河南省2021屆高考數學聯考試卷（文科）（3月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設全集U=R,集合a={x|y=/gx},B={-2,1},則下列結論正確的是()

A.ACB={-2}B.3)UB=(-8,0)

C.4UB=(0,+oo)D.(CRA)CB={-2}

2.復數告的共復是()

A.3—4iB.g+giC.3+4iD.|-^i

3.函數/'(x)=|as譏2x+cos2x|的最小正周期為()

rrTT

A.iB.7C.nD.27r

42

4.如圖，虛線部分是四個象限的角平分線，實線部分是函數y=/（%）

的部分圖象，則/（x）可能是（）

A.x2cosx

B.xcosx

C.xsinx

D.x2sinx

5.某次數學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為

88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是（）

A.這種抽樣方法是一種分層抽樣

B.這種抽樣方法是一種系統抽樣

C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差

D.該班級男生成績的平均數小于該班女生成績的平均數

6.△ABC中，2asinA=（2b—c）sinB+（2c—b）sinC,則A=（）

7.把函數y=s譏3x的圖象向左平移也可以得到的函數為（）

A.y=sin(3x+7)B.y=sin(3x-7)

66

C.y=cos3xD.y=cos(3x+7)

o

8.在密碼理論中，“一次一密”的密碼體系是理論上安全性最高的.某部隊執行特殊任務使用四

個不同的口令db,C,d,每次只能使用其中的一種，且每次都是從上次未使用的三個口令中

等可能地隨機選用一種.設第1次使用。口令，那么第5次也使用。口令的概率是()

A—R—Q—D—

"27,243,108■243

9.若一個圓錐的底面半徑是母線長的一半，側面積的數值是它的體積的數值的右則該圓錐的底面

半徑為()

A.V3B.2V2C.2V3D.4百

10.已知點P在拋物線V=4x上，點M在圓(x-3)2+(y-I)2=1上，點N坐標為(1,0),則+

|PN|的最小值為()

A.5B.4C.3D.正+1

11.對于任意整數x,y,函數/(%)滿足f(x+y)=/(x)+f(y)+xy+l,若f(l)=1,則/(一8)等

于()

A.-1B.1C.19D.43

22

12.11.己知瑪、耳是雙曲線《-今=1(4>0/>0)的上、下焦點，點瑪關于漸近線的對稱點恰

ab

好落在以片為圓心，I。&I為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為

A.3B.也C.2D.72

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

(x2+y2<1

13.設。為坐標原點，4(2,1),若點B(x,y)滿足上Wx<1,則瓦？?麗的最大值是____.

(0<y<1

14.已知實數a,。滿足：a2；,b&R,且a+|b|Wl,則;+b的取值范圍是____.

2112a

15.已知函數/(%)=x|x|.當x￡[a,a+1]時，不等式f(x+2a)>4f(x)恒成立，則實數。的取值范

圍是.

16.已知在一個長、寬、高分別為3a〃、4cm.6c〃?的封閉長方體形狀的鐵盒中裝有兩個大小相同的

小鋼球，則每個小鋼球的最大體積為cm3.(不計鐵盒各側面的厚度)

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.求和：1+2x(1)2+3x(1)3+-...+nx(1)n.

18.2019年的流感來得要比往年更猛烈一些.據四川電視臺SC7V-4“新聞現場”播報，近日四川

省人民醫院一天的最高接診量超過了一萬四千人，成都市婦女兒童中心醫院接診量每天都在九

千人次以上.這些浩浩蕩蕩的看病大軍中，有不少人都是因為感冒來的醫院.某課外興趣小組

趁著寒假假期空閑，欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數之間的關系，他們分別到成都市氣象局

與跳傘塔社區醫院抄錄了去年1到6月每月20日的晝夜溫差情況與患感冒就診的人數，得到如

卜資料:

日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日

晝夜溫差雙℃)1011131286

就診人數y(人

222529261612

)

該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方

程，再用被選取的2組數據進行檢驗.

(1)若選取的是1月與6月的兩組數據，請根據2月至5月份的數據，求出y關于x的線性回歸

一方程y=bx+a;

(2)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認為得到的

線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想？

(“生公人八優;瓦二分"一瓦滋-癡丁'a=y-bx)

19.已知直三棱柱中，△ABC為等腰直角三角形，4BAC=

90°,且AB=44i，D,E,尸分別為8通，gC,BC的中點.

(I)求證：直線DE//平面ABC；

(D)求見5與平面ZBiF所成角的正弦值.

20.在平面直角坐標系中，焦點在x軸上的橢圓C：?+\=1經過點(426),其中e為橢圓C的離

心率.過點7(1,0)作斜率為k(k>0)的直線/交橢圓C于A,8兩點(4在x軸下方).

(I)求橢圓C的方程；

(口)過原點。且平行于/的直線交橢圓C于點M,N,求需的值；

(DI)記直線/與y軸的交點為P,若9=|方，求直線/的斜率上

21.設直線/：1y=5x+2是曲線C:/(x)=g/+2x+w的一條切線，g(x)=ax2+2x-25

(1)求切點坐標及制的值；

(2)當weZ時，存在工€［。,也)使/'(x)Wg(x)成立，求實數。的取值范圍.

22.在直角坐標系xO.y中，圓C：(x-l)2+y2=l,以。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐

標系.

(I)求圓C的極坐標方程；

(11)直線/的極坐標方程是。(5加。+百(：05。)=38，射線0M：。=W與圓C的交點為O、P,與直

線/的交點為。，求線段P。的長.

23.已知函數/(%)=|x|+|x-2|.

(1)解不等式/'(%)<4；

(2)若不等式7nx+1</(x)(m>0)對于％GR恒成立，求nt的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案:D

解析：解：全集U=R,集合力={x|y=句行={x|x>0}=(0,+8),

集合B={-2,1},

則4ClB={1},---A錯誤；

CR4=(-8,0],(CR4)UB=(-8,0]U{1},二8錯誤；

AUB={-2}U(0,+oo).?,?C錯誤；

(CR4)nB={-2,二。正確.

故選：D.

化簡集合A,根據交集、并集與補集的定義，對選項中的命題判斷正誤即可.

本題考查了集合的定義與運算問題，是基礎題.

2.答案：B

E+ebji55(341)15-Oi1520i34.

解析：解：577-3+4i)(34i)-(V32+42)2-25-5-51'

所以數白的共復數是|+白.

故選：

利用復除法運算把給出的數化簡為a+bi(a,eR的形式，則共軌可求.

本題數代數形式的除算，復的除法，采用分子分母同乘以分母的共桅復數，是礎題.

3.答案：B

解析：

本題考查了三角函數的周期性，考查含有字母系數和絕對值的三角函數的最小正周期的求法問題,

是基礎題.

討論a=0和a豐0時，分別求出函數f(x)的最小正周期即可.

解：a=0時，函數/(x)=|cos2x|,最小正周期為7=]；

aR0時，函數/1(x)=\asin2x+cos2x\=|Va2+lsin(2x+。)|=Va2+l|sin(2x+0)|,

其中1加。=，其最小正周期為全

綜上，函數f(x)的最小正周期為奈

故選：B.

4.答案：C

解析：解：由函數的圖象可知y=f(x)為偶函數，

對于B,/'(%)=xcosx為奇函數，可排除8；

同理，。中/'(%)=/sinx為奇函數，可排除。；

對于A,/(x)=/cosx雖然為偶函數，但其曲線上的點(2兀,4兀2)在直線y=x的右上方，即不在圖中

的函數曲線上，故可排除A.

故選：C.

由函數的圖象可知y=/(x)為偶函數，可排除8,D,y=f(x)不經過(2兀,4*),可排除A,從而可

得答案.

本體考查函數的圖象，著重考查函數的奇偶性的應用，突出排除法的應用，屬于中檔題.

5.答案：C

解析：解：由題目看不出是抽樣方法是分層抽樣，故A錯；

由題目看不出是系統抽樣，故A錯；

這五名男生成績的平均數理=|(86+94+88+92+90)=90,

這五名女生成績的平均數荏=1(88+93+93+88+93)=91,

故這五名男生成績的方差為%=|(42+42+22+22+02)=8,

這五名女生成績的方差為&=|(32+22+22+32+22)=6,

故C正確，。錯.

故選：C.

若抽樣方法是分層抽樣，男生、女生分別抽取6人、4人，由題目看不出是系統抽樣，求出這五名男

生成績的平均數、方差和這五名女生成績的平均數、方差，由此能求出結果.

本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真題，注意分層抽樣、系統抽樣、平均數、方差

的性質的合理運用.

6.答案：B

解析：解：由已知，根據正弦定理得：2a2=(2Z?-c)b+(2c-b)c,

即爐+c2—a2=be,

.b2+c2-a21

AcosA=------=-，

0<A<nf

故選：B.

利用正弦定理化簡已知的等式，再由余弦定理表示出cosA,將得出的等式變形后代入cosA中，求出

cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；

此題考查了正弦、余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題.

7.答案：C

解析：解：把函數y=sin3x的圖象向左平移也可以得到的圖象對應函數為y=sin（3x+］）=cos3x,

故選：C.

由題意利用函數、=4$譏（3%+0）的圖象變換規律，誘導公式，得出結論.

本題主要考查函數y=As譏3x+3）的圖象變換規律，誘導公式，屬于基礎題.

8.答案：A

解析：解：第1次使用。口令，第二次使用。口令的概率22=0,第三次使用〃口令的概率P3=:，

依此類推，

第四次使用a口令的概率“=c-m，

第五次使用a口令的概率P5=（1一|）彳=捺，

故選：A

由題意可得，第〃次也使用。口令的概率以+1=%［，且「2=0,「3=/以此類推可得第5次也

使用。口令的概率「5的值.

本題主要考查等可能事件的概率，得到第"次也使用。口令的概率%+1=6［，是解題的關鍵，屬

于中檔題.

9.答案:D

解析：

本題考查的知識點是旋轉體，熟練掌握圓錐的側面積公式和體積公式，是解答的關鍵，是基礎題.

根據已知中側面積和它的體積的數值相等，構造關于/■的方程，解得答案.

解：設圓錐的底面半徑為r,則母線長為2r,

則圓錐的高/1=V3r,

:側面積的數值是它的體積的數值的條

二由題意得：7ir-2r=|x-V3r,

解得：r=4V3-

故選：D.

10.答案：C

解：???拋物線y2=4x的焦點為N（l，0），

???當|PM|+|PN|的最小值等于M點到準x=-l的距離，

解析：點在圖（x-3）2+（y_1）2=1上，

點到準x=-l的距離d等于圖心（3,1）到準線的距離4澈半徑1，即d=4-l=3,

故選：C

11.答案：C

解析：解：令x=1y=0

因為f。+y)=/(y)+f(x)+xy+l,若/(l)=1

所以f(1+0)=f(0)+/(l)+0+1=1

所以-。)=一1

因為f(0)=/(-l+1)=/(-l)+/(l)-1+1=-1

所以f(—1)=-2

所以-2)=/(-l-1)=/(-l)+/(-l)+1+1=-2-2+1+1=-2

/(-4)=/(-2-2)=/(-2)+/(-2)+4+1=-2-24-4+1=1

/(—8)=/(-4-4)=/(-4)+/(-4)+16+1=1+1+16+1=19

故選C

分別令等式中的x,y取1,0求出f（0）；令X,y分別取一1,1求出/（一1）；令x=y=-1求出/（一2）；

令x=y=-2/（-4）；令x=y=-4求出/'（-8）.

本題考查求抽象函數的特殊的函數值常用的方法是賦值法.

12.答案：C

設用關于漸近線的對稱點為尸，鳥尸的中點為“，連接。憶尸耳，則OA/LP0

PF、=c，點R到漸近線的距離d=J0d=b,

解析::.PR_PF】，又力石外|=2c，

?yla2+b2

.,.(2cr=c，+(26戶即c，=4a?'0=2,故選C.

13.答案：V5

作出可行域如圖,

由圖可知，當直線z=2x+y與平面區域切于冬時，z有最大值.

由坐標原點。(0,0)到直線2x+y-z=。的距離為1,得

果=1,解得z=O

故答案為：V5.

由約束條件作出可行域，利用數量積的坐標表示得到線性約束條件，由點到直線的距離公式求得答

案.

本題考查簡單的線性規劃，考查了平面向量的數量積運算，體現了數學轉化思想方法，是中檔題.

14.答案：[&―1,|]

解析：解：由題意作平面區域如下,

當a+b=1時，/+b才有可能取到最大值,

當a-b=1時，/+b才有可能取到最小值，

即工+a-1>2—-1=V2-1,

2a2

(當且僅當以=a,即a=4時，等號成立)，

結合圖象可知，

或+b的取值范圍是陽一1,|].

由題意作平面區域，結合圖象可知，關鍵求當a+b=l時和當a-b=l時的最值，從而解得.

本題考查了線性規劃的變形應用及數形結合的思想方法應用，同時考查了分類討論的思想應用.

15.答案：(L+8)

解析：解：???y=|x|為偶函數，y=x為奇函數

???/(X)=奇函數

當%>。時，f(x)=/為增函數，由奇函數在對稱區間上單調性相同可得

函數f(x)在R上增函數

又?.?不等式/(x+2a)>4f(x)可化為(x+2d)\x+2a\>4x-\x\=2x-\2x\=/(2x)

故當x€[a,a+1]時,不等式/(尤+2a)>4f(x)恒成立，

即當xC[a,a+1]時，不等式x+2a>2x恒成立

即x<2a恒成立

即a+1<2a

解得a>1

故實數a的取值范圍是(1,+8)

故答案為：(1,+8)

根據已知函數的解析式易判斷出函數的奇偶性及單調性，結合單調性可將不等式/"(x+2a)>4/(x)

可化為x+2a>2x,將恒成立問題轉化為最值問題后，易得答案.

本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合應用，恒成立問題，其中分析出函數的單調性并將

不等式f(x+2a)>4/Q)可化為x+2a>2x是解答的關鍵.

16.答案：y

解析：解：由題意，每個小鋼球的最大半徑為r=|cm.

439

X3

兀

-兀-=-

每個小鋼球的最大體積為N322

故答案為：—■

由題意可得，每個小鋼球的最大半徑為r=代入球的面積公式得答案.

本題考查球的表面積與體積，是基礎的計算題.

17.答案：解：令&=1x3+2x(；)2+3x+...…+nx

所以［Sn=1x(》2+2x(|)3+…+nx(|)n+1@,

2+1

①一②得：|sn=i+(1)+-+(i)?-nx-nX(1)",

2

所以Sn=2—答.

解析：直接利用乘公比錯位相減法的應用求出數列的和.

本題考查的知識要點：數列的求和公式的應用，乘公比錯位相減法在數列求和中的應用，主要考查

學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

18.答案：解：(1)由表中2月至5月份的數據，

得以=；(11+13+12+8)=r=11，亍=；(25+29+26+16)=*=24,

故有￡；=2(/一x)(y(—y)=0xl+2x5+lx2+(—3)x(—8)=36,

2M2(々一X)2=02+22+12+(一3)2=14.

由參考公式得b=*由a=1_b或得;=一日，

即y關于x的線性回歸方程;=/,x+a=-x---

(2)由1月份數據得當x=10時，C=￡x10--=—?

,777

■150?Q?4,今

|—-22|=-<2,

由6月份數據得當x=6時，；=目乂6-丑=學.

z777

22|=與<2,

則該小組所得線性回歸方程是理想的.

解析：(1)根據數據求出3亍以及*a的值，即可求出>關于x的線性回歸方程;=bx+a；

(2)分別計算出1月份和6月份對應的預測值，和22作差，進行比較即可得到結論.

本題主要考查線性回歸方程的求解，根據條件求出3亍以及匕，a的值是解決本題的關鍵.考查學生

的運算能力.

19.答案：證明：（I）取44中點0,連結DO,EO,

?：D,E,F分別為8遇，CC8c的中點.

DO//AB,EO//AC,

vDOC\EO=0,ABOAC=A,

平面DEO〃平面ABC,

vDEu平面OEO,.?.直線DE〃平面ABC.

解：（II）以點A為坐標原點，AB,AC,彳國的方向為x,

y,z軸的正方向建立空間直角坐標系，

設4B=2,則當(2,0,2),E(0,2,1),4(0,0,0),尸(1,1,0),

O=(-2,2，T)，福=(2,0,2),AF=(1,1,0),

設平面ABiF的法向量元=(x,y,z),

則?絲i=2x+2z=0,取“I,得平面41尸的法向量元=(1,—1,一1)，

設當￡1與平面AB1尸所成的角為0,

則s譏。=劇=磊邛

故/E與平面48#所成角的正弦值為圣

解析：（1）取44中點。，連結。O,EO,推導出平面DE。〃平面ABC,由此能證明直線DE〃平面

ABC.

（口）以點A為坐標原點，AB,AC,麗t的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向

量法能求出B]E與平面4/F所成角的正弦值.

本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關

系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

20.答案：解：（1）因為橢圓橢圓C：9+'=1經過點（瓦2e）所以?+誓=1.

因為e2=￡^=J,所以1+g=i,

a2882b2

又=82+。2,9+=],解得/=4或/=8（舍去）.

所以橢圓C的方程為=+t=l.

84

(2)設4(%i，%),S(x2)y2).

因為T(1,O),則直線/的方程為y=k(x—l).

y—k(x—1)

聯立直線/與橢圓方程/，必，，消去y,得(2/+l)x2-4k2x+2k2-8=0,

(T+T=1

所以與+小;黑，與不=裝?.

因為MN〃1,所以直線MN方程為y=kx,

y=kx

x2,y21

1=1

{8--4

消去y得(2/+1)/=8,

解得心六

因為MN〃/,所以普=*猊

因為(1一打)?(x2-1)=~[X1X2-(X1+X2)+1]=馬不

2

QM-XN)2=4x=費不

竺史=比泣經二2=1

n'MN2如-項)232-

(3)在y=k(x-l)中，令x=0,則y=f,所以P(0,-k),

從而而=(-x^-k-y^,TB=(x2-1,72)1

"AP=|Tfi,-%I=|(x2-1),即與+|%2=|…①

,4kz

“1+#2=赤!

由(2)知2k2-8…②

與冷=訴

-41+2_16k2-2

由①②得%=3(2fc2+l)，%2~~3(2上2+1)

代入X1g=寨=50/C4-83k2-34=0,解得1=2或修=一半舍).

又因為k>0,所以k=魚….(16分)

解析：⑴由題意得e2='=q,?+篝=1.又a?=。2+02,9+禁=i,解得廿；

(2)設4Qi，yi),8(小/2).設直線/的方程為丁=k(x-1).

y=k（x—1）

聯立直線/與橢圓方程/好，消去），，得（21+1）/一4卜2%+2々2-8=0,可設直線仞7

--1---=1

\84

（y=kx

方程為y=kx,聯立直線MN與橢圓方程^=，消去y得（2上2+1）X2=8,由MN〃/,得需=

184—

（1一久1）.（。2-1）

2

（XM-XN）

2

由（1一匕）?（&-1）=一%%2-&+%2）+1]=募7?得（XM-XNy=4x=即可.

（3）在丫=k（x-1）中，令x=0,則丫=一上，所以P（0,-k）,從而而=（一看,一上一%）,用=（0一

（=4k2

1/2），由而=|汴得f=|（&_1）,即Xl+|“2=|…①，由⑵知廣x+x"2/片1??②由①②

91％2=許

得刈=湍？“2=忘=50^-83^-34=0,解得小

本題考查了橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系、向量運算、分析問題處理問題的能力，對運算能

力的要求較高，屬于難題.

21.答案：解析：（1）設直線譽與曲線烈相切于點，翼挺3建。

舞域=嫄一軸'樸勤.?城8—富粒帶爆=5.解得孫:=/或鼻=拿

代入直線聲方程，得切點承坐標為G2-期或鰥，頊

1

；“切點1P在曲線。匕.?.懈=，或蹴!=11

整

綜上可知，切點，翼：-1「霸，懈=」或者切點舞*1懶，

3

*110

⑵?喙?圖登.?.啾i=；n，設渴崎=頻礴-或攜=一點一◎,樸礴/北鰥，

若存在■帆器磅使.猴爐道磁成立，則只要凝磁晶，三頤,

播《,磁=--胤1#哦冢=砒君,一虱1S:礴]，

①當：!怦謝=做即謝=—3時

澈:璘=,/我?,減磷:是增函數，微遍（如=宣＞@不合題意,

②若R帶領1注醐即-1

令凝,磁,得累:洲野年蹴或a?--：潁域:在￡窩11樣瞰N嘮上是增函數，

令麴喊三酬解得財整留需哪一??減港在巡鷺竹巡|上是減函數，

二微礴岫=題胤好噬，令趣第1k磁空郵，解得躅也翦，

③若3注謝3：陋即*：T，

令領域海詢，解得,熱?：箕1不瞰礪力沖或，

"公黜時暴礴，二爽域:在引#燧》上是增函數，

二瞄岫=雌翎除三明不等式無解，;僦不存在，

綜上可得，實數:謝的取值范圍為|［齊四.

解析：(1)先設切點翼忠讖或，然后依題意計算出/齡或，由翼。球=您，計算出切點的橫坐標，代

入切線的方程，可得切點的縱坐標，最后再將切點的坐標代入曲線c的方程計算得胸的值；

(2)結合(1)中求出的幼，確定懶=：門，設纏檄=典礴-域域，然后將存在富㈣廁d