內蒙古呼和浩特市2024屆高三上學期學業質量監測數學試題（文）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.2.已知復數z滿足，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由已知得，則，則在復平面內對應的點位于第四象限，故選：.3.已知直線、m、n與平面、，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】A選項，如圖1，滿足，，但不垂直，A錯誤；B選項，如圖2，因為，所以作平面，使得，且，則，因為，則，又，故，B正確；C選項，如圖3，滿足，，但不平行，C錯誤；D選項，如圖4，滿足，，，但不平行，D錯誤.故選：B4.已知是偶函數，則的值是（）A B. C. D.2【答案】C【解析】由函數是偶函數，則，可得，即，所以，解得.故選：C.5.我國古代數學家趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數形結合的方法給出了勾股定理的證明，極富創新意識.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（）A.9 B.12 C.15 D.16【答案】B【解析】因為大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，所以,設，則，在中，，即，解得或（舍去），所以，易知在正方形中，，，，所以.故選：B.6.函數的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數的定義域為，又，因此函數為奇函數，函數圖象關于原點對稱，BD錯誤；當時，，，則，因此，C錯誤，A符合題意.故選：A7.已知等比數列的首項為1，公比為3，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，故為首項為，公比為9的等比數列，則.故選：D8.用模型擬合一組數據組，其中，設，得變換后的線性回歸方程為，則（）A. B. C.35 D.21【答案】B【解析】由題意得，故，即，故，解得.故選：B9.已知一個正三棱柱的三視圖如下圖所示，則該三棱柱的體積為（）A. B.12 C. D.16【答案】A【解析】由三視圖還原幾何體如圖所示，則底面正三角形一邊上的高為，正四棱柱的高為2，設底面邊長為，則，解得，所以三棱柱的體積為.故選：A10.直線（）截圓所得弦長的最小值是（）A.2 B. C.4 D.6【答案】C【解析】依題意，直線過定點，圓的圓心，半徑，，即點在圓內，當且僅當直線與直線垂直時，直線截圓所得弦長最短，所以所求最短弦長為.故選：C11.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將三棱錐補形為長方體，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，如圖，的中點即為外接球的球心，為直徑，由勾股定理得，故半徑為，球的表面積為.故選：B12.定義在上奇函數滿足，且當時，，則函數在上所有零點的和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為定義在上的奇函數滿足，則，所以，函數是周期為的周期函數，則，故函數的圖象關于點對稱，當時，，作出函數在上的圖象以及函數的圖象如下圖所示：由圖可知，函數在上的圖象與函數的圖象共有個交點，且這個交點有三對點關于點對稱，因此，函數在上所有零點的和為.故選：B.二、填空題13.拋物線的焦點坐標為___________.【答案】【解析】由拋物線，化為，可得，解得，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為：.14.當x、y滿足條件時，的最小值為__________.【答案】8【解析】畫出可行域及目標函數，如下：陰影部分即為可行域，為直線與軸交點的縱坐標，由幾何意義可知，當過點時，取得最小值，聯立，解得，故.故答案為：815.已知等差數列是遞增數列，且滿足，，令，且，則數列的前項和為__________.【答案】【解析】設等差數列的公差為，因為，，可得其中，解得，所以，所以，可得，設數列的前項和為，則.故答案為：.16.已知雙曲線：（，）的左右焦點分別為、，過的直線與雙曲線交于、兩點（在第一象限，在第四象限），若，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】因為，設，由雙曲線的定義得：所以故，，又因為，所以，所以,即，.所以雙曲線的離心率.故答案為：.三、解答題（一）必考題17.2023年秋末冬初，某市發生了一次流感疾病，某醫療團隊為研究本地的流感疾病與當地居民生活習慣（良好、不夠良好）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100人（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：

良好不夠良好病例組2575對照組4555（1）分別估計病例組和對照組中生活習慣為良好的概率；（2）能否有99%的把握認為感染此次流感疾病與生活習慣有關？附：0.0500.0100.0013.841663510.828解：（1）由調查數據，病例組為生活習慣為良好的頻率，因此病例組為生活習慣為良好的概率的估計值為，對照組為生活習慣為良好的頻率，因此對照組為生活習慣為良好的概率的估計值為.（2）由題意可知，所以，因為，所以有的把我說患有該疾病與生活習慣有關.18.在中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c.已知，.（1）若，求角A；（2）若的面積，求邊c.解：（1）∵，則，∴，由正弦定理得，即，解得，又∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴，∴，當時，由余弦定理得，，當時，由余弦定理得，，所以或.19.如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將沿BE折起到如圖2中的位置，得到四棱錐.圖1圖2（1）證明：；（2）當平面平面時，求三棱錐的體積.（1）證明：在圖1中，連接,∵，，E是AD的中點，所以四邊形是正方形，∴,∴在圖2中，，，又，、平面，∴平面.又，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面，又∵平面，∴；（2）解：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又∵，，∴.20.已知橢圓：的焦距為2，點在橢圓C上，A、B分別為橢圓的左、右頂點.（1）求橢圓C的方程；（2）若點P是橢圓C上第二象限內的點，點Q在直線上，且，，求的面積.解：（1）由橢圓C的焦距為2，故，則，又橢圓C經過點，代入C得，解得，，所以橢圓C的方程為.（2）由題：，，設，，顯然，，，∵，則點P滿足：①又∵，∴②聯立①②得，解得，又點P在第二象限，且滿足，∴，，∴把，，代入①得，∴又∵，∴，直線方程為：，∴點Q到直線AP的距離，∴.21.已知函數.（1）若，討論函數的單調性；（2）若，，求的取值范圍.解：（1）由題意可知：的定義域為，，①當時，恒成立，在上單調遞增；②當時，當或時，，在和上單調遞增；當時，，在上單調遞減；故當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）因為，等于函數在區間上的最大值與最小值之差，由（1）可知：當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，故，又，.故當時，，，；當時，，，即：.當時，，在上單調遞減，此時，即；當時，，在上單調遞增，此時，即.綜上所述：所以，的取值范圍是.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為（），曲線的參數方程為（為參數）.（1）求曲線的普通方程；（2）若，，在曲線上任取一點，求的面積.解：（1）由的參數方程為（），消去可得普通方程為；（2）易知的普通方程為，直線的斜率為，直線方程為