湖南省2020年高二數學上學期期中考試卷（六）

（文科）

（考試時間120分鐘滿分150分）

一、單項選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）

1.在復平面內，復數（1-2i）2對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列是全稱命題且是真命題的是（）

A.VxeR,x2>0B.VxGQ,x2GQ

C.3xo^Z,xo2>lD.Vx,yGR,x2+y2>0

3.已知變量x與y正相關，且由觀測數據算得樣本平均數7=3,y=3.5,則由該觀測

數據算得的線性回歸方程可能是（）

z**.

A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2.4C.y=-2x+9.5D.y=-0.3x+4.4

4.用反證法證明命題："a,b,c,dGR,a+b=l,c+d=l,且ac+bd>l,則a,b,c,d

中至少有一個負數〃時的假設為（）

A.a,b,c,d中至少有一個正數B.a,b,c,d全為正數

C.a,b,c,d全都大于等于0D.a,b,c,d中至多有一個負數

2

5.已知AABC的頂點B,C在橢圓臺+y2=l上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓

的另外一個焦點在BC邊上，則aABC的周長是（）

A.2\[3B.6C.46D.12

22

x,y

6.k>5是方程卜-5，仁=1的曲線為橢圓時的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.非充分非必要條件

7.已知雙曲線的漸近線方程為尸士衣x,焦點坐標為(0,-V6)

,則雙曲線方程為（)

y2x2c±4DJ1

A-=1D.4

.y-y=iB-TTC.242

8.過拋物線y2=4x的焦點作直線1交拋物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為

3,則|AB|等于()

A.2B.4C.6D.8

9.已知直線丫=1^+1與曲線y=x3+ax+b切于點（1,3）,則b的值為（）

A.3B.-3C.5D.-5

2

10.若雙曲線七-JL=1的一條漸近線經過點（3,-4）,則此雙曲線的離心率為（)

ab2

A6R5

A.—-D.一c—D

34,5i

11.函數尸上史的最大值為（）

X

A.e-1B.eC.e2D.—

3

12.已知Fi，F2是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P,使得PF]_LPF2,則橢圓離心

率的取值范圍是（）

A.嚕，1）B."

1)C.(0,㈡D.(0,

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

22

13.雙曲線匕-工=1的實軸長等于___________.

39

14.設i是虛數單位，復數2唔，則|z|=__________.

111

15.已知a為實數，f（x）=x2（x-a）,且『（-1）=0,則a=.

22

16.已知命題p：方程￡+U_=l表示焦點在x軸上的橢圓，命題q：（k-1）x2+（k

-3）y2=l表示雙曲線.若pVq為真命題，則實數k的取值范圍是

三、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步

驟）

17.求與橢圓工!+武-1有公共焦點，且離心率的雙曲線的方程.

49+2413

18.為考察某種藥物預防禽流感的效果，進行動物家禽試驗，調查了100個樣本，統計

結果為：服用藥的共有60個樣本，服用藥但患病的仍有20個樣本，沒有服用藥且未患

病的有20個樣本.

不得禽流感得禽流感總計

服藥

不服藥_________________________________

呢訐

(1)根據所給樣本數據完成右邊2x2列聯表;

(2)請問能有多大把握認為藥物有效？

n(ad-be)2

參考公式：K2=___--------,n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

獨立性檢驗概率表

0.250.15i0.100.050.0250.0100.0050.001

Pc(-K22>k,)、0.500.40

k0.4550.7081.3232.072：2.7063.845.0246.6357.87910.828

19.己知函數f(x)=x2+xlnx

(1)求這個函數的導數f(x)；

(2)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.

20.設橢圓C：-t^=l(a>b>0)過點(0,4),離心率為春

(1)求橢圓C的方程；

(2)求過點(3,0)且斜率為4的直線被橢圓所截得線段的中點坐標.

5

21.若函數f(x)=ax3-bx+4,當x=2時，函數f(x)有極值為一

(I)求函數f(X)的解析式；

(H)若f(x)=1<有3個解，求實數k的取值范圍.

22.已知平面內一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y軸的距離的差等于1.

(I)求動點P的軌跡C的方程；

(II)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線1],12,設h與軌跡C相交于點A,B,

12與軌跡C相交于點D,E,求元?麗的最小值.

參考答案

一、單項選擇題

1.C.2.B3.A.4.C.5.C6.B.7.D.8.D.9.A10.D.

11.A.12.B.

二、填空題

22

13.解：雙曲線的

391

可得實軸長為2a=2陋，

故答案為：2M.

2i(1-i)2i+2,,不

14.解：復數(1H)(1-i)-2-1+1>則mill加加.

1+1

故答案為：、歷.

15.解：Vf(x)=x2(x-a)=x3-ax2,

.".f(x)=3x2-2ax,

Vf(-1)=0,

：.3+2a=0,

故答案為：-

22

16.解：命題p：方程［-+_X_=1表示焦點在x軸上的橢圓，則k>4-k>0,解得2

k4-k

<k<4.

命題q：(k-1)x2+(k-3)y2=l表示雙曲線，則(k-1)(k-3)<0,解得1VkV3.

：pVq為真命題，

.?.實數k的取值范圍是(2,4)U(1,3)=(1,4).

故答案為：(1,4).

三、解答題

22

17.解：橢圓工+1_=1的焦點為(±5,0),

49241

22

設雙曲線的方程為吃-4=1(a,b>0),

a'bZ

可得c=5,即a2+b2=25,

T7C5

又e=—=-r>

a3

解得a=3,b=4,

22

即有雙曲線的方程為送_-二=1

916

18.解：(1)根據服用藥的共有60個樣本，服用藥但患病的仍有20個樣本，沒有服用

藥且未患病的有20個樣本，沒有服藥且沒有患病的有20個，

得到列聯表

不得禽流感得禽流感總計

服藥402060

不服藥202040

總計6040100

(2)假設檢驗問題Ho：服藥與家禽得禽流感沒有關系,

K2=100X(40X20-20X20)778>

60X40X60X40~'，

由P(K2>2.706)=0.1()

/.大概有90%的把握認為藥物有效.

19.解：(1)函數f(x)=x2+xlnx的導數為F(x)=2x+lnx+x?2

X

=2x+lnx+l；

(2)由題意可知切點的橫坐標為1,

所以切線的斜率是k=f(1)=2xl+lnl+l=3,

切點縱坐標為f(1)=l+lxlnl=l,故切點的坐標是(1,1),

所以切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

20.解：⑴將點(0,4)代入橢圓C的方程得哮1,.?.b=4,...

b2

由e~—,得1-善a=5,...

a5a225

22

???橢圓C的方程為工+2_=1....

2516

(2)過點(3,0)且斜率為微的直線為(x-3),...

55

設直線與橢圓C的交點為A(xi，yi),B(X2,y2)，

將直線方程y](x-3)代入橢圓C方程，整理得x2-3x-8=0,…

由韋達定理得X]+X2=3,

+

yiy2=7(x-3)+-^(x2-3)=4(X]+X2)-絲=-￥....

55555

由中點坐標公式AB中點橫坐標為盤，縱坐標為-X

25

二所截線段的中點坐標為(尚，...

25

21.解：(I)f(x)=3ax2-b

'F(2)=12a-b(J.

由題意；L,c、cc-4,解得嶗，

f(2)=8a-2b+4=-='

I31bv=4

.?.所求的解析式為f(x)=-1X3-4X+4

(II)由(1)可得f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2)

令？(x)=0,得x=2或x=-2,

???當xV-2時，產(x)>0,當-2VxV2時，f(x)<0,當x>2時，F(x)>0

因此，當x=-2時，f(x)有極大值專，

當x=2時，f(x)有極小值-f,

二函數f(x)=￡x3-4x+4的圖象大致如圖.

由圖可知：*k<孥

33

22.解：(I)設動點P的坐標為(x,y),由題意得，(x-1)2+y2-lx|=l>

化簡得y2=2x+2|x|.

當x20時，y2=4x；當x<0時，y=0,

所以動點P的軌跡C的方程為y2=4x(x>0)和y=0(x<0).

(II)由題意知，直線h的斜率存在且不為零，設為k,則h的方程為y=k(x-1).

y=k(x-1)

由c,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

4

設A,B的坐標分別為(X1，yi),(X2，Y2)-貝！JX1+X2=2+谷，X]X2=1.