第一講數論綜合板塊一質數合數有三張卡片，它們上面各寫著數字1，2，3，從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來，可以得到不同的一位數、二位數、三位數，請你將其中的質數都寫出來。抽一張卡片，可寫出一位數1，2，3；抽兩張卡片，可寫出兩位數12，13，21，23，31，32；抽三張卡片，可寫出三位數123，132，213，231，312，321，其中三位數的數字和均為6，都能被3整除，所以都是合數．這些數中，是質數的有：2，3，13，23，31．三個質數的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質數．設這三個質數分別是、、，滿足，那么可知、、中必有一個為11，不妨記為，那么，整理得()()，又，對應的、或、或、(舍去)，所以這三個質數可能是2，11，13或3，7，11．用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字組成質數，如果每個數字都要用到并且只能用一次，那么這9個數字最多能組成多少個質數？要使質數個數最多，我們盡量組成一位的質數，有2、3、5、7均為一位質數，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質數的數字未用．有1、4、8、9可以組成質數41、89，而6可以與7組合成質數67．所以這9個數字最多可以組成6個質數．有兩個整數，它們的和恰好是兩個數字相同的兩位數，它們的乘積恰好是三個數字相同的三位數．求這兩個整數分別是多少？兩位數中，數字相同的兩位數有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個，它們中的每個數都可以表示成兩個整數相加的形式，例如，共有16種形式，如果把每個數都這樣分解，再相乘，看哪兩個數的乘積是三個數字相同的三位數，顯然太繁瑣了．可以從乘積入手，因為三個數字相同的三位數有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個數都是111的倍數，而，因此把這九個數表示成一個兩位數與一個一位數或兩個兩位數相乘時，必有一個因數是37或37的倍數，但只能是37的2倍(想想為什么？)3倍就不是兩位數了．把九個三位數分解：、、、、、、、、．把兩個因數相加，只有()和()的兩位數字相同．所以滿足題意的答案是74和3，37和18．板塊二余數問題(年全國小學數學奧林匹克試題)有兩個自然數相除，商是，余數是，被除數、除數、商與余數之和為，那么被除數是多少？被除數除數商余數被除數除數+17+13=2113，所以被除數除數=2083，由于被除數是除數的17倍還多13，那么由“和倍問題〞可得：除數=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除數=2083-115=1968．2023被一些自然數去除，所得的余數都是10，那么這樣的自然數共有多少個？此題為一道余數與約數個數計算公式的小綜合性題目．由題意所求的自然數一定是2023-10即1998的約數，同時還要滿足大于10這個條件．這樣題目就轉化為1998有多少個大于10的約數，，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16個約數，其中1，2，3，6，9是比10小的約數，所以符合題目條件的自然數共有11個．有一個整數，除39，51，147所得的余數都是3，求這個數．(法1)，，，12的約數是，因為余數為3要小于除數，這個數是；(法2)由于所得的余數相同，得到這個數一定能整除這三個數中的任意兩數的差，也就是說它是任意兩數差的公約數．，，，所以這個數是．(2005年全國小學數學奧林匹克試題)有一個整數，用它去除70，110，160所得到的3個余數之和是50，那么這個整數是______．，，除數應當是290的大于17小于70的約數，只可能是29和58，，，所以除數不是58．，，，，所以除數是(2002年全國小學數學奧林匹克試題)用自然數n去除63，91，129得到的三個余數之和為25，那么n=________．n能整除．因為，所以n是258大于8的約數．顯然，n不能大于63．符合條件的只有43．一個大于10的自然數去除90、164后所得的兩個余數的和等于這個自然數去除220后所得的余數，那么這個自然數是多少？這個自然數去除90、164后所得的兩個余數的和等于這個自然數去除后所得的余數，所以254和220除以這個自然數后所得的余數相同，因此這個自然數是的約數，又大于10，這個自然數只能是17或者是34．如果這個數是34，那么它去除90、164、220后所得的余數分別是22、28、16，不符合題目條件；如果這個數是17，那么他去除90、164、220后所得的余數分別是5、11、16，符合題目條件，所以這個自然數是17．甲、乙、丙三數分別為603，939，393．某數除甲數所得余數是除乙數所得余數的2倍，除乙數所得余數是除丙數所得余數的2倍．求等于多少？根據題意，這三個數除以都有余數，那么可以用帶余除法的形式將它們表示出來：由于，，要消去余數，，，我們只能先把余數處理成相同的，再兩數相減．這樣我們先把第二個式子乘以2，使得被除數和余數都擴大2倍，同理，第三個式子乘以4．于是我們可以得到下面的式子：這樣余數就處理成相同的．最后兩兩相減消去余數，意味著能被整除．，，．51的約數有1、3、17、51，其中1、3顯然不滿足，檢驗17和51可知17滿足，所以等于17．(2003年南京市少年數學智力冬令營試題)與的和除以7的余數是________．找規律．用7除2，，，，，，…的余數分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的個數是3的倍數時，用7除的余數為1；2的個數是3的倍數多1時，用7除的余數為2；2的個數是3的倍數多2時，用7除的余數為4．因為，所以除以7余4．又兩個數的積除以7的余數，與兩個數分別除以7所得余數的積相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故與的和除以7的余數是．除以7的余數是多少？除以7的余數為1，，所以，其除以7的余數為：；2023除以7的余數為6，那么除以7的余數等于除以7的余數，為1；所以除以7的余數為：．(2023年走美初賽六年級)有一串數：1，1，2，3，5，8，……，從第三個數起，每個數都是前兩個數之和，在這串數的前2023個數中，有幾個是5的倍數？由于兩個數的和除以5的余數等于這兩個數除以5的余數之和再除以5的余數．所以這串數除以5的余數分別為：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以發現這串余數中，每20個數為一個循環，且一個循環中，每5個數中第五個數是5的倍數．由于，所以前2023個數中，有401個是5的倍數．【穩固】著名的裴波那契數列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21……這串數列當中第2023個數除以3所得的余數為多少？斐波那契數列的構成規那么是從第三個數起每一個數都等于它前面兩個數的和，由此可以根據余數定理將裴波那契數列轉換為被3除所得余數的數列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九項和第十項連續兩個是1，與第一項和第二項的值相同且位置連續，所以裴波那契數列被3除的余數每8個一個周期循環出現，由于2023除以8的余數為0，所以第2023項被3除所得的余數為第8項被3除所得的余數，為0．(1997年全國小學數學奧林匹克試題)將依次寫到第1997個數字，組成一個1997位數，那么此數除以9的余數是________．此題第一步是要求出第1997個數字是什么，再對數字求和．共有9個數字，共有90個兩位數，共有數字：(個)，共900個三位數，共有數字：(個)，所以數連續寫，不會寫到999，從100開始是3位數，每三個數字表示一個數，，即有602個三位數，第603個三位數只寫了它的百位和十位．從100開始的第602個三位數是701，第603個三位數是9，其中2未寫出來．因為連續9個自然數之和能被9整除，所以排列起來的9個自然數也能被9整除，702個數能分成的組數是：(組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出來，所以余數為．有2個三位數相乘的積是一個五位數，積的后四位是1031，第一個數各個位的數字之和是10，第二個數的各個位數字之和是8，求兩個三位數的和．此題條件僅給出了兩個乘數的數字之和，同時發現乘積的一局部已經給出，即乘積的一局部數字之和已經給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來構造出原三位數．因為這是一個一定正確的算式，所以一定可以滿足棄九法的條件，兩個三位數除以9的余數分別為1和8，所以等式一邊除以9的余數為8，那么□1031除以9的余數也必須為8，□只能是3．將31031分解質因數發現僅有一種情況可以滿足是兩個三位數的乘積，即所以兩個三位數是143和217，那么兩個三位數的和是360設的各位數字之和為，的各位數字之和為，的各位數字之和為，的各位數字之和為，那么？由于一個數除以9的余數與它的各位數字之和除以9的余數相同，所以與、、、除以9都同余，而2023除以9的余數為2，那么除以9的余數與除以9的余數相同，而除以9的余數為1，所以除以9的余數為除以9的余數，即為5．另一方面，由于，所以的位數不超過8036位，那么它的各位數字之和不超過，即；那么的各位數字之和，的各位數字之和，小于18且除以9的余數為5，那么為5或14，的各位數字之和為5，即．板塊三完全平方數從1到2023的所有自然數中，乘以72后是完全平方數的數共有多少個？完全平方數，其所有質因數必定成對出現．而，所以滿足條件的數必為某個完全平方數的2倍，由于，所以、、……、都滿足題意，即所求的滿足條件的數共有31個．一個數減去100是一個平方數，減去63也是一個平方數，問這個數是多少？設這個數減去為，減去為，那么，可知，且，所以，，這樣這個數為．能否找到這么一個數，它加上24，和減去30所得的兩個數都是完全平方數？假設能找到，設這兩個完全平方數分別為、，那么這兩個完全平方數的差為，由于和的奇偶性質相同，所以不是4的倍數，就是奇數，不可能是像54這樣是偶數但不是4的倍數．所以不可能等于兩個平方數的差，那么題中所說的數是找不到的．有5個連續自然數，它們的和為一個平方數，中間三數的和為立方數，那么這五個數中最小數的最小值為．考查平方數和立方數的知識點，同時涉及到數量較少的連續自然數問題，設未知數的時候有技巧：一般是設中間的數，這樣前后的數關于中間的數是對稱的．設中間數是x，那么它們的和為，中間三數的和為．是平方數，設，那么，是立方數，所以至少含有3和5的質因數各2個，即至少是225，中間的數至少是1125，那么這五個數中最小數的最小值為1123．板塊四位值原理(美國小學數學奧林匹克)把一個兩位數的十位與個位上的數字加以交換，得到一個新的兩位數．如果原來的兩位數和交換后的新的兩位數的差是45，試求這樣的兩位數中最大的是多少？設原來的兩位數為，交換后的新的兩位數為，根據題意，，，原兩位數最大時，十位數字至多為9，即，，原來的兩位數中最大的是94．將一個四位數的數字順序顛倒過來，得到一個新的四位數(這個數也叫原數的反序數)，新數比原數大8802．求原來的四位數．設原數為，那么新數為，．根據題意，有，．推知，，得到，，，，原數為1099．(第五屆希望杯培訓試題)有3個不同的數字，用它們組成6個不同的三位數，如果這6個三位數的和是1554，那么這3個數字分別是多少？設這六個不同的三位數為，因為，，……，它們的和是：，所以，由于這三個數字互不相同且均不為0，所以這三個數中較小的兩個數至少為1，2，而，所以最大的數最大為4；又，所以最大的數大于，所以最大的數為4，其他兩數分別是1，2．(迎春杯決賽)有三個數字能組成6個不同的三位數，這6個三位數的和是2886，求所有這樣的6個三位數中最小的三位數．設三個數字分別為a、b、c，那么6個不同的三位數的和為：所以，最小的三位數的百位數應為1，十位數應盡可能地小，由于十位數與個位數之和一定，故個位數應盡可能地大，最大為9，此時十位數為，所以所有這樣的6個三位數中最小的三位數為．a，b，c分別是中不同的數碼，用a，b，c共可組成六個三位數，如果其中五個三位數之和是2234，那么另一個三位數是幾？由，，組成的六個數的和是．因為，所以．假設，那么所求數為，但，不合題意．假設，那么所求數為，但，不合題意．假設，那么所求數為，，符合題意．假設，那么所求數為，但，不合題意．假設，那么所求數，但所求數為三位數，不合題意．所以，只有時符合題意，所求的三位數為652．板塊五進制問題在幾進制中有？利用尾數分析來解決這個問題：由于，由于式中為100，尾數為0，也就是說已經將12全部進到上一位．所以說進位制為12的約數，也就是12，6，4，3，2中的一個．但是式子中出現了4，所以要比4大，不可能是4，3，2進制．另外，由于，因為，也就是說不到10就已經進位，才能是100，于是知道，那么不能是12．所以，只能是6．算式是幾進制數的乘法？注意到尾數，在足夠大的進位制中有乘積的個位數字為，但是現在為4，說明進走，所以進位制為16的約數，可能為16、8、4或2．因為原式中有數字5，所以不可能為4、2進位，而在十進制中有，所以在原式中不到10就有進位，即進位制小于10，于是原式為8進制．在6進制中有三位數，化為9進制為，求這個三位數在十進制中為多少？(abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因為35a是5的倍數，80c也是5的倍數．所以3b也必須是5的倍數，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①當b=0，那么35a=80c；那么7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9進制，不可以有一個數字為16．②當b=5，那么35a=3×5+80c；那么7a=3+16c；mod7后，3+2c≡0．所以c=2或者2+7k(k為整數)．因為有6進制，所以不可能有9或者9以上的數，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc)6=(552)6=5×62+5×6+2=212．這個三位數在十進制中為212．課后練習：三個質數的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個質數．設這三個質數分別是、、，滿足，那么可知、、中必有一個為7，不妨記為，那么，整理得，又，對應的2、9(舍去)或3、5，所以這三個質數可能是3，5，7有一個大于1的整數，除所得的余數相同，求這個數．這個題沒有告訴我們，這三個數除以這個數的余數分別是多少，但是由于所得的余數相同，根據同余定理，我們可以得到：這個數一定能整除這三個數中的任意兩數的差，也就是說它是任意兩數差的公約數．，，，的約數有，所以這個數可能為．將1至2023這2023個自然數，按從小到大的次序依次寫出，得一個多位數：20072023，試求這個多位數除以9的余數．以19992000這個八位數為例，它被9除的余數等于被9除的余數，但是由于1999與被9除的余數相同，2000與被9除的余數相同，所以19992000就與被9除的余數相同．由此可得，從1開始的自然數20072023