19.3矩形、菱形、正方形第十九章四邊形第1課時矩形逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2矩形的定義及其性質直角三角形斜邊上的中線的性質矩形的判定知1－講感悟新知知識點矩形的定義及其性質11.定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.感悟新知知1－講特別提醒1.矩形必須具備兩個條件：(1)

它是一個平行四邊形；(2)

它有一個角是直角.這兩個條件缺一不可.2.由矩形的定義知，矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.矩形的定義可以作為判定一個四邊形是矩形的一種方法.感悟新知2.性質矩形的性質如下表：知1－講圖形性質數學語言性質1矩形的四

個角都是直角∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°性質2矩形的對

角線相等∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC=OB=OD矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸感悟新知特別提醒：1.利用矩形的性質可以證明線段相等或存在倍分關系、直線平行、角相等等.2.矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形，矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，分成四個面積相等的等腰三角形，因此有關矩形的計算問題經常轉化到直角三角形和等腰三角形中來解決.知1－講知1－練感悟新知[中考·遂寧]如圖19.3－1，在△ABC中，AB=AC，點D、E

分別是線段BC、AD

的中點，過點A

作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．(1)

求證：△BDE≌△FAE；(2)

求證：四邊形ADCF

為矩形．例1知1－練感悟新知解題秘方：本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確地識別圖形是解題的關鍵．知1－練感悟新知證明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE.∵E

是線段AD

的中點，∴AE=DE，∵∠AEF=∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS)；(2)∵△BDE≌△FAE，∴AF=BD，∵D是線段BC

的中點，∴BD=CD，∴AF=CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF

是平行四邊形，∵AB=AC，D是BC

的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴平行四邊形ADCF為矩形．知1－練感悟新知解法提醒由定義來判定矩形，要在平行四邊形的基礎上，證明有一個角是90°，若在四邊形的前提下，則需先證平行四邊形，再證明有一個角是90°，矩形的定義既是矩形的性質也是矩形的判定.知1－練感悟新知如圖19.3－2所示，在矩形ABCD

中，對角線AC，BD

相交于點O，∠BOC=120°，AB=6.求：(1)對角線的長；(2)

BC的長；(3)

矩形ABCD

的面積.例2

知1－練感悟新知解題秘方：緊扣矩形的“角、對角線的性質”進行計算.解：(1)∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD，OA=OC=OB=OD.又∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=6，∴BD=AC=2OA=2×6=12.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知解法提醒1.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.2.矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形；另外，矩形的對角線與兩鄰邊構成四個直角三角形，矩形中的有關計算通常需要用到等腰三角形或直角三角形的有關知識.感悟新知知2－講知識點直角三角形斜邊上的中線的性質2

知2－講感悟新知特別提醒1.直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個面積相等的等腰三角形.2.此性質與“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”都是解決線段倍分關系的重要依據，但后者只在含30°角的直角三角形中才成立，而“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”適用于所有直角三角形，更具一般性.感悟新知知2－講說明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是根據矩形的兩條對角線相等且互相平分推導出來的.將矩形沿某條對角線剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的模型.感悟新知知2－講

感悟新知知2－練[月考·成都]如圖19.3－5，四邊形ABCD

中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，E、F分別是BD、AC的中點.(1)

請你猜測EF與AC的位置關系，并給予證明；(2)

當AC=8，BD=10時，求EF的長.例3知2－練感悟新知解題秘方：緊扣條件“E，F分別為BD，AC的中點”，結合直角三角形斜邊上中線的性質求解.知2－練感悟新知技巧點撥1.若題目中出現了一邊的中點，往往需要用到中線，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質.2.在直角三角形中，遇到斜邊的中點常作斜邊上的中線，從而利用直角三角形斜邊上的中線的性質把問題轉化為等腰三角形的問題，利用等腰三角形的性質解決.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

感悟新知知3－講知識點矩形的判定31.判定定理1?對角線相等的平行四邊形是矩形.數學語言：如圖19.3－7，在ABCD

中，∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形.感悟新知知3－講2.判定定理2?三個角是直角的四邊形是矩形.數學語言：如圖19.3－8，在四邊形ABCD

中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四邊形ABCD是矩形.知3－講感悟新知

知3－練感悟新知如圖19.3－9，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E，F兩點在邊BC

上，AB∥DE，AF∥DC，且四邊形AEFD

是平行四邊形.(1)

AD

與BC有何數量關系？并說明理由.(2)當AB=DC

時，求證：?AEFD是矩形.例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“平行四邊形”這一前提，從“對角線相等”入手(或有一直角入手)進行證明.知3－練感悟新知解：BC=3AD.理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四邊形ABED

和四邊形AFCD

都是平行四邊形，∴AD=BE，AD=FC.又∵四邊形AEFD

是平行四邊形，∴AD=EF，∴AD=BE=EF=FC，∴BC=3AD.(1)AD

與BC

有何數量關系？并說明理由.知3－練感悟新知證明：∵四邊形ABED

和四邊形AFCD都是平行四邊形，∴DE=AB，AF=DC.∵AB=DC，∴DE=AF.又∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴四邊形AEFD是矩形.(2)當AB=DC

時，求證：AEFD

是矩形.知3－練感悟新知方法點撥證明一個平行四邊形為矩形的兩種方法：一種是證明有一個角是直角，另一種是證明兩條對角線相等.本例采用的是對角線相等的方法.若采用有一個角是直角的方法，可證DE=DC，結合EF=FC，利用等腰三角形“三線合一”可得∠DFE=90°.知3－練感悟新知如圖19.3－10，ABCD的四個內角的平分線分別相交于點E，F，G，H.求證：四邊形EFGH

是矩形.例5知3－練感悟新知解題秘方：題中證明矩形是建立在四邊形基礎上的，且都與角相關，可從證直角入手進行判定.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知同理可得∠AFB=∠AED=90°，∴∠GFE=∠FEH=∠FGH=90°，∴四邊形EFGH

是矩形.知3－練感悟新知思路點撥要判定一個四邊形是矩形，通常選用“有三個角是直角的四邊形是矩形”來證明；也可以先判定它是平行四邊形，再根據平行四邊形成為矩形應滿足的條件，證明有一個角是直角或對角線相等即可.矩形直角三角形斜邊上的中線性質邊的關系矩形性質判定定義角的關系對角線的關系邊的性質角的性質對角線的性質19.3矩形、菱形、正方形第十九章四邊形第2課時菱形逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2菱形的定義及其性質菱形的判定知1－講感悟新知知識點菱形的定義及其性質11.定義?有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.感悟新知知1－講特別提醒1.菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等.二者必須同時具備，缺一不可.2.菱形的定義既是菱形的基本性質，又是菱形的基本判定方法.感悟新知2.性質如下表知1－講圖形性質數學語言1.菱形的四條邊都

相等∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD2.菱形的兩條對角

線互相垂直，并且

每一條對角線平分

一組對角∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，∠DAC=∠BAC，

∠ACD=∠ACB，

∠ABD=∠CBD，

∠ADB=∠CDB菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸感悟新知特別提醒：(1)菱形的性質可以用來證明線段相等，角相等，直線平行、垂直以及進行相關的計算.(2)菱形的性質與勾股定理聯系，可得對角線與邊之間的關系，即邊長的平方等于兩條對角線長一半的平方和.(3)如果菱形的一個內角為60°，那么菱形的兩條邊與較短的對角線構成的三角形為等邊三角形

.(4)菱形的面積=底×高=兩條對角線長乘積的一半

.知1－講感悟新知3.矩形與菱形的區別(1)矩形和菱形都建立在平行四邊形的基礎上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一組鄰邊相等；(2)矩形的兩條對角線把矩形分割成四個面積相等的等腰三角形；而菱形的兩條對角線把菱形分割成四個全等的直角三角形；(3)矩形的對稱軸是兩條過兩組對邊中點的直線，而菱形的對稱軸是兩條對角線所在的直線.知1－講知1－練感悟新知[期末改編·東至縣]如圖19.3－19，△ABC

中，DE

∥BC，EF∥AB，BE

平分∠ABC，則四邊形DBFE是菱形嗎？為什么？例1知1－練感悟新知解題秘方：緊扣定義中“兩個條件”進行判斷.知1－練感悟新知解法提醒菱形的定義既是菱形的性質，又是菱形的一種判定方法.在用菱形的定義判定一個四邊形是菱形時，先判定這個四邊形是平行四邊形，再證一組鄰邊相等.知1－練感悟新知解：四邊形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵BE

平分∠ABC，∴∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∵BD=DE，∴四邊形DBFE

是菱形．知1－練感悟新知如圖19.3－20，在菱形ABCD

中，E，F分別是BC，CD上的點，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度數.例2

知1－練感悟新知特別提醒在菱形中如果出現“30°”“60°”“120°”“一邊等于較短對角線”時，往往都指向等邊三角形，我們需用等邊三角形的知識來解決.知1－練感悟新知解：如圖19.3－20，連接AC.∵四邊形ABCD

是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B=60°，∴△ABC和△ACD

為等邊三角形，解題秘方：緊扣菱形的性質、三角形外角的性質求解.知1－練感悟新知技巧點撥在求有關菱形的角的問題時，由于菱形的每條對角線都把菱形分成兩個全等的等腰三角形，因此通常通過連接對角線，把四邊形問題轉化為特殊三角形問題來解答.知1－練感悟新知∴AB=AC，∠B=∠ACF=∠BAC=60°.∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE=AF.又∵∠EAF=60°，∴△EAF是等邊三角形，∴∠AEF=60°.∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°.知1－練感悟新知

例3知1－練感悟新知解法提醒(1)只要證明四邊形OCED是矩形即可；(2)在Rt△ACE中，利用勾股定理即可解決問題.知1－練感悟新知解題秘方：本題考查菱形的性質、矩形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．知1－練感悟新知

(1)求證：OE=CD；知1－練感悟新知

(2)若菱形ABCD

的邊長為6，∠ABC=60°，求AE的長．知1－練感悟新知

感悟新知知2－講知識點菱形的判定21.判定定理1?四邊都相等的四邊形是菱形.數學語言：如圖19.3－22，在四邊形ABCD

中，∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形.感悟新知知2－講2.判定定理2?對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.數學語言：如圖19.3－23，在ABCD

中，∵AC⊥BD，∴ABCD

是菱形.知2－講感悟新知

感悟新知知2－練[中考·濱州]如圖19.3－24，過ABCD對角線AC

與BD

的交點E

作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC、CD、DA

于點P、M、Q、N.例4

知2－練感悟新知解法點撥證明一個四邊形是菱形的方法：若已知要證的四邊形的對角線互相垂直，則要考慮證明這個四邊形是平行四邊形，用“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”進行證明.知2－練感悟新知解題秘方：本題考查了平行四邊形的判定與性質，菱形的判定，全等三角形的判定與性質等知識；熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．知2－練感悟新知證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴EB=ED，AB∥CD，∴∠EBP=∠EDQ，∵∠BEP=∠DEQ，∴△PBE≌△QDE(ASA)；(1)求證：△PBE≌△QDE；知2－練感悟新知證明：由(1)得△PBE≌△QDE，∴EP=EQ，同理可得△BME≌△DNE(

ASA)，∴EM=EN，∴四邊形PMQN是平行四邊形，∵PQ⊥MN，∴平行四邊形PMQN

是菱形．(2)順次連接點P，M，Q，N，求證：四邊形PMQN是菱形．感悟新知知2－練如圖19.3－25，在四邊形ABCD

中，AB=CD，點E，

F，G，H分別是AD，BD，BC，AC

的中點.試證明：四邊形EFGH

是菱形.例5知2－練感悟新知解題秘方：緊扣題中中點條件與線段相等這一特征，從證四邊相等入手判定菱形.知2－練感悟新知技巧點撥判定菱形的方法：1.若用對角線進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；2.若用邊進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等.知2－練感悟新知

菱形軸對稱性邊的關系菱形性質判定定義對角線的關系邊的性質對角線的性質19.3矩形、菱形、正方形第十九章四邊形第3課時正方形逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2正方形的定義正方形的性質正方形的判定知1－講感悟新知知識點正方形的定義11.正方形的定義?有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.感悟新知知1－講特別提醒1.正方形必須具備的兩個條件:(1)四條邊相等.(2)四個角都是直角.2.正方形的四條邊都相等，說明正方形既是平行四邊形，又是菱形；正方形的四個角都是直角，說明正方形是矩形，即正方形不僅是平行四邊形，也是矩形和菱形.感悟新知2.特殊四邊形定義間的關系知1－講知1－練如圖19.3－34，在△ABC

中，∠ABC=90°，BD平分∠

ABC交AC

于點D，DE⊥BC于

E，DF⊥AB于

F，求證：四邊形BEDF

是正方形.例1知1－練解題秘方：緊扣定義中“四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形”進行判定.知1－練證明：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∠ABC=90°，∴∠

DEB=∠EBF=∠BFD=90°.∴四邊形BEDF是矩形.∴∠DEB=∠EBF=∠BFD=∠FDE=90°，BE=FD，BF=ED.∵BD

平分∠

ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF.∴DE=DF=BF=BE.∴四邊形BEDF是正方形.知1－練感悟新知解法提醒利用正方形定義判定正方形，它是建立在四邊形的基礎上，因此，既要有四條邊相等，又要有四個角都是直角，兩者缺一不可.感悟新知知2－講知識點正方形的性質21.正方形的性質?具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質，即：(1)

邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對邊平行；(2)

角：四個角都是直角；感悟新知知2－講(3)對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；(4)是軸對稱圖形，有4條對稱軸；(5)面積為邊長的平方或對角線長平方的一半.感悟新知知2－講2.特殊四邊形的性質間的關系類型平行四邊形矩形菱形正方形邊共性對邊平行且相等特性四條邊都相等感悟新知知2－講角共性對角相等且鄰角互補特性四個角都是直角四個角都是直角對角線共性對角線互相平分特性對角線相等對角線互相垂直對角線相等且互相垂直知2－講感悟新知特別提醒1.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們之間的關系如圖19.3－35所示.知2－講感悟新知2.正方形的特殊性質：(1)

正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形；(2)

周長相等的四邊形中，正方形的面積最大.解題秘方：從正方形中獲取邊、角相等的信息.知2－練如圖19.3－36所示，在正方形ABCD

中，E為CD

上一點，F為BC延長線上一點，CE=CF.例2

知2－練感悟新知解法提醒利用正方形的性質解題，由于正方形的性質較多，解題時不宜一一列出來，需要根據題中已知條件，結合要證明的結論，選擇證明結論成立所需要的性質，使解題思路更簡潔.知2－練(1)求證：△BCE≌△DCF；證明：∵四邊形ABCD

是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.知2－練(2)若∠

BEC=60°，求∠

EFD的度數.解：∵△

BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC－

∠CFE=60°－45°=15°.感悟新知知3－講知識點正方形的判定31.判定方法(1)

從四邊形出發：①四條邊相等，四個角都是直角的四邊形是正方形；②對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形；(2)從平行四邊形出發：①有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形；②對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；感悟新知知3－講(3)從矩形出發：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②對角線互相垂直的矩形是正方形；(4)從菱形出發：①有一個角是直角的菱形是正方形；②對角線相等的菱形是正方形.感悟新知知3－講2.四邊形間的關系?四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形間的轉化關系如下所示.知3－講感悟新知特別提醒常見的判定思路：從邊上證明