25〔千克〕每袋大米重：〔275-25×3〕÷2=〔275-75〕÷2=100〔千克〕答略。*例21支鉛筆、2塊橡皮、3把卷筆刀共值2.35元；2支鉛筆、3塊橡皮、4把卷筆刀共值3.30元；3支鉛筆、3塊橡皮、5把卷筆刀共值4.05元。求1支鉛筆、1塊橡皮、1把卷筆刀各值多少錢？〔適于五年級程度〕解：摘錄題中條件排列成表13-4。表13-4從表13-4看，題中條件不能直接比擬。因此，要創造條件比擬。因為橡皮的塊數2、3、3的最小公倍數是6，所以①×3，②×2，③×2，得表13-5。此時題中條件便可以比擬了。表13-5⑥-⑤，得：2支鉛筆價錢+2把卷筆刀價錢=1.5〔元〕，即，1支鉛筆價錢+1把卷筆刀價錢=0.75〔元〕…………⑦⑥-④，得：3支鉛筆價錢+1把卷筆刀價錢=1.05〔元〕…………⑧⑧-⑦，得：2支鉛筆價錢=0.30〔元〕1支鉛筆價錢=0.15〔元〕把1支鉛筆價錢0.15元代入⑦，得出1把卷筆刀的價錢是：0.75-0.15=0.60〔元〕根據①可求出一塊橡皮的價錢數：〔2.35-0.15-0.6×3〕÷2=0.4÷2=0.2〔元〕答略。*例3甲、乙兩人共需做140個零件，甲做了自己任務的80％，乙做了自己任務的75％，這時甲、乙共剩下32個零件未完成。求甲、乙兩人各需做多少個零件？〔適于六年級程度〕解：“甲做了自己任務的80％，乙做了自己任務的75％〞后共剩下32個零件，甲、乙兩人所做零件個數不相等，因此，甲所做零件的80％與乙所做零件的75％不可直接比擬。此時就要創造條件比擬了。甲做自己任務的80％，假設乙也做自己任務的80％，那么甲乙就共剩下零件：140×〔1-80％〕=28〔個〕這比原來的“甲、乙共剩下32個零件〞少：32-28=4〔個〕這4個所對應的分率是：80％-75％=5％所以，乙需做的零件是：4÷5％=80〔個〕甲需做的零件是：140-80=60〔個〕答略。第十四講演示法對于那些不容易理解和分析數量關系的應用題，利用身邊現成的東西，如鉛筆、橡皮、小刀、文具盒等，進行演示，使應用題的內容形象化，數量關系具體化，這種解題的方法叫做演示法。例1一根繩子正好圍成一個邊長為5分米的正方形。如果用它圍成長是8分米的長方形，問其寬應當是多少分米？〔適于三年級程度〕解：對這道題一般同學都會用這樣的方法解答：5×4÷2-8=2〔分米〕然而這并不是最簡捷的解法，要用更簡捷的解法，我們可以做下面的試驗：〔1〕用一根細鐵絲圍成一個邊長是5分米的正方形〔圖14-1〕。〔2〕把正方形的細鐵絲從C點斷開。這時ABC局部、CDA局部都是正方形邊長的2倍。〔3〕把ABC那局部〔或CDA局部〕拉直，折出8分米長的一段與另一段成90°的角〔圖14-2〕。此時會看到8分米長的這一段是長方形的長，與8分米長的邊成直角的那一段是長方形的寬。到此，很容易得出，求長方形的寬也可以用下面的方法：5×2-8=2〔分米〕答略。*例2有一列火車，長120米，以每小時18千米的速度通過一座長150米的隧道。求從火車頭進隧道到火車尾部離開隧道共需要多長時間？〔適于五年級程度〕解：求火車過隧道的時間，必須知道過隧道的速度和所行的路程。速度，因此，解此題的關鍵是求出火車頭從進隧道到火車尾部離開隧道所行的路程。為弄清這個問題，我們做下面的演示。用文具盒當隧道，用鉛筆當火車。用圖14-3表示火車剛剛要進隧道時的情景，用圖14-4表示火車車尾正好離開隧道時的情景。從圖14-4可看出：火車從車頭進隧道，到車尾離開隧道，所行的路程等于隧道長與車身長之和。到此，便可求出火車頭從進隧道到車尾離開隧道所用的時間。分步列式計算：〔1〕火車每秒行：1000×18÷3600=5〔米〕〔2〕火車通過隧道共行的米數：150+120=270〔米〕〔3〕火車通過隧道需時間是：270÷5=54〔秒〕綜合算式：〔150+120〕÷〔1000×18÷3600〕=270÷5=54〔秒〕答略。*例3兄弟二人早晨五點鐘各推一車菜，同時從家里出發去集市。哥哥每分鐘走100米，弟弟每分鐘走60米。哥哥到達集市后5分鐘卸完菜，立即返回，途中遇到弟弟，這時是5點55分。問集市離他們家有多遠？〔適于五年級程度〕解：此題可用橡皮、瓶蓋分別代表“家〞與“集市〞，放在桌面的兩端，用兩支鉛筆代表兄弟二人實際走一走。如〔圖14-5〕。圖14-5實線表示弟弟走的路程，虛線表示哥哥走的路程。從演示中可以看出兄弟二人共走的路程是從家到集市路程的2倍。因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。[60×55+100×〔55-5〕]÷2=[3300+5000]÷2=4150〔米〕答略。*例4一個5分米高的圓柱體，它的側面積是62.8平方分米，求圓柱體的體積。〔適于六年級程度〕解：要求圓柱體的體積就要知道圓柱底面圓的半徑是多少。從外表看，題中沒有告訴圓柱底面圓的半徑是多少，這可怎么辦呢？做了下面的演示，問題就得到解決了。用一張長方形的紙卷成一個圓柱形，再把圓柱形展開，展開后看到圓柱形的側面是個長方形。長方形的寬就是圓柱的高，長方形的長就是圓柱底面圓的周長。知道了圓柱底面圓的周長，就能算出圓柱體底面圓的半徑。〔1〕圓柱體底面圓的周長是：62.8÷5=12.56〔分米〕〔2〕圓柱體底面圓的半徑是：12.56÷3.14÷2=2〔分米〕〔3〕圓柱體的體積是：3.14×2×2×5=62.8〔立方分米〕答略。*例5從三點鐘到四點鐘之間，鐘面上時針和分針什么時刻會重合？什么時刻成一直線？〔適于高年級程度〕解：此題很抽象，可用有活動指針的時鐘教具做演示來理解題中的數量關系。看圖14-6，因為鐘的指針是順時針方向轉動的，所以在3點鐘時，時針在分針前面。要使兩針重合，分針就要追上時針。我們把分針轉動一圈，即分針走60小格，時針才走5個小格，因此，在分針要與時針成一條直線，分針不僅要追上時針15格的距離，還要超過30格的距離，總計要“追〞〔15+30〕格的距離。“追〞〔15+30〕格的路程要用多長時間呢？時針成一條直線。答略。*例6一列快車全長151米，每秒鐘行15米，一列慢車全長254米，每秒鐘行12米。兩車相對而行，從相遇到離開要用幾秒鐘？〔適于五年級程度〕解：要求兩車從相遇到離開要用幾秒鐘，必須知道兩車從相遇到離開走多長的路程。為弄清這個問題，我們做下面的演示：用一支鉛筆作慢車，用另一支鉛筆作快車。先讓它們相遇〔圖14-7〕，再讓它們從相對運行到正好離開〔圖14-8〕。看圖14-8會想到：兩車共行的路程是兩個車身長的和。到此，可算出：〔151+254〕÷〔15+12〕=405÷27=15〔秒〕答：兩車從相遇到離開需要15秒鐘。第十五講列表法把應用題中的條件簡要地摘錄下來，列表分類整理、排列，并借助這個表格分析、解容許用題的方法叫做列表法。在用列表法解題時，要仔細判斷題中哪些數量是同一件事中直接相關聯的，哪些數量是同一類的。排列數量時，要盡量做到“同事橫對〞，“同名豎對〞。這就是說，要使同一件事中直接相關聯的數量橫向排列，使同一類的、單位名稱相同的數量豎著排列，還要使它們的數位上、下對齊。這樣就可以在讀題、列表的過程中正確識別數量，選擇數量，理解數量之間的聯系、區別，理清思路，為下一步的分析、推理作好準備。〔一〕通過列表突出題目的解法特點有些應用題的解法具有一定的特點，如果把題中的條件按一定的格式排列，整理成表，那么表格會起到突出題目解法特點的作用。例1桌子上放著黃、紅、綠三種顏色的塑料碗。3只黃碗里放著51個玻璃球，5只紅碗里放著75個玻璃球，2只綠碗里放著24個玻璃球。要使每只碗里玻璃球的個數相同，每只碗里應放多少個玻璃球？〔適于四年級程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-1。表15-1求每只碗里應放多少個球，要先求出一共有多少個碗，和在這些碗中一共放了多少個球。由于表15-1中把碗的只數排列在前一豎行，把球的個數排列在另一豎行，所以只要看著表15-1中豎著排列的碗的只數和球的個數，便可算出碗的總數和玻璃球的總數，從而使問題得以解決。〔51+75+24〕÷〔3+5+2〕=150÷10=15〔只〕答：平均每只碗里應放15個玻璃球。例2荒地村砂場用3輛汽車往火車站運送砂子，5天運了180噸。照這樣計算，用4輛同樣的汽車15天可以運送多少噸砂子？〔適于四年級程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-2。表15-2解此題的要點是先求出單位數量。表15-2中，由于汽車的輛數、運送的天數和噸數這三個直接相關聯的數量排在同一橫行，因此便于想到，180÷5得到3輛車1天運多少噸，180÷5÷3就得到一輛車一天運多少噸；接著便可想到求出4輛車1天運多少噸，15天運多少噸。求4輛車15天運送多少噸砂子的方法是：180÷5÷3×4×15=12×4×15=720〔噸〕答略。例3甲校買8個排球，5個籃球，共用415元，乙校買同樣的4個排球、5個籃球，共用295元。求買一個排球需要多少錢？〔適于四年級程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-3。表15-3從表15-3可以看出，甲、乙二校所買籃球的個數一樣多，甲校比乙校多用錢：415-295=120〔元〕甲校比乙校多買排球數是：8-4=4〔個〕所以，每個排球的賣價是：120÷4=30〔元〕答略。例4要把賣5角錢500克的紅辣椒和賣3角5分錢500克的青辣椒混合起來，賣4角1分錢500克，應按怎樣的比例混合，賣主和顧客才都不吃虧？〔適于六年級程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-4〔為便于計算，表中錢數都以“分〞為單位〕。表15-4要使賣主與買主都不吃虧，就要使紅辣椒損失的錢數與青辣椒多收入的錢數一樣多。由表15-4可看出，當紅辣椒損失18分，青辣椒多收入18分時，恰好到達要求。因為每500克紅辣椒與青辣椒混合時，紅辣椒要少賣9分錢，當損失18分時，那么有500×2克紅辣椒；同理，青辣椒與紅辣椒混合時，每500克青辣椒要多賣6分錢，要多賣18分時，就要有3個500克才行，即500×3克青辣椒。所以，紅辣椒與青辣椒混合的比應是：500×2∶500×3=2∶3答略。*例5甲種酒每500克賣1元4角4分，乙種酒每500克賣1元2角，丙種酒每500克賣9角6分。現在要把三種酒混合成每500克賣1元1角4分的酒，其中乙種酒與丙種酒的比是3∶2。求混合酒中三種酒的重量比。〔適于六年級程度〕解：設混合酒中甲種酒占的份數是x，為便于計算題中錢數都以“分〞為單位。摘錄題中條件，排列成表15-5。表15-5從表15-5可以看出，當三種酒的混合比是x∶3∶2，混合酒的價錢是114分時，混合酒中每500克甲種酒要損失〔少賣〕30分錢，每500克乙種酒要損失6分錢，而每500克丙種酒要收益〔多賣〕18分錢。當乙、丙兩種酒的混合比是3∶2時，假設乙、丙兩種酒分別是1.5千克、1千克，那么這兩種酒的混合液可以多賣錢：18×2-6×3=18〔分〕當三種酒按x∶3∶2的比例混合時，收益的18分錢應與甲種酒的損失抵消。因為三種酒混合時，每500克甲種酒損失30分，所以18分是30分的幾分之幾，甲種酒在三種酒的混合液中就占500克的幾分之幾：答：混合酒中三種酒的重量比是3∶15∶10。〔二〕通過列表暴露題目的中間問題解答復合應用題的關鍵，是找出解答最后問題所需要的中間問題〔隱藏量〕，應用題的步驟越多，需要找出的中間問題就越多，解答的過程就越復雜。在用列表法解應用題時，由于題中數量是按“同事橫對，同名豎對〞的規律排列在表中，所以便于思考求最后的問題需要哪些數量，這些數量中哪些是的、哪些是未知的中間問題。同時也便于思考怎樣求出中間問題，并在必要時把求中間問題的算式寫在表中。這樣，中間問題便暴露于表格中，和數處于平等的地位，從而排除了思維道路上的障礙，減輕了解題的難度。*例1張老師買了2千克蘋果，3千克梨，共用5元錢。王老師買的蘋果是張老師的2倍，買的梨是張老師的3倍，比張老師多用6.8元。問每一千克蘋果、每一千克梨的價錢各是多少元？〔適于五年級程度〕解：摘錄題中條件，排列成表15-6。表15-6中，由于張老師買的蘋果是2千克、梨是3千克，共用5元錢，都已寫在表中，因此很容易在表中寫出王老師買的蘋果是2×2千克，王老師買的蘋果恰好是張老師的2倍，也很容易寫出王老師買的梨是3×3千克，王老師買的梨比張老師的2倍多3×〔3-2〕千克，即多3千克。表15-6王老師共用錢〔5+6.8〕元，王老師買水果用的錢比張老師買水果用的錢的2倍多：〔5+6.8〕-5×2=1.8〔元〕這1.8元就是買3千克梨用的錢，所以1千克梨的價錢是：1.8÷3=0.6〔元〕1千克蘋果的價錢是：〔5-0.6×3〕÷2=〔5-1.8〕÷2=1.6〔元〕答略。*例2有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙兩桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙兩桶中。這時3桶油正好都是16千克。問原來每桶中各有油多少千克？〔適于高年級程度〕解：此題的中間量比擬多，需要從題中最后的結果逐步往前推理，把推出的結果寫在表中，就能求出原來每桶各有多少千克油。看表15-7。表15-7〔1〕由于最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙兩桶中，3桶油正好都是16千克，因此在表15-7中，橫向寫上甲、乙、丙三桶油都是16千克。而在丙桶未向甲、乙兩桶倒油之前，丙桶中有油：16×2=32〔千克〕丙桶油的一半是16千克，把這16千克平均倒在甲乙兩桶中時，倒入每一桶的油是：16÷2=8〔千克〕所以，在丙桶未向甲、乙兩桶倒油時，即“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙兩桶中〞后，甲、乙兩桶中分別有油8千克。在表15-7中，乙倒完后一欄的后面橫向寫上甲、乙、丙三桶分別有油8千克、8千克、32千克。〔2〕根據取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙兩桶中后，乙桶中還剩8千克油，甲桶中有油8千克，丙桶中有油32千克，可以推出原來乙桶中有油16千克，乙桶油的一半是：16÷2=8〔千克〕8千克的一半是4千克。所以，在乙桶未向甲、丙兩桶倒油之前，即“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中〞后，甲桶中有油：8-4=4〔千克〕丙桶中有油：32-4=28〔千克〕在表15-7中，甲倒完后一欄的后面橫向寫上甲、乙、丙三桶分別有油：4千克、16千克、28千克。〔3〕由“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中〞之后，甲桶中還剩下4千克油，可以推出甲桶原來有油：4×2=8〔千克〕8千克的一半是4千克，4千克的一半是2千克。由甲桶向乙、丙兩桶倒完油后，乙、丙兩桶分別有油16千克，28千克，由此可推出乙、丙兩桶原來分別有油：16-2=14〔千克〕28-2=26〔千克〕答略。第十六講倍比法解應用題時，先求出題中兩個對應的同類數量的倍數，再通過“倍數〞去求未知數，這種解題的方法稱為倍比法。〔一〕用倍比法解歸一問題可以用倍比法解答的應用題一般都可以用歸一法來解〔除不盡時，可以用分數、小數來表示〕，但用倍比法解答要比用歸一法簡便。實際上，倍比法是歸一法的特殊形式。為計算方便，在整數范圍內，如果用歸一法除不盡時，可以考慮用倍比法來解。反之，運用倍比法除不盡時，也可以考慮改用歸一法來解。要根據題目中的具體條件，選擇最正確解法。例1一臺拖拉機3天耕地175畝。照這樣計算，這臺拖拉機15天可以耕地多少畝？〔適于三年級程度〕解：這道題實質上是歸一問題。要求15天耕地多少畝，只要先求出每天耕地多少畝就行了。但175不能被3整除，所以在整數范圍內此題不便用歸一法來解。因題目中的同一類數量〔兩個天數〕之間成倍數關系〔15天是3天的5倍〕，并且拖拉機的工作效率又相同，所以另一類量〔兩個耕地畝數〕之間也必然有相同的倍數關系〔15天耕地畝數也應是3天耕地畝數的5倍〕。先求15天是3天的幾倍：15÷3=5〔倍〕再求175畝的5倍是多少畝：175×5=875〔畝〕綜合算式：175×〔15÷3〕＝175×5＝875〔畝〕答：15天可以耕地875畝。例23臺拖拉機一天耕地40畝。要把160畝地在一天內耕完，需要多少臺同樣的拖拉機？〔適于三年級程度〕解：先求出160畝是40畝的幾倍：160÷40=4〔倍〕再求耕160畝地需要多少臺同樣的拖拉機：3×4=12〔臺〕綜合算式：3×〔160÷40〕=3×4=12〔臺〕例3工廠運來52噸煤，先用其中的13噸煉出9750千克焦炭。照這樣計算，剩下的煤可以煉出多少千克焦炭？〔適于四年級程度〕用歸一法解：先求出每噸煤可煉出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以煉多少千克焦炭：9750÷13×〔52-13〕=750×39=29250〔千克〕用倍比法解：先求出52噸里有幾個13噸，然后去掉已煉的一個13噸，得：9750×〔52÷13-1〕=29250〔千克〕答略。例4某糧食加工廠，3臺磨粉機6小時磨小麥1620千克。照這樣計算，5臺磨粉機8小時可以磨小麥多少千克？〔適于五年級程度〕用歸一法解：1620÷3÷6×5×8=540÷6×5×8=90×5×8=3600〔千克〕用倍比法解：把一臺磨粉機工作1小時看作一個新的量--1臺小時，3臺磨粉機工作6小時，就是3×6臺小時，5臺磨粉機工作8小時，就是5×8臺小時。只要求出5×8臺小時是3×6臺小時的幾倍，那么5臺磨粉機8小時磨的小麥就是1620千克小麥的幾倍。答略。例5甲、乙兩輛車分別從東、西兩城同時相對開出，4小時后相遇，相遇后甲車再經過2小時到達西城。求乙車再經過幾小時可以到達東城？〔適于五年級程度〕解：用圖16-1表示題中的數量關系。看圖16-1中兩車相遇點右側的路程，甲、乙所走的路程一樣長。但走這段路，甲用了2小時，乙卻用了4小時。就是說，走同樣的路程時，乙用的時間是甲的4÷2=2倍。再看相遇點左側的路程，甲走這段路程用了4小時，因為走同樣長的路程時乙用的時間是甲的2倍，所以，乙由相遇點到達東城的時間是4小時的2倍。4×〔4÷2〕=8〔小時〕答：乙車再過8小時可以到達東城。〔二〕用倍比法解工程問題用倍比法解工程問題，不用設總工作量為“1〞，學生較易理解，尤其是解某些較復雜的工程問題，用倍比法解比擬簡捷。例1一項工程，由甲工程隊修建，需要20天完成；由乙工程隊修建，需要30天完成。兩隊合修需要多少天完成？〔適于六年級程度〕解：因為甲工程隊修建20天的工作量相當于乙工程隊修建30天的工作在把乙隊30天的工作量看作總工作量時，乙隊一天修的工作量是1，那么=12〔天〕答略。例2一件工作單獨由一個人完成，甲要用8小時，乙要用12小時。假設甲先單獨做5小時，剩下的由乙單獨做完，那么乙需要做多少小時？〔適于六年級程度〕解：因為甲8小時的工作量相當于乙12小時的工作量，所以，甲1小時作量，剩下的便是乙單獨做完這項工作所需要的時間：在把甲8小時的工作量看作工作總量時，甲1小時的工作量是1，那么乙答略。例3某工程由甲、乙兩隊合做12天完成，現在兩隊合做4天后，余下的再由甲隊單獨做10天可以完成。問甲隊單獨完成這項工程需要多少天？〔適于六年級程度〕解：甲、乙兩隊合做4天后，再共同完成剩下的工作量，需要的天數是12-4=8〔天〕。這8天的工作量是甲、乙需合做8天才能完成的工作量。這8天的工作量，甲單獨做10天完成，就是說，甲、乙合做1天的工作〔天〕，再加上后來甲單獨工作的10天，便可得到甲隊單獨完成這項工程需要的天數：答略。例4一項工程，甲單獨做10天完成，乙單獨做15天完成。現在先由乙隊做假設干天后，甲再參加，4天就做完了。那么乙先單獨做了多少天？〔適于六年級程度〕解：因為這項工程，甲單獨做10天完成，而甲只做了4天，所以10-4=6〔天〕，這6天的工作量是由乙做的。而乙1天的工作量是甲1天工作量的去掉乙后來與甲合做的4天，便得到乙先頭單獨做的天數：答略。*例5甲、乙兩人同做一件工作，甲做4天的工作量，等于乙做3天的工作量，假設由甲單獨做這項工作需要12天完成。現在甲、乙兩人合做4天后，剩下的工作由乙單獨做需要幾天完成？〔適于六年級程度〕把甲單獨做12天完成的工作量看作工作總量，從工作總量中減去甲、乙合做的工作量，剩下的就是乙單獨做的工作量。再把剩下的工作量除以乙1天的工作量，即得到剩下的工作由乙單獨做需要幾天完成。答略。答略。第十七講逆推法小朋友在玩“迷宮〞游戲時，在縱橫交錯的道路中常常找不到出口。有些聰明的小朋友，反其道而行之，從出口倒回去找入口，然后再沿著自己走過的路返回來。由于從出口返回時，途徑單一，很快就會找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宮〞自然就不難了。解應用題也是這樣，有些應用題用順向推理的方法很難解答，如果從問題的結果出發，從后往前逐步推理，問題就很容易得到解決了。這種從條件或問題反過去想而尋求解題途徑的方法，叫做逆推法。用逆推法解應用題列算式時，經常要根據加減互逆，乘除互逆的關系，把原題中的加用減算，減用加算；把原題中的乘用除算，除用乘算。〔一〕從結果出發逐步逆推例1一個數除以4，再乘以2，得16，求這個數。〔適于四年級程度〕解：由最后再乘以2得16，可看出，在沒乘以2之前的數是：16÷2=8在沒除以4之前的數是：8×4=32答：這個數是32。*例2糧庫存有一批大米，第一天運走450千克，第二天運進720千克，第三天又運走610千克，糧庫現有大米1500千克。問糧庫原來有大米多少千克？〔適于四年級程度〕解：由現有大米1500千克，第三天運走610千克，可以看出，在沒運走610千克之前，糧庫中有大米：1500+610=2110〔千克〕在沒運進720千克之前，糧庫里有大米：2110-720=1390〔千克〕在沒運走450千克之前，糧庫里有大米：1390+450=1840〔千克〕答：糧庫里原來有大米1840千克。*例3某數加上9后，再乘以9，然后減去9，最后再除以9，得9。問這個數原來是多少？〔適于四年級程度〕解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的數是：9×9=81在減去9之前的數是：81+9=90在乘以9之前的數是：90÷9=10在加上9之前，原來的數是：10-9=1答：這個數原來是1。*例4解放軍某部進行軍事訓練，方案行軍498千米，頭4天每天行30千米，以后每天多行12千米。求還要行幾天？〔適于五年級程度〕解：從最后一個條件“以后每天多行12千米〞可求出，以后每天行的路程是：30+12=42〔千米〕從頭4天每天行30千米，可求出已行的路程是：30×4=120〔千米〕行完4天后剩下的路程是：498-120=378〔千米〕還要行的天數是：378÷42=9〔天〕綜合算式：〔498-30×4〕÷〔30+12〕=378÷42=9〔天〕答略。*例5倉庫里原有化肥假設干噸。第一次取出全部化肥的一半多30噸，第二次取出余下的一半少100噸，第三次取出150噸，最后剩下70噸。這批化肥原來是多少噸？〔適于五年級程度〕解：從“第三次取出150噸，最后剩下70噸〞可看出，在第三次取出之前倉庫里有化肥：70+150=220〔噸〕假定第二次取出余下的一半，而不是少100噸，那么第二次取出后，倉庫剩下化肥：220-100=120〔噸〕第二次取出之前，倉庫中有化肥：120×2=240〔噸〕假定第一次正好取出一半，而不是多30噸，那么第一次取出一半后，倉庫里剩下化肥：240+30=270〔噸〕倉庫中原有化肥的噸數是：270×2=540〔噸〕綜合算式：[〔150+70-100〕×2+30]×2=[120×2+30]×2=270×2=540〔噸〕答略。共有多少本圖書？有科普讀物多少本？〔適于六年級程度〕解：最后一個條件是“少兒讀物是630本〞，由于科普讀物和文藝讀物所以，這個書架上共有書：有科普讀物：答略。〔二〕借助線段圖逆推*例1有一堆煤，第一次運走一半多10噸，第二次運走余下的一半少3噸，還剩下25噸。問這堆煤原來是多少噸〔適于五年級程度〕解：作圖17-1〔見下頁〕。從圖17-1可看出，余下的一半是：25-3=22所以，余下的煤是：22×2=44〔噸〕全堆煤的一半是：44+10=54〔噸〕原來這堆煤是：54×2=108〔噸〕答略。*例2服裝廠第一車間的人數占全廠人數的25％，第二車間的人數比第個服裝廠共有多少人？〔適于六年級程度〕解：作圖17-2〔見下頁〕，用三條線段表示三個車間的人數。第二車間人數是：第一車間人數是：全廠人數是：150÷25％=600〔人〕綜合算式：〔三〕借助思路圖逆推例1某工程隊原方案12天修公路2880米，由于改良了工作方法，8天就完成了任務。問實際比原方案每天多修多少米？〔適于四年級程度〕解：作思路圖〔圖17-3〕。求實際比原方案每天多修多少米，必須知道實際每天修多少米和原方案每天修多少米。求實際每天修多少米，就要知道公路的長和實際修完的天數。實際每天修的米數是：2880÷8=360〔米〕求原方案每天修多少米，就要知道公路的長和原方案要修的天數。原方案每天修的米數是：2880÷12=240〔米〕實際比原方案每天多修的米數是：360-240=120〔米〕答略。*例2某機床廠去年每月生產機床5臺，每月用去鋼材4000千克；今年每月生產的機床臺數是去年的4倍，平均每臺機床比去年少用鋼材200千克。今年每月用的鋼材是去年每月所用鋼材的幾倍？〔適于五年級程度〕解：作思路圖〔圖17-4〕。從圖17-4的下邊開始看，逐步往上推理。〔1〕去年每臺用鋼材多少？4000÷5=800〔千克〕〔2〕今年每臺用多少鋼材？800-200=600〔千克〕〔3〕今年每月生產多少臺？5×4=20〔臺〕〔4〕今年每月用多少鋼材？600×20=12000〔千克〕〔5〕今年每月用的鋼材是去年每月所用鋼材的幾倍？12000÷4000=3〔倍〕綜合算式：〔4000÷5-200〕×〔5×4〕÷4000=600×20÷4000=3〔倍〕答略。〔四〕借助公式逆推例1一個三角形的面積是780平方厘米，底是52厘米。問高是多少？〔適于五年級程度〕解：計算三角形面積的公式是：面積=底×高÷2，逆推這個公式得：高=面積×2÷底所以，這個三角形的高是：780×2÷52=30〔厘米〕答略。例2求圖17-5平行四邊形中CD邊的長。〔單位：厘米〕〔適于五年級程度〕解：因為平行四邊形的面積是：BC×AE=6×3=18平行四邊形的面積也是：CD×AF=5CD所以，5CD=18CD=18÷5=3.6〔厘米〕答略。例3一個圓錐體的體積是84.78立方厘米，底面的直徑是6厘米。求它的高是多少。〔適于六年級程度〕解：底面圓的直徑是6厘米，那么半徑就是3厘米。由V=1/3πR2h逆推得：h=V×3÷π÷R2因此，它的高是：84.78×3÷3.14÷32=254.34÷3.14÷32=9〔厘米〕答略。〔五〕借助假設法逆推解：假設取出存款后沒有買書櫥，那么150元是取出的錢的：取出的錢是：150×3=450〔元〕老張原有的存款是：450×4=1800〔元〕答略。例2供銷社分配給甲、乙、丙三個鄉假設干噸化肥。甲鄉分得總數的一半少2噸，乙鄉分得剩下的一半又多半噸，最后剩下的8噸分給丙鄉。問原來共有化肥多少噸？〔適于六年級程度〕解：假設乙鄉分得剩下一半，而不是又多半噸，那么乙鄉分走后剩下的化肥是：乙鄉分走前的化肥是：假設甲鄉分得總數的一半，而不是少2噸，那么甲鄉分走化肥：17-2=15〔噸〕這15噸正好是原有化肥噸數的一半，所以原來共有化肥：15×2=30〔噸〕綜合算式：答略。〔六〕借助對應法逆推所以，食堂原來有大米：綜合算式：答略。所以，第一天耕地后余下的畝數是：25+3=28〔畝〕28畝所對應的分率是：綜合算式：答略。第十八講圖解法圖形是數學研究的對象，也是數學思維和表達的工具。在解容許用題時，如果用圖形把題意表達出來，題中的數量關系就會具體而形象。圖形可起到啟發思維、支持思維、喚起記憶的作用，有利于盡快找到解題思路。有時，作出了圖形，答案便在圖形中。〔一〕示意圖示意圖是為了說明事物的原理或具體輪廓而繪成的略圖。小學數學中的示意圖簡單、直觀、形象，使人容易理解圖中的數量關系。例1媽媽給兄弟二人每人10個蘋果，哥哥吃了8個，弟弟吃了5個。誰剩下的蘋果多？多幾個？〔適于四年級程度〕解：作圖18-1。哥哥吃了8個后，剩下蘋果：10-8=2〔個〕弟弟吃了5個后，剩下蘋果：10-5=5〔個〕弟弟剩下的蘋果比哥哥的多：5-2=3〔個〕答：弟弟剩下的蘋果多，比哥哥的多3個。例2一桶煤油，倒出40％，還剩18升。這桶煤油原來是多少升？〔適于六年級程度〕解：作圖18-2。從圖中可看出，倒出40％后，還剩：1-40％=60％這60％是18升所對應的百分率，所以這桶油原來的升數是：18÷60％=30〔升〕答略。例3把2米長的竹竿直立在地面上，量得它的影長是1.8米，同時量得電線桿的影長是5.4米。這根電線桿地面以上局部高多少米？〔適于六年級程度〕解：根據題意畫出如圖18-3〔見下頁〕的示意圖。同一時間，桿長和影長成正比例。設電線桿地面以上局部的高是x米，得：1.8∶5.4=2∶x答略。〔二〕線段圖線段圖是以線段的長短表示數量的大小，以線段間的關系反映數量間關系的一種圖形。在小學數學應用題教學中線段圖是使用最多、最方便的一種圖形。例1王明有15塊糖，李平的糖是王明的3倍。問李平的糖比王明的糖多多少塊？〔適于三年級程度〕解：作圖18-4〔見下頁〕。從圖18-4可看出，把王明的15塊糖看作1份數，那么李平的糖就是3份數。李平比王明多的份數是：3-1=2〔份〕李平的糖比王明的糖多：15×2=30〔塊〕綜合算式：15×〔3-1〕=15×2=30〔塊〕答略。例2托爾斯泰是俄羅斯偉大作家，享年82歲。他在19世紀中度過的時間比在20世紀中度過的時間多62年。問托爾斯泰生于哪一年？去世于哪一年？〔適于四年級程度〕解：作圖18-5。從圖18-5可看出，他在20世紀度過的時間是：〔82-62〕÷2＝20÷2=10〔年〕由此看出，他死于1910年。他出生的時間是：1910-82=1828〔年〕答略。解：作圖18-6。綜合算式：答略。〔三〕思路圖小學數學中的許多應用題，需要用綜合法或分析法分析解答。如果把思維的過程用文字圖形表示出來，就有助于正確選擇數量，提出中間問題，理清數量關系，從而順利解題。這種表示思維過程的圖形就是思路圖。例題參見前面的分析法和綜合法。〔四〕正方形圖借助正方形圖解應用題，就是以正方形的邊長、面積表示應用題中的數量，使應用題數量之間的關系具體而明顯地呈現出來，從而到達便于解題的目的。例1農民張成良，把自己承包的土地的一半種了玉承包了多少公頃土地？〔適于四年級程度〕解：根據題意作圖18-7。所以，他承包的土地是：2×8=16〔公頃〕答略。例2有大小兩個正方形，其中大正方形的邊長比小正方形的邊長多4厘米，面積比小正方形的面積大96平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？〔適于六年級程度〕解：求大、小正方形的面積，應知道大、小正方形的邊長，但題中沒有說，也不好直接求出來。借助畫圖形的方法可輕易解決這個問題。根據題意作圖18-8。圖中大正方形ABCD的面積比小正方形的面積大96平方厘米。這96平方厘米的面積是由兩個長方形a及比長方形還小的正方形c構成。從96平方厘米減去正方形c的面積，再除以2就可求出長方形a的面積。〔96-4×4〕÷2=40〔平方厘米〕因為長方形a的寬是4厘米，所以長方形a的長是：40÷4=10〔厘米〕因為10厘米也是小正方形的邊長，所以小正方形的面積是：10×10=100〔平方厘米〕大正方形的邊長是：4+10=14〔厘米〕大正方形的面積是：14×14=196〔平方厘米〕答略。〔五〕長方形圖借助長方形圖解應用題，是以長方形的長表示一種數量，以長方形的寬表示另一種數量，以長方形的面積表示這兩種數量的積。它能把抽象的數量關系轉化為具體形象的面積來計算問題。*例1甲、乙兩名工人做機器零件，每天甲比乙多做10個。現在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500個零件。問甲、乙兩人每天各做多少個零件？〔適于五年級程度〕解：根據題意作圖18-9〔見下頁〕。圖18-9中，以左邊長方形的長表示甲工作15天，以左邊長方形的寬表示甲每天做多少個；以右邊長方形的長表示乙工作12天，以右邊長方形的寬表示乙每天做多少個。圖中右上角那個長方形的寬表示甲每天比乙多做10個，所以，乙在12天中比甲少做零件：10×12=120〔個〕圖中全部陰影局部的面積表示甲、乙共做的零件1500個。從圖18-9可以看出，整個大長方形面積所表示的零件的個數是：1500+120=1620〔個〕這個長方形的長表示甲、乙共同工作的天數：15+12=27〔天〕因為大長方形的寬表示甲每天做零件的個數，所以甲每天做零件的個數是：1620÷27=60〔個〕乙每天做零件的個數是：60-10=50〔個〕答略。*例2某商店賣出蘋果、鴨梨和桔子共25筐，其中鴨梨的筐數是桔子筐數的2倍。蘋果每筐賣90元，鴨梨每筐賣72元，桔子每筐賣60元，共賣得1854元。問賣出蘋果、鴨梨和桔子各多少筐？〔適于六年級程度〕解：根據題意作圖18-10。圖18-10中陰影局部表示，如果25筐都是蘋果，那么所造成的差價是：90×25-1854=396〔元〕每賣出1筐桔子、2筐鴨梨、3筐蘋果的差價是：〔90-72〕×2+〔90-60〕=36+30=66〔元〕因此，桔子的筐數是：396÷66=6〔筐〕鴨梨的筐數是：6×2=12〔筐〕蘋果的筐數是：25-6-12=7〔筐〕答略。〔六〕條形圖條形圖是把長方形的長畫得比擬長，把長方形的寬畫得比擬短的一種圖形。條形圖一般以長方形的長表示數量。條形圖可以畫成豎的，也可以畫成橫的。題中不同的數量可用不同的陰影線或不同的顏色表示。題中的數量可寫在長方形內，也可寫在長方形外面。條形圖比線段圖更直觀一些，在用來解某些應用題時效果要比線段圖好。噸后，兩場所剩煤的數量相等。甲、乙兩個煤場原來各存煤多少噸？〔適于六年級程度〕解：作圖18-11。從圖中可看出，從875噸中減去75噸后，甲煤場的煤就相當于乙煤場煤的3倍，兩個煤場所存煤共分為4份。其中一份是：〔875-75〕÷〔3+1〕＝800÷4=200〔噸〕乙煤場原來的存煤噸數是：200+75=275〔噸〕甲煤場原來存煤的噸數是：200×3=600〔噸〕答略。解：作圖18-12。但是，實際上是運出125噸。這140噸比實際運出的多：140-125=15〔噸〕所以15噸所對應的分率是：甲庫原來的存糧噸數是：420-180=240〔噸〕答略。*例3一組割草人要把大、小兩塊草地的草割掉，其中大塊草地的面積是小塊草地面積的2倍。全體組員用半天的時間割大塊草地的草。下午一半的組員仍停留在大塊草地上割，另一半到小塊草地上割。到黃昏時，大塊草地的草全部割完，而小塊草地還剩下一小塊。這剩下的一小塊，第二天一個人用一天的時間就割完了。這組割草的一共有多少人？〔適于六年級程度〕全體組員割一個上午后，一半的組員又割一個下午就把大塊地的草割完，這就是說，要是用一半的組員單獨割大塊草地的草，就要用3個半天，而在這剩下的一小塊是大塊草地的：這就是說，6個人一天可以把大塊草地割完，一個人一天割大塊地的答略。〔七〕圓形圖借助圓形圖解應用題，是以圓的面積或周長表示題中的數量，并在圓周內、外標上數字、符號，從而到達便于分析數量關系的目的。例1甲、乙兩個學生同時從同一起點沿著一個環形跑道相背而跑。甲每秒鐘跑8米，乙每秒鐘跑7米，經過20秒鐘兩人相遇。求環形跑道的周長。〔適于五年級程度〕解：作圖18-14。從圖中可看出，甲、乙兩人跑的路程的總和就是圓的周長。根據“速度和×相遇時間=相遇路程〞，可求出環形跑道的周長：〔7+8〕×20=300〔米〕答略。問這塊土地有多少公傾？〔適于六年級程度〕解：作圖18-15。從圖中可看出，第二天耕完這塊土地的：例3有三堆棋子，這三堆棋子所含棋子的個數一樣多，且都只有黑、白兩色棋子。第一堆里的黑子與第二堆的白子一樣多，第棋子的幾分之幾？〔適于六年級程度〕解：作圖18-16。從圖中可看出，把第一堆里的黑子與第二堆里的白子交換，那么第一堆全是白子，第二堆全是黑子。因為第一堆與第二堆的棋子數相同，所以第一堆的白子數與第二堆的黑所以，白子占全部棋子的：*例4甲、乙兩人同時從環形路的同一點出發，同向環行。甲每分鐘走70米，乙每分鐘走46米。環形路的長是300米。他們出發后，在1小時20分里相會幾次？到1小時20分時兩人的最近距離是多少米？〔適于五年級程度〕解：作圖18-17。甲、乙二人1分鐘的速度差是：70-46=24〔米〕由二人出發到第一次相會所需的時間是：300÷24=12.5〔分〕1小時20分鐘即為80分鐘。80分鐘內包含幾個12.5分鐘，二人即相會幾次。80分鐘內包括6個12.5分鐘，還多5分鐘，即二人相會6次。由于第六次相會后還走5分鐘，所以甲乙之間相隔：24×5=120〔米〕此時，甲、乙之間還有一個距離是：300-120=180〔米〕180＞120米答：在1小時20分鐘里兩人相會6次；到1小時20分鐘時，兩人的最近距離是120米。〔八〕染色圖在圖中用不同的顏色表示不同的內容或不同的數量，以利于解題的圖形叫染色圖。染色圖是解決數學題和智力題常用的一種圖形。*例1圖18-18是某湖泊的平面圖，圖中的所有曲線都表示湖岸。某人從岸邊A點到B點至少要趟幾次水？B點是在水中還是在岸上？〔適于高年級程度〕解：這個問題好似很難解答。但我們按“圖中所有曲線都是表示湖岸〞的條件，將湖面染上色，湖岸局部就顯示出來了，答案也就一目了然了〔圖18-19〕。答：他至少要趟3次水才能到達B處，B點在湖岸上。*例2如圖18-20，某展覽館有36個展室，每兩個相鄰展室之間均有門相通。問你能否從圖中入口進去，不重復地參觀完每個展室后，再從出口處出來？〔適于高年級程度〕解：作圖18-21。把圖中36個方格相間地染上黑色。因入口處是白格，參觀時假設依順序將展室編號，那么進入第奇數號展室時，應是白格位置；進第偶數號展室應是黑格。即應按白→黑→白→黑→……順序交替參觀。參觀者最后離開的是第36號展室，它是偶數，按上面的分析它應是黑格，但圖中實際為白色方格。這說明題中要求的參觀方式是不可能實現的。答略。*例3將圖18-22矩形ABCD的一邊AD分成6小段，其中線段1+線段3+線段5=線段2+線段4+線段6。連結對角線BD，用紅〔圖中用橫線表示〕、藍〔圖中用堅線表示〕兩色將圖形分別染色。問圖中染紅色局部面積與染藍色局部面積哪個大？〔適于高年級程度〕解：此題利用三角形、梯形面積公式可算出結果，但較麻煩。用染色的方法解此題比擬簡捷。先將圖中BD線左下面的空白處染上黑色，用S紅、S藍、S黑分別表示染紅、藍、黑三種顏色圖形的面積〔圖18-23〕。從圖18-23很容易看到：另外，S藍+S黑等于3個小矩形面積的和，而它恰好等于矩形ABCD面積的一半，即：這就是說：S紅+S黑=S藍+S黑從上面算式的兩邊同時減去S黑，得：S紅=S藍答：圖中染紅色局部的面積與染藍色局部的面積一樣大。*例4圖18-24的圖形是從4×4的正方形紙上剪去兩個1×1的小方紙片后得到的。它們的面積都是14。假設把它們剪成1×2的小矩形，最多能剪幾個？為什么？〔適于高年級程度〕解：圖18-24的三個圖形除了〔1〕可以剪出7個1×2的小矩形外，〔2〕、〔3〕不管怎么剪，至多都只能剪出6個來。原因是：分別用黑白兩色對圖形〔1〕、〔2〕、〔3〕相間地涂色〔圖18-25〕。從它們上面剪下來的每一個小矩形都由兩個相鄰的小方格組成，這兩個小方格上涂有