2024屆浙江省杭州二中高一數學第二學期期末達標測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．圓心為且過原點的圓的一般方程是A． B．C． D．2．已知函數，若方程在上有且只有三個實數根，則實數的取值范圍為()A． B． C． D．3．對于數列，定義為數列的“好數”，已知某數列的“好數”，記數列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．4．秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為A．35 B．20 C．18 D．95．當前，我省正分批修建經濟適用房以解決低收入家庭住房緊張問題．已知甲、乙、丙三個社區現分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若第一批經濟適用房中有90套住房用于解決這三個社區中90戶低收入家庭的住房問題，先采用分層抽樣的方法決定各社區戶數，則應從乙社區中抽取低收入家庭的戶數為（）A．30 B．40 C．20 D．366．在中，若，且，則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．正三角形或直角三角形 D．正三角形7．某班有男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級中選出5人負責校園開放日的接待工作．現從這5人中隨機選取2人，至少有1名男生的概率是（）A． B． C． D．8．下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則9．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，b＝c，且滿足＝，若點O是△ABC外一點，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，則平面四邊形OACB面積的最大值是()A． B． C．3 D．10．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則是（）A．純角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在區間上，與角終邊相同的角為__________．12．已知實數滿足約束條件，若目標函數僅在點處取得最小值，則的取值范圍是__________.13．在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.14．設，用，表示所有形如的正整數集合，其中且，為集合中的所有元素之和，則的通項公式為_______15．設為使互不重合的平面，是互不重合的直線，給出下列四個命題：①②③④若；其中正確命題的序號為．16．已知數列，其前項和為，若，則在，，…，中，滿足的的個數為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2021年廣東新高考將實行“”模式，即語文、數學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共選六科參加高考.其中偏理方向是二選一時選物理，偏文方向是二選一時選歷史，對后四科選擇沒有限定.（1）小明隨機選課，求他選擇偏理方向及生物學科的概率；（2）小明、小吳同時隨機選課，約定選擇偏理方向及生物學科，求他們選課相同的概率.18．已知數列{bn}的前n項和，n∈N*．（1）求數列{bn}的通項公式；（2）記，求數列{cn}的前n項和Sn；（3）在（2）的條件下，記，若對任意正整數n，不等式恒成立，求整數m的最大值．19．在正方體中.（1）求證：；（2）是中點時，求直線與面所成角.20．不等式(1)若不等式的解集為或,求的值(2)若不等式的解集為,求的取值范圍21．如圖所示，在三棱柱中，側棱底面，，D為的中點，.（1）求證：平面；（2）求與所成角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據題意，求出圓的半徑，即可得圓的標準方程，變形可得其一般方程。【題目詳解】根據題意，要求圓的圓心為，且過原點，且其半徑，則其標準方程為，變形可得其一般方程是，故選．【題目點撥】本題主要考查圓的方程求法，以及標準方程化成一般方程。2、A【解題分析】

先輔助角公式化簡,先求解方程的根的表達式,再根據在上有且只有三個實數根列出對應的不等式求解即可.【題目詳解】.又在上有且只有三個實數根,故,解得或,即或,.設直線與在上從做到右的第三個交點為,第四個交點為.則,.故.故實數的取值范圍為.故選：A【題目點撥】本題主要考查了根據三角函數的根求解參數范圍的問題,需要根據題意先求解根的解析式,進而根據區間中的零點個數列出區間端點滿足的關系式求解即可.屬于中檔題.3、B【解題分析】分析：由題意首先求得的通項公式，然后結合等差數列的性質得到關于k的不等式組，求解不等式組即可求得最終結果.詳解：由題意,，則，很明顯n?2時,，兩式作差可得：，則an=2(n+1),對a1也成立，故an=2(n+1)，則an?kn=(2?k)n+2，則數列{an?kn}為等差數列，故Sn?S6對任意的恒成立可化為：a6?6k?0,a7?7k?0；即，解得：.實數的取值范圍為.本題選擇B選項.點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.4、C【解題分析】試題分析：模擬算法：開始：輸入成立；，成立；，成立；，不成立，輸出.故選C.考點：1.數學文化；2.程序框圖.5、A【解題分析】

先求出每個個體被抽到的概率,再由乙社區的低收入家庭數量乘以每個個體被抽到的概率,即可求解【題目詳解】每個個體被抽到的概率為,乙社區由270戶低收入家庭,故應從乙中抽取低收入家庭的戶數為,故選:A【題目點撥】本題考查分層抽樣的應用,屬于基礎題6、D【解題分析】

由兩角和的正切公式求得，從而得，由二倍角公式求得，再求得，注意檢驗符合題意，可判斷三角形形狀．【題目詳解】，∴，∴，由，即.∴或.當時，，無意義.當時，，此時為正三角形.故選：D.【題目點撥】本題考查三角形形狀的判斷，考查兩角和的正切公式和二倍角公式，根據三角公式求出角是解題的基本方法．7、D【解題分析】

由題意，男生30人，女生20人，按照分層抽樣方法從中抽取5人，則男生為人，女生為，從這5人中隨機選取2人，共有種，全是女生的只有1種，所以至少有1名女生的概率為，故選D.8、C【解題分析】

對每一個選項進行判斷，選出正確的答案.【題目詳解】A.若，則，取不成立B.若，則，取不成立C.若，，則，正確D.若，，則，取不成立故答案選C【題目點撥】本題考查了不等式的性質，找出反例是解題的關鍵.9、A【解題分析】

根據正弦和角公式化簡得是正三角形，再將平面四邊形OACB面積表示成的三角函數，利用三角函數求得最值.【題目詳解】由已知得：即所以即又因為所以所以又因為所以是等邊三角形.所以在中，由余弦定理得且因為平面四邊形OACB面積為當時，有最大值，此時平面四邊形OACB面積有最大值，故選A.【題目點撥】本題關鍵在于把所求面積表示成角的三角函數，屬于難度題.10、B【解題分析】

利用正弦定理結合條件，得到，再由，結合余弦定理，得到，從而得到答案.【題目詳解】在中，由正弦定理得，而，所以得到，即，為的內角，所以，因為，所以，由余弦定理得.為的內角，所以，所以，為等邊三角形.故選：B.【題目點撥】本題考查正弦定理和余弦定理判斷三角形形狀，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據與終邊相同的角可以表示為這一方法，即可得出結論．【題目詳解】因為，所以與角終邊相同的角為.【題目點撥】本題考查終邊相同的角的表示方法，考查對基本概念以及基本知識的熟練程度，考查了數學運算能力，是簡單題．12、【解題分析】

利用數形結合，討論的范圍，比較斜率大小，可得結果.【題目詳解】如圖，當時，，則在點處取最小值，符合當時，令，要在點處取最小值，則當時，要在點處取最小值，則綜上所述：故答案為：【題目點撥】本題考查目標函數中含參數的線性規劃問題，難點在于尋找斜率之間的關系，屬中檔題.13、【解題分析】

假設正方體棱長，根據//，得到異面直線與所成角，計算，可得結果.【題目詳解】假設正方體棱長為1，因為//，所以異面直線與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【題目點撥】本題考查異面直線所成的角，屬基礎題.14、【解題分析】

把集合中每個數都表示為2的0到的指數冪相加的形式，并確定，，，，每個數都出現次，于是利用等比數列求和公式計算，可求出數列的通項公式．【題目詳解】由題意可知，，，，是0，1，2，，的一個排列，且集合中共有個數，若把集合中每個數表示為的形式，則，，，，每個數都出現次，因此，，故答案為：．【題目點撥】本題以數列新定義為問題背景，考查等比數列的求和公式，考查學生的理解能力與計算能力，屬于中等題．15、④【解題分析】試題分析：根據線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質定理，及面面垂直的性質定理，對題目中的四個結論逐一進行分析，即可得到答案．解：當m∥n，n?α，，則m?α也可能成立，故①錯誤；當m?α，n?α，m∥β，n∥β，m與n相交時，α∥β，但m與n平行時，α與β不一定平行，故②錯誤；若α∥β，m?α，n?β，則m與n可能平行也可能異面，故③錯誤；若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，由面面平行的性質，易得n⊥β，故④正確故答案為④考點：本題考查的知識點是平面與平面之間的位置關系，直線與平面之間的位置關系．點評：熟練掌握空間線與線，線與面，面與面之間的關系的判定方法及性質定理，是解答本題的關鍵，屬于基礎題．16、1【解題分析】

運用周期公式，求得，運用誘導公式及三角恒等變換，化簡可得，即可得到滿足條件的的值．【題目詳解】解：，可得周期，，則滿足的的個數為．故答案為：1．【題目點撥】本題考查三角函數的周期性及應用，考查三角函數的化簡和求值，以及運算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用列舉法,列舉出偏理方向和偏文方向的所有情況,即可求得小明選擇偏理方向且選擇了生物學科的概率.（2）利用列舉法,列舉出兩個人選擇偏理方向且帶有生物學科的所有可能,即可求得兩人選課相同的概率.【題目詳解】（1）由題意知,選六科參加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六種選擇；偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六種選擇.由以上可知共有12種選課模式.小明選擇偏理方向又選擇生物的概率為.（2）小明選擇偏理且有生物學科的可能有：（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,生）三種選擇,同樣小吳也是三種選擇；兩人選課模式有：[（物,政,生）,（物,政,生）]、[（物,政,生）,（物,地,生]、[（物,政,生）,（物,化,生）]、[（物,地,生）,（物,政,生）]、[（物,地,生）,（物,地,生）[（物,地,生）,（物,化,生）]、[（物,化,生）,（物,政,生）]、[（物,化,生）,（物,地,生）[（物,化,生）,（物,化,生）]由以上可知共有9種選課法,兩人選課相同有三種,所以兩人選課相同的概率.【題目點撥】本題考查了古典概型概率的求法,利用列舉法寫出所有可能即可求解,屬于基礎題.18、(1)bn＝3n﹣2，n∈N*．(2)；(3)最大值為1．【解題分析】

（1）利用，求得數列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得數列的前項和.（3）由（2）求得的表達式，記不等式左邊為，利用差比較法判斷出的單調性，進而求得的最小值，由此列不等式求得的取值范圍，進而求得整數的最大值.【題目詳解】（1）∵數列{bn}的前n項和，n∈N*．∴①當n＝1時，b1＝T1＝1；②當n≥2時，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2；∴bn＝3n﹣2，n∈N*．（2）由（1）可得：；∴Sn＝c1+c2+…+cn，，，；（3）由（2）可知：n；∴；設f（n）；則f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（）0；所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值為f（1）；∵對任意正整數n，不等式恒成立，∴恒成立，即m＜12；故整數m的最大值為1．【題目點撥】本小題主要考查已知求，考查裂項求和法，考查數列單調性的判斷方法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）連接，證明平面，進而可得出；（2）連接、、，設，過點在平面內作，垂足為點，連接，設，則角和均為直線與平面所成的角，從而可得出，即可求出所求角.【題目詳解】（1）如下圖所示，連接，在正方體中，平面，平面，，四邊形為正方形，，，平面，平面，；（2）連接、、，設，過點在平面內作，垂足為點，設，設正方體的棱長為，在正方體中，且，所以