2024屆三門峽市重點中學數學高一第二學期期末統考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若，則a>bC．若a3>b3且ab<0，則D．若a2>b2且ab>0，則2．某校高一年級有男生540人，女生360人，用分層抽樣的方法從高一年級的學生中隨機抽取25名學生進行問卷調查，則應抽取的女生人數為（）A．5 B．10 C．15 D．203．在一個平面上，機器人到與點的距離為8的地方繞點順時針而行，它在行進過程中到經過點與的直線的最近距離為（）A． B． C． D．4．高一某班男生36人，女生24人，現用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，若抽出的女生為12人，則的值為（）A．18 B．20 C．30 D．365．如圖，網格紙上小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．34 B．42 C．54 D．726．設是等差數列的前項和，若，則（）A． B． C． D．7．已知正實數滿足，則的最大值為（）A．2 B． C．3 D．8．如圖，向量，，的起點與終點均在正方形網格的格點上，若，則（）A． B．3 C．1 D．9．化簡的結果是（）A． B． C． D．10．同時拋擲兩個骰子，則向上的點數之和是的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過點且與直線l：垂直的直線方程為______.（請用一般式表示）12．已知，則的值為_____________13．若，且，則的最小值為_______.14．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等，BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為____________.15．已知數列滿足，則__________.16．已知，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某企業生產的某種產品，生產總成本（元）與產量（噸）（）函數關系為，且函數是上的連續函數（1）求的值；（2）當產量為多少噸時，平均生產成本最低？18．已知.（1）若三點共線，求實數的值；（2）證明：對任意實數，恒有成立.19．已知數列的前項和為，滿足，，數列滿足，，且.（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列是等差數列，求數列的通項公式；（3）若，數列的前項和為，對任意的，都有，求實數的取值范圍.20．已知函數（）的一段圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）若，求函數的值域.21．已知兩個定點，動點滿足.設動點的軌跡為曲線，直線.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若與曲線交于不同的兩點，且（為坐標原點），求直線的斜率；（3）若，是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據不等式的性質，對A、B、C、D四個選項通過舉反例進行一一驗證．【題目詳解】A．若a＞b，則ac2＞bc2（錯），若c=0，則A不成立；B．若，則a＞b（錯），若c＜0，則B不成立；C．若a3＞b3且ab＜0，則（對），若a3＞b3且ab＜0，則D．若a2＞b2且ab＞0，則（錯），若，則D不成立．故選：C．【題目點撥】此題主要考查不等關系與不等式的性質及其應用，例如舉反例法求解比較簡單．兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質得到大小關系，有時可以代入一些特殊的數據得到具體值，進而得到大小關系.2、B【解題分析】

利用分層抽樣的定義和方法求解即可.【題目詳解】設應抽取的女生人數為，則，解得．故選B【題目點撥】本題主要考查分層抽樣的定義及方法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、A【解題分析】

由題意知機器人的運行軌跡為圓，利用圓心到直線的距離求出最近距離．【題目詳解】解：機器人到與點距離為8的地方繞點順時針而行，在行進過程中保持與點的距離不變，機器人的運行軌跡方程為，如圖所示；與，直線的方程為，即為，則圓心到直線的距離為，最近距離為．故選．【題目點撥】本題考查了直線和圓的位置關系，以及點到直線的距離公式，屬于基礎題．4、C【解題分析】

根據分層抽樣等比例抽樣的特點，進行計算即可.【題目詳解】根據題意，可得，解得.故選：C.【題目點撥】本題考查分層抽樣的等比例抽取的性質，屬基礎題.5、C【解題分析】

還原幾何體得四棱錐E﹣ABCD，由圖中數據利用椎體的體積公式求解即可.【題目詳解】依三視圖知該幾何體為四棱錐E﹣ABCD，如圖，ABCD是直角梯形，是棱長為6的正方體的一部分，梯形的面積為：12幾何體的體積為：13故選：C．【題目點撥】本題考查三視圖求幾何體的體積，由三視圖正確還原幾何體和補形是解題的關鍵，考查空間想象能力．6、D【解題分析】

根據等差數列片斷和的性質得出、、、成等差數列，并將和都用表示，可得出的值．【題目詳解】根據等差數列的性質，若數列為等差數列，則也成等差數列；又，則數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，故選D．【題目點撥】本題考查等差數列片斷和的性質，再利用片斷和的性質時，要注意下標之間的倍數關系，結合性質進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題．7、B【解題分析】

由，然后由基本不等式可得最大值．【題目詳解】，當且僅當，即時，等號成立．∴所求最大值為．故選：B.【題目點撥】本題考查用基本不等式求最值，注意基本不等式求最值的條件：一正二定三相等．8、A【解題分析】

根據圖像，將表示成的線性和形式，由此求得的值，進而求得的值.【題目詳解】根據圖像可知，所以，故選A.【題目點撥】本小題主要考查平面向量的線性運算，考查平面向量基本定理，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.9、D【解題分析】

直接利用同角三角函數基本關系式以及二倍角公式化簡求值即可．【題目詳解】．故選．【題目點撥】本題主要考查應用同角三角函數基本關系式和二倍角公式對三角函數的化簡求值．10、C【解題分析】

由題意可知，基本事件總數為，然后列舉出事件“同時拋擲兩個骰子，向上的點數之和是”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【題目詳解】同時拋擲兩個骰子，共有個基本事件，事件“同時拋擲兩個骰子，向上的點數之和是”所包含的基本事件有：、、、、，共個基本事件.因此，所求事件的概率為.故選：C.【題目點撥】本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

與直線垂直的直線方程可設為，再將點的坐標代入運算即可得解.【題目詳解】解：與直線l：垂直的直線方程可設為，又該直線過點，則，則，即點且與直線l：垂直的直線方程為，故答案為：.【題目點撥】本題考查了與已知直線垂直的直線方程的求法，屬基礎題.12、【解題分析】

利用和差化積公式將兩式化簡，然后兩式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【題目詳解】由得，，，兩式相除得，，則．【題目點撥】本題主要考查和差化積公式以及二倍角公式的應用．13、【解題分析】

將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【題目詳解】若，且，則時等號成立.故答案為【題目點撥】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關鍵.14、【解題分析】

如圖設設棱長為1，則，因為底面邊長和側棱長都相等，且所以，所以，，，設異面直線的夾角為，所以.15、【解題分析】

數列為以為首項，1為公差的等差數列。【題目詳解】因為所以又所以數列為以為首項，1為公差的等差數列。所以所以故填【題目點撥】本題考查等差數列，屬于基礎題。16、【解題分析】三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)當產量噸，平均生產成本最低.【解題分析】

（1）根據函數連續性的定義，可得在分段處兩邊的函數值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表達式，結合二次函數和基本不等式，可得平均生產成本的最小值點．【題目詳解】（1）設，由函數是上的連續函數.即，代入得（2）設平均生產成本為，則當中，，函數連續且在單調遞減，單調遞增即當，元當，，由，當且僅當取等號，即當，元綜上所述，當產量噸，平均生產成本最低.【題目點撥】本題考查的知識點是分段函數的應用，二次函數的圖象和性質，基本不等式求最值，屬于中檔題.18、(1)-3；(2)證明見解析.【解題分析】分析：（1）由題意可得，結合三點共線的充分必要條件可得.（2）由題意結合平面向量數量積的坐標運算法則可得，則恒有成立.詳解：（1），∵三點共線，∴，∴.（2），∴，∴恒有成立.點睛：本題主要考查平面向量數量積的運算法則，二次函數的性質及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19、（1）；（2）證明見解析，；（3）或.【解題分析】

（1）運用數列的遞推式以及數列的和與通項的關系可得，再由等比數列的定義、通項公式可得結果；（2）對等式兩邊除以，結合等差數列的定義和通項公式，可得所求；（3）求得，由數列的錯位相減法求和，可得，化簡,即，對任意的成立，運用數列的單調性可得最大值，解不等式可得所求范圍．【題目詳解】(1)，可得，即；時,,又，相減可得,即，則；(2)證明：，可得，可得是首項和公差均為1的等差數列，可得,即；(3)，前n項和為，，相減可得，可得，,即為，即,對任意的成立，由，可得為遞減數列，即n=1時取得最大值1?2=?1，可得，即或.【題目點撥】“錯位相減法”求數列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由函數的一段圖象求得、、和的值即可；（2）由，求得的取值范圍，再利用正弦函數的性質求得的最大和最小值即可．【題目詳解】解：（1）由函數的一段圖象知，，，，解得，又時，，，，解得，；，函數的解析式為；（2）當時，，令，解得，此時取得最大值為2；令，解得，此時取得最小值為；函數的值域為．【題目點撥】本題考查了函數的圖象和性質的應用問題，屬于基礎題．21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）設點P坐標為（x，y），運用兩點的距離公式，化簡整理，即可得到所求軌跡的方程；（2）由，則點到邊的距離為，由點到線的距離公式得直線的斜率；（3）由題意可知：O，Q，M，N四點共圓且在以OQ為直徑的圓上，設，則圓的圓心為運用直徑式圓的方程，得直線的方程為，結合直線