新疆沙灣一中2024屆高一數學第二學期期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，，，，則等于（）A． B． C． D．2．長方體共頂點的三個相鄰面面積分別為，這個長方體的頂點在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．3．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，，則三棱錐與三棱錐的體積比為()A． B． C． D．4．已知甲、乙兩組數據用莖葉圖表示如圖所示，若它們的中位數相同，平均數也相同，則圖中的的比值等于A． B． C． D．5．已知，取值如下表：014561.3m3m5.67.4畫散點圖分析可知：與線性相關，且求得回歸方程為，則m的值(精確到0.1)為()A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.86．已知函數，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．7．等差數列的首項為.公差不為，若成等比數列，則數列的前項和為（）A． B． C． D．8．數列中，，，則()．A． B． C． D．9．已知函數，則（）A． B． C． D．10．干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對，周而復始，循環記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數學王子高斯出生的1777年是干支紀年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，是夾角為的兩個單位向量，向量，，若，則實數的值為________.12．已知扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的弧長_________.13．“”是“數列依次成等差數列”的______條件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.14．已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為____。15．若在上是減函數，則的取值范圍為______.16．已知圓的圓心在直線上，半徑為，若圓上存在點，它到定點的距離與到原點的距離之比為，則圓心的縱坐標的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設向量、滿足，，.（1）求的值；（2）若，求實數的值.18．如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．19．如圖,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以點A為圓心,r=2為半徑作一個圓,設PQ為圓A的一條直徑.(1)請用表示,用表示;(2)記∠BAP=θ,求的最大值.20．已知所在平面內一點，滿足：的中點為，的中點為，的中點為.設，，如圖，試用，表示向量.21．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用同角三角函數的基本關系求出與，然后利用兩角差的余弦公式求出值．【題目詳解】，，則，，則，所以，，因此，，故選C．【題目點撥】本題考查利用兩角和的余弦公式求值，解決這類求值問題需要注意以下兩點：①利用同角三角平方關系求值時，要求對象角的范圍，確定所求值的正負；②利用已知角來配湊未知角，然后利用合適的公式求解．2、A【解題分析】

設長方體的棱長為，球的半徑為，根據題意有，再根據球的直徑是長方體的體對角線求解.【題目詳解】設長方體的棱長為，球的半徑為，根據題意，，解得，所以，所以外接球的表面積，故選：A【題目點撥】本題主要考查了球的組合體問題，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.3、C【解題分析】

先由題意，得到，推出，再由推出，由，進而可得出結果.【題目詳解】因為底面為平行四邊形，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因此.故選C【題目點撥】本題主要考查棱錐體積之比，熟記棱錐的體積公式，以及等體積法的應用即可，屬于常考題型.4、A【解題分析】

從莖葉圖提取甲、乙兩組數據中的原始數據，并按從小到大排列，分別得到中位數，并計算各自的平均數，再根據中位數、平均值相等得到關于的方程.【題目詳解】甲組數據：，中位數為，乙組數據：，中位數為：，所以，所以，故選A.【題目點撥】本題考查中位數、平均數的概念與計算，對甲組數據排序時，一定是最大，乙組數據中一定是最小.5、C【解題分析】

根據表格中的數據，求得樣本中心為，代入回歸直線方程，即可求解.【題目詳解】由題意，根據表格中的數據，可得，，即樣本中心為，代入回歸直線方程，即，解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的應用，其中解答中熟記回歸直線方程的基本特征是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、C【解題分析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數的解析式化簡，然后利用圖象變換規律得出函數的解析式為，可得函數的值域為，結合條件，可得出、均為函數的最大值，于是得出為函數最小正周期的整數倍，由此可得出正確選項.【題目詳解】函數，將函數的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數的圖象，易知函數的值域為.若，則且，均為函數的最大值，由，解得；其中、是三角函數最高點的橫坐標，的值為函數的最小正周期的整數倍，且．故選C．【題目點撥】本題考查三角函數圖象變換，同時也考查了正弦型函數與周期相關的問題，解題的關鍵在于確定、均為函數的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、A【解題分析】

根據等比中項定義可得；利用和表示出等式，可構造方程求得；利用等差數列求和公式求得結果.【題目詳解】由題意得：設等差數列公差為，則即：，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查等差數列基本量的計算，涉及到等比中項、等差數列前項和公式的應用；關鍵是能夠構造方程求出公差，屬于常考題型.8、B【解題分析】

通過取倒數的方式可知數列為等差數列，利用等差數列通項公式求得，進而得到結果.【題目詳解】由得：，即數列是以為首項，為公差的等差數列本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用遞推關系式求解數列中的項的問題，關鍵是能夠根據遞推關系式的形式，確定采用倒數法得到等差數列.9、A【解題分析】

由題意結合函數的解析式分別求得的值，然后求解兩者之差即可.【題目詳解】由題意可得：，，則.故選：A.【題目點撥】求分段函數的函數值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值，當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值．10、C【解題分析】

天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，按照這個規律進行推理，即可得到結果．【題目詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了等差數列的定義及等差數列的性質的應用，其中解答中認真審題，合理利用等差數列的定義，以及等差數列的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由題意得，且，，由=，解得即可.【題目詳解】已知，是夾角為的兩個單位向量，所以，得，若解得故答案為【題目點撥】本題考查了向量數量積的運算性質，考查了計算能力，屬于基礎題．12、【解題分析】

根據扇形的弧長公式進行求解即可．【題目詳解】∵扇形的圓心角α，半徑為r＝5，∴扇形的弧長l＝rα5．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查扇形的弧長公式的計算，熟記弧長公式是解決本題的關鍵，屬于基礎題．13、必要非充分【解題分析】

通過等差數列的下標公式，得到必要條件，通過舉特例證明非充分條件，從而得到答案.【題目詳解】因為數列依次成等差數列，所以根據等差數列下標公式，可得，當，時，滿足，但不能得到數列依次成等差數列所以綜上，“”是“數列依次成等差數列”的必要非充分條件.故答案為：必要非充分.【題目點撥】本題考查必要非充分條件的證明，等差數列通項的性質，屬于簡單題.14、【解題分析】

根據球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據正弦定理求得的長，再根據圓內三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【題目詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【題目點撥】本小題主要考查外接球有關計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.15、【解題分析】

化簡函數解析式，，時，是余弦函數單調減區間的子集，即可求解.【題目詳解】,時，,且在上是減函數，，，因為解得.【題目點撥】本題主要考查了函數的三角恒等變化，余弦函數的單調性，屬于中檔題.16、【解題分析】因為圓心在直線上，設圓心，則圓的方程為，設點，因為，所以，化簡得，即，所以點在以為圓心，為半徑的圓上，則，即，整理得，由，得，由，得，所以圓心的縱坐標的取值范圍是.點睛：本題主要考查了圓的方程，動點的軌跡方程、兩圓的位置關系、解不等式等知識的綜合運用，著重考查了轉化與化歸思想和學生的運算求解能力，解答中根據題設條件得到動點的軌跡方程，利用兩圓的位置關系，列出不等式上解答的關鍵.對于直線與圓的位置關系問題，要熟記有關圓的性質，同時注意數形結合思想的靈活運用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）將等式兩邊平方，利用平面向量數量積的運算律可計算出的值；（2）由轉化為，然后利用平面向量數量積的運算律可求出實數的值.【題目詳解】（1）在等式兩邊平方得，即，即，解得；（2），，即，解得.【題目點撥】本題考查利用平面向量的模求數量積，同時也考查了利用平面向量數量積來處理平面向量垂直的問題，考查化歸與轉化數學思想，屬于基礎題.18、（1）24；（2）8【解題分析】

（1）利用已知條件，利用正弦定理求得AD的長．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【題目詳解】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD?ACcos30°，解得CD=．所以A處與D處之間的距離為24nmile，燈塔C與D處之間的距離為nmile．【題目點撥】點睛：解三角形應用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系．(2)根據題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等.19、（1）；（2）22.【解題分析】

利用向量的三角形法則即可求得答案由，，可得，利用向量的數量積的坐標表示的表達式，利用三角函數知識可求最值【題目詳解】(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,設∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cosθ=3sinθ+13cosθ+8=14sin(θ+φ)+8,.∴當sin(θ+φ)=1時,的最大值為22.【題目點撥】本題主要考查了三角函數與平面向量的綜合，而輔助角公式是解決三角函數的最值的常用方法，體現了轉化的思想在解題中的應用．20、【解題分析】

由為的中點，則可得,為的中點,則可得,從中可以求出向量,得到答案.【題目詳解】由為的中點，則可得.又為的中點，所以【題目點撥】本題考查向量的基本定理和向量的加減法的法則，屬于中檔題.21、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）連接交于點，則為的中點，由中位線的性質得出，