【小學數學解題思路大全】式題的巧解妙算〔一〕1.特殊數題(1)21－12當被減數和減數個位和十位上的數字(零除外)交叉相等時，其差為被減數與減數十位數字的差乘以9。因為這樣的兩位數減法，最低起點是21－12，差為9，即(2－1)×9。減數增加1，其差也就相應地增加了一個9，故31－13＝(3－1)×9＝18。減數從12—89，都可類推。被減數和減數同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍……，常數9也相應地擴大(或縮小)相同的倍數，其差不變。如210－120＝(2－1)×90＝90，0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。(2)31×51個位數字都是1，十位數字的和小于10的兩位數相乘，其積的前兩位是十位數字的積，后兩位是十位數字的和同1連在一起的數。假設十位數字的和滿10，進1。如證明：(10a＋1)(10b＋1)＝100ab＋10a＋10b＋1＝100ab＋10(a＋b)＋1(3)26×8642×62個位數字相同，十位數字和是10的兩位數相乘，十位數字的積與個位數字的和為積的前兩位數，后兩位是個位數的積。假設個位數的積是一位數，前面補0。證明：(10a＋c)(10b＋c)＝100ab＋10c(a＋b)＋cc＝100(ab＋c)＋cc(a＋b＝10)。(4)17×19十幾乘以十幾，任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以10，加個位數的積。原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323證明：(10＋a)(10＋b)＝100＋10a＋10b＋ab＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。(5)63×69十位數字相同，個位數字不同的兩位數相乘，用一個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數字，再乘以10，加個位數的積。原式＝(63＋9)×6×10＋3×9＝72×60＋27＝4347。證明：(10a＋c)(10a＋d)＝100aa＋10ac＋10ad＋cd＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。(6)83×87十位數字相同，個位數字的和為10，用十位數字加1的和乘以十位數字的積為前兩位數，后兩位是個位數的積。如證明：(10a＋c)(10a＋d)=100aa＋10a(c＋d)＋cd＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。(7)38×22十位數字的差是1，個位數字的和是10且乘數的個位數字與十位數字相同的兩位數相乘，積為被乘數的十位數與個位數的平方差。原式＝(30＋8)×(30－8)＝302－82＝836。(8)88×37被乘數首尾相同，乘數首尾的和是10的兩位數相乘，乘數十位數字與1的和乘以被乘數的相同數字，是積的前兩位數，后兩位是個位數的積。(9)36×15乘數是15的兩位數相乘。被乘數是偶數時，積為被乘數與其一半的和乘以10；是奇數時，積為被乘數加上它本身減去1后的一半，和的后面添個5。＝54×10＝540。55×15(10)125×101三位數乘以101，積為被乘數與它的百位數字的和，接寫它的后兩位數。125＋1＝126。原式＝12625。再如348×101，因為348＋3＝351，原式＝35148。(11)84×49一個數乘以49，把這個數乘以100，除以2，再減去這個數。原式＝8400÷2－84＝4200－84＝4116。(12)85×99兩位數乘以9、99、999、…。在被乘數的后面添上和乘數中9的個數一樣多的0、再減去被乘數。原式＝8500－85＝8415不難看出這類題的積：最高位上的兩位數(或一位數)，是被乘數與1的差；最低位上的兩位數，是100與被乘數的差；中間數字是9，其個數是乘數中9的個數與2的差。證明：設任意兩位數的個位數字為b、十位數字為a(a≠0)，那么如果被乘數的個位數是1，例如31×999在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。71×9999＝709999－70＝709929。這是因為任何一個末位為1的兩位自然數都可表示為(10a＋1)的形式，由9組成的自然數可表示為(10n－1)的形式，其積為(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。(13)1÷19這是一道頗為繁復的計算題。根據“如果被除數不變，除數擴大(或縮小)假設干倍，商反而縮小(或擴大)相同倍〞和“商不變〞性質，可很方便算出結果。原式轉化為0.1÷1.9，把1.9看作2，計算程序：(1)先用0.1÷2＝0.05。(2)把商向右移動一位，寫到被除數里，繼續除如此除到循環為止。仔細分析這個算式：加號前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數里，除以1.9。這樣我們又可把除數看作2繼續除，依此類推。除數末位是9，都可用此法計算。例如1÷29，用0.1÷3計算。1÷399，用0.1÷40計算。2.估算數學素養與能力(含估算能力)的強弱，直接影響到人們的生活節奏和工作、學習、科研效率。已經引起世界有關專家、學者的重視，是個亟待研究的課題。美國數學督導委員會，提出的12種面向全體學生的根本數學能力中，第6種能力即估算：“學生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。當解題或購物中需要計算時，估算可以用于考查合理性。檢驗預測或作出決定……〞(1)最高位估算只計算式中幾個運算數字的最高位的結果，估算整個算式的值大概在什么范圍。例11137＋5044－3169最高位之和1＋5－3＝3，結果在3000左右。如果因為無視小數點而算成560，依據“一個不等于零的數乘以真分數，積必小于被乘數〞估算，錯誤立即暴露。例351.9×1.51整體思考。因為51.9≈50，而50×1.51≈50×1.5＝75，又51.9＞50，1.51＞1.5，所以51.9×1.51＞75。另外9×1＝9，所以原式結果大致是75多一點，三位小數的末位數字是9。例43279÷79把3279和79，看作3200和80。準確商接近40，假設相差較大，那么是錯的。(2)最低位估算例如，6403＋232＋15783＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。(3)規律估算和大于每一個加數；兩個真分數(或純小數)的和小于2；一個真分數與一個帶分數(或一個純小數與一個帶小數)的和大于這個帶分數(或帶小數)，且小于這個帶分數(或帶小數)的整數局部與2的和；兩個帶分數(或帶小數)的和總是大于兩個帶分數(或帶小數)整數局部的和，且小于這兩個整數局部的和加上2；奇數±奇數＝偶數，偶數±偶數＝偶數，奇數±偶數＝奇數；差總是小于被減數；整數與帶分數(或帶小數)的差小于整數與帶分數(或帶小數)的整數局部的差；帶分數(或帶小數)，與整數的差大于帶分數(或帶小數)的整數局部與整數的差。帶分數(或帶小數)與真分數(或純小數)的差小于這個帶分數(或帶小數)，且大于帶分數(或帶小數)減去1的差；帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的差小于被減數與減數的整數局部的差，且大于這個差減去1；如果兩個因數都小于1，那么積小于任意一個因數；假設兩個因數都大于1，那么積大于任意一個因數；帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的積大于兩個因數的整數局部的積，且小于這兩個整數局部分別加1后相乘的積；例如，A＜AB＜B。奇數×偶數＝偶數，偶數×偶數＝偶數；假設除數＜1，那么商＞被除數；假設除數＞1，那么商＜被除數；假設被除數＞除數，那么商＞1；假設被除數＜除數，那么商＜1。(4)位數估算整數減去小數，差的小數位數等于減數的小數位數；例如，320－0.68，差為兩位小數。最高位的乘積滿十的兩個整數相乘的積的位數，等于這兩個數的位數和；例如，451×7103最高位的積4×7＝28，滿10，結果是3＋4＝7(位數)。在整除的情況下，被除數的前幾位不夠除，商的位數等于被除數的位數減去除數的位數；例如，147342÷2714不夠27除，商是4－2＝2(位數)。被除數的前幾位夠除，商的位數等于被除數的位數與除數位數的差加上1。例如，30226÷238302夠238除，商是5－3＋1＝3(位數)。(5)取整估算把接近整數或整十、整百、……的數，看作整數，或整十、整百…的數估算。如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。12×8.5≈10×10，積接近100。3.并項式應用交換律、結合律，把能湊整的數先并起來或去括號。例13.34＋12.96＋6.66＝12.96＋(3.34＋6.66)＝12.96＋10＝22.96＝3－3＝0例315.74－(8.52＋3.74)＝15.74－3.74－8.52＝12－8.52＝3.48例41600÷(400÷7)＝1600÷400×7＝4×7＝284.提取式根據乘法分配律，可逆聯想。＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4＝45.合乘式＝87.5×10×1＝875＝8－7＝16.擴縮式例11.6×16＋0.4×36＝0.4×(64＋36)＝0.4×100＝40例216×457.分解式例如，14×72＋42×76＝14×3×24＋42×76＝42×(24＋76)＝42×100＝42008.約分式＝3×7×2＝42例2169÷4÷7×28÷13=1988÷9.拆分式10.拆積式例如，32×1.25×25＝8×1.25×(4×25)＝10×100＝100011.換和式例10.1257×8＝(0.125＋0.0007)×8＝1＋0.0056＝1.0056例48.37－5.68＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)＝8.69－6＝2.6912.換差式13.換乘式例1123＋234＋345＋456＋567＋678＝(123＋678)×3＝801×3＝2403例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25＝6.72×(4×25)＝672例345000÷8÷125＝45000÷(8×125)＝45000÷1000＝45例49.728÷3.2÷25＝9.728÷(0.8×4×25)＝9.728÷80＝0.9728÷8＝0.1216例533333×33333＝11111×99999＝11111×(100000－1)＝1111100000－11111＝1111088889綜合應用，例如＝1000＋7＝1007＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(轉)＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)＝8×125.25＝8×(125＋0.25)(拆)＝8×125＋8×0.25＝100214.換除式例如，5600÷(25×7)＝5600÷7÷25＝800÷25＝3215.直接除17.以乘代加例17＋4＋5＋2＋3＋6＝9×3＝27如果兩個分數的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么這兩個分數的和(或差)等于它們的積。18.以乘代減知，兩個分數的分子都是1，分母是連續自然數，其差等于其積。可見，各分數的分子都是1。第一個減數的分母等于被減數的分母加1。第二個減數的分母等于被減數的分母與第一個減數的分母的積加1，第n個減數的分母等于被減數的分母與第一、二、……第n-1個減數的分母的連乘積加上1。(n為不小于2的自然數)其差等于其積19.以加代乘一個整數與一個整數局部和分子都是1，分母比整數(另個乘數)小120.以除代乘例如，25×123678448＝123678448×(100÷4)÷4＝309196120021.以減代除＝1986－662＝13243510÷15＝(3510－1170)÷10＝23422.以乘代除例如，2.7÷4÷6×24÷2723.以除代除觀察其特點，24.并數湊整例如，372＋499＝372＋500－1＝87156.7－12.8＝56.7－13＋0.2＝43.925.拆數湊整例如，476＋302＝476＋300＋2＝7789.42－3.1＝9.42－3－0.1＝6.3226.加分數湊整應用“被減數、減數同時增加或減少相同的數，其差不變〞的性質，使原來減去一個帶分數或帶小數，變成減去整數。=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)=8.69-6=2.6930.湊公因數例如，1992×27.5＋1982×72.5＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5＝1992×(27.5＋72.5)-725=199200-725=198475或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5……31.和差積法32.直接寫得數觀察整數和分數局部，顯然原式=3。33.變數為式……34.分解再組合例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)＝5(1＋2+3＋…＋99)35.先分解再通分有的學生通分時用短除法，找了許多數試除都不行，而斷定57和76為互質數。判斷兩個數是否互質，不必用2、3、5、……逐個試除。把其中一個分解質因數，看另一個數能否被這里的某個質因數整除即可。57＝3×19，如果57和76有公有的質因數，只可能是3或19。用3、19試除，[57，76]＝19×3×4＝228。26＝2×13，65和91是13的倍數。最小公分母為13×2×5×7＝910。37.巧用分解質因數教材中講分解質因數，主要是為了求幾個數的最大公約數和最小公倍數，給通分和約分打根底。其實，分解質因數在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創造思維。例1184×75原式＝2×2×46×3×5×5=46×3×(2×5)2=138×100=13800。38.“1、1”一個整數減去一個帶分數，可用這個整數減去比減數的整數局部多1的數，再從1中減去分數局部。為便于記憶，稱“1、1〞法。39.“1，9，9…10”一個整數減去一個小數(末位不為0)，可先減去比小數高位多1的數，再從9中減去其它位數，最后從10中減去末位數。40.改變運算順序例1650×74÷65＝(650÷65)×74＝10×74＝740例2176×98÷49＝176×(98÷49)＝176×2＝352例37÷13×52÷4例4102×99－0.125×99×8＝102×99－1×99＝99×(l00＋１)＝9900＋99＝999941.用數據熟記一些特殊數據，可使計算簡捷、迅速。例1由37×3＝111知37×6＝111×2＝22237×15＝37×3×5＝555例31000以內(不包括整十、整百)只含因數2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；5、25、125、625。這些數作分母的分數才能化成有限小數，不需試除。例4特殊分數化小數分母是5、20、25、50的最簡分數，在化為小數時，把分子相應地擴大2、5、4、2倍，再縮小10、100倍。分母是8的最簡分數，分子是1、3，小數的第一位也是1、3。分母是9的最簡分數，循環節的數字和分子的數字相同。例51～9π1×3.14＝3.146×3.14＝18.842×3.14＝6.287×3.14＝21.983×3.14＝9.428×3.14＝25.124×3.14＝12.569×3.14＝28.265×3.14＝15.7熟記這些數值，可口算。3.14×13=10π+3π=40.823.14×89=90π-π=282.6-3.14=279.46π×1.58變為整數，三位數前面補0改為四位數，這樣不會把數位搞錯，將結果左端的0去掉，點上小數點得4.9612。也可從高位算起。42.想特殊性仔細審題，知第二個括號里的結果為0，此題得0。所以可直接得0。×0.9)÷(3.8－2.8)除數為1，那么商就是被除數。43.想變式44.用規律例1682＋702兩個連續奇(偶)數的平方和，等于這兩個數之積的2倍加4的和。原式＝68×70×2＋4＝9520＋4＝9524。例2522－512＝52＋51＝103兩個連續自然數的平方差，等于這兩個數的和。例318×19＋20任意三個連續自然數，最小數與中間數的乘積加上最大數的和，等于最大數與中間數的乘積減去最小數。原式＝20×19－18＝362。例416×17－15×18四個連續自然數，中間兩個的積比首尾兩個的積多2。原式＝2。證明：設任意四個連續自然數分別為a－1、a、a＋1、a＋2，那么a(a＋1)－(a－1)(a＋2)＝a2+a-a2-a＋2＝2。例5一個從第一位開始有規律循環的多位數(包括整數局部是0的純循環小數)，乘以一個與其循環節位數相同的數，其規律適用于一些題的簡算。ABAB×CD＝(AB×100＋AB)×CD＝AB×100×CD＋AB×CD＝(CD×100＋CD)×AB＝CDCD×AB如：125×5×1616×78＝125×5×7878×16＝(125×8)×(5×2)×7878＝7878000045.根底題法在根底題上深化。例如，觀察(1)的解題過程，逆用各步的結構特點，46.巧歸納例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋11～100的和為5050，再加一倍為10100，減去多加的100為10000。但速度太慢。有相同的行數和列數，用點或圈列成正方形的數，叫作正方形數。由圖知1＋2＋3＋2+1＝32，1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。不難發現，和為最大加數的平方。顯然，5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5＝302－42-4＝900－16－4＝880。【小學數學解題思路大全】巧想妙算文字題〔一〕1.想數碼例如，1989年“從小愛數學〞邀請賽試題6：兩個四位數相加，第一個四位數的每一個數碼都不小于5，第二個四位數僅僅是第一個四位數的數碼調換了位置。某同學的答數是16246。試問該同學的答數正確嗎？(如果正確，請你寫出這個四位數；如果不正確，請說明理由)。思路一：易知兩個四位數的四個數碼之和相等，奇數＋奇數＝偶數，偶數＋偶數＝偶數，這兩個四位數相加的和必為偶數。相應位數兩數碼之和，個、十、百、千位分別是17、13、11、15。所以該同學的加法做錯了。正確答案是思路二：每個數碼都不小于5，百位上兩數碼之和的11只有一種拆法5＋6，另一個5只可能與8組成13，6只可能與9組成15。這樣個位上的兩個數碼，8＋9＝16是不可能的。不要把“數碼調換了位置〞誤解為“數碼順序顛倒了位置。〞2.尾數法例1比擬1222×1222和1221×1223的大小。由兩式的尾數2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。知1222×1222＞1221×1223例2二數和是382，甲數的末位數是8，假設將8去掉，兩數相同。求這兩個數。由題意知兩數的尾數和是12，乙數的末位和甲數的十位數字都是4。由兩數十位數字之和是8－1＝7，知乙數的十位和甲數的百位數字都是3。甲數是348，乙數是34。例3請將下式中的字母換成適當的數字，使算式成立。由3和a5乘積的尾數是1，知a5只能是7；由3和a4乘積的尾數是7－2＝5，知a4是5；……不難推出原式為142857×3＝428571。3.從較大數想起例如，從1～10的十個數中，每次取兩個數，要使其和大于10，有多少種取法？思路一：較大數不可能取5或比5小的數。取6有6＋5；取7有7＋4，7＋5，7＋6；…………取10有九種10＋1，10＋2，……10＋9。共為1＋3＋5＋7＋9＝25(種)。思路二：兩數不能相同。較小數為1的只有一種取法1＋10；為2的有2＋9，2＋10；……較小數為9的有9＋10。共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(種)這是從較小數想起，當然也可從9或8、7、……開始。思路三：兩數和最大的是19。兩數和大于10的是11、12、…、19。和是11的有五種1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(種)。4.想大小數之積用最大與最小數之積作內項(或外項)的積，剩的相乘為外項(或內項)的積，由比例根本性質知交換所得比例式各項的位置，可很快列出全部的八個比例式。5.由得數想例如，思考題：在五個0.5中間加上怎樣的運算符號和括號，等式就成立？其結果是0，0.5，1，1.5，2。從得數出發，想：兩個相同數的差，等于0；一個數加上或減去0，仍等于這個數；一個因數是0，積就等于0；0除以一個數(不是0)，商等于0；兩個相同數的商為1；1除以0.5，商等于2；……解法很多，只舉幾種：(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝00.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0\(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.50.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝10.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝10.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.50.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.50.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.50.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝26.想平均數思路一：由“任意三個連續自然數的平均數是中間的數〞。設第一個數為“1〞，那么中間數占知這三個數是14、15、16。二、一個數分別為16－1＝15，15－1＝14或16－2＝14。假設先求第一個數，那么思路三：設第三個數為“1〞，那么第二、三個數，知是15、16。思路四：第一、三個數的比是7∶8，第一個數是2÷(8－7)×7＝14。假設先求第三個數，那么2÷(8－7)×8＝16。7.想奇偶數例1思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等于100。例如1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100你還能想出不同的添法嗎？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。假設去掉7和8間的“＋〞，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9＝45＋63＝108。為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。“減去4〞可變為“減1、減3〞，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負“－1〞，不能介紹。如果式左變為12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。要將“＋〞變為“－〞的數和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，同理得12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，123－4－5－6－7＋8－9＝100，123＋4－5＋67－89＝100，123－45－67＋89＝100。為了減少計算。應注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數間的加號)，結果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數，4、6的和或差是偶數，奇數±偶數＝奇數，結果不會是100。(2)有一個是四位數，結果也不可能為100。因為1234減去余下數字組成(按順序)的最大數789，再減去余下的56，差大于100。例2求59～199的奇數和。由從1開始的連續n個奇數和、等于奇數個數n的平方1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2奇數比它對應的序數2倍少1。用n表示任意一個自然數，它對應的奇數為2n－1。例如，32對應奇數2×32－1＝63。奇數199，從1起的連續奇數中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。知1～199的奇數和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數和為292＝841。所求為10000－841＝9159。或者59＝30×2－1，302＝900，10000－900＋59＝9159。例1思考題：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果都等于100。例如1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100你還能想出不同的添法嗎？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。假設去掉7和8間的“＋〞，式左為1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9＝45＋63＝108。為使其和等于100，式左必須減去8。加4改為減4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。“減去4〞可變為“減1、減3〞，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年級小學生沒學過負數“－1〞，不能介紹。如果式左變為12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。要將“＋〞變為“－〞的數和為13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，同理得12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，123－4－5－6－7＋8－9＝100，123＋4－5＋67－89＝100，123－45－67＋89＝100。為了減少計算。應注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中間添上加、減(不再去掉某兩數間的加號)，結果為100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數，4、6的和或差是偶數，奇數±偶數＝奇數，結果不會是100。(2)有一個是四位數，結果也不可能為100。因為1234減去余下數字組成(按順序)的最大數789，再減去余下的56，差大于100。例2求59～199的奇數和。由從1開始的連續n個奇數和、等于奇數個數n的平方1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2奇數比它對應的序數2倍少1。用n表示任意一個自然數，它對應的奇數為2n－1。例如，32對應奇數2×32－1＝63。奇數199，從1起的連續奇數中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。知1～199的奇數和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇數和為292＝841。所求為10000－841＝9159。或者59＝30×2－1，302＝900，10000－900＋59＝9159。8.約倍數積法任意兩個自然數的最大公約數與最小公倍數的積，等于這兩個自然數的積。證明：設M、N(都是自然數)的最大公約數為P，最小公倍數為Q、且M、N不公有的因數各為a、b。那么M×N＝P×a×P×b。而Q＝P×a×b，所以M×N＝P×Q。例1甲乙兩數的最大公約數是7，最小公倍數是105。甲數是21，乙數是多少？例2兩個互質數的最小公倍數是155，求這兩個數。這兩個互質數的積為1×155＝155，還可分解為5×31。所求是1和155，5和31。例3兩數的最大公約數是4，最小公倍數是40，大數是數的2.5倍，求各數。由上述定理和題意知兩數的積，是小數平方的2.5倍。小數的平方為4×40÷2.5＝64。小數是8。大數是8×2.5＝20。算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。9.想份數10.巧用分解質因數例1四個比1大的整數的積是144，寫出由這四個數組成的比例式。144＝24×32＝(22×3)×[(2×3)×2]＝(4×3)×(6×2)可組成4∶6＝2∶3等八個比例式。例2三個連續自然數的積是4896，求這三個數。4896＝25×32×17＝24×17×(2×32)＝16×17×181728＝26×33＝(22×3)3＝123385＝5×7×11例41992年小學數學奧林匹克試題初賽(C)卷題3：找出1992的所有不同的質因數，它們的和是多少？1992＝2×2×2×3×832＋3＋83＝88例5甲數比乙數大9，兩數的積是1620，求這兩個數。1620＝22×34×5＝(32×22)×(32×5)甲數是45，乙數是36。例6把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組，每組四個數且積相等，求這兩組數。八個數的積等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。每組數的積為2×32×52×7×11×132×127。兩組為例7600有多少個約數？600＝6×100＝2×3×2×2×5×5＝23×3×52只含因數2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的約數分別為：2、22、23；3；5、52；2×3、22×3、23×3；2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；3×5、3×52；2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。不含2×3×5的因數的數只有1。這八種情況約數的個數為；3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。不難發現解題規律：把給定數分解質因數，寫成冪指數形式，各指數分別加1后相乘，其積就是所求約數的個數。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。17.想法那么用來說明運算規律(或方法)的文字，叫做法那么。子比分母少16。求這個分數？由“一個分數乘以5，是分子乘以5分母不變〞，結果是分子的5倍比3倍比分母少16。知分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子為18÷2＝9，分母為9×5－2＝43或9×3＋16＝43。18.想公式證明方法：以分母a，要加(或減)的數為(2)設分子加上(或減去)的數為x，分母應加上(或減去)的數為y。19.想性質例11992年小學數學奧林匹克試題初賽(C)卷題6：有甲、乙兩個多少倍？200÷16＝12.5(倍)。例2思考題：三個最簡真分數，它們的分子是連續自然數，分母大于10，且它們最小公分母是60；其中一個分數的值，等于另兩個分數的和。寫出這三個分數。由“分母都大于10，且最小公分母是60〞，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。由“分子是連續自然數〞，知分子只能是小于12的自然數。滿足題意的三個分數是(二)第400個分數是幾分之幾？此題特點：(2)每組分子的排列：假設某一組分數的分母是自然數n，那么分子從1遞增到n，再遞減到1。分數的個數為n＋n－1＝2n－1，即任何一組分數的個數總是奇數。(3)分母數與分數個數的對應關系，正是自然數與奇數的對應關系分母：1、2、3、4、5、……分數個數：1、3、5、7、9、……(4)每組分數之前(包括這組本身)所有分數個數的和，等于這組的組號(這一組的分母)的平方。例如，第3組分數前(包括第3組)所有分數個數的和是32=9。10×2－1－6=13(個)位置上。分別排在81＋7＝88(個)，81＋13=94(個)的位置上。或者102=100，100－12=88。100－6＝94，88＋6＝94。問題(二)：由上述一串分數個數的和與組號的關系，將400分成某數的平方，這個數就是第400個分數所在的組數400＝202，分母也是它。第400個分數在第20組分數中，400是這20組分數的和且正好是20的平方無剩余，故可斷定是最后一個，即假設分解為某數的平方有剩余，例如，第415個和385個分數各是多少。逆向思考，上述的一串分數中，分母是35的排在第幾到第幾個？352－(35×2－1)＋1＝1225－69＋1＝1157。排在1157－1225個的位置上。20.由規那么想例如，1989年從小愛數學邀請賽試題：接著1989后面寫一串數字，寫下的每一個數字都是它前面兩個數字的乘積的個位數字。例如，8×9＝72，在9后面寫2，9×2＝18，在2后面寫8，……得到一串數：1989286……這串數字從1開始往右數，第1989個數字是什么？……顯然，1989后面的數總是不斷重復出現286884，每6個一組。(1989－4)÷6＝330……5最后一組數接著的五個數字是28688，即第1989個數字是8。21.用規律例1第六冊P62第14題：選擇“＋、－、×、÷〞中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數分別等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。(1)22222＝0(2)22222＝1……(10)22222＝9解這類題的規律是：先想用兩、三個2列出，結果為0、1、2的根本算式：2－2＝0，2÷2＝1；再聯想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……每題都有幾種選填方法，這里各介紹一種：2÷2＋2÷2－2＝02÷2×2－2÷2＝12－2＋2÷2×2＝22×2＋2÷2－2＝32×2×2－2－2＝42－2÷2＋2×2＝52＋2－2＋2×2＝62×2×2－2÷2＝72÷2×2×2×2＝82÷2＋2×2×2＝9例2第六冊P63題4：寫出奇妙的得數2＋1×9＝3＋12×9＝4＋123×9＝5＋1234×9＝6＋12345×9＝得數依次為11、111、1111、11111、111111。此組算式的特點：第一個加數由2開始，每式依次增加1。第二個加數由乘式組成，被乘數的位數依次為1、12、123、……繼續寫下去7＋123456×9=11111118＋1234567×9=111111119＋12345678×9＝11111111110＋123456789×9＝111111111111＋1234567900××……很自然地想到，可推廣為(1)當n=1、2時，等式顯然成立。(2)設n=k時，上式正確。當n=k＋1時k＋1＋123…k×9=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1根據數學歸納法原理，由(1)、(2)可斷定對于任意的自然數n，此等式都成立。例3牢記下面兩個規律，可隨口說出任意一個自然數作分母的，所有真分數的和。(1)奇數(除1外)作分母的所有真分數的和、是(分母－1)÷2。=(21－1)÷2=10。22.巧想條件比5小，分母是13的最簡分數有多少個。7～64為64－(7－1)＝58(個)，去掉13的倍數13、26、39、52，余下的作分子得54個最簡分數。例2一個整數與1、2、3，通過加減乘除(可添加括號)組成算式，假設結果為24這個整數就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有幾個是可用的。看結果，想條件，知都是可用的。4×(1＋2＋3)＝24(5＋1＋2)×3＝246×(3＋2－1)＝247×3＋1＋2＝248×3÷(2－1)＝249×3－1－2＝2410×2＋1＋3＝2423.想和不變無論某數是多少，原分數的分子與分母的和7＋11=18是不變的。而新分數的分子與分母的和為1＋2=3，要保持原和不變，必同時擴大18÷3＝6(倍)。某數為7－6＝1或12－11＝1。24.想和與差算理，原式相當于求這個分數。25.想差不變分子與分母的差41－35＝6是不變的。新分數的此差是8－7＝1，要保持原差不變，新分數的分子和分母需同時擴大6÷1＝6(倍)。某數為42－35＝7，或48－41＝7。與上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，某數為11－6＝5或23－18＝5。分子加上3變成1，說明原分數的分子比分母小3。當分母加上2后，分子比分母應小3＋2=5。26.想差的1/2對于任意分母大于2的同分母最簡真分數來說，其元素的個數一定是偶數，和為這個偶數的一半。分母減去所有非最簡真分數(包括分子和分母相同的這個假分數)的個數，差就是這個偶數。例1求分母是12的所有最簡真分數的和。由12中2的倍數有6個，3的倍數有4個，(2×3)的倍數2個，知所求數是例2分母是105的，最簡真分數的和是多少？倍數15個，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍數分別是7、3、5個，(3×5×7)的倍數1個。知105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，48÷2＝24。27.借助加減恒等式個數。假設從中找出和為1的9個分數，將上式兩邊同乘以2，得這九個分數是28.計算比擬例如，九冊思考題：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得數有什么規律？……可見，除數是11，被除數是1的幾倍(倍數不得大于或等于11)，商17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11凡商是純循環小數的除式，都有此規律；不是純循環小數的，得數不存在這一規律。不難發現，它們循環節的位數比除數少1，循環數字和順序相同，只是起點不同。只要記住1÷7的循環節數字“142857〞和順序，計算時以最大商的數字為起點，順序寫出全部循環節數字，即可。29.由驗算想例如，思考題：計算1212÷101，……，3939÷303，你能從計算中得到啟發，很快說出下面各題的得數？4848÷202，7575÷505，……3939÷303＝(3030＋909)÷303＝3030÷303＋909÷303＝10＋3＝13備課用書這種由“除法的分配律〞解，要使三年級學生接受，比擬困難。假設從“除法的驗算〞推導由3939÷303＝()，商百位上的3和13相乘才可得39，商個位上的3也必須與13相乘得39，除數是13確定無疑。顯然，在被除數上面寫上除數，使位數對齊，口算很快會得出結果。所以商是12。30.想倍比31.擴縮法例如，兩數和是42，如果其中一個數擴大5倍，另一個數擴大4倍，那么和是181。求這兩個數。假設把和，即這兩個數都擴大4倍，那么得數比181小，因為原來擴大5倍的那個數少擴大了1倍。差就是那個數。181－42×4＝1342－13＝29假設把兩數都擴大5倍，結果比181多了原來擴大4倍的那個數。42×5－181＝29，42—29＝13。假設把181縮小4倍，那么得數比42大。因為其中的一個數先擴大5倍，又假設把181縮小5倍，得數比42小。因為先擴大4倍的那個數，又縮小5最正確想法：兩數擴大的倍數不同，181不會是42的整倍數。相除就把多擴大1倍的那個數以余數形式別離出來。181÷42＝4余13。另個數可這樣求32.分別假設例如，1992年中學數學奧林匹克試題初賽(C)卷題5：把一個正方形的一邊減少20％，另一邊增加2米，得到一個長方形，它與原來的正方形面積相等。那么，正方形的面積是多少平方米。設正方形的邊長為1，另一邊增加的百分數為x，那么(1－1×20％)×(1＋x)＝1，正方形邊長2÷25％＝8(米)，面積8×8＝64(平方米)。33.變數為式……34.分解再組合例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)＝5(1＋2+3＋…＋99)35.先分解再通分有的學生通分時用短除法，找了許多數試除都不行，而斷定57和76為互質數。判斷兩個數是否互質，不必用2、3、5、……逐個試除。把其中一個分解質因數，看另一個數能否被這里的某個質因數整除即可。57＝3×19，如果57和76有公有的質因數，只可能是3或19。用3、19試除，[57，76]＝19×3×4＝228。26＝2×13，65和91是13的倍數。最小公分母為13×2×5×7＝910。36.巧用分解質因數教材中講分解質因數，主要是為了求幾個數的最大公約數和最小公倍數，給通分和約分打根底。其實，分解質因數在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創造思維。例2184×75原式＝2×2×46×3×5×5=46×3×(2×5)2=138×100=13800。37.變式法38.推理調整例如，1992年小學數學奧林匹克試題初賽(C)卷題8：一個小于200的自然數，它的每位數字都是奇數，并且它是兩個兩位數的乘積，那么，這個自然數是多少？由奇數×奇數＝奇數，知這個自然數是兩個奇數的乘積。如果其中一個是11，乘積的十位數字將是百位與個位數字之和、必為偶數。因此，兩奇數都至少是13。所求數只能是13×15＝195。39.想順推例如，用1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字，能組成多少個九位數？由“1〞，組成1個數；由“1、2〞，可組成12、21，2個數；由“1、2、3〞，可組成123、132、231、213、312、321，6個數。可見：由兩個一位數組成的兩位數的個數＝2×1：由三個一位數組成的三位數的個數＝3×2。依此類推40.想倒推倒推是常用的數學思維方法，思考途徑是從題目的問題出發，倒著推理，逐步靠攏條件，直到解決問題。有些題用此法解，能化難為易。例1一個數擴大3倍后再增加100，然后縮小2倍后再減去36得50，求這個數。從最后的差50倒推。減前是50＋36＝86，縮小2倍前是86×2=172，增加前是172-100=72。擴大3倍前是72÷3=24。即這個數是：［(50＋36)×2－100］÷3＝24。例2某種細菌每小時可增長1倍，現有一批這樣的細菌，10小時可增長100萬個。問增長到25萬個時，需要幾小時？由“細菌每小時增長1倍〞，知增長到25萬個后經過1小時增長到25×2=50(萬個)，再過1小時就可增長到50×2=100(萬個)。從25萬個增長到100萬個要用1＋1=2(小時)，所以增長到25萬個需10-2=8(小時)41.推想與推斷例如，武漢市武昌區數學競賽題：3/17的分子和分母同時加上什么數，因為一個分數的分子與分母同時加上一個數的前后、分母與分子的差17分母同時擴大14÷2=7(倍)，就是加上的數是35－17＝18或21－3＝18。42.巧歸結例如，選擇“＋、-、×、÷、()〞中的符號，把七個5連成算式，得數為0、1、2、3、…10。5的個數是7以上的都可歸結為7個討論。此題解法很多，這里只介紹一種。由5÷5＝1，5÷5＋5÷5＝2，5＝5，知問題可變為，怎樣用運算符號把1、2、5連成結果分別等于0、1、2、…10的算式。1、2、5三個數不能通過四那么運算得0和1，但5÷5＝1、5－5＝0、0乘任何數都得0，易得到0＝(5－5＋5－5＋5－5)×51＝5÷5＋5×(5－5＋5－5)2＝5－(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5－2－13＝5×(5÷5)－(5÷5＋5÷5)＝5×1－24＝5＋5÷5－(5÷5＋5÷5)＝5＋1－25＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×(2－1)6＝5＋(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5＋2－17＝5×(5÷5)＋(5÷5＋5÷5)＝5×1＋28＝5＋(5÷5－5÷5)＋5÷5＝5＋2＋19＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×2－110＝5×(5÷5＋5÷5)×(5÷5)＝5×2×1假設5的個數是8，那么0＝5－5＋5－5＋5－5＋5－51＝5÷5＋5－5＋5－5＋5－510＝5×2×1＝5×(1＋1)×1＝5×5÷5＋5×5÷5×5÷59＝5×2－1＝5×(1＋1)－1＝5×5÷5＋5×5÷5－5÷55＝5×(2－1)＝5×2－5×1＝5×(5÷5＋5÷5)－5×5÷5由5÷5＝15－(5＋5＋5)÷5＝25=5知其余各式的討論，和5的個數為7時相同。即8=5＋2＋1=5＋5-(5＋5＋5)÷5＋5÷57＝5×1＋2＝5×5÷5＋5－(5＋5＋5)÷56＝5＋2－1＝5＋5－(5＋5＋5)÷5－5÷54＝5＋1－2＝5＋5÷5－5＋(5＋5＋5)÷53＝5×1－2＝5×5÷5－5＋(5＋5＋5)÷52＝5－2－1＝5－5＋(5＋5＋5)÷5－5÷5顯然，假設5的個數是9，只要在5的個數是7的各式后面加上(5－5)。如10＝5×(5÷5－5÷5)×(5÷5)＋(5－5)假設5的個數是7＋2n(n為自然數)，只要在5的個數是7的各式，后面加上n個(5－5)。假設5的個數是10，只要在5的個數是8的各式，后面加上一個(5－5)。假設5的個數是8＋2n，那么只要在5的個數是8的各式，后面加上n個(5－5)。43.巧歸類例如，用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13這十二個數，編加、減、乘、除四個算式，每個數只許用一次。根據逆運算關系，把“加法和減法〞、“乘法和除法〞歸為一類。編加減法算式，比編乘除法算式多得多，宜從量少的入手。想到這十二個數中，能做被除數的只有12、10、8、6，先編除法算式更為適宜。(1)12÷3＝4(2)12÷2＝612÷4＝312÷6＝2(3)10÷2＝5(4)8÷2＝4(5)6÷2＝310÷5＝28÷4＝26÷3＝2確定(1)組為除法算式，其余四組都可變為乘法算式。由于每個數只許用一次，此組已出現3、4、12。乘法算式的(2)、(4)、(5)組重復、舍去。唯有第(3)組符合題意。假設(1)組為除法算式，(3)組為乘法算式。或反過來，各得四式12÷3＝410÷2＝512÷4=310÷5=24×3=125×2=103×4=122×5=10剩的六個數，可組成6＋7=138＋1=97＋6=131＋8=913－6＝79－1＝813－7＝69-8=1整理：組合：(1)組可組合算式(2)、(3)、(4)均可組成16種答案，共64種。44.想聯系求這二數。由整數除法、分數、比的內在聯系想：被除數÷除數＝商(整數)……余數；45.想關系例1一個減法式子中，被減數、減數與差的和是76。求被減數。76÷2＝38例2被減數是7，被減數、減數與差的和是多少？7×2＝14例3被除數、除數和商的積是196。求被除數。196＝2×2×7×7＝14×14被除數是14。例1與此例的算理設A－B＝C，那么A＝B＋C。假設A＋B＋C＝n，那么A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2。設A÷B＝C，那么A＝B×C。如果A×B×C＝n，那么有A×A＝n。A可用分解質因數法求。46.想對調例如，第八冊P94思考題：用1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字，寫出三個大小相等的分數，每個數字只許用一次。參考書中給出：這三種和下面的四種答案的分子和分母對調，為14種。還能求出12種47.邏輯思考例如，一個硬幣重10克，每10個硬幣為一摞，一共有10摞。從外表上看，這10摞硬幣都一樣，其實里面有一摞是假的。現在只知道假幣比真幣輕2克，你能只稱一次，就把這摞假幣找出來嗎？從第一摞里取一個硬幣，從第二摞里取兩個，……從第十摞中取十個。55個放在一起稱，如果都是真的，應重10×55＝550(克)。假設稱的結果是538克，那就少了12克，每個假幣比真幣少2克，因而有12÷2＝6(個)，說明6個硬幣的第六摞是假的。假設稱的結果是542克，少了8克，說明第四摞是假的。48.由特征想例如，哪些自然數的和能被2、4、5、7整除？任何個偶數的和，能被2整除；偶數個奇數的和，能被2整除；任意四個連續自然數，如果首尾兩數的和能被5整除，那么這四個數的和也能被5整除；任意四個連續偶數的和，能被4整除；任意五個(或5的倍數)個連續自然數的和，能被5整除；任意七個連續自然數的和，能被7整除；…………49.以零求整把題分成有聯系而又相對獨立的小問題，進而解決所求問題。例如，第五冊P20思考題：用0、1、2…9十個數字組成三個數(每個數字只能用一次，且必須用一次)，其中兩個數的和等于第三個數。這是三位數加三位數等于四位數，百位上兩數相加和為10，其它兩位數相加不進位的題。分成小問題：一位數分別相加，其中一組的和為10，再分別找出兩個數相加得第三個數。這樣分別開來，易找出3＋7＝10，2＋6＝8，4＋5＝9，合起來為324＋765＝1089。或者4＋6＝10，2＋7＝9，3＋5＝8，423＋675＝1098。再分別交換個位、十位上的數字，又可得到多組答案50.探索法就是多方尋求答案，解決疑難。51.觀察法數學知識是通過數、式、形三方面的內容，表達客觀事物和空間形式相互間數量關系的。這常常需要觀察。例1計算下組算式的(1)、(2)、(3)，類推出(4)的結果。(1)1＋1×8(2)2＋12×8(3)3＋123×8(4)4＋1234×8仔細觀察算式間的聯系，第一個加數