數陣圖(一)在神奇的數學王國中，有一類非常有趣的數學問題，它變化多端，引人入勝，奇妙無窮。它就是數陣，一座真正的數字迷宮，它對喜歡探究數字規(guī)律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中，用畢生的精力來研究它的變化，就連大數學家歐拉對它都有著濃厚的興趣。那么，到底什么是數陣呢？我們先觀察下面兩個圖：左上圖中有3個大圓，每個圓周上都有四個數字，有意思的是，每個圓周上的四個數字之和都等于13。右上圖就更有意思了，1～9九個數字被排成三行三列，每行的三個數字之和與每列的三個數字之和，以及每條對角線上的三個數字之和都等于15，不信你就算算。上面兩個圖就是數陣圖。準確地說，數陣圖是將一些數按照一定要求排列而成的某種圖形，有時簡稱數陣。要排出這樣巧妙的數陣圖，可不是一件容易的事情。我們還是先從幾個簡單的例子開始。例1把1～5這五個數分別填在左下列圖中的方格中，使得橫行三數之和與豎列三數之和都等于9。同學們可能會覺得這道題太容易了，七拼八湊就寫出了右上圖的答案，可是卻搞不清其中的道理。下面我們就一起來分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出復雜巧妙的數陣問題。分析與解：中間方格中的數很特殊，橫行的三個數有它，豎列的三個數也有它，我們把它叫做“重疊數〞。也就是說，橫行的三個數之和加上豎列的三個數之和，只有重疊數被加了兩次，即重疊了一次，其余各數均被加了一次。因為橫行的三個數之和與豎列的三個數之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重疊數=9+9，重疊數=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重疊數求出來了，其余各數就好填了(見右上圖)。例2把1～5這五個數填入下頁左上圖中的○里(已填入5)，使兩條直線上的三個數之和相等。分析與解：與例1不同之處是“重疊數〞為5，而不知道兩條直線上的三個數之和都等于什么數。所以，必須先求出這個“和〞。根據例1的分析知，兩條直線上的三個數相加，只有重疊數被加了兩遍，其余各數均被加了一遍，所以兩條直線上的三個數之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。因此，兩條直線上另兩個數(非“重疊數〞)的和等于10-5=5。在剩下的四個數1，2，3，4中，只有1+4=2+3=5。故有右上圖的填法。例3把1～5這五個數填入右圖中的○里，使每條直線上的三個數之和相等。分析與解：例1是知道每條直線上的三數之和，不知道重疊數；例2是知道重疊數，不知道兩條直線上的三個數之和；本例是這兩樣什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重疊數=每條直線上三數之和×2，所以，每條直線上三數之和等于(15+重疊數)÷2。因為每條直線上的三數之和是整數，所以重疊數只可能是1，3或5。假設“重疊數〞=1，那么兩條直線上三數之和為(15+1)÷2=8。填法見左下列圖；假設“重疊數〞=3，那么兩條直線上三數之和為(15+3)÷2=9。填法見下中圖；假設“重疊數〞=5，那么兩條直線上三數之和為(15+5)÷2=10。填法見右下列圖。由以上幾例看出，求出重疊數是解決數陣問題的關鍵。為了進一步學會掌握這種解題方法，我們再看兩例。例4將1～7這七個自然數填入左下列圖的七個○內，使得每條邊上的三個數之和都等于10。分析與解：與例1類似，知道每條邊上的三數之和，但不知道重疊數。因為有3條邊，所以中間的重疊數重疊了兩次。于是得到(1+2+…+7)+重疊數×2=10×3。由此得出重疊數為[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。剩下的六個數中，兩兩之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上圖的填法。如果把例4中“每條邊上的三個數之和都等于10”改為“例5將10～20填入左下列圖的○內，其中15已填好，使得每條邊上的三個數字之和都相等。解：與例2類似，中間○內的15是重疊數，并且重疊了四次，所以每條邊上的三個數字之和等于[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。剩下的十個數中，兩兩之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上圖的填法。例1～5都具有中心數是重疊數，并且每邊的數字之和都相等的性質，這樣的數陣圖稱為輻射型。例4的圖中有三條邊，每邊有三個數，稱為輻射型3—3圖；例5有五條邊每邊有三個數，稱為輻射型5—3圖。一般地，有m條邊，每邊有n個數的形如下列圖的圖形稱為輻射型m－n圖。輻射型數陣圖只有一個重疊數，重疊次數是“直線條數〞-1，即m-1。對于輻射型數陣圖，有各數之和+重疊數×重疊次數=直線上各數之和×直線條數。由此得到：(1)假設每條直線上各數之和，那么重疊數等于(直線上各數之和×直線條數-各數之和)÷重疊次數。如例1、例4。(2)假設重疊數，那么直線上各數之和等于(各數之和+重疊數×重疊次數)÷直線條數。如例2、例5。(3)假設重疊數與每條直線上的各數之和都不知道，那么要從重疊數的可能取值分析討論，如例3。練習1.將1～7這七個數分別填入左下列圖中的○里，使每條直線上的三個數之和都等于12。如果每條直線上的三個數之和等于10，那么又該如何填？2.將1～9這九個數分別填入右上圖中的○里(其中9已填好)，使每條直線上的三個數之和都相等。如果中心數是5，那么又該如何填？3.將1～9這九個數分別填入右圖的小方格里，使橫行和豎列上五個數之和相等。(至少找出兩種本質上不同的填法)4.將3～9這七個數分別填入左下列圖的○里，使每條直線上的三個數之和等于20。5.將1～11這十一個數分別填入右上圖的○里，使每條直線上的三個數之和相等，并且盡可能大。6.將1～7這七個數分別填入下列圖的○里，使得每條直線上三個數之和與每個圓圈上的三個數之和都相等。答案與提示5.提示：中心數是重疊數，并且重疊4次。所以每條直線上的三數之和等于［(1＋2＋…＋11)＋重疊數×4］÷5＝(66＋重疊數×4)÷5。為使上式能整除，重疊數只能是1，6或11。顯然，重疊數越大，每條直線上的三數之和越大。所以重疊數是11，每條直線上的三數之和是22。填法見右圖。6.解：所有的數都是重疊數，中心數重疊兩次，其它數重疊一次。所以三條邊及兩個圓周上的所有數之和為(1＋2＋…＋7)×2＋中心數＝56＋中心數。因為每條邊及每個圓周上的三數之和都相等，所以這個和應該是5的倍數，再由中心數在1至7之間，所以中心數是4。每條邊及每個圓周上的三數之和等于(5